2πr r = πr. Aplica la fórmula: para obtener el volumen de la esfera.

Transcripción

1 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 191 Pág. 1 PR EMPEZR Calcula al estilo de rquímedes ÁRE DEL CÍRCULO Cuál es la suma de sus bases? Cuál es la altura de todos ellos? Sustituye y obtendrás la superficie del círculo. r O = 1 (Suma de todas sus bases) ltura La suma de todas sus bases es la longitud de la circunferencia, πr. La altura de cada triángulo, para una base muy pequeña, es próima al radio del círculo, r. = 1 (Suma de todas sus bases) altura = 1 πr r = πr VOLUMEN DE L ESFER O r plica la fórmula: V = 1 (Suma de las superficies de las bases) ltura 3 para obtener el volumen de la esfera. La suma de la superficie de las bases coincide con la superficie esférica, 4πr. La altura de cada pirámide es muy próima al radio de la esfera, r. V = 1 3 (Suma de las superficies de las bases) ltura = 1 3 (4πr ) r = 4 3 πr 3

2 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 193 Pág. 1 1 Haz una tabla, en tu cuaderno, con el número de caras, vértices y aristas de los cinco poliedros regulares. a) Comprueba que los cinco cumplen la fórmula de Euler. b) Comprueba que el dodecaedro y el icosaedro cumplen las condiciones necesarias para ser duales. c) Comprueba que el tetraedro cumple las condiciones para ser dual de sí mismo. TETR. CUO OCT. DODEC. ICOS. CRS VÉRTICES RISTS a) Tetraedro = Cubo = Octaedro = Dodecaedro = Icosaedro = b) l unir mediante segmentos los centros de cada dos caras contiguas de un dodecaedro, se forma un icosaedro. Si iciéramos lo mismo con un icosaedro, obtendríamos un dodecaedro. demás, el número de caras del dodecaedro coincide con el número de vértices del icosaedro, y viceversa. mbos tienen el mismo número de aristas. Por tanto, son poliedros duales. c) l unir mediante segmentos los centros de cada dos caras contiguas de un tetraedro, se forma otro tetraedro. demás, el número de caras y de vértices en un tetraedro son iguales. El tetraedro es dual de sí mismo. Hemos señalado en rojo los centros de las caras frontales de estos poliedros, y más claro, los centros de algunas caras ocultas. Uniéndolos convenientemente se obtienen los poliedros duales. Hazlo en tu cuaderno. octaedro cubo dodecaedro icosaedro tetraedro tetraedro

3 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 194 Pág. 1 1 Vamos a truncar, dando cortes que pasen por los puntos medios de las aristas, los restantes poliedros regulares. a) l truncar de este modo un tetraedro, se obtiene una figura conocida. Cuál? b) El resultado de truncar el octaedro también es conocido. Comprendes, aora, por qué a esta figura se la llama cuboctaedro? c) Describe la figura que resulta de truncar (puntos medios de las aristas) un dodecaedro y eplica por qué es un poliedro semirregular (se llama icosidodecaedro). d) Describe la figura que resulta de truncar (puntos medios de las aristas) un icosaedro. e) Relaciona los resultados anteriores con la dualidad de poliedros estudiada en la página anterior. a) La figura que queda es un octaedro. b) La figura que queda es un cuboctaedro. c) El icosidodecaedro se compone de pentágonos regulares y de triángulos equiláteros. En cada vértice confluyen dos pentágonos y dos triángulos.

4 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe d) También sale un icosidodecaedro. Pág. e) La figura que resulta al truncar dos poliedros duales es la misma.

5 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 195 qué distancia del vértice emos de cortar los triángulos pequeños para que el eágono resultante sea regular? = 1 l, donde l es el lado del triángulo. 3 Pág. 1 3 Describe el tetraedro truncado. Cuántas caras tiene? Cuántas son de cada tipo? Cuántos vértices? Cuántas aristas? Cuánto mide la arista del tetraedro truncado con relación a la del tetraedro original? Tiene 8 caras, 4 eágonos regulares y 4 triángulos equiláteros. Tiene 1 vértices donde concurren dos eágonos y un triángulo. Tiene 18 aristas que miden 1 l, siendo l la medida de la arista del tetraedro original. 3 4 Describe el octaedro truncado. Caras, tipos. Vértices. ristas. Tiene 14 caras, 8 eágonos y cuadrados. Tiene 4 vértices donde concurren dos eágonos y un cuadrado. Tiene 3 aristas que miden 1 l, siendo l la medida 3 de la arista del octaedro original. 5 Conociendo las características de un dodecaedro (caras, vértices), describe cómo será el dodecaedro truncado. Tiene 3 caras, 1 decágonos regulares y 0 triángulos equiláteros. Tiene 0 vértices donde concurren dos decágonos y un triángulo. Tiene 90 aristas. Conocidas las características de un icosaedro, describe cómo será el icosaedro truncado. Tiene 3 caras, 0 eágonos y 1 pentágonos. Tiene 0 vértices donde concurren dos eágonos y un pentágono. Tiene 90 aristas que miden 1 l, siendo l la medida del icosaedro original. 3

6 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 19 Pág. 1 1 Qué condiciones debe cumplir un plano para ser plano de simetría del tetraedro? Cuántos planos de simetría tiene el tetraedro? Para que un plano sea plano de simetría del tetraedro tiene que contener una arista y ser perpendicular a dos caras. El tetraedro tiene planos de simetría, uno por cada arista. Dibuja un prisma eagonal regular. Cuántos planos de simetría tiene? Y cuántos tiene una pirámide eagonal regular? El prisma eagonal regular tiene seis planos de simetría, uno por cada eje de simetría de sus bases, y otro plano de simetría paralelo a las dos bases. La pirámide eagonal regular tiene seis planos de simetría, uno por cada eje de simetría de sus bases. 3 Recuerda la relación de dualidad entre el cubo y el octaedro (caras-vértices). asándote en los planos de simetría del cubo, describe todos los planos de simetría del octaedro. Todos los planos de simetría del cubo inscrito en el octaedro son también planos de simetría del octaedro. Por tanto, el octaedro y el cubo tienen el mismo número de planos de simetría. 4 Qué planos de simetría tiene un cono? Y una esfera? Cualquier plano que contiene al eje del cono es plano de simetría de este. Hay, pues, infinitos. Cualquier plano que contenga al centro de la esfera es un plano de simetría de esta. Hay, pues, infinitos. O

7 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 197 Pág. 1 1 Qué ejes de giro tiene una pirámide eagonal regular? De qué órdenes son? Y un prisma eagonal regular? (No pases por alto algunos de orden ). PIRÁMIDE HEXGONL Hay solo un eje de giro de orden. Pasa por el centro de la base y el vértice de la pirámide. PRISM HEXGONL Hay un eje de giro de orden, el que pasa por el centro de las dos bases. Hay ejes de giro de orden : todos ellos son paralelos a las bases. 3 de ellos pasan por el punto medio de dos caras laterales opuestas, y los otros 3, por las aristas opuestas. Qué ejes de giro tiene un ortoedro con las tres dimensiones distintas? De qué órdenes son? Hay tres ejes de giro de orden, e 1, e y e 3. e 1 e e 3 3 Estudia los ejes de giro del octaedro. Puedes basarte en los del cubo. Todos los ejes de giro del cubo son también ejes de giro del octaedro inscrito en él. Por tanto, el octaedro y el cubo tienen el mismo número de ejes de giro y de los mismos órdenes. Es decir: Tres ejes de giro de orden cuatro, que pasan por dos vértices opuestos. Seis ejes de giro de orden dos, que pasan por los puntos medios de dos aristas opuestas. Cuatro ejes de giro de orden tres, que pasan por los centros de dos caras opuestas. l comparar estos ejes de giro con los del cubo, se puede observar la dualidad (caras 5 vértices, aristas 5 aristas): Los ejes que en el cubo pasan por los centros de caras opuestas, en el octaedro pasan por vértices opuestos. Los ejes que en el cubo pasan por aristas opuestas, en el octaedro pasan por aristas opuestas. Los ejes que en el cubo pasan por dos vértices opuestos del cubo, en el octaedro pasan por los centros de caras opuestas.

8 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 01 Pág. 1 1 Calcula el área de estos poliedros obtenidos a partir de un cubo de 1 cm de arista: C D Si acemos el desarrollo de la figura, queda: Ò + 4 Ò + Ò 1 cm 1 cm 1 cm FIG. 1 = 1 + = 10 FIG. = 1 = 7 cm FIG. 3 = 1 = 144 cm TOTL = = 79 cm Si acemos el desarrollo de la figura, queda: 1 cm 1 cm Ò + Ò FIG. + Ò 1 cm FIG. 1 1 cm FIG. 3 1 cm 1 cm 1 cm = ,97 cm

9 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe FIG. 1 = 1 = 7 cm FIG. = 1 = 144 cm FIG. 3 = 1 1,97 = 03,4 cm TOTL = ,4 = 35,4 cm Pág. C Si acemos el desarrollo de la figura, queda: FIG. 1 1 cm + 3 Ò FIG. + 3 Ò 1 cm FIG. 3 1 cm 1 cm 1,97 cm (ver ); = ( ) = 3 FIG. 1 = 1,97 14,70 FIG. = 1 = 144 cm FIG. 3 = 7 cm 14,73 cm TOTL = 14, = 77,73 cm 14,70 cm D Si acemos el desarrollo de la figura, queda: FIG. 1 z 3 Ò Ò ap z FIG. z 1 cm FIG. 3 z z 1 cm z = + 8,49 cm potema del eágono regular: ap = z ( z ) = z 3 FIG. 1 = 1 FIG. = 8,49 7,35 = 187,0 cm FIG. 3 = 1 1 FIG. 1 = 144 7,35 = 13,5 cm TOTL = 3 7, , ,5 = 19, cm 7,35 cm

10 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Obtén la medida de la superficie del prisma y de la pirámide. La base de ambos es un eágono regular. Pág cm 1 cm RIST SE 8 LTUR PRISM 8 10 cm RIST SE 8 RIST LTERL 8 1 cm 4 cm a a = 8 4,93 cm SE = 8,93 = 1,3 cm LTERL = 8 10 = 480 cm TOTL = 1, = 81,4 cm SE = 1,3 cm potema de la pirámide = = ,31 cm LTERL = 8 11,31 = 71,44 cm TOTL = 1,3 + 71,44 = 437,7 4 cm 1 cm 3 Calcula el área de estos cuerpos: C 1 cm 1 cm g TOTL = π 1 + π 78,5 g = ,4 cm TOTL = π 13,4 + π 3,0 C TOTL = 4π 45,39 cm

11 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 4 Calcula el área de los siguientes cuerpos: Pág cm 5 cm 17 cm 17 cm 13 cm SE GRNDE = = 7 SE PEQUEÑ = 10 = 100 cm = 17 8 = 15 cm LTERL = = cm TOTL = = cm 10 cm = π 13 + π 5 + π(13 + 5) 17 = 530, , ,33 = 1 570, 5 Calcula el área total del cono, del cuerpo que resulta de partirlo por la mitad y del tronco de cono obtenido al cortar por una sección paralela a la base, a 5 cm de la misma. C 0 cm g 5 cm g = ,54 cm TOTL = π 8 1,54 + π 8 = 74,4 cm SE = π 8 100,53 cm ; 1/ LTERL = π 8 1,54 TRIÁNGULO = 1 0 = 10 cm TOTL = 100, , = 531,1 cm 70, C 5 cm 0 cm 15 cm 1,54 cm z y 0 8 = 15 8 = y = 8 = cm z = 5 + 5,39 cm TOTL = π (8 + ) 5,39 + π 8 + π 551, cm

12 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe En una esfera de 30 cm de diámetro, calcula: Pág. 5 a) El área de una zona esférica de de altura. b) El área de un casquete esférico cuya base tiene un radio de 1 cm. a) ZON ESFÉRIC = π 15 55,49 cm 15 cm b) = 15 1 = 9 cm 1 cm y = 15 9 = 15 cm CSQUETE ESFÉRICO = π 15 55,49 cm 1 cm y 7 Halla el área de: a) Un prisma recto cuya base es un rombo de diagonales 1 cm y 0 cm, sabiendo que su arista lateral mide 4 cm. b) Una pirámide recta con la misma base y la misma arista lateral que el prisma anterior. c) Un cuboctaedro de 10 cm de arista. d) Un dodecaedro truncado de 10 cm de arista. l 0 l = 10 + = 13 = 11, ROMO = 0 1 = 10 cm P ROMO = 4,5 cm 1 a) PRISM = ROMO + P ROMO 4 = 1 359, b) Cara lateral de la pirámide: potema de la pirámide: ap = = 4,97 4 cm ap 4 cm LTERL = 4 l ap/ = 115,90 cm SE = 10 cm l PIRÁMIDE = 35,9 cm

13 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe c) cuadrados 8 1 = 10 = 00 cm 8 triángulos 8 = 8 ( /) : = 34,41 cm TOTL = 94,41 cm Pág. d) 1 pentágonos y 0 eágonos. Área de un pentágono de lado 10 cm: 1 = 5 10,88 = 17 cm Área de un eágono de lado 10 cm: = 10 8, = 59,80 cm TOTL = = 70 cm

14 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 03 Pág. 1 1 Calcula el volumen de estos prismas, obtenidos cortando un cubo de 1 cm de arista: 1 C V = 13 = 84 cm3 V = = C V = 13 = 84 cm3 Calcula el volumen de estas pirámides cuyas bases son polígonos regulares: 15 cm 1 cm 15 cm 15 cm = + 8,49 cm = 15 8,4 1,37 cm V = ,37 593,7 3 1 cm 15 cm = ,9 cm = 8 4,93 cm V = 1 3 8,93 1,9 703,53 cm 3

15 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 3 Calcula el volumen del tronco de cono y el del tronco de pirámide. Pág. 5 cm 5 cm = = 15 cm V CONO MYOR = 1 3 π 8 0 = 1 340,41 cm V CONO MENOR = 1 3 π 15 = 55,49 cm 3 V TRONCO DE CONO = 1 340,41 55,49 = 774,9 cm 3 4 cm = 8 4,93 cm V PIRÁMIDE MYOR = 1 3 8,93 0 = 1 108, 3 3 y y = 3 5, cm V PIRÁMIDE MENOR = 1 3 5, 15 = 4 3 V TRONCO DE PIRÁMIDE = 1 108,8 48 = 40, 3 4 Se corta una esfera de 3 de diámetro por dos planos paralelos: uno pasa por el centro y el otro dista 1 cm del centro. 3 Calcula el volumen de cada una de las 18 tres porciones en las que a quedado 1 18 dividida la esfera. 18 1) V PORCIÓN (1) CILINDRO = π 18 1 = 3 888π cm 3 V TRONCO (1) CONO = 1 3 π 1 1 = 57π cm 3 V PORCIÓN (1) ESFER = 3 888π 57π ,95 cm

16 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe ) V PORCIÓN () CILINDRO = π 18 = 1 944π cm 3 Pág. 3 V PORCIÓN () CONO = 1 3 π π 1 1 = 1 38π cm 3 V PORCIÓN () ESFER = 1 944π 1 38π 1 809, π 183 3) V PORCIÓN (3) ESFER = = 1 14,51 cm 3

17 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 05 Pág. 1 1 El metro, unidad de medida de longitud, se definía antiguamente como la diezmillonésima parte de un cuadrante de meridiano terrestre. Es decir, un meridiano terrestre tiene de metros. Según esto: a) Calcula el radio de la Tierra en kilómetros. b) Su superficie en kilómetros cuadrados. c) Su volumen en kilómetros cúbicos. d) Calcula el área de un uso orario. a) Meridiano = Perímetro = π R = m = km R 3, km b) Superficie = 4π ( 3,) = ,1 km c) Volumen = 4 3 π ( 3,)3 = 1, km 3 d) Área uso orario = ,1 4 = ,5 km Los paralelos son circunferencias menores. Calcula lo que mide el perímetro de los siguientes paralelos: a) 0 b) 30 c) 45 a) R = radio de la tierra = 3, km r = radio del paralelo 0 = R = 3 183,1 km R r = 0 r R Perímetro = π 3 183, km b) r = radio del paralelo 30 = ( 3,) (3 183,1) 5 513,3 km Perímetro = π 5 513, ,1 km c) r = radio del paralelo 45 r + r = R 8 r = 3, 8 r = 4 501,58 km Perímetro = π 4 501,58 = 8 84, km R 45 r 45 r 3 Un barco va de un punto, situado en las costas de África de 30 latitud norte y 10 longitud oeste, a otro, en las costas de mérica de 30 latitud norte y 80 longitud oeste, siguiendo el paralelo común. a) Qué distancia a recorrido?

18 10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe b) Qué distancia recorrería si la diferencia de longitudes de los dos puntos fuera de 180? c) Qué distancia recorrería en este último caso si pudiera navegar de un punto a otro siguiendo un arco de círculo máimo? a) Entre y ay un arco de = 70. Como emos visto en el ejercicio anterior (ejercicio ), el perímetro del paralelo 30 es 34 41,1 km. Por tanto, la distancia de a es 3441, ,77 km b) 3441,1 = 17 30,55 km c) = ,33 km 30 Pág. 4 En Río de Janeiro (43 O) son las 7 de la mañana. Qué ora es en Hirosima (13 E)? Río de Janeiro 43 Oeste Hirosima 13 Este Hay 1 oras de diferencia. Por tanto, en Hirosima son las 7 de la tarde. Otra forma de acerlo es: 13 = Hirosima está en el uso orario número 9 al este. 43 = Río de Janeiro está en el uso orario número 3 al oeste. Están, pues, a 1 usos orarios de diferencia. Por tanto, en Hirosima son las 7 de la tarde (19 ).

19 10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 09 Pág. 1 Practica Desarrollos y áreas 1 Dibuja el desarrollo plano y calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos: a) b) 1 cm 19 cm 10 cm 10 cm 4 cm a) Hallamos la altura de la base: = = = 3 5 = 11 8 Área base = 8 = 11 3,3 cm 10 3,3 = 1,5 cm Área lateral = (Perímetro base) altura = 19 = 41 Área total = ,5 = 451 cm b) Hallamos e y (alturas de las caras laterales): y = = = ,9 cm 1 = y + 8 y = y 11, Área de las caras laterales: 1 = 10 10,9 = 54,5 cm ; = 4 11,8 Área de la base = 10 4 = 40 cm Área total = ,5 + 3, = 19, cm = 3,

20 10 Soluciones a Ejercicios y problemas Calcula la superficie total de cada cuerpo: Pág. a) b) c) d) 3 cm 5 cm 5 cm 4 cm a) Área base = π 4 50,7 cm 3 cm Área lateral = π ,4 cm Área total = 50,7 + 75,4 = 175,94 cm b) Área base = π 3 8,7 cm 5 cm g Hallamos la generatriz: g = g 5,83 cm Área lateral = π 3 5,83 54,95 cm Área total = 8,7 + 54,95 = 83, cm c) potema del eágono: d) 5 cm a ltura del triángulo: = 5 3 = 1 8 = 4 cm Área de un triángulo = 4 = 1 cm Área total = 93, + 1 = 15, a = 3 = 7 8 a = 7 5, cm Área del eágono: 5, = 93, 5 cm 4 cm Área de la superficie esférica = 4π 4 = 01,1 cm 3 Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área: a) Prisma de altura 0 cm y cuya base es un rombo de diagonales 1 y 1 cm. b) Pirámide eagonal regular de arista lateral 1 y arista básica.

21 10 Soluciones a Ejercicios y problemas a) Hallamos el lado del rombo: 0 cm D d d = 1 cm D = 1 9 = + 9 = = 117 = , Área lateral = 4(0 10,8) = 85, Área base = 18 1 = 10 Área total = 85, = 1 081, b) Área de una cara lateral: = = = ,75 cm Área = 17,75 Área de la base: a = 3 8 a = 7 8 a = 7 5, cm Área = 5, = 93, Área total = 319,5 + 93, = 413,1 cm = 53,5 cm Área lateral = 53,5 = 319,5 cm a 3 cm Pág. 3 4 Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área: a) Cilindro de altura 7 cm y cuya circunferencia básica mide 44 cm. b) Tronco de cono generado al girar, alrededor de su altura, un trapecio rectángulo de bases 10 cm y 1 cm y altura 5 cm. r a) Radio de la base: πr = 44 8 r = 44 π = π 7 cm Área base = r = π ( π ) = 154,1 cm Área lateral = (πr) = π π 7 = 1 18 Área total = 154, = 1 49, cm b) 10 cm Área base menor = π 10 = 100π 314 cm g 5 cm Área base mayor = π 1 = 144π 45,1 1 cm Área lateral = π(r + r ) g 5 cm g cm g = 5 + = = 9 8 g = 9 5,39 cm Área lateral = π(10 + 1) 5,39 37,34 cm Área total = 37, ,1 = 1 138,50 cm

22 10 Soluciones a Ejercicios y problemas 5 Halla el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases tienen de lado 30 cm y 14 cm y cuya arista lateral mide 17 cm. Pág cm 17 cm Área base menor = 14 = 19 Área base mayor = 30 = 900 cm Área lateral: = : = 8 30 cm = 17 8 = 5 8 = 15 cm Área trapecio = ( ) 15 = 330 cm Área lateral = = 1 30 cm Área total = = 41 Calcula el área total de los siguientes poliedros semirregulares de arista : C Área de un eágono regular de de lado: ap = 8 4 = 48 8 ap = 48,93 cm ap 8 Área = 8,93 = 1,3 cm Área de un triángulo equilátero de de lado: = 8 4 = 48 8 = 48,93 cm Área = 8,93 = 7,7 cm ÁRES DE LOS POLIEDROS ) Seis cuadrados y oco triángulos. = ,7 = 05,7

23 10 Soluciones a Ejercicios y problemas ) Pág. 5 Seis cuadrados y oco eágonos. = ,3 = 1 714,5 C) Tiene 18 cuadrados y 8 triángulos. = ,7 = 1 373,7 7 Haciendo girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 cm y 1 cm alrededor de cada uno de ellos, se obtienen dos conos. Dibújalos y alla el área total de cada uno de ellos. a) Área base = π 1 = 144π cm 9 cm g Área lateral: 1 cm g = = 5 8 g = 5 = 15 cm = π 1 15 = 180π cm b) Área total = 144 π + 180π = 34π 1 017,8 1 cm 9 cm g = 15 cm Área base = π 9 = 81π cm Área lateral = π 9 15 = 135π cm Área total = 81π + 135π = 1π 78,5 8 Calcula el área total del tronco de cono generado al girar este trapecio isósceles alrededor de una recta perpendicular a sus bases en su punto medio: Calculamos la generatriz: g = + 8 g = 40,3 cm 5 cm 5 cm 9 cm g 9 cm cm Área lateral = π(r + r )g = π(4,5 +,5),3 = 138,9 Área de las bases = π 4,5 + π,5 = 83,5 cm Área total = 138, ,5 =,3 cm

24 10 Soluciones a Ejercicios y problemas 9 Calcula la superficie de: a) Un prisma recto pentagonal regular cuyas aristas miden, todas, 10 cm. b) Un dodecaedro regular de arista 10 cm. Pág. a) potema del pentágono =,8 S SE = 5 10,88 = 17 cm S LTERL = = 500 cm S TOTL = = 844 cm b) S TOTL = S PENTÁGONO 1 = 17 1 = 04 cm Volúmenes 10 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: a) Octaedro regular de arista 10 cm. b) Pirámide eagonal regular cuya arista lateral mide 15 cm y la arista de la base. c) Cono de radio 9 cm y generatriz 15 cm. d) Semiesfera de radio 10 cm. e) Cilindro inscrito en un prisma recto de base cuadrada de lado y altura 1. a) Podemos descomponerlo en dos pirámides cuadrangulares de arista 10 cm. 10 cm 10 cm = 10 5 = 75 8 = 75 cm = 5 = 75 5 = cm 8 = 50 7,07 cm Volumen de la pirámide: V = 1 3 (Área base) altura = ,07 35,7 cm 3 Volumen del octaedro = 35,7 471,34 cm 3 b) Calculamos la altura de la pirámide: 15 cm = 15 8 = 11 8 = 11 1,9 cm Hallamos el área de la base: a = 8 4 = 48 8 a = 48,93 cm Área = 8,93 = 1,3 cm

25 10 Soluciones a Ejercicios y problemas Pág. 7 a Volumen = 1 3 (Área base) = 1 3 1,3 1,9 703,53 cm3 c) Hallamos la altura: 9 cm 15 cm = 15 9 = = 144 = 1 cm Área de la base = πr = π 3 = 9π cm d) Volumen = 1 3 (Área base) = 1 3 9π 1 = 3π 113,1 cm3 10 cm V = πr 3 = π 103 = 4 000π 094,4 cm 3 e) Radio del cilindro = 3 cm 1 V = πr = π 3 18 = 1π 508,94 cm 3 r

26 10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 10 Pág Calcula el volumen de estos cuerpos: a) b) 7 cm c) d) 8,4 cm 8,4 cm 9 cm 1 4 m,5 m 5 m 8 m 1 cm 1 cm a) V = cm 3 9 cm V = 10 3 b) 7 cm V = πr V = π 7 18 = 88π cm 3 1 V = 770,8 3 c) 4 m 4 m,5 m 8 m,5,5 4 m 5 m V 1 = π,5 4 = 5π m 3 V = π,5 4 = 1,5π m 3 Volumen total: 5π + 1,5π 117,81 m 3 d) 8,4 cm 8,4 cm 1 cm 1 cm 8,4 cm 1 cm = 8,4 = 34,5 8 5,8 Área de la base = 1 5,88 = 35, Volumen = Área base altura = 35,8 5 = 740,8 3

27 10 Soluciones a Ejercicios y problemas 1 Calcula el volumen de estos dos prismas regulares. En ambos, la arista de la base mide 10 cm y la altura,. Pág. potema del pentágono =,8 P. PENTGONL P. OCTOGONL potema del octógono = 1,07 cm Superficie de la base del prisma pentagonal = 10 5,88 Superficie de la base del prisma octogonal = ,07 V PRISM PENTGONL = 17 8 = V PRISM OCTOGONL = 48,8 8 = 38,4 cm 3 13 Calcula el volumen de este tetraedro regular: 17 cm 48, D H D O C O C Para allar la altura H, recuerda que O =, donde es la altura de una cara. 3 = 8 4 = 48 = 48,93 O =,93 = 4, 3 Área de la base: = 8,93 = 7,7 cm Calculamos la altura del tetraedro: H = 8 4, 8 H,53 cm 4 cm Volumen = 1 3 7,7,53 = 0,34 cm3 14 Calcula el volumen de estos cuerpos: 4 m 10 m 5 m 15 m m 8 m

28 10 Soluciones a Ejercicios y problemas a) Pág. 3 5 m 10 m 5 3 m V CONO = 1 3 πr = 1 3 π 3 5 = 15π m 3 V CILINDRO = πr = π 3 5 = 45π m 3 5 m V SEMIESFER = πr 3 = 3 π 33 = 18π m 3 m 3 m 3 m V TOTL = 15π + 45π + 18π = 78π 45,04 m 3 b) V CILINDRO GRNDE = π R = π 4 15 = 40π m 3 V CILINDRO PEQUEÑO = π 15 = 0π m 3 V TOTL = 40π 0π = 180π 55,49 m 3 15 Resuelto en el libro del alumno 1 Calcula el volumen de un tronco de cono de radios 1 cm y 1 y altura 0 cm. Calculamos las alturas de los conos que forman el tronco: 1 = = = 40 8 = 0 cm = = 80 cm V TRONCO = V CONO MYOR V CONO MENOR = = 1 3 π π 1 0 = 3 = 50 3 π 58,43 cm Resuelto en el libro del alumno

29 10 Soluciones a Ejercicios y problemas 18 Se corta una esfera de 50 cm de diámetro por dos planos paralelos a y 15 cm del centro, respectivamente. Halla el volumen de la porción de esfera comprendida entre ambos planos. Pág V PORCIÓN CILINDRO = π 50 (15 8) = π cm 3 V TRONCO DE CONO = 1 3 π π 50 8 = 5 833,33π cm 3 V PORCIÓN ESFER = V PORCIÓN CILINDRO V TRONCO CONO = = π 5 833,33π = 11,7π cm ,9 cm 3

30 10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 11 Pág. 1 Coordenadas geográfi cas 19 Dos ciudades tienen la misma longitud, 15 E, y sus latitudes son 37 5' N y 35' S. Cuál es la distancia entre ellas? R a b a = 37 5' b = 35' Tenemos que allar la longitud del arco correspondiente a un ángulo de a + b = 37 5' + 35' = 0 Distancia = πr 0 30 = π ,5 km 0 Cuando en el uso 0 son las 8 a.m., qué ora es en el tercer uso al E? Y en el quinto al O? En el uso 3 E son tres oras más, es decir, las 11 a.m. En el uso 5 O son cinco oras menos, es decir, las 3 a.m. 1 La milla marina es la distancia entre dos puntos del ecuador cuya diferencia de longitudes es 1'. Calcula la longitud de una milla marina. 1' = 1 grados; radio de la Tierrra: R 370 km 0 Milla marina 8 πr = πr 1 00 π ,85 km Roma está en el primer uso al E y Nueva York, en el quinto al O. Si un avión sale de Roma a las 11 p.m. y el vuelo dura 8, cuál será la ora local de llegada a Nueva York? = oras menos en Nueva York que en Roma. 11 p.m. + 8 = a.m. ora de Roma. 19 = 13 p.m. = 1 a.m. es la ora de llegada a Nueva York. 3 Un avión tiene que ir de a, dos lugares diametralmente opuestos en el paralelo 45. Puede acerlo siguiendo el paralelo (P) o siguiendo la ruta polar (N). Cuál es la más corta? N P 45 R Hallamos el radio del paralelo 45 : R = + = 8 = R = ,7 km 8 = R = R S

31 10 Soluciones a Ejercicios y problemas Por tanto, la longitud del arco P, es: L P = π 4504,7 π 4 504, ,41 km El radio de la Tierra es R 370 km. Para ir de a por la ruta N, se abarca un ángulo de = 90 sobre el meridiano. Por tanto, la longitud del arco N es: L N = πr 90 = πr = πr 30 4 π ,9 km La ruta más corta es la polar. Pág. Piensa y resuelve 4 Cuál es la superficie del mayor tetraedro que cabe dentro de un cubo de 10 cm de arista? C D C D C D C D C 10 cm D El lado,, de los triángulos equiláteros que forman el tetraedro es la diagonal de una de las caras del cubo. 14,14 cm = ,14 cm = 14,14 7,07 1,5 cm 14,14 cm El área del triángulo es: = 14,14 1,5 8,1 cm El área del tetraedro es: T = 4 8,1 = 34,44 cm 5 Seccionamos un cubo como indica la figura. Cuál es el volumen de las partes seccionadas? Tomamos como base el triángulo rectángulo: Área base = 5,5 =,5 cm 5 cm = 5 cm 4 cm El volumen de la menor parte seccionada será: V = (Área base) =,5 5 = 31,5 cm 3 Volumen de la parte mayor seccionada: V = ,5 = 93,75 cm 3,5 cm

32 10 Soluciones a Ejercicios y problemas Cortamos un prisma triangular regular por un plano perpendicular a las bases y que pasa por el punto medio de dos aristas. Calcula el volumen de los dos prismas que se obtienen. Área del triángulo equilátero de lado 8 m: = 8 4 = 48 8,93 m 10 m 8 m Pág. 3 = 8,93 7,71 m Área del triángulo equilátero de lado 4 cm: 8 m 4 4 ' = 4 =,93 m 10 m 8 Volumen del prisma pequeño: V 1 = ( SE ) =,93 10 = 9,3 m 3 Para obtener el volumen del prisma grande, restamos V 1 al volumen del prisma triangular inicial: V = 7,71 10,93 10 = 07,8 m 3 7 Un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos miden, se ace girar alrededor de la ipotenusa. Halla el volumen del cuerpo que se forma. Se forman dos conos iguales cuya altura es la mitad de la ipotenusa. a = = 18 8 a = 11,31 cm r = 8 ( a ) = 4 3 = 3 8 r 5, r a Radio de la base: r = 5, ltura = = a = 11,31 = 5,5 a r V CONO = 1 π 5, 5, = 189,7 cm3 3 V TOTL = 189,7 = 379,34 cm 3 r 8 El desarrollo de la superficie lateral de un cono es un sector circular de 10 de amplitud y cuya área es 84,7. Halla el área total y el volumen del cono. Generatriz del cono: πg 84,78 = g = 3 84,78 π Radio de la base: πr = l 8 g 9 cm l 10 g π 9 l = πr = π 8 r = 3 cm 8 18π = 3l 8 l = π cm 3 9

33 10 Soluciones a Ejercicios y problemas Área base = π 3 = 9π 8,7 Área lateral = 84,78 Área total = 8,7 + 84,78 = 113,05 cm Pág. 4 ltura del cono: = 9 3 = 7 8 8,49 cm Volumen cono = 1 3 (Área base) = 1 8,7 8,49 80 cm3 3 9 Un cilindro y un cono tienen la misma superficie total, 9π cm, y el mismo radio,. Cuál de los dos tendrá mayor volumen? H g Área total del cilindro = π + π 84πH = 9π 8 H = 1,14 cm Volumen del cilindro = π 1,14 = 18,93 cm 3 Área total del cono = π + π g 8 3π + πg = 9π 8 8 πg = 0π 8 g = 10 cm ltura del cono: = 10 = 4 8 = Volumen del cono = 1 3 π 8 301,59 cm 3 Tiene mayor volumen el cono. 30 Calcula el volumen de los cuerpos de revolución que genera cada una de estas figuras planas al girar alrededor del eje indicado: 4 cm 7 cm 3 cm 3 cm 3 cm 7 cm 4 cm 3 cm V CILINDRO = π 3 4 = 3π cm 3 V CONO = 1 3 π 3 3 = 9π cm 3 3 cm V TOTL = 3π + 9π = 45π = 141,37 cm 3

34 10 Soluciones a Ejercicios y problemas Pág V SEMIESFER = π 33 = 18π cm 3 V CONO = 1 3 π 3 3 = 9π cm 3 V TOTL = 18π + 9π = 7π = 84, 3 31 Truncando un icosaedro regular de 30 cm de arista emos obtenido este poliedro semirregular (troncoicosaedro). a) Cuántos vértices y caras tiene el icosaedro? b) Cuántos pentágonos y cuántos eágonos forman la superficie del poliedro obtenido tras el truncamiento? c) Calcula la superficie de este último. a) El icosaedro tiene 1 vértices y 0 caras. b) 0 eágonos y 1 pentágonos. c) Las aristas del poliedro truncado miden 10 cm. potema de una cara eagonal = 8, potema de una cara pentagonal =,8 Superficie de una cara eagonal = 10 8, 59, Superficie de una cara pentagonal = 10 5,88 17 cm Superficie del poliedro = 0 59, = 70 cm

35 10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 1 Resuelve problemas Pág. 1 3 Tres pelotas de tenis se introducen en una caja cilíndrica de, de diámetro en la que encajan asta el borde. Halla el volumen de la parte vacía. ltura del cilindro =, 3 = 19, V CILINDRO = π 3,3 19,8 77,4 cm 3 V ESFERS = 3 ( 4 3 π ) 3,33 = 451,3 V PRTE VCÍ = 77,4 451, = 5, 3, 33 Queremos construir un tubo cilíndrico soldando por los lados un rectángulo de de largo y 0 cm de anco. Cómo se consigue mayor volumen, soldando por los lados de o por los de 0 cm? r 0 cm 0 cm Radio: πr = 8 8 r = 14 π cm Volumen: πr = π ( 14 π ) 0 = 1 47,77 cm 3 Radio: πr = 0 8 r = 10 π cm Volumen: πr = π ( 10 π ) 8 = 891,7 cm 3 Se consigue mayor volumen soldando por los lados de 0 cm. r 34 Se introduce una bola de piedra de 14 cm de diámetro en un recipiente cúbico de 14 cm de arista lleno de agua y después se retira. Calcula: a) La cantidad de agua que se a derramado. b) La altura que alcanza el agua en el recipiente después de sacar la bola. a) V CUO = 14 3 = 744 cm 3 14 V GU DERRMD = V ESFER = 4 3 π ,7 3

36 10 Soluciones a Ejercicios y problemas b) V GU NO DERRMD = ,7 = 1 307,4 cm 3 Pág. ltura que alcanza el agua: 1 307,4 = 14 8 =,7 cm Una finca se abastece de agua desde el pilón que ves en la figura, y que aora está lleno. Para regar, se abre un desagüe que desaloja un caudal de 5 litros por segundo. Se podrá mantener el riego durante diez oras sin reponer sus eistencias? 50 m 5 m 5 m 10 m 1,8 m Capacidad del pilón = 10 1, π 5 1,8 880,9 m 3 = litros Gasto en diez oras = = litros El gasto en diez oras es superior a la capacidad del pilón. Por tanto, no se puede regar durante diez oras sin reponer las eistencias de agua. 3 Cortamos un cubo por un plano que pasa por los puntos MNC'' (M y N son los puntos medios de las aristas D y DC, respectivamente). M D N C 1 cm C' ' D' Calcula el área total y el volumen del menor de los poliedros que se forman. M D N C N D M 1 cm ' C' 1 cm ' D' C' ' D' Triángulo MDN : = = 1 Triángulo 'D'C' : = 1 1 = 7 cm

37 10 Soluciones a Ejercicios y problemas Caras laterales: trapecios. Pág. 3 M 1 D 1 cm 1 = (1 + ) 1 = 10 ' 1 cm D' MN = + = 7 8 MN = 7 8,49 cm M N 'C' = = 88 8 'C' = 88 = 1,97 cm 'P = 1,97 8,49 = 4,4 cm C' P ' M' = 1 + = M' = 13,4 cm = 13,4 4,4 8 1,73 cm Área = (8,49 + 1,97) 1,73 1,05 cm Área total del poliedro = ,1 = 48,1 cm 37 En un cine, las palomitas se vendían asta aora en recipientes del tipo, por 1,50. El gerente está pensando en ofertar también otro formato,, más grande. Cuál crees que debería ser el precio del formato? Redondea a las décimas de euro. 0 cm 0 cm 0 cm 15 cm 0 cm 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm 10 5 = = = 15 cm 15 cm 5 V CONO GRNDE = 1 3 π , 3 V CONO PEQUEÑO = 1 3 π ,7 cm 3 V = V CONO GRNDE V CONO PEQUEÑO 748,9 cm 3

38 10 Soluciones a Ejercicios y problemas 0 cm 0 cm 0 cm 10 cm 5 10 cm 10 5 = = = 0 cm V PIRÁMIDE GRNDE = ,33 cm 3 V PIRÁMIDE PEQUEÑ = ,7 cm 3 V = V P. GRNDE V P. PEQUEÑ 4,7 cm 3 Pág. 4 Precio del recipiente = 4,7 1,5 748,9 El recipiente se venderá a,50 euros.,54 38 Un agricultor tiene un pozo cilíndrico de 5 metros de diámetro y una capacidad de 100 metros cúbicos. Pero no está lleno; de eco, si se aleja más de,5 metros del borde, ya no ve el agua. Calcula la profundidad del agua, sabiendo que el agricultor mide 1,80 m de estatura. 5 m 1,80 m,5 m Si es la profundidad del pozo: V POZO = 100 = π,5 8 = 5,10 m Si es la profundidad del agua: 1,80,5 = 5,10 8 = 1,10 m 5 Problemas + 39 Cortando y soldando una varilla de 3 m de longitud, se a construido la estructura de un farol con forma de octaedro regular. Cuál es la altura del farol? El octaedro tiene 1 aristas iguales. Cada una de ellas mide 300 : 1 = 5 cm. La altura del octaedro coincide con la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado: = ,3

39 10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 13 Pág Describe y calcula la longitud del trayecto más corto que debe recorrer la lagartija para ir de a en cada caso. m 1 m 1 m m m m 3 m m m m En el tercer caso, y son centros de dos caras en una pirámide recta cuadrangular cuyas aristas miden, todas, metros. π 1 =,8 d PIRÁMIDE 1 d CUO 1 3 d CILINDRO d CUO = ,1 m d CILINDRO =, m d PIRÁMIDE = m 41 verigua si cabe: a) Un tetraedro regular de arista 4 u, dentro de un cubo de arista 4 u. b) Un cubo de arista 1 u, dentro de una esfera de diámetro 0 u. c) Un cubo de arista 10 u, dentro de un cono de 15 u de altura y radio de la base 15 u. d) Una esfera de radio 4 u, dentro de un octaedro regular de arista 10 u. a) Sí cabe. El mayor tetraedro que cabe dentro de un cubo tiene como arista la diagonal del cubo, que mide 5,5 u. rista TETREDRO = diagonal CUO = 4 5, u b) La diagonal del lcubo mide 1 3 = 0,78 u. Por tanto, el cubo no cabe dentro de la esfera. c) Sí cabe, porque la sección del cono, a 10 u de altura, tiene de radio 5 u, que es igual a la mitad de la diagonal de la cara superior del cubo. d) La distancia del centro del octaedro a cada cara es de 4,08 u, mayor que el radio de la esfera. Por tanto, sí cabe.

40 10 Soluciones a Ejercicios y problemas Refleiona sobre la teoría Pág. 4 a) Qué poliedro obtienes si tomas como vértices los centros de las caras de un octaedro regular? b) Qué relación ay entre dos poliedros duales? a) Se obtiene un cubo. b) El número de caras de un poliedro coincide con el número de vértices de su dual, y ambos tienen el mismo número de aristas. 43 Eplica cómo emos de truncar el dodecaedro para obtener el icosidodecaedro. Es un poliedro semirregular? Por planos que pasan por los puntos medios de las aristas. Es un poliedro semirregular, porque está formado por triángulos y pentágonos regulares y concurren 4 caras en cada vértice. 44 Cuáles son los planos de simetría de un ortoedro de base cuadrada? Y los ejes de giro? De qué orden es cada uno de ellos? Son 5 planos de simetría: Dos pasan por los puntos medios de las aristas de la base. Dos pasan por los vértices opuestos de las bases. (Estos cuatro planos corresponden a los ejes de simetría del cuadrado). Uno pasa por los puntos medios de las aristas laterales. Tiene 5 ejes de giro: Un eje de giro de orden cuatro: la recta perpendicular a las bases por su punto medio. Dos ejes de giro de orden dos: las rectas paralelas a las bases que pasan por el centro de cada dos caras paralelas. Dos ejes de giro de orden dos: las rectas que pasan por los puntos medios de dos aristas laterales opuestas.

41 10 Soluciones a Ejercicios y problemas 45 Si en un cono reducimos a la mitad el radio de la base y mantenemos la misma altura, el volumen se reduce a la mitad? Y si mantenemos la misma base y reducimos la altura a la mitad? Pág. 3 I II V CONO I = 1 3 πr R R/ V CONO II = 1 3 π ( R ) = 1 3 πr 4 El volumen se reduce a la cuarta parte. I V CONO I = 1 3 πr R / II R V CONO II = 1 3 πr = 1 3 πr Sí, el volumen se reduce a la mitad. 4 Una pirámide de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base y que pasa por el punto medio de la altura. Cuál será la relación entre los volúmenes de la pirámide grande y la pequeña? / El lado de la nueva base es la mitad de la arista básica de la pirámide. l/4 l l/ V PIRÁMIDE GRNDE = 1 3 l V' = V PIRÁMIDE PEQUEÑ = 1 3 ( l ) = 1 3 l 8 V V' = Un cubo y una esfera tienen la misma área. Cuál tiene mayor volumen? Comprueba tu respuesta dando un valor cualquiera al radio de la esfera. R l Radio de la esfera: 10 cm 4πR = l 8 4π 10 = l l = 400π 8 l = 14,47 cm Volumen cubo = 14,47 3 = 3 031,01 cm 3 Volumen esfera = 4 3 π 103 = 4 188,79 cm 3 Tiene mayor volumen la esfera.

42 10 Soluciones a Ejercicios y problemas 48 Piensa en una esfera y en el cilindro que la envuelve. Pág. 4 a) Calcula la relación: Superficie total del cilindro Superficie de la esfera b) Calcula también la relación: Volumen del cilindro Volumen de la esfera c) Qué observas? R R Has de saber que dicas relaciones ya las descubrió rquímedes ace más de dos mil años. a) S c = πr R πr = 3 S e 4πR b) V c V e = πr R 4 3 πr 3 = 3 c) S c S e = V c V e 49 Observa en la figura la semiesfera, el cono invertido y el cilindro, todos del mismo diámetro (0 cm) y altura (10 cm), que se an cortado por un plano orizontal a de altura a) Calcula la superficie de las secciones obtenidas. b) Comprueba que la sección obtenida en el cilindro equivale a la suma de las otras dos. c) Comprueba que esa misma relación se cumple para cualquier altura del plano,. d) Comprueba que esa relación se cumple para cualquier radio, r, y cualquiera que sea la altura,, a la que se corta el plano. a) R R = 10 = 10 S S. SEMIESFER = π 8 01,0 4 R' = R' 8 R' = S S. CONO = π 113,10 cm R'' = 10 S S. CILINDRO = π ,1

43 10 Soluciones a Ejercicios y problemas b) S S. SEMIESFER + S S. CONO = 4π + 3π = 100π = S S. CILINDRO Pág. 5 c) Para un cualquiera: R = 10 ; R' = ; R'' = 10 S S. SEMIESFER = π (10 ) S S. CONO = π S S. CILINDRO = π 10 d) Para r y cualesquiera: S S. SEMIESFER + S S. CONO = π 10 = S S. CILINDRO S S. SEMIESFER = π (r ) S S. CONO = π S S. CILINDRO = πr S S. SEMIESFER + S S. CONO = πr = S S. CILINDRO

44 10 Soluciones a Y para terminar PÁGIN 15 Pág. 1 Imagina en el espacio Cubo a trozos Con estas cuatro piezas se construye el cubo que ves. Copia este desarrollo del cubo en papel cuadriculado y completa las caras con su color correspondiente.

45 10 Soluciones a la utoevaluación PÁGIN 15 Has reforzado tu conocimiento de los poliedros regulares y lo as ampliado a los semirregulares? Pág. 1 1 Describe el poliedro que se obtiene truncando un octaedro regular mediante planos que cortan las aristas a un tercio del vértice. Se trata de un poliedro semirregular? Eplica por qué. Se obtiene un cuerpo geométrico formado por cuadrados, uno por cada vértice del octaedro y 8 eágonos regulares, uno por cada cara del octaedro. En cada uno de sus vértices concurren un cuadrado y dos eágonos. El octaedro así truncado es un poliedro semirregular porque está compuesto por caras que son polígonos regulares de dos tipos, cuadrados y eágonos, y en cada vértice concurren los mismos tipos de polígonos. Has aprendido a identificar los planos de simetría y los ejes de giro de una figura de tres dimensiones? Describe los planos de simetría del octaedro regular. Di también cuáles son los ejes de giro y de qué orden es cada uno. Planos de simetría. Tiene, en total, 9. De las 1 aristas del octaedro, cada cuatro están contenidas en un mismo plano. Cada uno de estos planos es un plano de simetría. De estos, ay 3. Cada par de aristas paralelas forman un plano. El plano perpendicular a cada uno de estos es un plano de simetría. De estos, ay. Ejes de giro. Tiene, en total, 13. Tres ejes de giro de orden cuatro, las rectas que unen vértices opuestos. Seis ejes de giro de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas. Cuatro ejes de giro de orden tres, las rectas que unen los baricentros de caras opuestas. Dibujas el desarrollo y calculas la superficie de las figuras espaciales básicas? 3 Calcula la superficie total de: a) Una pirámide de base cuadrada en la que la arista lateral y la arista de la base son iguales y miden 10 cm. b) Un tronco de cono cuyas bases tienen radios de 9 m y m, y la generatriz, 5 m. a) 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm 5 10 cm = , S PIRÁMIDE = ( 10 8, ) 73,1 cm

46 10 Soluciones a la utoevaluación b) m Pág. 9 m 5 m S TRONCO DE CONO = π( + 9) 5 + π + π 9 = = 19π 03,19 m 4 En una esfera de de radio se dan dos cortes paralelos a distinto lado del centro, alejados de él cm y 3 cm respectivamente. Calcula la superficie de la zona esférica comprendida entre ambos cortes. La altura de la zona esférica es = 5 cm. S ZON ESFÉRIC = π 8 5 = 80π 51,33 cm Calculas el volumen de los cuerpos geométricos más usuales? 5 Calcula el volumen de estos cuerpos: 1 m 5 cm C 4 cm 7 m 9 m 3 m m V = = 48 m 3 ltura del cono: = 5 4 = 3 cm V = 1 3 π π π 43 50,7 + 40, ,04 = 58,43 cm 3 C 4 + = 8 = 1 8 = V TRONCO = = 4 cm 3 4 De una lámina cuadrada se corta un sector circular aciendo centro en uno de sus vértices,, y tomando como radio el lado del cuadrado, que es de 1. Con ese sector se construye un cono. Halla el radio de su base, su altura y su volumen. 1 Longitud del arco = 1 (π 18) = 9π 4 Radio de la base del cono: 9π = πr 8 R = 4,5 cm ltura del cono: = 18 4,5 17,43 cm Volumen del cono: V = 1 3 π 4,5 17,43 39, 3 1 R = 4,5 cm

47 10 Soluciones a la utoevaluación Sabes interpretar las coordenadas geográficas y los usos orarios? Pág. 3 7 Dos ciudades están en el ecuador y sus longitudes se diferencian en 10. Cuál es la distancia entre ellas? = La distancia entre las ciudades es, aproimadamente, de 1111 km. 8 Las coordenadas geográficas de Melilla son 35 17' N 5' O, y las de Tokio, 35 4' N 139 4' E. a) Cuál es el uso orario de cada una? b) Qué ora es en Tokio cuando en Melilla son las 8 de la mañana? a) El uso orario de Melilla es el cero, y el de Tokio, el 9. b) Cuando en Melilla son las 8 de la mañana, en Tokio son las 5 de la tarde.