2 Para cada uno de los siguientes números de cromos, averigua si se pueden colocar en forma de rectángulo y si tiene más de una solución:

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1 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess Resuellve Parra empezarr Azucena tiene 4 cromos de las mismas dimensiones y quiere colocarlos formando un rectángulo de varias filas y varias columnas. Puede hacerlo? Cuántas filas y cuántas columnas debe tener el rectángulo? Podría haber formado otros rectángulos diferentes? Si tiene 4 cromos, podrá ponerlos en 6 filas x 7 columnas 4 cromos, o viceversa, de filas x columnas ( y al revés) y de filas x 4 columnas ( y al contrario). Para cada uno de los siguientes números de cromos, averigua si se pueden colocar en forma de rectángulo y si tiene más de una solución: a)) 8 b)) 46 c)) 8 d)) 4 e)) 9 ff)) 00 a)) 8 4 x 7 x 4 y los que se obtienen conmutando los factores de cada producto. b)) 46 filas x columnas y viceversa. c)) 8 9 x 9 d)) 4, sólo se puede colocar en forma de rectángulo de fila o de una columna, ya que el número es primo. e)) 9 sucede lo mismo que con el anterior, ya que también es primo. ff)) 00 filas x 50 columnas 4 filas x 5 columnas 0 filas x 5 columnas y sus factores conmutados. Escribe la tabla de multiplicar del 6, pero en lugar de llegar hasta 6 x 0, continúa hasta 6 x 5. Los números que van apareciendo en la tabla son los múltiplos de 6. Se obtiene el mismo resultado contando de 6 en 6? Escribe, por estos mismos procedimientos, los primeros 5 múltiplos de 8. Múltiplos de 6 x 6 6 x 6 x x x x x x x x 6 60 x 6 66 x 6 7 x x x 6 90 Sí: x 6 6 x x x x x Matemáticas ESO S.M.

2 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess Múltiplos de 8 x 8 8 x 8 6 x x 8 5 x x x x x x 8 80 x 8 88 x 8 96 x x 8 5 x 8 0 x 8 8 x x x x x x Averigua, mentalmente, cuáles de las divisiones siguientes son exactas: 50: 6: 9 : 45: 5 75:8 45: 6:6 50:5 50 : 5 6 : 9 7 : 45 : : 8 No 45 : No 6 : 6 No 50 : 5 0. Para practicar Un número está comprendido entre 65 y 40 y es múltiplo de 45. De qué número se trata? 45 x x x 5 45 x x x x x x x Luego se trata del número 405. Halla todos los divisores de cada uno de los siguientes números y señala cuáles tienen exactamente cuatro divisores: a)) 5 b)) 8 c)) d)) 4 Si la descomposición de un numero n es : n a p x b q x c r x, el número de divisores de n es (p + ) ( q + ) ( r + ).. Matemáticas ESO S.M.

3 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess Matemáticas ESO S.M. a)) 5 x 5, luego el número de divisores es x 4 y son Div(5) {,, 5, 5} b)) 8 x, luego el número de divisores es Div(8) {,,, 6, 9, 8 } c)) x, luego el nº de divisores es Div() {,,, 4, 6, } d)) 4 x x 7, luego el número de divisores es 8: Div(4) {,,, 6, 7, 4,, 4 }

4 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 4 4 Halla todos los divisores de cada uno de los siguientes números y señala cuáles tienen exactamente cuatro divisores. a)) 8 b)) 7 c)) 5 d)) 4 Qué propiedad tienen en común los números señalados? a)) 8, número de divisores ( +) 4: Div(8) {,, 4, 8 } 4 8 b)) 7, número de divisores ( +) 4: Div(7) {,, 9, 7 } 9 7 c)) 5 5, número de divisores ( +) 4: 5 5 Div(5) {, 5, 5, 5 } d)) 4 7, número de divisores ( +) 4: 7 7 Div(4) {, 7, 49, 4 } Propiedad común: Que su descomposición en factores primos tiene exponente. 5 Completa la siguiente tabla: Un número primo tiene por factores: la unidad y el mismo número: Número Divisores Es primo?, Sí 5, 5, 7, 5 No 4, 4 Sí 4,, 4 No Matemáticas ESO S.M.

5 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 5 6 Halla todos los divisores de cada número y señala cuáles son números primos: a)) 6 b)) c)) 47 d)) 9 e)) 9 ff)) 55 g))7 h)) 74 a)) 6 7 x. Divisores: Div (6) {,, 7, 9,, 6 }, el 6 es un número compuesto. b)), Div() {, }, el es primo. c)) 47 47, Div(47) {, 47 }, el 47 es primo. d)) 9 x. Divisores : 9 Div(9) {,,, 9 }, el 9 no es primo. 9 e)) 9 9, Div (9) {, 9 }, el 9 es primo. ff)) 55 5 x. Divisores: Div(55) {, 5,, 55 }, luego el 55 es un número compuesto. g)) 7 7. Div (7) {, 7 }, el 7 es primo. h)) 74 x 7. Divisores : Div ( 74) {,, 7, 74 }, luego el número 74 es compuesto. Matemáticas ESO S.M.

6 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 6 7 Escribe los números primos mayores que 50 y menores que 80. Hacemos la criba de Eratóstenes: Primero hallamos los números primos menores o iguales a la raíz cuadrada de 80: Como 80 8, 94, los primos son {,, 5 y 7} Quitamos los pares ( tachando de en ) : De los que quedan quitamos los múltiplos de ( la suma de sus cifras es múltiplo de ) tachando de en ) : De los restantes suprimimos los múltiplos de 5 que queden ( los que terminan en 5, los que terminan en cero ya se han tachado con los pares): Por último tachamos los múltiplos de 7 ( que no lo estén ya), empezando por el 56 y contando de 7 en 7: Los que quedan sin tachar, después de la criba, son los primos comprendidos entre 50 y 80 { 5, 59, 6, 67, 7, 7 y 79} Matemáticas ESO S.M.

7 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 7 8 Separa los números primos de los compuestos: Procedimiento: vamos dividiendo por números primos, comenzando por el, si llegamos a obtener un cociente mayor que el divisor sin que sea divisible por alguno, podemos asegurar que el número es primo Luego 9 no es primo, 9 7 7, no es primo Como < 5 podemos asegurar que es primo Como 6 <, 7 es primo Como 6 < 8, 5 es primo luego es compuesto. 5 x 5, luego es compuesto. 57 luego 57 x 9, y por tanto no es compuesto. Matemáticas ESO S.M.

8 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 8 8 4, luego es compuesto. 97 Como 8 <, el 97 es primo. 9 Escribe tres números que sean producto de dos números primos. Cuántos divisores tienen? 6 x, Div(6) {,,, 6} 0 x 5, Div(0) {,, 5, 0 } 0 Berta cuenta de 5 en 5 y Pablo de 6 en 6. Coinciden en algún número? Si se encuentran en más de uno, de cuáles son múltiplos? Primero coincidirán en el mínimo común múltiplo : m.c.m (5, 6) 5 x x 0, y después en los múltiplos de este: 60, 90, 0, 50, etc.. Busca todas las formas posibles de hacer equipos con el mismo número de personas en una clase de 4 alumnos. Para hacer equipos con el mismo número de personas hemos de hacerlos según los divisores de 4: Div(4) {,,, 4, 6, 8,, 4} Pueden hacerse: 4 equipos de persona. equipos de personas. 8 equipos de personas. 6 equipos de 4 personas. 4 equipos de 6 personas. equipos de 8 personas. equipos de personas. equipo de 4 personas. Matemáticas ESO S.M.

9 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 9 Tenemos 6 canicas y queremos hacer grupos de igual número de canicas sin que nos sobre ninguna. De cuántas maneras podemos hacerlo? Es semejante al ejercicio anterior: Div( 6) {,,, 4, 6, 9,, 8, 6 } Pueden hacerse: 6 grupos de canica. 8 grupos de canicas. grupos de canicas. 9 grupos de 4 canicas. 6 grupos de 6 canicas. 4 grupos de 9 canicas. grupos de canicas. grupos de 8 canicas. grupos de 6 canicas. Necesitamos colocar 54 botones en cajas de 6 unidades. Es posible agruparlos sin que nos sobre ninguno? justifica tu respuesta. Sí es posible ya que 6 es divisor de 54, necesitaríamos 54 : 6 59 cajas de 6 unidades por caja. 4 De cuántas maneras se pueden colocar 47 bolígrafos en estuches, de modo que cada estuche tenga el mismo número de bolígrafos? Como el 47 es primo, solo pueden colocarse en 47 cajas de bolígrafo o en caja de 47 bolígrafos. 5 De cuántas formas diferentes se pueden disponer 7 baldosas cuadradas de manera que formen un rectángulo? En 6 filas de baldosas. En 4 filas de baldosas. En 8 filas de 4 baldosas. En filas de 6 baldosas. En 9 filas de 8 baldosas. Hallamos los divisores de 7: Div(7) {,,, 4, 6, 8, 9,, 8, 4, 6, 7}, luego se pueden disponer: En 7 filas de baldosa. Matemáticas ESO S.M.

10 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 0 Las demás posibilidades tienen las mismas dimensiones pero cambiando filas por columnas. 6 Celia tiene ahorrados 40 euros y quiere tener su dinero en billetes del mismo valor. De cuántas formas puede hacerlo? Se trata de ver por qué cantidades, de las que existen en los billetes es divisible: Como 40 : 5 8, podrá tenerlo en 8 billetes de 5. Como 40 : 0 4, podrá tenerlo en 4 billetes de 0. Como 40 : 0 7, podrá tenerlo en 7 billetes de 0. Como 40 : 50 no es exacta, no podrá tenerlo en billetes iguales de 50. Con el resto de los tipos de billete, tampoco es divisible. 7 Indica cuáles de los siguientes años han sido o serán bisiestos: a)) 7 b)) 98 c)) 0 08 Un año es bisiesto si es divisible por 4, excepto aquellos divisibles por 00 pero no por 400. Serán bisiestos los múltiplos de 4, o sea aquellos cuyas dos últimas cifras lo sean. a)) Como 4 x 8, el año 7 es múltiplo de 4 y por tanto fue bisiesto. b)) Como 8 4 x 7, el año 98 es múltiplo de 4 y por tanto fue bisiesto. c)) Como 8 no es múltiplo de 4, el año 0 08 no es bisiesto. 8 Busca entre estos números los que son múltiplos de (sin hacer la división):, 46, 05, 5 48, 4 En los múltiplos de, la suma de sus cifras es múltiplo de : + +, luego es múltiplo de. Matemáticas ESO S.M.

11 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess que es múltiplo de ( x 4), luego 46 es múltiplo de , luego 05 es múltiplo de , luego 5 48 es múltiplo de , luego 4 no es múltiplo de. 9 Cómo sabes de un vistazo si un número es múltiplo de 00? Y de 000? Un número es múltiplo de 00 si termina en dos o más ceros. Un número es múltiplo de 000 si termina en tres o más ceros. 0 Busca entre estos números los que son múltiplos de (sin hacer la división):, 464, 00, 5 40, lugar par :+ diferencia de sumas : 0, luego el, sí es múltiplo de. lugar impar :+ suma lugar par P : P I 8 8 0, el 464 sí es múltiplo de. suma lugar impar I : P P I 0, el 00 es divisible por. I 0 + P P I 5 5 0, el 5 40 es divisible por. I P + 4 I P 5 4, el 5 40 no es divisible por. I Sustituye el signo por una cifra de modo que los números sean divisibles por : a)) 54 b)) 49 c)) d)) 49 Para que un número sea divisible por, la suma de sus cifras ha de ser múltiplo de. a)) , luego la cifra buscada puede ser 0,, 6 ó 9, dando los números 054, 54, 654 y 954, todos divisibles por. Matemáticas ESO S.M.

12 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess b)) , para llegar a los siguientes múltiplos de podemos añadir las cifras, 5 y 8, dando los números 4 9, 4 95 y 4 98, divisibles por. c)) , para llegar a los múltiplos de mayores que 9 podemos añadir las cifras, + 4 y 4 + 7, dando los números 9 875, y , divisibles por. d)) , que es múltiplo de, luego se pueden añadir las cifras 0,, 6 y 9, dando los 4 90, 4 9, 4 96 y 4 99, divisibles por. Completa la siguiente tabla poniendo V y F para indicar qué números son divisibles por,, 5, 0 y : Número 5 0 F V F F F 5 V F F F V 45 F V V F V 60 V V V V V 4 Escribe los números 0, 45, 60, 00 y 00 como producto de dos números menores que ellos. 0 5 x 6, 45 5 x 9, 00 5 x 0, 00 0 x 0. 5 Descompón en factores primos: a)) b)) 80 c)) 5 d)) 9 e)) 468 ff)) 60 a)) luego 5 b)) 80 luego c)) d)) 9 luego Matemáticas ESO S.M.

13 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess e)) 468 luego 468 ff)) 60 luego Escribe los cinco primeros múltiplos de 5. Con ellos a la vista, reconoce los múltiplos de 5 sin efectuar la división. Primer múltiplo 5 Segundo múltiplo 50 Tercer múltiplo 75 Cuarto múltiplo 00 Quinto múltiplo 5. Un número es múltiplo de 5 si las dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 5. 8 Se sabe que uno de estos números: 5, 78, 5, 7, 954 es primo. Averigua cuál es sin hacer divisiones. Usamos los criterios de divisibilidad. 5 es múltiplo de 5 pues termina en es múltiplo de pues es múltiplo de ya que la suma de sus cifras , es múltiplo de. 954 es múltiplo de por terminar en cifra par. Por eliminación, el que queda, el primo es 7. 9 Escribe tres múltiplos de y de 5. Averigua si el producto es múltiplo de 5. Cuál es la condición para que sea divisible por 5? Múltiplos de {, 6 y 9} Múltiplos de 5 { 5, 0 y 5} Producto 5 5, , 9 5 5, que son múltiplos de 5 ya que 5 : 5, 60 : 5 4, y 5 : 5 9. Un número es divisible por 5 si lo es por ( suma de la cifras 0 o múltiplo de ) y por 5 ( termina en 0 o 5). Matemáticas ESO S.M.

14 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 4 0 El área de un rectángulo es un múltiplo de y 4. Cuáles pueden ser si las dimensiones vienen dadas en centímetros? Largo múltiplo de 4 { 4, 8,, 6, 0, } cm Ancho múltiplos de {, 6, 9,, 5, } cm María dice a Javier que el número 5876 es divisible por 99. Decide si es cierto o falso sin hacer la división. Javier le contesta que no solamente es divisible por 99, sino también por. Por qué? Porque 99 es múltiplo de, 99 x Calcula algún divisor común de los siguiente números: a)) 50 y 00 b)) 5 y 00 c)) 88 y d)) 5 y 5 a)) Div(50) {,, 5, 0, 5, 50 }, Div(00) {,, 4, 5, 0, 0, 5, 50, 00}, luego los divisores comunes son Div(50 y 00) {,, 5, 0, 5, 50}. b)) Div (5) {, 5, 5}, Div(00) {,, 4, 5, 0, 0, 5, 50, 00}, luego los divisores comunes son Div(5 y 00) {, 5, 5}. c)) Div(88) {,, 4, 8,,, 44, 88}, Div() {,,, }, luego los divisores comunes son Div( y 88) {,,, }. d)) Div (5) {, 5, 5}, Div(5) {, 5, 7, 5}}, luego los divisores comunes son Div(5 y 5) {, 5}. Sin hacer cálculos, cuál es el mayor número que divide a 50 y 60? El 0 5 Calcula el máximo común divisor de: a)) 4 y 6 b)) 4 y 8 c)) 0 y 0 d)) y 4 4 a)) m.c.d(4,6). 6 x Matemáticas ESO S.M.

15 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 5 4 b)) m.c.d(4, 8) x5 c)) m.c.d(0,0) x5 0 0 xx5 x d)) m.c.d(,4) x 4x 4 x 6 Halla, sin hacer operaciones, el máximo común divisor de 5 y 60. Razona tu respuesta. El único divisor común ( distinto de la unidad) es el 5, ya que 5 5 x 7 y 60 no es múltiplo de 7, luego el 5 es m.cd. 7 Calcula el máximo común divisor de las siguientes parejas de números: a)) y 8 b)) 7 y 84 c)) 90 y 0 d)) 4 y 50 x a)) m.c.d(,8) x 4x x 7 x b)) m.c.d(,4) x 4x. 84 xx7 90 x x5 c)) m.c.d(90,0) xx5 0 0 xx5 8 Halla, sin hacer operaciones, el máximo común divisor de 40, 90 y 50. Razona tu respuesta. Como los terminan en cero son múltiplos de 0, quedan 4, 9 y 5 que no tienen múltiplos comunes, luego el m.c.d(40, 90, 50) Halla el máximo común divisor de cada grupo de números: a)) 75, 6 y 8 b)) 4, 4 y 56 c)) 6, 7 y 6 Matemáticas ESO S.M.

16 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 6 75 x5 a)) 6 x m.c.d.(8,6,75). 8 x 4 xx7 b)) 4 x7 m.c.d.(4,4,56) x x7 6 x7 c)) 7 m.c.d.(7,6,6) 9 6 x 4 Halla el máximo común divisor de los siguientes números: a)) 48 y 5 b)), 8 y 0 c)), 54 y 0 d)) 45, 44 y 4 48 x a)) m.c.d(48,5) 4. 5 x x b)) 8 x m.c.d.(7,6,6) 9. 0 x5 x c)) 54 x7x m.c.d.(,54,0). 0 x5x 45 x5 4 d)) 44 x m.c.d.(45,44,) que es el único factor común. 4 Una pajarería envía 8 loros y 4 periquito en jaulas iguales, sin mezclarlos, de modo que en todas quepa el mismo número de animales. Cuántos animales deben ir en cada jaula si su número es el mayor posible? Matemáticas ESO S.M.

17 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 7 Hemos de hallar el m.c.d.(8, 4): 8 x m.c.d(,) x 6 animales en cada jaula. 4 x 4 4 Javier y Elena tienen dos listones de madera de 4 dm y 0 dm de longitud, para construir marcos cuadrados. Qué longitud debe tener el lado para que no se desperdicie ningún trozo de los listones? De nuevo se trata del m.c.d.(4, 0): 0 xx5 m.c.d(4,0) x 4 x 6 dm de longitud del lado. 4 5 Un distribuidor de informática dispone en el almacén de 05 unidades de una clase de microprocesadores y 465 de otra clase. Quiere distribuirlos por separado en cajas que contengan el mismo número de unidades y, además, que este número sea el mayor posible. Cuántos microprocesadores debe contener cada caja? 4 05 x5 m.c.d(05,465) x5 45, microprocesadores en cada caja. 465 x5x7x 4 6 En una peluquería se utilizan tres tipos de champú. Disponen de 500 cm para cabello graso, 750 cm para cabello seco y 500 cm para cabello normal. Se quieren envasar en frascos de la mayor capacidad posible y todos de igual capacidad. Cuántos cm medirá el frasco? 500 xx5 750 x5 x7 m.c.d.(500,750,500) x x5 x5 50 cm 4 7 Halla mentalmente algún múltiplo común de los siguientes pares de números: a)) y 4 b)) 6 y 8 c)) y 8 d)) 5 y 7 Matemáticas ESO S.M.

18 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 8 a)) Múltiplos de y 4 {, 4, 6, 48, }. b)) Múltiplos de 6 y 8 { 48, 96, 44, 40, }. c)) Múltiplos de y 8 { 6, 7, 08, }. d)) Múltiplos de 5 y 7 {5, 70, 40, 80, }. 4 8 Si un número es múltiplo de 4 y de 5, lo es de 0? Si un número es múltiplo de 4 y de 6, es siempre múltiplo de 4? Justifica las respuestas. 4 9 Halla el mínimo común múltiplo de: Sí es múltiplo de 0 ya que 4 x 5 0. Si un número es múltiplo de 4 y 6, lo será de 4 4 x6. a)) 4 y 6 b))4 y 8 c)) 0 y 0 d)) y 8 4 a)) m.cm.(4,6) x 4x. 6 x 4 b)) m.cm.(4,8) x5 c)) m.cm.(0,0) xx5 4xx xx5 x d)) m.cm.(,8) x 4x9 6 8 x 5 Calcula el mínimo común múltiplo de: a)) 6 y 48 b)) 48 y 60 c)) 45 y 75 d)) 6 y 45 Matemáticas ESO S.M.

19 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 9 6 x7 4 a)) m.cm.(6,48) x x7 6x9x x 4 48 x 4 b)) m.cm.(48,60) xx5 6xx xx5 45 x5 c)) m.cm.(45,75) x5 9x x5 6 x d)) m.cm.(6,45) x x5 4x9x x5 5 Calcula el mínimo común múltiplo de: a)) 7 y 08 b)) 70 y 4 c)) 560 y 588 d)) 5 y 40 7 x a)) m.cm.(7,08) x 8x x 70 x x5 b)) m.cm.(70,4) x x5x x7x5x x x x5x7 4 c)) m.cm.(560,588) xx5x7 6xx5x xx7 5 x5x7 d)) m.cm.(5,40) x x5x7 4x9x5x xx5x7 5 Calcula el mínimo común múltiplo de: a)) 6, 46 y 98 b)) 05, 5 y 75 6 x7 a)) 46 x m.c.m.(6,46,98) x x7 x x9x49x x7 Matemáticas ESO S.M.

20 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 0 05 x5x7 b)) 5 x5 m.c.m.(05,5,75) x5 x7 7x5x x7 5 5 Los autobuses de la línea 6 pasan por una parada cada 9 minutos, y los de la línea, cada minutos. Si acaban de salir ambos a la vez de esta parada, cuánto tardarán en coincidir otros dos de ambas líneas? Coincidirán en los múltiplos comunes de los intervalos de tiempo en que pasan, y como pide la coincidencia siguiente a la salida, se trata del m.c.m. (9, ): m.cm.(9,) x nuevo ambas líneas. 9 x 4x9 6, transcurridos 6 minutos volverán a coincidir de 5 6 Tres barcos realizan sus recorridos entre las islas Canarias en 6, 9 y días, respectivamente. El día de la Candelaria coincidieron en el puerto de la Luz. Cuándo volverán a coincidir en ese puerto? De nuevo se trata del m.c.m.(6, 9, ) : 6 x 9 m.c.m.(6,9,) x 6 días. x 4x9 6, vuelven a coincidir en el puerto al cabo de 5 7 Los alumnos de una clase pueden formar grupos de,, 5 y 6 personas. Cuántos alumnos serán como mínimo? Hemos de calcular el m.c.m. (,, 5, 6) ya que el número de alumnos será el múltiplo más pequeño de las personas cuyo grupos se forman: m.cm(,,5,6) xx5 0 alumnos tiene la clase. 5 6 x Matemáticas ESO S.M.

21 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 5 9 Cuál es el menor número de tres cifras que dividido por 0, o 5 da siempre de resto 7? Calculamos primero el m.c.m. de los tres números dados : 0 x5 x m.c.m.(0,,5) xx5 4xx x5 como ha de tener tres cifras, hallamos los múltiplos de 60: 60x 0 y ahora sumamos 7 para que de de resto 7, Escribe todos los números menores que 00 que den resto al dividirlos por 5. Hallamos los múltiplos de 5 menores que 00 y les sumamos : {7,, 7,, 7,, 7, 4, 47, 5, 57, 6, 67, 7, 77, 8, 87, 9, 97} 6 El número de alumnos de un curso de secundaria es un número muy curioso. Si se divide por 9 el resto es. Si se divide por, el resto es. Además es el número más pequeño que cumple estas condiciones. Cuántos alumnos hay? Es el m.c.m.(9,) A una fiesta asisten entre 80 y 00 amigos. Se pueden agrupar exactamente de 4 en 4, pero si se agrupan de 5 en 5, sobra uno. Cuánto son? Hallamos m.c.m(4,5) 0, el múltiplo de 0 comprendido entre 80 y 00 es el 8. 6 Si un grupo de estudiantes se colocan en filas de 5, sobra uno; si lo hacen en filas de 7, sobran dos. Cuántos estudiantes hay si son menos de 60? (Múltiplos de 5) + {6,, 6,, 6,, 6, 4, 46, 5, 56} Matemáticas ESO S.M.

22 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess (Múltiplos de 7) + {9, 6,, 0, 7, 44, 5, 58} Pueden ser 6 ó 5 estudiantes. 6 4 Calcula mentalmente dos números cuyo producto sea: a)) 6 b)) 4 c)) 60 d)) 40 a)) b)) c)) d)) Descompón en producto de dos factores cualesquiera: a)) 44 b)) 88 c)) 40 d)) 75 a)) b)) c)) d)) Todos los múltiplos de 8 son múltiplos de? Y todos los múltiplos de son múltiplos de 8? Sí, todos lo múltiplos de 8 son múltiplos de ya que 8 es múltiplo de. No, por ejemplo es múltiplo de de pero no de Busca todos los divisores de: a)) 4 b)) 50 c)) 8 a)) Descomponemos en producto de factores primos, 4, luego el número de divisores es ( +) ( + ) 4 8 y por último los calculamos usando un diagrama en árbol: Div(4) {,,,4,6,8, 4} Matemáticas ESO S.M.

23 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess b)) Descomponemos en producto de factores primos, 50 5, luego el número de divisores es ( +) ( + ) 6 y por último los calculamos usando un diagrama en árbol: Div(50) {,,5,0,5,50} c)) Descomponemos en producto de factores primos, 8 4, luego el número de divisores es (4 +) 5 y por último los calculamos usando un diagrama en árbol: 0 Div(8) 9 {,,9,7,8} Las 6 aves volaban en grupos de 5. Detectas algún error en esta frase? Sí que 6 no es múltiplo de 5, por tanto no se pueden colocar 6 aves en grupos de El número 64 no es divisible por. Intercambia sus cifras de modo que sí lo sea. 64 sí es divisible por ya que ( + 4) (6 +) Calcula el m.c.d. y m.c.m. de: a)) 4, y 6 b)), 5, y 60 c)) 5, 55 y 70 d)) 4, 6 y a)) Descomponemos en producto de factores primos: Matemáticas ESO S.M.

24 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess M.C.D (4,, 6), factores primos comunes elevados al menor exponente m.c.m.(4,, 6) 5, factores comunes y no comunes elevados al exponente mayor. b)) Descomponemos en producto de factores primos: M.C.D (,5, 60), factores primos comunes elevados al menor exponente m.c.m.(,5, 60) 5 60, factores comunes y no comunes elevados al exponente mayor. c)) Descomponemos en producto de factores primos: M.C.D (5, 55, 70) 5, factores primos comunes elevados al menor exponente m.c.m.(5, 55, 70) 5 7 0, factores comunes y no comunes elevados al exponente mayor. d)) Descomponemos en producto de factores primos: M.C.D (4, 6, ), factores primos comunes elevados al menor exponente m.c.m.(4, 6, ) 7 84, factores comunes y no comunes elevados al exponente mayor. 7 Halla los múltiplos de 4 y de 5, pero no de, menores que 00. Si han de ser múltiplos de 4 y de 5, lo han de ser de 0 y para que no sean múltiplos de de al obtener los múltiplos de 0 no multiplicamos por múltiplos de : { 0, 40, 80, 00, 40, 60} 7 Cuál es el menor múltiplo de 5, 0 y 0? m.c.m. (5, 0 y 0 ) Qué diferencia hay entre dos múltiplos consecutivos de? Y de 5? Y de? Los múltiplos de van de en, luego la diferencia entre dos consecutivos es ( 9 ). Matemáticas ESO S.M.

25 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 5 Los múltiplos de 5 van de 5 en 5, luego la diferencia entre dos consecutivos es 5 ( 5 0 5). Los múltiplos de van de en, luego la diferencia entre dos consecutivos es ( ). 7 4 Un número es divisible por 5 si lo es por y 5. Son divisibles por 5 los siguientes números: 75, 840, 645, 080, 70, 960? que sí es & 75 &, es divisible por 5. Como termina en 5 es multiplo de que sí es & 840 &, es divisible por 5. Como termina en 0, es multiplo de que sí es & 645 &, es divisible por 5. Como termina en 5 es multiplo de , & 080 &, es divisible por 5. Como termina en 0, es múltiplo de , & 70 &, es divisible por 5. Como termina en 0, es múltiplo de , & 960 &, es divisible por 5. Como termina en 0, es múltiplo de Para un trabajo que se encargó a un carpintero, se necesitaban tablas de 0, 4, 0, 60 y 50 cm de largo. Con ese fin adquirió tablas que se podían cortar en trozos iguales de cualquiera de esas medidas. Qué longitud mínima tenían esas tablas? Tiene que ser un tablas cuyo largo sea un múltiplo común y además el más pequeño, luego se trata del m.cm.(0, 4, 0, 60). Descomponemos los números en productos de factores primos: Luego m.cm.(0, 4, 0, 60 y 50) cm 6 m. Matemáticas ESO S.M.

26 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess Tres amigos se entrenan en una pista circular de atletismo. El primero tarda 60 segundos en dar una vuelta, el segundo, 84 segundos, y el tercero, 65 segundos. Si salen de la meta a la vez, al cabo de cuánto tiempo vuelven a coincidir en la meta? Se trata de nuevo del m.c.m. ya que debe ser un múltiplo común y además se pide la primera coincidencia: m.c.m(60, 84, 65) seg min. h min. 7 7 Mi primo César viene a verme cada 5 días, y mi prima Ainoa cada 0. Si hemos estado juntos el 4 de septiembre, cuándo volveremos a juntarnos? m.c.m.(5 y 0) 5 60 días Nos volveremos a juntar el día 4 de Noviembre. 7 8 Un coleccionista quiere repartir 5 sellos en sobres, de modo que en cada uno haya el mismo número de sellos. De cuántas formas es posible hacerlo si no puede haber más de 0 sellos por sobre? Hallamos los divisores de 5. Descomposición en producto de factores primos: 5 5, habrá 9 divisores: DiV(5) {,, 5, 9, 5, 5, 45, 75, 5} Reparto: Matemáticas ESO S.M.

27 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 7 sello en 5 sobres. sellos en 75 sobres. 5 sellos en 45 sobres. 9 sellos en 5 sobres. 5 sellos en 5 sobres. DE REFUERZO DDi ivvi issi ibbi iliddaadd: :: Múúl ltippl looss yy ddi ivvi issoorreess 7 9 Obtén unos cuantos múltiplos comunes a 7 y a 5. Cuál puede ser el criterio de divisi bilidad por 5? Múltiplos comunes a 5 y 7 {5, 70, 05, 40, } Un número es divisible por 5 si lo es por 5 y por Cuál es el número comprendido entre 0 y 50 que es múltiplo de 5 y cuya suma de las cifras es 7? Para que sea múltiplo de 5 ha de terminar en 0 o 5, luego son: 05, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 40, 45, 50, de estos la suma es 7 en el 5 8 Halla todos los múltiplos de 4 y de 5, pero no de, menores que 00. Si han de ser múltiplos de 4 y de 5, lo han de ser de 0 y para que no sean múltiplos de de al obtener los múltiplos de 0 no multiplicamos por los múltiplos de : { 0, 40, 80, 00, 40, 60, 00, 0, 60, 80} 8 La descomposición en factores primos de un número es x x 5. Cuál será la descomposición en factores primos de un número 0 veces mayor que el anterior? Para obtener un número 0 veces mayor, hay que multiplicar por 0, y como 0 x 5, descompuesto en producto de factores, el número pedido tendrá la descomposición: x 5 ( x x 5) x x 5 Matemáticas ESO S.M.

28 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 8 8 Señala cuáles de los siguientes pares de números son primos entre sí: a)) 5 y 6 b)) 7 y 8 c)) 7 y 7 d)) 0 y 5 Para que dos números sean primos entre sí no tienen que tener factores comunes ( distintos del ) a)) b)) c)) d)) 5 5 sí son primos entre sí pues no tienen factores comunes primo sí son primos entre sí pues no tienen factores comunes. 8 7 primo sí son primos entre sí pues no tienen factores comunes. 7 primo 0 x5 no son primos entre sí pues tienen el 5 en común. 5 5x7 8 4 En qué cifras terminan los números primos? Todos los números que terminan en estas cifras son primos? Pon algunos ejemplos. En,,, 5, 7, pero no todos los números que terminan en estas cifras son primos, por ejemplo el 777 es múltiplo de 7 y de. 8 5 Calcula cuánto ha de valer el signo para que: a)) 5 sea divisible por y por 5. b)) 8 sea divisible por y por. c)) 0 sea divisible por, y 5. d)) 5 6 sea divisible por 6. a)) Como 5 x 5, {, 4 y 7} b)) Divisible por ya lo es, pues termina en cifra par, para que también lo sea por, la suma de sus cifras ha de ser múltiplo de, como + 8, tendrá que ser cifras que sumadas con sean múltiplos de : {, 4, 7} c)) 0, ya es divisible por y 5 ya que termina en 0, para que sea múltiplo de : Matemáticas ESO S.M.

29 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 9 {, 6, 9} d)) 5 6, para que sea divisible por 6 ha de serlo por por. Por ya lo es pues termina en cifra par (6), para que sea múltiplo de, como la suma 5 + 6, {, 4, 7 } 8 6 Encuentra el menor y el mayor número de dos cifras que sea a la vez divisible por: a)) y b)) y 5 c)) y 5 d)) menor a)) x 6, luego han de ser múltiplos de 6 de dos cifras Mayor 96 menor 5 b)) x 5 5, luego han de ser múltiplos de 5 de dos cifras Mayor 90 menor 0 c)) x 5 0, luego han de ser múltiplos de 0 de dos cifras Mayor 90 menor d)) múltiplos de de dos cifras Mayor Los sellos de una colección se pueden disponer exactamente en filas de 4 y en columnas de 5. También en hojas de. Cuántos sellos hay si están entre 500 y 000? Ha de ser un múltiplo común de 4, 5 y comprendido entre 500 y 000. Como 4 x 5 x 460, ha de ser 460 x 90 sellos. DDi ivvi issoorreess... Mááxxi imoo ccoomúúnn ddi ivvi issoorr 8 8 Jorge dispone de dos ovillos de bramante de distintos colores que miden 44 m y 0 m de longitud, respectivamente. Cuál es el menor número de trozos de igual longitud que pueden hacerse con los dos ovillos? Primero hallamos el M.C.D.(44, 0): 4 44 x, luego M.C.D(44, 0) x 8 x 4 cm ha de medir cada trozo, luego 0 xx5 con el ovillo de 44 m pueden hacerse 44 : 4 6 trozos de 4 m y con el de 0 m pueden hacerse 0 : 4 5 trozos de 4 m, luego el total de trozos que pueden hacerse es trozos de 4 m. Matemáticas ESO S.M.

30 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess Berta tiene menos de 40 caramelos y los quiere guardar en bolsas de, de y de 5 caramelos sin que le sobre ninguno. Cuántos caramelos tiene? Si los guarda en bolsas de, cuántas necesita? Y si lo hace en bolsas de? Y en bolsas de 5? Caramelos m.c.m.(,, 5) x x 5 0 caramelos. Necesita 0 : 5 bolsas de caramelos. Necesita 0 : bolsas de caramelos. Necesita 0 : 5 6 bolsas de 5 caramelos. Múúl ltippl looss... Mínni imoo ccoomúúnn múúl ltippl loo 9 0 La madre de Mónica ha tenido dos mellizos. Al cabo de meses, la pediatra recomienda a los padres dar el biberón al más pequeño cada tres horas y al más fuerte cada cuatro horas. Cada cuánto tiempo tendrán que dar el biberón a los dos juntos? El m.c.m.(, 4) x horas, es decir dos veces al día. 9 Dos camioneros salen de una fábrica a diferentes capitales europeas. El primero tarda en regresar 8 días y el segundo 0 días. Cuántos días tardarán los camioneros en coincidir nuevamente en la fábrica? m.c.m.(8 y 0) x 5 40 días, ya que se trata del múltiplo común más pequeño. Tardan 40 días en coincidir de nuevo. 9 Aitor es un alumno aplicado y decide al comenzar el curso repasar cada dos días las matemáticas, cada días la física y cada cinco días la historia. Cada cuántos días tiene que repasar las dos primeras asignaturas? Cada cuántos las tres? Las dos primeras asignaturas las repasa en el m.c.m.( y ) x 6 días Las tres cada m.c.m.(, y 5) x x 5 6 x 5 0 días. Matemáticas ESO S.M.

31 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 9 Una de las dos campanas de una iglesia toca cada 0 minutos, y la otra, cada 45 minutos. Si tocan juntas a las 8 de la mañana, cuándo sonarán juntas la próxima vez? 0 x x 5 45 x 5 m.c.m. (0 y 45) x x 5 90 min. Como 90 min hr y 0 min, volverá a sonar a las 9 hr 0 min. 9 4 En una pista de 60 m se señalan en la orilla puntos con colores distintos: con rojo, de 5 en 5 m; con verde, de 0 en 0 m; con azul, de 5 en 5 m. Di en qué puntos de la pista coincidirán los siguientes colores: a)) Rojo y verde. b)) Rojo y azul. c)) Verde y azul. d)) Los tres colores. a)) Coincidirán el rojo y verde en el m.c.m.(5, 0) x 5 0, es decir cada 0 m. b)) Coincidirán el rojo y azul en el m.c.m.(5, 5) x 5 5, es decir cada 5 m. c)) Coincidirán el verde y azul en el m.c.m.(5, 0) x x 5, es decir cada 0 m. d)) Coincidirán los tres colores en el m.c.m.(5,0 y 5 ) xx5 0, es decir cada 0 m. DDee aamppl liaacci ióónn 9 5 Comprueba que el número 744 es divisible por y por. Lo es también por 6? Cuándo un número es múltiplo de 6? 744 : 7 y 744 : 48, luego es divisible por y por y por tanto también por 6. Un número es múltiplo de 6 si es múltiplo de y de. 9 6 La factorización de un número es: x x 7 ((a)) Cuál es este número? ((b)) Si el número fuese 5 veces mayor, cuál sería su descomposición en factores primos? Razona tu respuesta. ((a)) x x 7 8 x 9 x ((b)) x x 7 x 5, ya que al multiplicar por 5, que es primo sólo se añade ese factor. Matemáticas ESO S.M.

32 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 9 7 Al repartir los caramelos de su cumpleaños Nuria se da cuenta de que el número de caramelos puede contarse exactamente de en, de en y de 5 en 5. Cuáles son los posibles números de caramelos? Será un múltiplo común de, y 5. Hallamos el más pequeño: y sus múltiplos: m.c.m.(,, 5) x x 5 0 x 0 0 caramelos, x 0 60 caramelos, x 0 90 caramelos, etc 9 8 La profesora de matemáticas quiere hacer grupos iguales con sus alumnos. Si los agrupa de en o de en sobra un alumno, pero si os agrupa de 5 en 5 no sobra ninguno. Cuántos alumnos tiene en clase? Sea n número de alumnos de clase. N ha de ser múltiplo de +, múltiplo de + y múltiplo de 5, para hallarlo hacemos una tabla y vemos la primera coincidencia: Múltiplos de Múltiplos de Múltiplos de Luego tendrá 5 alumnos o múltiplos de 5: 5, 50, 75, 9 9 En un club de atletismo se han inscrito 0 chicos y 4 chicas. Cuántos equipos se pueden hacer sabiendo que debe haber: En todos, el mismo número de atletas. En todos debe haber chicos. El máximo número de equipos que sea posible. Hallamos el M.C.D.(0, 4) Si se quiere que en todos haya al menos un chico podrán hacerse como máximo 0 equipos de componentes (chico y chica). Con 4 integrantes ( chico y chicas) se podrían hacer 8 equipos. Con 4 integrantes ( chicos y chicas) se podrían hacer 5 equipos. El máximo número de equipos posibles es (0 + 4) : 7 equipos de componentes. Matemáticas ESO S.M.

33 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 0 0 El autobús de la línea A pasa por cierta parada cada 9 minutos, y el de la línea B, cada 6 minutos. Sí acaban de salir ambos a las horas, cuando volverán a coincidir? Volverán a coincidir por vez primera en un tiempo igual al m.c.m.(6, 9) x x 9 8 min,y en sucesivas veces en múltiplos de ese valor. Vuelven a coincidir a las h 8 min, a las h 6 min, etc 0 Un granjero, tras recoger en una cesta su cosecha de huevos, piensa: - Si los envaso por docenas, me sobran 5. - Si tuviera uno más, podría envasarlos exactamente en cajas de 0. Casi ha recogido 00. Cuántos huevos tiene? Si llamamos n al número de huevos que tiene el granjero, será (un múltiplo de ) + 5 y (múltiplo de 0). Hacemos una tabla: Múltiplos de Múltiplos de Puede tener 9 o 89 huevos, como casi ha cogido 00, deducimos que son 89 los huevos que ha recogido. 0 Comprueba que se cumple la relación: m.c.d. (4, 7) x m.c.m. (4, 7) 4 x 7 Calcula si se cumple también para otra pareja de números cualesquiera. 4 x M.C.D.(4, 7) x 4, m.c.m.( 4, 74) x 7 x evidentemente, se cumple m.c.d. (4, 7) x m.c.m. (4, 7) 4 x 7. 8 x 9 7, luego, autoevaluación Verdadero o falso? a) 45 es divisible por 9. b) 5 es divisor de 00. Matemáticas ESO S.M.

34 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 4 c) 00 es múltiplo 0. d) 90 es divisible por 45. a) 45 : 9 5, luego es divisible por 9. b) 00 : 5 4, luego 5 es divisor de 00. c) 00 no es múltiplo de 0. d) 90 : 45, luego 90 es divisible por 45. Escribe 80 como producto de factores primos x 5 x Escribe todos los números de dos cifras que sean divisibles a la vez por 4 y por 5. Si han de ser divisibles por 4 y 5 han de ser múltiplos de 4 x5 0, Múltiplos de 0 { 0, 40, 60, 80}. 4 Cuál es el resto de dividir entre? 7549 resto Se sabe que un número está comprendido entre 0 y 0 y solo tiene tres divisores. Cuál es? x 7 (4 divisores), x ( 4 divisores), es primo ( divisores), 4 (8 divisores), 5 5 ( divisores), 6 x ( 4 divisores), 7 ( 4 divisores), 8 4 x 7 ( 4 divisores), 9 es primo. El número buscado es el 5 cuyos divisores son:, 5 y 5. Matemáticas ESO S.M.

35 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 5 6 Escribe el primer múltiplo común de 50 y 70 El m.c.m.(50 y 70). 50 x5 70 x5x7 m.c.m.( 50, 70) x5 x7 x 5x Cuánto ha de valer el signo para que el número 5 sea múltiplo de? Y para que lo sea de? Como + 5 7, para el siguiente múltiplo de (9) faltan, para el siguiente 5 y para el siguiente 8, los números pueden ser 5, 55, ó 85 Para que sea múltiplo de, debe ser un 7 para que 7 7 0, es decir Por qué cifra hay que sustituir el signo para que el número 7 sea divisible por, si es impar? Y si es par? Las cifras conocidas suman + 7 0, el siguiente número múltiplo de es para el cual faltan, pero puede ser también 5 u 8. Para que sea impar 75. y para que sea par 7 ó Indica de cuántas formas se puede dividir una clase de 4 alumnos para hacer equipos de forma que todos tengan el mismo número de componentes. 4, Luego puede haber : equipo de 4 componentes. equipos de componentes. equipos de 8 componentes. 4 equipos de 6 componentes. 6 equipos de 4 componentes. 8 equipos de componentes. equipos de componentes. 4 equipos de sólo componente. Div(4) {,,, 4, 6, 8,, 4} Matemáticas ESO S.M.

36 Unidad - La diivviissiibiilliidad een númeerross natturralleess 6 0 Las paradas intermedias del tren son todas de 4 minutos. Es posible que en un viaje esté parado 56 minutos en total? Y hora y media? Como 56 4 x 4, 56 es múltiplo de 56 y por tanto al cabo de 4 paradas habrá estado parado 56 minutos. Como hora y media 90 minutos no es múltiplo de 4, no puede estar parado ese tiempo. Matemáticas ESO S.M.