Primer Trabajo Especial

Transcripción

1 FIUSAC, Depto. de Matemática, Matemática Aplicada 5N Primer Trabajo Especial Algebra y geometría de complejos Prof. José Saquimux bjetivo Ilustrar el uso del algebra y representaciones gracas de complejos, y sistemas algebraicos por computadora (SAC) en el estudio, análisis y descripción de algunas cantidades y dispositivos electricos ac elementales. Elaboracion y entrega Realizar las actividades solicitadas en grupos de trabajo colaborativo de no más de tres integrantes. Fecha de entrega: Lunes 13/ de marzo / Desarrollo y presentación del reporte Los textos explicativos, fórmulas, grácas, etc. que se requieran; deben crearse, ejecutarse y presentarse en un sistema de algebra computacional (el que preera). Corriente neutral en un sistema trifásico 1. Tres fases en uso, cargas balanceadas La Figura 1 muestra el esquema de un sistema trifásico de corriente alterna Y con neutro aterrizado balanceado, Fase B, I amps B I B Fase A, I amps I A I A Fase C, I amps I A Neutro, 0 amps I A 120 C I C A Figura 1: Tres fases en uso, cargas balanceadas. Las corrientes alternas en cada fase tienen la misma magnitud I y están desfasadas entre sí 120 = 2π/3. i A (t) = I sin(ωt), i B (t) = I sin(ωt + 2π/3), i C (t) = I sin(ωt 2π/3) (1) 1

2 Esas corrientes pueden representarse como fasores (números complejos) y visualizarse como tres vectores de posición (su cola en el origen) y con rotaciones equiangulares entre ellos en el plano complejo, Fig. 1. Ĩ A = I 0, ĨB = I 120. ĨC = I 120 (2) Donde los módulos de los fasores o longitudes de los vectores representan las amplituudes de la corrientes y los argumentos o ángulos de los fasores representan los angulos de desfase de las corrientes en ωt. Si i N (t) denota la corriente neutral, por la ley de corrientes de Kirchho en el nodo, en el tiempo, se cumple, i a (t) + i b (t) + i c (t) + i n (t) = 0 (3) I sin(ωt) + I sin(ωt + 2π/3) + I sin(ωt 2π/3) + i n (t) = 0 (4) Si ĨN denota el fasor de corriente neutral, por la ley de corrientes de Kirchho en el nodo, con fasores, se cumplen las ecuaciones fasoriales, Ĩ A + ĨB + ĨC + ĨN = 0 (5) I 0 + I I I N θ = 0 (6) (Nota: Según el cálculo o gráca, debe decidir si trabaja en modo Deg o Rad) 1. Usando identidades trigonométricas del seno de una suma y resta de ángulos, de la Ecuación (4) muestre que un sistema balanceado i N (t) = Usando SAC, en un mismo sistema de coordenadas graque i A (t), i B (t), i C (t), y i N (t) = (i A (t) + i B (t) + i C (t)) y verique que de la Ecuación (4), i N (t) = 0 (debe gracar con ωt como variable independiente y suponer un valor concreto para I, 2π ωt 2π) 3. Usando operaciones con complejos, de la Ecuación (6) muestre que en un sistema trifásico balanceado, el fasor corriente neutral I N θ = 0 4. Usando SAC para gracar los fasores de corriente y su suma en el plano complejo, de la Ecuación (6) ilustre que I N θ = 0 (suponga un valor concreto para I) 2. Dos fases en uso, cargas balanceadas La Figura 2 muestra el esquema de un sistema trifásico de corriente alterna Y con neutro aterrizado, dos fases en uso y cargas balanceadas, Las corrientes alternas en las fases A y B tienen la misma magnitud I, mientras que la magnitud de la corriente en la fase C gradualmente se aumenta para valores menores que I. i A (t) = I sin(ωt), i B (t) = I sin(ωt + 2π/3), i C (t) = I C sin(ωt 2π/3), con 0 I C < I (7) Esas corrientes se visualizan como fasores en el plano complejo, Fig. 2. Ĩ A = I 0, ĨB = I 120, ĨC = I C 120, con 0 I C < I (8) 2

3 Fase B, 10 amps B I B Fase A, 10 amps 2 A 10 A 4 A 6 A Fase C 10 A 8 A variable 10 A 0 10 amps C varía I C I A A Neutro Figura 2: Dos fases en uso, cargas balanceadas. Por la ley de corrientes de Kirchho en el nodo, en el tiempo, se cumple, i a (t) + i b (t) + i c (t) + i n (t) = 0 (9) I sin(ωt) + I sin(ωt + 2π/3) + I C sin(ωt 2π/3) + i n (t) = 0, con 0 I C < I (10) En forma fasorial se tiene, Ĩ A + ĨB + ĨC + ĨN = 0 (11) I 0 + I I C I N θ = 0, con 0 I C < I (12) 1. Usando identidades trigonométricas del seno de una suma y resta de ángulos, de la Ecuación (10) muestre que un sistema no balanceado i N (t) 0, cuando 0 I C < I. 2. Suponga I = 10 y valores de I C en 0 I C < 10. Usando SAC (en modo dinámico o con deslizadores), en un mismo sistema de coordenadas graque i A (t), i B (t), i C (t), y i N (t) = (i A (t) + i B (t) + i C (t)), describa la variación y determine el intervalo de variación de la amplitud de i N (t) al variar I C en el intervalo indicado. Determine si varia su ángulo de desfase de I N y que valor toma aproximadamente (debe gracar con ωt como variable independiente, 2π ωt 2π) 3. Suponga I = 10 y 0 I C < 10. Usanso SAC (elaborando tabla de valores) a partir de la Ecuación (12) I N θ = (I 0 + I I C 120 ); con 0 I C < I determine algunos valores que toma la amplitud de I N (use comando abs) y su fase (use comando arg), al variar I C en el intervalo indicado. Haga las grácas de abs(i N ) en función de I C y arg(i N ) en función de I C. 4. Usando SAC para gracar los fasores de corriente (vectores) y su suma en el plano complejo, de la Ecuación (6) ilustre grácamente las variaciones de I C 120 e I N θ 3

4 2. Dos fases en uso, cargas no balanceadas La Figura 3 muestra el esquema de un sistema trifásico de corriente alterna Y con neutro aterrizado y dos fases en uso y cargas no balanceadas, Fase B, 10 amps B I B Fase A, 0 amps Fase C variable 0 10 amps varía 10 A 2 A 4 A 6 A 8 A 10 A C I C Neutro Figura 3: Dos fases en uso, cargas no balanceadas. La magnitud de la corrientes en la fase B es de 10 amps. La corriente en la fase A es cero, mientras que la magnitud de la corriente en la fase C gradualmente se aumenta para valores en 0 I C < 10. i A (t) = 0, i B (t) = 10 sin(ωt + 2π/3), i C (t) = I C sin(ωt 2π/3), con 0 I C < 10 (13) Esas corrientes se visualizan como fasores en el plano complejo, Fig. 3. Ĩ A = 0, ĨB = , ĨC = I C 120, con 0 I C < 10 (14) Por la ley de corrientes de Kirchho en el nodo, en el tiempo, se cumple, i b (t) + i c (t) + i n (t) = 0 (15) En forma fasorial se tiene, 10 sin(ωt ) + I C sin(ωt 120 ) + i n (t) = 0, con 0 I C < 10 (16) Ĩ B + ĨC + ĨN = 0 (17) I C I N θ = 0, con 0 I C < 10 (18) 1. Usando identidades trigonométricas del seno de una suma y resta de ángulos, de la Ecuación (16) determine la expresión de i N (t), cuando 0 I C < 10. 4

5 2. Suponga I B = 10 y valores de I C en 0 I C < 10. Usando SAC (en modo dinámico o con deslizadores), en un mismo sistema de coordenadas graque i B (t), i C (t), y i N (t) = (i B (t) + i C (t)), describa la variación y determine el intervalo de variación de la amplitud de i N (t) al variar I C en el intervalo indicado. Determine si varia su ángulo de desfase de I N y qué valores toman aproximadamente (debe gracar con ωt como variable independiente 2π ωt 2π) 3. Suponga I B = 10 y 0 I C < 10. Usanso SAC (elaborando tabla de valores) a partir de la Ecuación (18) I N θ = ( I C 120 ); con 0 I C < I determine algunos valores de I C, y determine el menor valor que toma I N. (varíe I C de 10 en 10) 4. Usando SAC para gracar los fasores de corriente y su suma en el plano complejo, de la Ecuación (6) ilustre grácamente las variaciones de I C 120 e I N θ. 5. Suponga I A = 3, I B = 10 y 0 I C < 10. Usanso SAC (elaborando tabla de valores) a partir de la ecuación I N θ = ( I C 120 ); con 0 I C < I determine algunos valores de I C, y determine el menor valor que toma I N. 6. Suponga I A = 8, I B = 10 y 0 I C < 10. Usanso SAC (elaborando tabla de valores) a partir de la ecuación I N θ = ( I C 120 ); con 0 I C < I determine algunos valores de I C, y determine el menor valor que toma I N. 3. Sistema trifásico no balanceado operando a diferentes factores de potencia En los anteriores problemas hemos supuesto que los águnos de desfase de corrientes eran 0, 120 y 120, en este caso se dice que los factores de potencia de las cargas por fase son iguales a 1. En la practica los factores de potencia no son iguales a 1, es decir los ángulos de desfase entre ellas no es igual a 120. Suponga un sistema trifásico no balanceado con factores de potencia no iguales a 1, (el desfase entre ellas no es 120.) i A (t) = 4 cos(ωt 10π/180), i B (t) = 10 cos(ωt + 125π/180), i C (t) = I C cos(ωt 100π/180) (19) con 0 I C Suponga que I C en 0 I C < 12. Usando SAC (en modo dinámico o con deslizadores), en un mismo sistema de coordenadas graque i A (t), i B (t), i C (t), y i N (t) = (i A (t) + i B (t) + i C (t)), describa la variación y determine el intervalo de variación de la amplitud de i N (t) al variar I C en el intervalo indicado. Determine si varia su ángulo de desfase de I N y qué valores toman aproximadamente (debe gracar con ωt como variable independiente 2π ωt 2π) 2. Suponga que 0 I C < 12. Usanso SAC (elaborando tabla de valores) a partir de la Ecuación (18) I N θ = ( I C 100 ); con 0 I C < 10 determine algunos valores de I C, y determine el menor valor que toma I N. 5

6 Diagrama fasorial de una línea de transmisión corta La Figura 4 muestra el circuito equivalente de una línea corta (menos de 80 Kms. aproximadamente, a 60 Hz) de transporte de transmisión de energia eléctrica, donde I S e I R son, respectivamente, las corrientes en los extremos transmisor y receptor y V S y V R las tensiones entre fase y neutro en esos mismos puntos. + R jωl + Generador V V S V R Carga I S I R Figura 4: Circuito equivalente de una línea de transporte corta. Puesto que I S = I R, tomando V R como fasor de referencia, y suponiendo la corriente en extremo receptor I R θ, la tensión en el extremo distribuidor es, V S = V R + I R θz (20) donde X = ωl, V S = V R + I R θ(r + jωl) (21) V S = V R + RI R θ + jxi R θ (22) Suponiendo la corriente en el extremo receptor en retraso, un diagrama fasorial correspondiente a la Ecuación (22) se ilustra en la Figura 5. Figura 5: Diagrama fasorial de una línea corta. 6

7 Suponga los siguientes valores ideales: V R = 8, I R = 4, R = 1/2, X = 1 y θ variable en el intervalo 90 θ Usando la Ecuación (22), elabore una tabla de valores numéricos que presente valores de: θ, V S y V S, cuando θ varía en 90 θ 90, tomando valores de 10 en Usando sus valores encontrados, haga las grácas de V S y V S en función de θ. 3. Usando GeoGebra u otro software, elabore el diagrama fasorial de la Ecuación (22) con los datos proporcionados, similar al de la Figura 5. Su diagrama debe ser dinámico e interactivo, que permita visualizar los lugares geométricos de la corriente I R θ y V S (los semicirculos que generan las puntas de los fasores al variar θ, en intervalo indicado). Debe presentar copias cuando: θ = 90, 90 < θ < 0, θ = 0, 0 < θ < 90 y θ = De los valores calculados y grácas, determine los valores de θ que hacen que V S tome su menor y mayor valor. Referencias Grainger, J., Stevenson, W. (1996) Análisis de sistemas de potencia. México. McGraw Hill- Interamericana de México, S.A. 3. McPartland, J. F.(1970) How to make electrical calculations. New York. USA. Publilshed by Electrical Construction and Maintecance. MacGraw-Hill Publication. 4. Saadat, H. (1999) Power System Analysis. WCB/McGraw-Hill. USA - 7