Análisis Combinatorio

Transcripción

1 Análisis Combinatorio Trabajo a realizar de este tema: En Excel 2003 hoja 1, prepara un(os) cuadro(s) sinópticos o mapas conceptuales o mapas mentales que sinteticen los capítulos: 0701 Análisis combinatorio, 0702 Variaciones, 0703 Permutaciones y 0704 Combinaciones que se entregará dos días después de terminar el tema 0704 Combinaciones. El nombre del archivo deberá ser: ANALISIS APELLIDO NOMBRE A mano, realizarás los problemas 4 y 5 de este tema, el cual se entregará de acuerdo al protocolo indicado al principio de este periodo. Se calificará de la siguiente manera: + Ortografía (2 puntos) Protocolo de envío: + Asunto: mal anotado el 100% del trabajo + Nombre (1 punto) + Comentario (2 punto) + Nombre del archivo (1 punto) + Versión diferente a 2003 (7 puntos) En el trabajo solución, tanto en Excel como el trabajo escrito: Comentario o conclusión del trabajo (2 punto) Ortografía: (1 punto)) Nombre Universidad Carrera Materia Tema Fecha (La ausencia total o de alguna parte restará 1 punto) A continuación, y sin dejar hoja en blanco, el desarrollo del trabajo (1 punto menos de no cumplirlo). Se calificará la realización de las síntesis. ANALISIS COMBINATORIO 0701 ANALISIS COMBINATORIO.doc 1

2 Análisis Combinatorio Que es el Análisis Combinatorio? Principio Aditivo Principio multiplicativo Que es el Análisis Combinatorio? El Análisis Combinatorio es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número. Para realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos, nos apoyaremos en los conceptos de variaciones, permutaciones y de combinaciones, los cuales tienen como base: el principio aditivo y el principio multiplicativo Principio Aditivo Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de Ejemplo: M + N W maneras Si se quiere viajar a Querétaro, se puede hacer por avión o por autobús, hay dos líneas aéreas disponibles, y tres de autobuses, de cuantas formas se puede ir a Querétaro? ANALISIS COMBINATORIO 0701 ANALISIS COMBINATORIO.doc 2

3 Tenemos las alternativas siguientes: M = 2 líneas aéreas, y N = 3 líneas de autobuses, por lo tanto tenemos = 5 maneras de viajar a Querétaro El principio aditivo Si una elección de un grupo I puede ser hecha de n maneras y una elección de un grupo II puede ser hecha de m maneras, entonces el número de elecciones posibles desde los grupos I y II puede ser hecha de m + n maneras. Condición necesaria: Los elementos del grupo I no son los mismos elementos del grupo II. Esto puede ser generalizado a una sola selección de más de dos grupos, nuevamente con la condición que todos los grupos o conjuntos sean disjuntos, es decir que no tengan elementos en común. Ejemplos para ilustrar el principio aditivo: 1) Consideremos tres conjuntos de letras que llamamos conjuntos I, II y III. I = a, m, r II = b, d, i, l,u III = c, e, n, t Cuántos modos hay para elegir una letra de los conjuntos I, II y II. Nótese que estos tres conjuntos son disjuntos o mutuamente excluyentes, es decir no hay elementos en común entre ellos. Solución: Para elegir una letra del conjunto I hay 3 maneras, para elegir una letra del conjunto II hay 5 maneras y para elegir una letra del conjunto III hay 4 maneras. Luego para elegir una letra de entre los tres conjuntos hay 12 maneras (3+5+4). ANALISIS COMBINATORIO 0701 ANALISIS COMBINATORIO.doc 3

4 2) sean los dos siguientes conjuntos de enteros positivos: A = 2, 3, 5, 7, 11, 13 B = 2, 4, 6, 8, 10, 12 Cuántas maneras hay de elegir un entero desde los conjuntos A y B. Nótese que los dos conjuntos no son disjuntos. Que modificación podemos hacerle al principio aditivo para este caso? Trate de escribir esa modificación. Solución: Para elegir un número del conjunto A tenemos 6 maneras y para elegir un número del conjunto B tenemos 6 maneras, pero como tenemos un número en común sólo tenemos 5. Luego para elegir un número entre A y B tenemos 11 maneras. Y tendríamos que modificar el principio aditivo restando la cantidad de elemntos repetidos Principio Multiplicativo Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál consta de varios pasos, donde el primer paso puede ser realizado de M maneras, el segundo paso puede realizarse de N maneras... y la último de los pasos puede ser realizado de W manera, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de Ejemplo: M N... W maneras Una persona tiene para vestirse 2 pantalones y tres camisas, de cuantas formas diferentes se puede vestir? Tenemos las series de pasos: M = 2 pantalones, y N = 3 camisas Por lo tanto, la persona puede vestirse de 2 3 = 6 maneras. Un matrimonio decide comprar una radio y una cocina. Si en el lugar donde harán la compra hay 4 tipos de radio y 2 clases de cocina de cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez? ANALISIS COMBINATORIO 0701 ANALISIS COMBINATORIO.doc 4

5 Tenemos las alternativas siguientes: M = 4 tipos de radio, y N = 2 clases de cocina, por lo tanto tenemos 4 2 = 8 maneras de comprar una radio y una cocina PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Si una tarea involucra dos etapas y la primera etapa puede ser completada de n formas y la segunda de m formas, entonces hay n m modos de completar la tarea. Esto puede ser generalizado completando una tarea en más de dos etapas o tantas como las condiciones lo impongan. Ejemplo para ilustrar el principio multiplicativo 1) Usando nuestro tres conjuntos I, II y II. Determinar el número de conjuntos de tres letras que pueden ser creados tales que una letra sea de I, una de II y la otra de III. Solución: De I podemos elegir una letra de 3 maneras, de II de 5 maneras y de III de 4 maneras, luego podemos elegir una letra de cada conjunto de = 60 maneras Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo. El principio multiplicativo y el aditivo nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera. ANALISIS COMBINATORIO 0701 ANALISIS COMBINATORIO.doc 5

6 Problemas: 1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga (8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? 2 ) Federico Buenrostro desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del Paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte, a) Cuántas maneras diferentes tiene Federico de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) Cuántas maneras tiene Federico de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio de transporte en que se fue?. 3) Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? 4) Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números (X X X - # # # #), si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a) Si es posible repetir letras y números, b). No es posible repetir letras y números, c) Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b) empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b) empiezan por la letra D seguida de la G. ANALISIS COMBINATORIO 0701 ANALISIS COMBINATORIO.doc 6

7 5) Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a) Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b) El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c) Cuántos de los números telefónicos del inciso b) empiezan por el número siete?, d Cuántos de los números telefónicos del inciso b) forman un número impar?. ANALISIS COMBINATORIO 0701 ANALISIS COMBINATORIO.doc 7