Unitat 8. Figures a l espai

Transcripción

1 8 Unitat 8. Figures a l espai Pàgines Compta les cares, els vèrtexs i les arestes dels cinc poliedres de sota (,, C, D, E) i comprova que tots compleixen la fórmula d Euler. D G F C E H CRES VÈRTEXS RESTES FÓRMUL D EULER = = 2 C = 2 D = 2 E = En el poliedre «no simple» (amb orifici) que veus al marge, comprova que: c = 16, v = 16 i a = 28. S hi compleix la fórmula d Euler? No s acompleix la fòrmula d Euler. 8.3 Fes una taula amb el nombre de cares, vèrtexs i arestes dels cinc poliedres regulars. a) Comprova que els cinc compleixen la fórmula d Euler. b) Comprova que dodecaedre i icosaedre compleixen les condicions necessàries per ser duals. c) Comprova que el tetraedre compleix les condicions per ser dual de si mateix. C V TETR. CU OCT. DODEC. ICOS. TETR. CU OCT. DODE. ICOS. CRES VÈRTEXS RESTES a) En tots s acompleix que c + v a = 2 b) Tenen el mateix nombre d arestes (30); i el nombre de cares de cada un coincideix amb el d arestes de l altre. c) Tenen el mateix nombre d arestes (6); i el nombre de cares de cada un (4) coincideix amb el d arestes de l altre (4). 153

2 8.4 Hem marcat en vermell els centres de les cares «frontals» d aquests poliedres i, en blanc, els centres d algunes cares «ocultes». Unint-los convenientment, obtenim els poliedres duals. Fes-ho en el teu quadern. Pàgines Calcula l àrea total d un prisma pentagonal regular l aresta lateral del qual fa 10 cm, l aresta de la base, i l apotema de la base, 2,8 cm Calcula l àrea total d una piràmide hexagonal regular amb aresta de la base de 8 cm i l aresta lateral de la qual fa 10 cm. 386,40 cm Calcula l àrea total d un tronc de piràmide quadrangular regular les bases del qual tenen de costats 30 cm i 1 i l aresta lateral del qual fa 17 cm Pàgina Si fem girar un rectangle de dimensions 5 cm al voltant de cada un dels costats, obtenim dos cilindres rectes. Calcula l àrea total de cada un. a) 150,72 cm 2 b) 251,2 cm 2 154

3 8.9 Si fem girar un triangle rectangle els catets del qual fan i al voltant de cada un, obtenim dos cons. Dibuixa ls i calcula l àrea total de cada un. a) 113,0 2 b) 75, Calcula la superfície total del tronc de con generat en girar un trapezi rectangle de bases i 7 cm i altura al voltant d aquesta. 376,8 cm 2 Pàgina Calcula l àrea d una esfera el diàmetre de la qual fa 18 cm. Calcula l àrea d una zona esfèrica d 11 cm d altura. L àrea de l esfera és 1017,3 2 L àrea de la zona esfèrica és 621,72 cm Calcula la superfície d un casquet esfèric on el radi de la base fa 1 i l altura 10 cm. (Radi de l esfera: R = (r 2 +a 2 )/2a.) 1117,8 3 Pàgines Calcula (raonadament i aplicant-hi la fórmula) el volum del tronc de con les dimensions del qual són: radis de les bases, 10 cm i 8 cm, altura, 5 cm. 1276, Calcula (raonadament i aplicant-hi la fórmula) el volum d un tronc de piràmide quadrangular. Costats de les bases: 9 cm i. ltura: 2 cm Calcula el volum d una esfera de 2 de diàmetre. 7234, Calcula el volum d un casquet esfèric de 5 cm d altura, corresponent a una esfera de 25 cm de radi. Quin és el volum de la resta de l esfera? Volum del casquet esfèric = 6541,67 cm 3 Volum de la resta = cm 3 155

4 8.17 Dos plans paral lels que passen a 12 cm i a 1 del centre tallen una esfera de 20 cm de radi. Calcula els volums dels tres trossos en què es divideix l esfera. Els dos primers tenen 3349,3 3 i el tercer, 26794,67 cm 3. Pàgina El metre, unitat de mesura de longitud, es definia antigament com la deumilionèsima part d un quadrant de meridià terrestre. És a dir, un meridià terrestre té de metres. D acord amb això: a) Calcula el radi de la Terra en km. b) La superfície en km 2. c) El volum en km 3. d) Calcula l àrea d un fus horari. x 0 2 y 2 3 a) 6370 km b) 510 milions de km 2 c) 3,25 bilions de km 3 d) 21,25 milions de km Els paral lels són circumferències menors. Calcula quant fa el perímetre dels paral lels següents: a) 60 b) 30 c) 45 Indicació: l l/2 a) 20001,8 km b) 34644,13 km c) 28286,82 km 156

5 8.20 Un vaixell va d un punt, situat a les costes d Àfrica de 30 latitud nord i 10 longitud oest, a un altre, a les costes d mèrica de 30 latitud nord i 80 longitud oest, seguint el paral lel comú. a) Quina distància ha recorregut? b) Quina distància recorreria si la diferència de longituds dels dos punts fos de 180? c) Quina distància recorreria en aquest últim cas si pogués navegar d un punt a un altre seguint un arc de cercle màxim? a) 6736,3 km b) km c) 20001,8 km 8.21 Per què l horitzó es veu circular? Si mirem la Terra des d una gran altura (per exemple, des d un satèl lit artificial), aquesta es veurà com un disc enorme. La línia de tangència del con de visuals tangents a la Terra amb l esfera terrestre és l horitzó. Si, en lloc d estar en aquesta altura, estem molt més a prop, tenim també un altre con de visió (amb molta menor altura), però, igualment, l horitzó és circular. Pàgina Fes correspondre cada figura amb el desenvolupament que li correspon i calcula n l àrea total: I II 2 cm III 2 cm IV 7 cm C D 157

6 I C T = 124,8 cm 2 II T = 172,8 cm 2 III T = 131,0 2 IV D T = 182 cm Calcula la superfície total de cada cos: 5 cm 5 cm C D 5 cm ) 86,35 cm 2 ) 75,3 2 C) 66, 2 D) 113, Dibuixa el desenvolupament del pla i calcula l àrea total dels cossos geomètrics següents: a) b) 2 10 cm 19 cm 15 cm 8 cm c) 15 m 6 m 6 m d) 12 cm 6 m 10 m 15 m 10 cm e) f) 5 m 1 8 cm 9 cm g) 12 cm h) 15 cm 15 cm 10 cm 10 cm 1 158

7 a) T = b) T =451 cm 2 c) T = 66 2 d) T = 196,2 cm 2 e) T = 120 cm 2 f) T =470 cm 2 g) T = 1802,3 2 h) T = 1789,8 cm Dibuixa els cossos geomètrics següents i calcula n l àrea: a) Prisma d altura 2 la base del qual és un rombe de diagonals 18 i 12 cm. b) Octaedre regular d aresta 18 cm. c) Piràmide hexagonal regular d aresta lateral 28 cm i aresta bàsica 1. d) Piràmide d altura 25 cm i base quadrada de costat 9 cm. e) Cilindre d altura 17 cm en la circumferència bàsica del qual fa 4. f) Tronc de con generat en girar un trapezi rectangle de bases 10 cm i 12 cm i altura 5 cm al voltant d aquesta. g) Casquet esfèric d altura 7 cm d una esfera de radi 12 cm. h) Esfera inscrita en un cilindre d altura 1 m. a) T = 1 254,72 cm 2 b) T = 11 23,2 cm 2 c) T = 1 953,12 cm 2 d) T = 538,20 cm 2 e) T = 1056,28 cm 2 f) T = 1138,50 cm 2 g) T = 527,52 cm 2 h) T = 3,14 m EXERCICI RESOLT. Calculem el volum d un tetraedre regular de 8 cm d aresta. Resolució Calculem l àrea de la base: 8 a 4 O C 2 2 a = 8 4 6, 9 8 b = 6, 93 = 27, 71 cm 2 2 Per calcular l altura del tetraedre, sabem que: 2 O = h 462, cm = 8 4, 62 6, V = b = 27, 71 6, 53 = 60, 32 cm

8 8.27 Calcula el volum d aquests cossos: E F 7 cm 2 cm 9 m 22 cm C D G 14 m 12 m 15 m 16 m H 10 cm 9 m ) 16,75 cm 3 E) 108 m 3 ) 9 3 F) 539 cm 3 C) 32 cm 3 G) m 3 D) 169,5 3 H) 108 m Calcula el volum dels cossos geomètrics següents: a) Octaedre regular d aresta 8 cm. b) Piràmide hexagonal regular l aresta lateral de la qual fa 17 cm i l aresta de la base 10 cm. c) Tronc de con de radis 12 cm i 1 i altura 20 cm. d) Semiesfera de radi 15 cm. e) Cilindre inscrit en un prisma recte de base quadrada de costat 10 cm i altura 18 cm. a) 241,3 3 b) 1190,78 cm 3 c) ,5 3 d) 7065 cm 3 e) EXERCICI RESOLT. Calculem el volum d aquest cos. Resolució. Descomponem el cos en uns altres els volums dels quals sapiguem calcular: 2,5 m 6 m I + II 5 m 5 m 5 m V π R h V Ι ΙΙ V total = = π ( ) , 3 589, 1 = VΙ = 58, 9 : 2 = 29, 45 m 2 = 589, , = 8835, m 3 3 m 3 160

9 8.30 Calculem el volum d aquests cossos: 6 m 5 m 4 m 6 m 66,99 m 3 i 105,98 m 3 ; respectivament Quina ha de ser l altura d un cilindre la base del qual fa 2 perquè el volum sigui 1l? 21,81 cm. Pàgina Dues ciutats tenen la mateixa longitud 3º O, i les latituds són 45º 27 N i 34º 35 S. Quina és la distància entre aquestes ciutats? 8 893,39 km Quan al fus 0 són les 7 a. m., quina hora és al fus 3º E? I al fus 12º? Les 4 a.m. Les 7 p.m La «milla marina» és la distància entre dos punts de l equador la diferència de longituds dels quals és 1. Calcula la longitud d una «milla marina». 1,85 km Roma es troba al fus 1º E i Nova York al 5º O. Si un avió surt de Roma a les 9 a. m. i el vol dura 8 h, quina serà l hora local d arribada a Nova York? Les 11 del matí Un avió ha d anar de a, dos llocs diametralment oposats al paral lel 45º. Pot fer-ho seguint el paral lel (P) o seguint la ruta polar (N). Quina és la més curta? N P N. S 8.37 Un bidó de pintura de forma cilíndrica, de 32 cm d altura i 30 cm de diàmetre de la base, es troba ple en les tres quartes parts. l interior hi ha caigut un pinzell de 40 cm de llarg. Creus que es deu haver submergit totalment a la pintura? No. 161

10 8.38 Calcula la longitud del llistó més gran que cap en cadascuna d aquestes caixes: 5,6; 6,71 cm, i 8,6; respectivament. Calcula la superfície del triangle acolorit en la figura. 86,61 cm 2. Calcula la superfície del major tetraedre que cap dins un cub de 10 cm d aresta. 10 cm 10 cm 5 cm , Hem construït un tub cilíndric soldant, pels costats més curts, un rectangle de xapa de 20 cm de llarg per 15 cm d ample. Quin és el diàmetre del tub? I el volum? Diàmetre del tub = 6,3 Volum = 476,29 cm Un dependent embolica una caixa de sabates de 30 cm de llarga, 18 cm d ampla i 10 cm d alta amb un tros de paper, de forma que un 15% de l embolcall queda superposat sobre si mateix. Quina quantitat de paper hi ha emprat? 0,24 m Observa que en seccionar un cub com indiquem en la figura, obtenim del cantó tallat una piràmide triangular. a) Dibuixa el desenvolupament de la piràmide. b) Calcula la superfície lateral considerant-ne la secció com a base. c) Calcula el volum (recolza-la sobre un dels triangles rectangles). a) Solució gràfica. b) Superfície lateral = 23,5 cm 2 c) Volum = 10 cm 3 162

11 8.44 Quan introduïm una pedra en un recipient cilíndric, de 20 cm de diàmetre, l altura de l aigua que conté puja 5 cm. Quin és el volum de la pedra? 1570 cm Calcula el volum de la piràmide més gran que cap dins d un ortoedre de d ample, 4 m de llarg i 5 m d alt. 20 m Un estany té com a base una el lipse de 12 m 2 de superfície i una profunditat d 1,5 m. Quant tarda a omplir-se mitjançant una font que hi aporta 3 litres d aigua per segon? 1 hora i 40 minuts. Pàgina Calcula el volum d una habitació de 2,30 m d altura, la planta de la qual té la forma i les dimensions que indiquem a la figura. 1 m 4 m 35,72 m Quin és el pes d un contenidor d embalatge de 0,5 m 0,5 m 1,20 m, si sabem que s ha construït amb planxes d aglomerat que pesen a raó de 12 kg/m 2? 34,8 kg 8.49 Un bidó cilíndric de 30 cm de diàmetre pesa, buit, 5 kg i ple d aigua, 27,608 kg. Quina és l alçària de bidó? 32 cm 8.50 Observa la figura i calcula: a) El cost de la construcció de la teulada, sabent que ha sortit a 85 el metre quadrat. b) El nombre de radiadors que cal instal lar a l interior, si sabem que hi cal un radiador per cada 15 m 3. a) b) 165 radiadors 8.51 Una empresa de carburants té quatre tancs esfèrics de 20 m de diàmetre i sis tancs cilíndrics de 20 m d altura i 10 m de radi en la base. Per evitar la corrosió, contracten un equip d operaris que cobra, per pintar els depòsits, 12 /m 2. Calcula el cost total de l operació

12 8.52 Introduïm una bola de pedra de 12 cm de diàmetre en un recipient cúbic de 12 cm d aresta ple d aigua i després la retirem. Calcula: a) La quantitat d aigua que s ha vessat. b) L altura de l aigua al recipient després de treure n la bola. a) 904,32 cm 3 b) 5,72 cm 8.53 Calcula el volum dels cossos de revolució que genera cada una d aquestes figures planes en girar al voltant de l eix indicat: 7 cm a) 141, 3 b) 141, a) Quin tassó té major capacitat? 8 cm 5 cm b) Quants de litres són 10 d aquests tassons? a) El tronc de con té major capacitat. b) 10 tassons cilíndrics 1,57 l 10 tassons de tronc de con 1,5909 l 8.55 Seccionem un cub com indiquem a la figura. Quin és el volum de les parts seccionades? 5 cm 31,25 cm 3 164

13 8.56 Explica per què cada un dels poliedres següents no és regular. Comprova si es verifica el teorema d Euler a cada un. C ) No totes les cares són iguals. ) En uns vèrtexs concorren tres cares, i en altres, sis. C) En uns vèrtexs concorren tres cares, i en altres, sis. Es verifica el teorema d Euler en els tres casos Quins d aquests desenvolupaments corresponen a un tetraedre regular? Els dos primers. Pàgina Quin poliedre regular té per vèrtexs els centres de les cares d un cub? L octaedre Quin poliedre obtenim si prenem com a vèrtexs els centres de les cares d un octaedre regular? El cub Per quant es multiplica la superfície d un cub en augmentar-ne al doble l aresta? I el volum, per quant es multiplica? La superfície es multiplica per 4; el volum, per L aresta d un cub fa. a) Quina és la distància entre els centres de dues cares oposades? b) Quina és la distància entre els centres de dues cares contigües? c) Quina és la distància màxima entre dos vèrtexs? a) b) 4,2 c) 10,39 cm 165

14 8.62 EXERCICI RESOLT. Com calculem el radi R d una esfera si coneixem el radi de la base, r, i l altura a d un casquet esfèric? Resolució El triangle HC és rectangle: r 2 + h 2 = a 2 a El triangle HC és rectangle: a C H r r 2 + (2R h) 2 = b 2 El triangle C és rectangle: 2 R h b a 2 + b 2 = (2R) 2 Substituïm a 2 i b 2 : r 2 + a 2 r 2 + h 2 + r 2 + (2R h) 2 = (2R) 2 R = 2a 8.63 Volem pintar amb or una cúpula de 5 m d altura i 8 m de radi de la base. Calcula quant costa a raó de 360 /m , Un fuster ha anat tallant un cub de fusta i ha obtingut, successivament, les formes que veus en les il lustracions. Si el cub original pesava 24 kg, quin és el pes de cada una de les figures obtingudes en els passos intermedis? C D E 21 kg 18 kg C 17 kg D 16 kg E 8 kg 8.65 Investiga. Talls en el cub. Per a aquest exercici convé que construeixis un cub de cartolina o que en modelis uns quants de plastilina i hi assagis talls diferents amb un ganivet. a) Com hem de tallar un cub per aconseguir un triangle equilàter? I per aconseguir el més gran possible? b) Com hem de tallar un cub per aconseguir els quadrilàters següents? Un quadrat. Un rectangle. El major rectangle. Un paral lelogram no rectangle. Un rombe. Un trapezi. c) Podem aconseguir un pentàgon tallant un cub? I un hexàgon? I un hexàgon regular? a), b) i c) Solució gràfica. 166