Distribucionesχ 2,Fytnocentrales Def:SeanX 1,,X ν va.independientestalesquex i N(ξ i,1).luego: U= ν. dondeelparámetrodenocentralidadesδ=

Transcripción

1 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Distribucionesχ 2,Fytnocentrales Def:SeanX 1,,X ν va.independientestalesquex i N(ξ i,1).luego: U= ν ν,δ i=1 X2 i χ 2 dondeelparámetrodenocentralidadesδ= ν i=1 ξ2 i SepuedeverquesiY i N(0,1)independientesentonces: U =(Y 1 +δ) 2 + ν i=2 Y2 i U =(Y 1 +δ) 2 +χ 2 ν 1 1/2. Propiedades: E(χ 2 ν,δ )=ν+δ

2 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Var(χ 2 ν,δ )=2ν+4δ 2 Sumadeχ 2 nocentralesindependientes: SiU 1 χ 2 ν1,δ 1 independientedeu 2 χ 2 ν2,δ 2,entonces U 1 +U 2 χ 2 ν 1 +ν 2,(δ 2 1 +δ2 2 )1/2 Distribución F no central: Def:SiU 1 χ 2 ν1,δ 1 independientedeu 2 χ 2 ν 2,tenemosque U 1 /ν 1 U 2 /ν 2 F ν 1,ν 2,δ 1 esdecir,f nocentraldeν 1 yν 2 gradosdelibertadyparámetrodenocen-

3 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN tralidadδ 1. Distribución t no central: Def:SeanX N(δ,1)independientedeU χ 2 ν,tenemosque X U/ν t ν,δ esdecir,tnocentralconνyparámetrodenocentralidadδ. Observación:Notemosquet ν,δ=f 1,ν,δ PotenciadeltestdeF ConsideremoslabaseortonormaldeIR n : α 1,...,α q,α q+1,...,α r,α r+1,...,α n

4 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN donde V r q :{α q+1,...,α r } V r :{α 1,...,α q,α q+1,...,α r } Por lo tanto, y R n = y= n z jα j = α iy=z i j=1 ysidefinimosatcomolamatrizquetienefilasα i,entonces Observemos que bajo el modelo Ω donde z=ty z i independientesyz i N(ξ i,σ 2 ) ξ r+1 =ξ r+2 = =ξ n =0 Bajo el modelo restringido ω, tenemos que ξ 1 =ξ 2 = =ξ q =0

5 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Usamos el estadístico F: donde ˆη ˆη ω 2 qs 2 = s 2 = n i=r+1 z2 i n r q i=1 z 2 i qs 2 Yaprobamosque{z 1,,z q }y{z r+1,,z n }sonindependientesycomo E(z i )=0sii r+1= n i=r+1 Sinembargo,siH 0 escierta de lo contrario z i σ 2 = (n r)s 2 q i=1 z i σ σ 2 χ 2 n r 2 χ 2 q z i σ N(ξ i σ,1)

6 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN q i=1 z i 2 χ 2 σ q,δ conδ 2 = q i=1 ξ i σ 2 Porlotanto,siH 0 noescierta ylapotenciadeltestserá: donde F= ˆη ˆη ω 2 qs 2 F q,n r,δ P(F q,n r,δ F q,n r,α ) δ= q i=1 ξ i σ 2

7 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Cómo se calcula δ en términos de los parámetros originales? en consecuencia z=ty= z i =α iy= n Tenemos las siguientes igualdades: j=1 α ijy j = ξ i =E(z i )=α iη ξ i =E(z i )= n yreemplazandoalasz i sobtenemos j=1 α ijη j ˆη ˆη ω 2 = q σ 2 δ 2 = q ˆη ˆη ω 2 = q i=1 σ 2 δ 2 = q i=1 i=1 z2 i i=1 ξ2 i n j=1 α ijy j n j=1 α ijη j 2 2

8 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN ConlocualobtenemoslaRegla1:BajoelmodeloΩ obtenemosσ 2 δ 2 reemplazandoenlasumadecuadrados ˆη ˆη ω 2 caday i por su valor esperado. Cuadrados Medios EneldenomiradordelestadísticoFtenemos:s 2 = y ˆη 2 n r ysuesperanzaes σ 2. En el numerador del estadístico F tenemos: ˆη ˆη ω 2 q = i=1 zi 2 q q luego ˆη E ˆη ω 2 =E q = 1 q q i=1 z 2 i q q i=1 E(z2 i)

9 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN q = 1 qi=1 (σ2 +ξi) 2 =σ 2 +q 1 σ 2 δ 2 Podemoscalcularσ 2 δ 2 conlaregla1.observemosqueenrealidadaquíno es necesaria la normalidad, sólo alcanza con tener el modelo Ω :E(Y)=Xβ Σ=σ 2 I Cómo quedaría en el caso de regresión lineal? Ω:Y i =β 0 +β 1 x i +ɛ i ɛ i N(0,σ 2 )independientes Consideremos H 0 :β 1 =0 H 1 :β 1 0

10 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Bajoω=Ω H 0 tenemosquey i =β 0 +ɛ i,entonceselestimadordemínimos cuadradosserá ˆ β 0 =Y. Para calcular la potencia necesitamos: ˆη ˆη ω 2 = n ( β ˆ 0 + β ˆ 1 x i Y) 2 i=1 Usando la Regla 1, reemplazamos por los valores esperados bajo Ω: σ 2 δ 2 = n i=1 β 0 +β 1 x i n i=1 (β 0+β 1 x i ) n 2 = n = n i=1 (β 0+β 1 x i β 0 β 1 x) 2 i=1 β 1 2 (x i x) 2 =β 1 2 n i=1 (x i x) 2

11 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN porlotanto δ 2 = β 1 2 n i=1 (x i x) 2 σ 2 AnálisisdelaVarianzade1Factor(ANOVA1) EnelAnálisisdelaVarianzade1Factornosinteresacompararlasmediasdek poblaciones.supongamosquetenemoskpoblacionesyllamamosβ 1,,β k asusmediasyqueademáscadapoblaciónsedistribuyesegúnunanormaly todastienenlamismavarianzaσ 2. Es decir, observamos y 11,y 12,...,y 1j...,y 1n1 N(β 1,σ 2 ) y 21,y 22,...,y 2j...,y 2n2 N(β 2,σ 2 ) y k1,y k2,...,y kj...,y knk N(β k,σ 2 )

12 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN dondey ij eslaj-ésimaobservacióndelai-ésimapoblación,todasindependientes. Entotalsetienenn= k i=1 n i observaciones. Podemos escribir este modelo como. Deseamos testear: y ij =β i +ɛ ij i=,,k j=1,,n i ɛ ij N(0,σ 2 ) independientes H 0 :β 1 = =β k H 1 : existeni j:β i β j Podríamos escribir esto en forma matricial definiendo:

13 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Y= y 11 y y 1n1 y 21 y y 2n2 y k1 y k2... y knk ;X= ;β= β 1 β β k donderg(x)=k.enconsecuenciaenestemodelotodaslasfuncionesdela formac βsonestimables.

14 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Ejemplo(ANOVA 1) En la siguiente tabla se muestran los porcentajes de contenido de ácidos grasos no saturados activos(papfua) presentes en 6 margarinas dietéticas: IMPERIAL PARKAY BLUE BONNET CHIFFON MAZOLA FLEISCHMANN S Las preguntas que se plantean los investigadores son: a)sedeseasabersihaydiferenciasenloscontenidosmediosdepapfuade las 6 margarinas consideradas. b) La margarinas Mazola y Fleischmann s son de tipo cereal, mientras que las otras son de tipo soja. Interesa obtener un intervalo de confianza para β 1 +β 2 +β 3 +β 4 4 β 5+β 6 2.

15 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Enestecasok=6,n 1 =n 3 =n 4 =n 6 =4yn 2 =n 5 =5,porlotanto n=26 Volvamos al caso general Buscamos minimizar: luego S(β)= k S(β) = 2 n r β r Porlotanto,paracadar=1,...,k i=1 n i j=1 (y ij β i ) 2 j=1 (y rj β r )=0 r=1,,k ˆ β r = n r j=1y rj n r =Y r. Porotrolado,minimizarbajoω=Ω H 0 esbuscarelmínimode S (β)= k i=1 n i j=1 (y ij β) 2

16 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN luego y en consecuencia ˆ β= S (β) β = 2 k k i=1 n i j=1y ij n i=1 n i j=1 (y ij β)=0 =Y.. (= Para calcular el estadístico F necesitamos: ˆη ˆη ω 2 = k i=1 Y ˆη 2 = k i=1 n i j=1 (Y i. Y.. ) 2 = k n i k i=1 n i y i. ) n i=1 n i(y i. Y.. ) 2 (Y ij Y i. ) 2 = k (n i 1)si 2 j=1 i=1 SumadeCuadradosEntreGrupos= ˆη ˆη ω 2 :esunamedidapesadadispersión de las k poblaciones respecto de la media general. SumadeCuadradosDentrodelosGrupos= Y ˆη 2 :esunamedidacombinada

17 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN de la dispersión dentro de cada muestra. La hipótesis nula a testear H 0 :β 1 = =β k se puede escribir H 0 :β 2 β 1 = =β k β 1 =0

18 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN queesdelaforma Cβ= β β k = donderg(c)=k 1,luegoq=k 1yporlotanto,elestadísticodeltest será: F= ˆη ˆη ω 2 /(k 1) Y ˆη ω 2 /(n k) yrechazaremosh 0 si F>F k 1,n k,α

19 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN ContodoestopodemosarmarlaTabladeAnálisisdelaVarianzade1Factor queeslasalidatípicademuchosprogramasqueseutilizanparacalculareste test(ver Cuadro 2). SC g.l. M.S. E(M.S.) F Entre k i=1 n i (Y i. Y.. ) 2 k 1 (1)= k i=1 n i (Y i. Y.. ) 2 k 1 σ 2 +(k 1) 1 k n i (βi β.. ) 2 i=1 (1)/(2) Dentro n i k i=1j=1 (Y ij Y i. ) 2 n k (2)= n i k (Y ij Y i. ) 2 i=1j=1 n p σ 2 Tot. Cor. n i k i=1j=1 (Y ij Y.. ) 2 n 1 Cuadro2:TabladeANOVA BajoΩ,FtieneunadistribuciónFnocentralconparámetrodenocentralidad

20 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN dadoporlaregla1: σ 2 δ 2 = k i=1 n i(β i β.. ) 2 dondeβ.. = k i=1 n i n β i Si la hipótesis de igualdad de medias es rechazada, seguramente nos desearemosidentificaraquellasβ i quedifierenentresí,estaremosinteresadosenlas diferenciasβ i β j. Otras veces, como en el ejemplo, podrían interesarnos algunas combinaciones particulares, tales como β 1 β 2+β 3 2 o 1 2 (β 1+β 2 ) 1 3 (β 3+β 4 +β 5 ) Estas son combinaciones lineales de los parámetros de la forma: p i=1 c iβ i con p i=1 c i=0 Estas combinaciones reciben el nombre de contrastes. Podríamos utilizar cualquiera

21 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN de los métodos vistos, si estuviéramos interesados en muchos contrastes el métodos de Scheffé podría ser el más adecuado. Para algunos casos particulares veremos el método introducido por Tukey. Por ahora volvamos al ejemplo: margarinas -read.table( C: Users Ana ModeloLineal doctex margarinas.txt,header=t) margarinas PAPFUA TIPO attach(margarinas) tipo.f - factor(tipo) plot(tipo.f,papfua)

22 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN salida - aov(papfua tipo.f) anova(salida) Analysis of Variance Table Response: PAPFUA

23 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Df Sum Sq Mean Sq F value Pr( F) tipo.f e-12 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Comoelp-valorespequeñísimoeltestdeFrechazalahipótesisdeigualdaddemedias. Tests simultáneos para diferencias de medias Bonferroni: α = 0,05 forma: dondet 20,0,002 =3,331 α 2( 6 2) =0,05/30=0,002.Cadaintervaloesdela y i. y j. ±t 20,0,002 s n i n j ,975 17,140 14,100 13,825 13,100 12,

24 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Hay tres grupos de medias que no son significativamente diferentes. Scheffé:α=0,05 Vamosaprobarqueencontxtodelmodeloy ij =β i +ɛ ij,β j β 1.,j=2,...,k esunabasededimensiónk 1quegeneraelsubespaciodetodosloscontrastes yporlotanto la probabilidad de que todos los contrastes satisfagan simultáneamente las desigualdades ˆ ψ± (k 1)F k 1,n k,α s k i=1 c2 i/n i es1 α Cadaintervaloesdelaforma: y i. y j. ± (k 1)F k 1,n k,0,05 s n i n j

25 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN y i. y j. ± 5F 5,20,0,05 s n i n j dondef 5,20,0,05 =2, ,975 17,140 14,100 13,825 13,100 12,800 La conclusión es la misma Ejercicio Adicional de la Práctica 3: programar estos dos tipos de intervalos.

26 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Intervalo de Confianza para el contraste buscado en b) Bonferroni: α = 0,05 Elintervaloesdelaformageneral: yenestecaso ˆ ˆ ψ±t n r,0,05/2 var( ˆ ψ) ˆ ˆ ψ±t n k,0,05/2 var( ˆ ψ) dondet 20,0,05 =2,086 Tenemos que ˆ ψ = ˆβ 1 +ˆβ 2 +ˆβ 3 +ˆβ 4 5 +ˆβ 6 ˆβ 4 2 = y 1.+y 2. +y 3. +y 4. y 5.+y = 4,1015

27 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Además: ˆ var( ψ)=s ˆ El inetervalo resultante es =0,0473 ( 4,1015 2,086 0,0217, 4,1015+2,086 0,0217) =( 4,199972, 4,002528) Otra parametrización Otra manera de escribir el modelo sería y ij =µ+α i +ɛ ij donde: µ:eselefectogeneral α i :eselefectodeltratamientoi

28 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN En ese caso tendríamos Y= y 11 y y 1n1 y 21 y y 2n2.. y k1 y k2... y knk ;X= ;β= µ α 1 α 2... α k Son todas las funciones estimables en este modelo?

29 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN EsclaroquelamatrizdediseñoXtienerg(X)=k<p=k+1yporlo tanto no toda función paramétrica es estimable. Yavimosenelcasok=3que,porejemplo,α 1 noesestimable. De acuerdo con el Teorema que probamos muchas clases atrás deberíamos incluir una restricción adicional. Para lograr la identificabilidad de los parámetros son frecuentes: α k =0 o k i=1 α i=0 etc. Esmuyusadalarestricción k i=1 α i =0,queesnaturalyaque: η ij =E(y ij )=µ+α i =µ+α+α i α = µ+ α i donde k i=1 α i=0 Notemos que usando esta restricción tenemos que: η ij = E(y ij )=µ+α i = η.j =kµ

30 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN porlotanto = µ=η.j α i =η ij η.j ˆµyˆα i estánunívocamentedeterminadosporlosˆη ij : ˆµ=ˆη.j ˆα i =ˆη ij ˆη.j Si quisiéramos plantear las ecuaciones normales para estimar los parámetros podríamos plantear: S µ = 2 k n i (y ij µ α i )=0 i=1j=1 S = 2 n i α (y ij µ α i )=0 i j=1 k i=1 α i =0 restricciónadicional

31 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Por lo tanto: nµ+ k k n iα i = k n iy i. i=1 i=1 µ+α i =y i. i=1 α i=0 Notemos que la primera ecuación es dependiente de las k siguientes. Luego: ˆµ= k y i. i=1k ˆα i =y i. k y j. j=1k queestánunívocamentedeterminadosporlosy ij Volviendo al tema de comparaciones múltiples Método de Tukey MientraselmétodoSdeSchefféutilizaladistribuciónF,estemétodousala distribucióndelrangostudientizadoq l,ν,quepresentaremosacontinuación.

32 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN El método T sirve para realizar contrastes simultáneos que involucran I parámetros(θ 1,...,θ I )conlarestriccióndequesusestimadoresˆθ i tenganigualvarianza.dealĺı,queenprincipioenelcontextodeanova1factorasumiremos quen i =m i=1,...,k Deduciremoselmétodoparaelcasoenqueˆθ i sonindependientesyloscontrastesdeinterésdelaformaθ i θ j. Def.:Distribucióndelrangostudientizadoq I,ν :Seanx 1,x 2,...,x I v.a.independientestalesquex i N(0,1),R=máx 1 i I x i mín 1 i I x i yu χ 2 ν independientedelasx i s. Entonces: máx 1 i I x i mín 1 i I x i U ν = R U ν q I,ν Teorema de Tukey Seanˆθ i v.a.independientes1 i I,talesqueˆθ i N(θ i,a 2 σ 2 ),cona>0 constanteconocidays 2 unestimadordeσ 2,independientedeˆθ i i,ytalque

33 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN νs 2 σ 2 χ2 ν.entonces Laprobabilidaddequetodaslos 1 2 I(I 1)diferenciasθ i θ j satisfagansimultáneamente ˆθ i ˆθ j Ts θ i θ j ˆθ i ˆθ j +Ts dondet=aq I,ν,α es1 α. Ejemplo: Supongamos que queremos comparar las medias de 4 tratamientos: T 1,T 2,T 3 yt 4 ynosinteresanloscontrastes: α i α j queesequivalenteacompararβ i β j. Sabemosque ˆβ i =y i. yquey 1.,...,y 4. sonindependientes.ademásy i. N(β i, σ2 n i ).ParapoderusarTukey,entoncesn i =m i. Por lo tanto: P( i,j y i. y j. q 4,4m 4,α s 1 m β i β j y i. y j. q 4,4m 4,α s 1 m )

34 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Extensiones del Método de Tukey 1. Teorema de Tukey Bajo las condicones del Teorema anterior la probabilidad de que todos los contrastesdelaformaψ= I i=1 c i θ i, I i=1 c i =0satisfagansimultáneamente ˆψ Ts I i=1 c i /2 ψ ˆψ Ts I dondet=aq I,ν,α y ˆψ= I i=1 c iˆθ i,es1 α. i=1 c i /2 2. Método de Tukey Kramer Para el caso de muestras de diferente tamaño hay diferentes propuestas para extender el método de Tukey. El método T K aplicadoalproblemadeanova1factorparan i observacionesparacadanivel i,i=1,,k,proponelosintervalos y i. y j. q k,n k,α s 1 2 (1 + 1 ) β i β j y n i n i. y j. q k,n k,α s j 1 2 (1 + 1 )) n i n j

35 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Volvamos a nuestro ejemplo de las margarinas salida - aov(papfua tipo.f) anova(salida) FLUOR.tuk -TukeyHSD(salida, tipo.f,ordered=false,conf.level=0.99) plot(fluor.tuk)

36 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN % family wise confidence level Differences in mean levels of tipo.f

37 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN Comparación de los métodos para ANOVA 1 Factor Notemosquelstrestiposdeintervalossondelamismaformayquepara comparar sus longitudes basta considerar: r T,S = long.tukey q k,ν,α c i /2 long.scheffe = i=1 k (k 1)F k 1,ν,α r B,S = long.bonferroni long.scheffe k = t ν,α/(k(k 1)) i=1 c2 i (k 1)Fk 1,ν,,α r T,B = long.tukey long.bonferroni =r T,S r B,S En la siguiente tabla extraída de Stapleton(1995) mostramos los cocientes paracontrastesdelaformaβ i β j paraα=0,05,k=3,5,7,10,ν=10,.

38 Modelo Lineal A. M. Bianco FCEyN