Unidad IX. Razones y proporciones

Transcripción

1 Razones y proporciones Unidad IX En esta unidad usted aprenderá a: Establecer la relación que existe entre dos cantidades para calcular los ingredientes en comida, postres, bebidas o actividades del hogar. Estimar cuánto tiempo se va a requerir en ejecutar una acción determinada, al conocer la relación de tiempo y trabajo. Plantear relaciones de datos que le permitirán calcular la solución de algunas actividades comunes en el hogar. Para estudiar esta unidad usted necesita: Saber sumar, restar, multiplicar y dividir, enteros y decimales. Tema Razones Tema Proporciones

2 Fracciones Tema Razones Unidad IX La señora Inés sabe que para que le quede bien un pastel debe usar por cada taza de harina media taza de azúcar. Si la señora Inés va a hacer un pastel que lleva tazas de harina, cuántas tazas de azúcar necesitará? Como para una taza de harina se necesita media taza de azúcar, para dos tazas de harina se necesitarán dos medias tazas de azúcar: + = =.0 6 media taza media taza Por lo que, se puede decir que para un pastel que lleva dos tazas de harina, la señora Inés ocupará una taza de azúcar. A la relación que le permitió a Inés conocer cuánto de azúcar necesita por cada taza de harina, se le llama razón, y expresa siempre la relación que existe entre dos cantidades.

3 Unidad IX: Razones y proporciones Algunos ejemplos de razones se presentan a continuación. taza de azúcar por cada taza de harina de litro de jarabe por cada litro de agua cucharada de café por cada taza de agua cucharadas de azúcar por cada jarra de agua niños de cada 00 sufren sobrepeso cucharadas de leche en polvo para cada vaso de de litro Como las razones se refieren a una relación entre dos números, se pueden expresar como una fracción o una división. Así, cuando se dice que niños de cada 00 sufren de sobrepeso, se puede expresar de la siguiente manera: 00 ó :00 ó 00 Los dos puntos o la raya significa "de cada" o "por cada", por lo que la razón anterior se puede leer: de cada 00 Cuando los números de las razones son fracciones, se pueden convertir, primero, a decimales y, posteriormente, expresar la razón; como se observa a continuación: taza de azúcar por cada taza de harina. Se convierte a decimal, = 0.5 Ahora se puede expresar la razón de la siguiente manera: 0.5 tazas de azúcar : taza de harina, ó 0.5 7

4 Fracciones Lo anterior también se puede observar en la siguiente razón, de saborizante por cada litros de agua. cucharadas Convirtiendo a decimal tenemos, = cucharadas de saborizante por cada.5 litros de agua o.5 cucharadas de saborizante :.5 litros de agua o.5 cucharadas de saborizante.5 litros de agua Para comparar una razón con otra se recomienda realizar la división que representa la razón. Todas las razones pueden ser representadas de forma decimal. Observe: de cada 00 niños sufren de sobrepeso, : 00 ó = cucharadas de azúcar por cada jarra de agua cucharadas de azúcar : jarra de agua convirtiendo a decimal, = cucharadas de azúcar =.5 jarra de agua Las razones son útiles porque por medio de ellas se pueden comparar diferentes productos o actividades. 8

5 Unidad IX: Razones y proporciones Ejemplos. La señora Ignacia va a comprar un jarabe para hacer agua de horchata. En la tienda encuentra dos presentaciones: una que es concentrada y que con de litro se preparan de litro de agua fresca; y otra que señala que por cada litro de jarabe puede preparar un litro de agua fresca. Si las dos tienen el mismo precio y la misma cantidad de jarabe, cuál le conviene comprar a la señora Ignacia? Lo primero que se recomienda para comparar razones es hacer la presentación de las mismas. Se convierten las fracciones a decimales: = 0.5 y = 0.75 Producto Se plantea la primera razón: 0.5 l de jarabe : 0.75 l de agua 0.5 l de jarabe = l de agua Esta razón se dice 0. litros de jarabe por cada litro de agua. Producto Se plantea la segunda razón: litro de jarabe : litro de agua 0.5 litros de jarabe litro de agua 0.5 = 0.5 Esta razón se dice 0.5 litros de jarabe por cada litro de agua. Comparando las dos razones se observa que se requiere más jarabe del producto para un litro de agua que lo que se requiere del producto. Razón producto : 0. Razón producto : 0.5 Por lo que a la señora Ignacia le convendría más comprar el producto. Observe que para comparar dos razones es necesario que las dos razones tengan las mismas unidades. l de jarabe l de agua l de jarabe l de agua 9

6 Fracciones. Anastasia hizo dos pasteles: uno de chocolate en el que utilizó kilo de azúcar por cada kilo de harina y otro de vainilla en el que utilizó de kilo de azúcar por cada kilos de harina. En qué pastel usó más azúcar? Planteamiento de las razones Para el pastel de chocolate kilo de azúcar : kilo de harina convirtiendo a decimales, 0.5 kilos de azúcar : kilo de harina 0.5 kg de azúcar kg de harina = 0.5 kg de azúcar kg de harina Para el pastel de vainilla kilo de azúcar : convirtiendo a decimales, 0.75 kg de azúcar.5 kg de harina = 0.5 kilos de harina 0.75 kilos de azúcar :.5 kilos de harina kg de azúcar kg de harina Como se puede observar, ambas razones son iguales (0.5), por lo que los dos pasteles están hechos con la misma relación de azúcar y harina. Ejercicios Escriba las razones que se plantean a continuación. a) Por lo regular salen mameyes malos de cada 0. b) Por lo regular se rompe huevo de cada. c) niños de cada 0 necesitan anteojos. d) niño de cada 0 tiene los pies planos. e) Para cocinar kilo de frijol se necesitan litros de agua. 0

7 Unidad IX: Razones y proporciones Ejemplos. De la razón de taza de azúcar por cada taza de harina se puede obtener lo siguiente: 0.5 tazas de azúcar : taza de harina 0.5 = 0.5 Si las razones se refieren a las mismas unidades, se les multiplica por 00 y se obtiene el porcentaje de la relación de los números a los que se refiere la razón. Razón de tazas de azucar por tazas de harina, como ambos números se refieren a tazas, se puede multiplicar por 00 para obtener el porcentaje de azúcar con relación a la harina de un pastel. 0.5 x 00% = 50% de azúcar en relación con la harina. Si se utiliza de litro de jarabe de horchata por cada litro de agua, se tiene que: de litro de jarabe : litro de agua 0.5 litros de jarabe = 0.5 litro de agua Multiplicando por 00 se obtiene el porcentaje de jarabe de horchata por litro de agua: 0.5 x 00% = 5% de jarabe de horchata. Tres de cada 00 niños sufren de sobrepeso. Multiplicando por 00 para obtener el porcentaje de niños con sobrepeso, : 00 = = x 00% = % de los niños sufre de sobrepeso.

8 Fracciones. Don José gasta en pagar la renta $.5 de cada $0 que gana. Que porcentaje gasta don José de su sueldo en pagar la renta? Se establece la relación,.5.5 : 0 ó = Para conocer el porcentaje se mulplica por 00, 0.5 x 00 = 5 5% de los ingresos de don José lo emplea para pagar la renta. Recuerde que para obtener el porcentaje de una razón, ésta sólo se debe multiplicar por 00, siempre que la razón se esté refiriendo a las mismas unidades. Problemas. La señora Maricruz va a pintar su casa. En la tienda de pinturas le ofrecen la pintura "S. Willy", con la que con litro puede pintar 9 metros cuadrados; y la "Asy", la que con cada litros puede pintar 80 m. Cuál debe comprar la señora Maricruz?. Anastasia hace tres pasteles: uno de fresa, al que le pone de kilo de azúcar por cada de kilo de harina; otro de plátano, al que le pone kilo de azúcar por cada kilo de harina; y al tercero, de zanahoria, le pone de kilo de azúcar por cada kilo de harina. Cuál pastel es el más azucarado?. Si 8 de cada 0 niños tienen miedo, a la oscuridad, cuál es el porcentaje de niños que tienen miedo a la oscuridad? Obtenga la razón y multiplique por 00.

9 Unidad IX: Razones y proporciones Unidad IX Tema Proporciones La señora Raquel va al mercado. En un puesto de fruta le dan mangos grandes por $7.00, en otro le ofrecen 6 mangos grandes por $0.50. En cuál puesto le conviene comprar a la señora Raquel? Para conocer en qué puesto le conviene comprar, la señora Raquel establece las razones de los dos puestos. (Le recomendamos usar su calculadora.) En el primer puesto mangos grandes por $7.00, mangos : $7.00 También se puede presentar como fracción, mangos 7 pesos Para hacer fácil la comparación, se convierte la razón a decimal, mangos 7 pesos = 0.57 mango peso

10 Fracciones En el segundo puesto 6 mangos grandes por $0.50, 6 mangos : $0.50 También se puede presentar como fracción, 6 mangos 0.50 pesos Para hacer fácil la comparación, se convierte la razón a decimales, 6 mangos 0.50 pesos = 0.57 mango peso Al comparar las dos razones la señora Raquel se da cuenta que son iguales, ya que en los dos puestos la razón fue 0.57 mango peso Esto significa que en los dos puestos los mangos cuestan lo mismo. Observe usted que en los quebrados de las razones, éstos tienen diferentes números, sin embargo, son iguales. Cuando esto sucede se dice que las razones son proporcionales, mangos 7 pesos = 6 mangos 0.50 pesos Note que las unidades son las mismas y están en la misma posición en los dos lados de la igualdad.

11 Unidad IX: Razones y proporciones Para comprobar lo anterior, una de las formas es convertir las razones a decimales, como lo hizo la señora Raquel, 7 = = 0.57 Esto significa que, 7 = Otra forma de comprobarlo es al multiplicar los números de arriba (el y el 6) por los de abajo (el 7 y el 0.50), pero cruzados. Por ejemplo, al lo multiplico por el de abajo del 6, o sea, por 0.50; y al 6 lo multiplico por el de abajo del, o sea, por 7. Observe, 7 = x 0.50 = 6 x 7 Al realizar la operación se tiene, = Esto se puede hacer porque lo contrario a multiplicar es dividir; como el 7 está dividiendo en el lado izquierdo, puede pasar sin problemas al lado derecho multiplicando, y el 0.50 que está dividiendo del lado derecho puede pasar al lado izquierdo multiplicando al. A las razones: 7 y se les llama proporcionales, porque aun cuando estén en forma de quebrado con diferentes números, son lo mismo, Lo anterior es de gran utilidad, porque si se conoce una razón y uno de los números de su fracción proporcional, se puede calcular el que falta. 7 =

12 Fracciones Ejemplo Si el kilo de carne cuesta $0.00 y la señora Marta sólo tiene $0.00, cuánto le deben despachar? Para resolver este problema, se deben plantear las dos razones, poniendo el signo de interrogación en el lugar que falta un dato. Primera razón kilo de carne por $0.00 kilo : $0.00 kilo 0 pesos Segunda razón? kilos de carne por $0.00? kilos : $0.00? kilos 0 pesos Observe que las unidades, kilos arriba y pesos abajo, son las mismas en las dos razones. Como las razones planteadas son proporcionales, se podrá plantear lo siguiente: kilo? kilos = 0 pesos 0 pesos No olvide que las unidades deben ser las mismas y estar colocadas en la misma posición en los dos lados de la igualdad. 6

13 Unidad IX: Razones y proporciones Para obtener lo que significa el signo de interrogación (que es la cantidad que se busca), multiplique las razones en cruz: kilo 0 pesos =? kilos 0 pesos kilo x 0 pesos =? kilos x 0 pesos Ahora, para dejar sola a la?, los 0 pesos que están multiplicando en el lado derecho pasan al lado izquierdo dividiendo: kilo x 0 pesos 0 pesos =? kilos Como los pesos están arriba y abajo del mismo lado se eliminan, porque, pesos pesos = Al resolver la operación se tiene, 0.75 kilos =? kilos La señora Marta recibirá kilos de carne por $0.00. Recuerde que 0.75 =, por lo que el carnicero dará de kilo por $0.00. Lo anterior se puede comprobar planteando las razones y analizando si son iguales: kilo carne 0.00 pesos = 0.05 kilo de carne pesos Ambas razones son iguales kilo carne 0.00 pesos = 0.05 kilo de carne pesos Cuando las razones proporcionales no tienen las mismas unidades, se deben convertir para que sean las mismas. Para ello, se deben conocer las equivalencias de las unidades de medida. A continuación se presentan las más comunes. kilo =,000 gramos litro =,000 mililitros hora = 60 minutos metro = 00 centímetros centímetro = 0 milímetros metro =,000 milímetros 7

14 Fracciones Ejemplo En la misma carnicería donde kilo de carne cuesta $0.00, llega una señora y le pide a Jorge, el carnicero, que le venda 850 gramos. Cuánto debe cobrar Jorge a la señora? Jorge debe plantear las razones, a) kilo b) 850 gramos 0.00 pesos? pesos Observe que aunque los kilos y los gramos son unidades de peso, NO son lo mismo, por lo que se deben convertir a las mismas unidades, ya sea los kilos a gramos, o los gramos a kilos, pero las dos deben ser iguales. Para hacer la conversión es necesario saber a cuántos gramos equivale un kilo, kilo =,000 gramos 8 Por tanto, multiplico el kilo, que venden a $0.00, por,000 gramos, y ahora ya se que,000 gramos valen $0.00.

15 Unidad IX: Razones y proporciones Las relaciones quedan planteadas de la siguiente manera: a),000 gramos 0.00 pesos b) 850 gramos? pesos Ahora ambas razones tienen las mismas unidades. Como son proporcionales ambas razones se establece la igualdad,,000 gramos 0.00 pesos = 850 gramos? pesos Recuerde que? pesos es la cantidad que no se conoce. Para dejar sola a la? pesos, se hace la multiplicación de los números de arriba por los de abajo, pero cruzados,,000 gramos 0.00 pesos = 850 gramos? pesos,000 gramos x? pesos = 0.00 pesos x 850 gramos Como los,000 gramos de la izquierda están multiplicando se pueden pasar a la derecha dividiendo, 0.00 pesos x 850 gramos? pesos =,000 gramos Como los gramos están arriba y abajo, del lado derecho, se pueden eliminar, porque, 0.00 pesos x 850 gramos? pesos =,000 gramos gramos = gramos,000? pesos = pesos,000? =.00 pesos Jorge, el carnicero, debe cobrar $.00 por 850 gramos de carne, siempre y cuando un kilo cueste $

16 Fracciones Rebe va hacer un pastel de elote. El libro de cocina de Roger dice que debe usar los siguientes ingredientes para seis personas: tazas de granos de elote barrita de mantequilla 6 huevos taza de harina taza de azúcar Cuánto necesitará Rebe de granos de elote, de azúcar y de huevos, para hacer un pastel para 0 personas? (Donde no se encuentren los datos colóquelos usted.) La receta es para 6 personas, por lo que debe plantear las razones y sus proporciones para 0 personas, de los granos de elote, azúcar y huevos. a) tazas de granos de elote 6 personas =? tazas de granos de elote 0 personas b) taza de azúcar 6 personas =? tazas de azúcar 0 personas c) 6 huevos 6 personas =? huevos personas 50

17 Unidad IX: Razones y proporciones Para dejar solos los signos de interrogacion se deben hacer las multiplicaciones en cruz y realizar las operaciones. a) tazas de granos de elote x 0 personas =? tazas de granos de elote x 6 personas Como las 6 personas están multiplicando del lado derecho pasan del lado izquierdo, tazas de granos de elote x 0 personas 6 personas =? tazas de granos de elote como personas personas =, se eliminan. 0 Resolviendo las operaciones se tiene, 6 el pastel que alcanza para 0 personas, = las tazas de granos de elote para tazas de granos de elote Como es igual a, entonces se tendrá que, para hacer un pastel de elote para 0 personas Rebe debe usar 6 tazas de granos de elote b) Azúcar. De las razones proporcionadas, taza de azúcar x 0 personas =? tazas de azúcar x personas, pasando a las 6 personas que están del lado derecho multiplicando al lado izquierdo, las relaciones quedan así: taza de azúcar x 0 personas 6 personas =? tazas de azúcar Resolviendo las operaciones se tiene, 0 6 tazas de azúcar =.666 tazas de azúcar Como =, entonces para 0 personas se requieren tazas de azúcar 5

18 Fracciones c) Huevos. De las razones proporcionales se tiene, 6 huevos x 0 personas =? huevos x 6 personas pasando a las 6 personas del lado derecho al izquierdo dividiendo, porque estaban multiplicando, tendremos: 6 huevos x 0 personas personas =? huevos Explique por qué se eliminan las personas. Resolviendo las operaciones se tiene, 60 6 huevos = 0 huevos El pastel para 0 personas necesitará 0 huevos Como puede usted notar, al conocer Rebe las cantidades necesarias para hacer el pastel para 6 personas, por medio de razones y proporciones obtuvo las que se necesitarán para cocinar un pastel de elote para 0 personas: 6 tazas de granos de elote tazas de azúcar y 0 huevos 5

19 Unidad IX: Razones y proporciones El problema anterior se podría resolver de manera más sencilla. Ésta sería encontrando la razón en la que van a crecer o decrecer las raciones. Si se necesita conocer cuánto será necesario para 0 personas y se conoce la receta para seis, la razón debe ser un número mayor que uno, pues los ingredientes van a aumentar. Así, se puede plantear la razón de la siguiente manera: 0 : =.666 Número por el que se deben multiplicar los ingredientes para 6 personas y se obtendrán las cantidades necesarias para 0. Observe usted. Ingredientes para 6 personas tazas de granos de elote 6 huevos taza de azúcar 0 Estas cantidades se deben multiplicar por la razón de =.666, 6 obtener los ingredientes para hacer el pastel para 0 personas. para tazas de granos de elote x.666 = tazas de granos de elote = 6 tazas de granos de elote 6 huevos x.666 = huevos = 0 huevos taza de azúcar x.666 =.666 tazas de azúcar = tazas de azúcar Son las mismas cantidades obtenidas planteando cada una de las razones y sus proporciones. Si la pretensión fuera que en lugar de cocinar un pastel para 0 personas, se cocinará uno para, la razón debe ser un número menor a, porque los ingredientes van a disminuir. 5

20 Fracciones Observe. Si se necesita conocer la cantidad de ingredientes necesarios para cocinar un pastel para personas y sólo se conocen los que se requieren para 6, se establece la razón de: : 6 = = número por el que se deben multiplicar los ingredientes para cocinar un pastel para personas. Haga usted mismo las cuentas. ) tazas de granos de elote x 0.5 = tazas de granos de elote ) 6 huevos x = huevos ) taza de azúcar x 0.5 = tazas de azúcar Ejemplo Para hacer un flan de frutas para 8 personas se necesitan: taza de fresas medianas rebanadas de piña tazas de leche condensada 6 huevos taza de azúcar 5 Qué ingredientes se necesitarán si se quiere hacer un flan para personas? Como se van a necesitar más ingredientes para personas que para 8, el número que resulte de la relación debe ser mayor que. La relación que se debe establecer es: Haga usted los cálculos en su cuaderno. : 8 = =.5 8

21 Unidad IX: Razones y proporciones Problemas. Amelia va a pintar su departamento. En la tienda de pintura, le dicen que por cada litro de pintura le alcanza para pintar 8 m. Si su departamento tiene 60 m de muros y techo, cuánta pintura debe comprar?. Para cocinar un pastel que lleva de kilo de harina se necesita de kilo de azúcar. Cuánta azúcar se necesitará para hacer un pastel que emplea kilo de harina?. Para hacer un postre llamado "jamoncillo" que alcance para 6 personas se necesitan los siguientes ingredientes: 6 yemas tazas de azúcar taza de leche cucharada sopera de vainilla cucharada sopera de piñones Cuánto se necesitará de cada uno de los ingredientes si se quiere hacer para 9 personas? 55

22 Fracciones Algunas recomendaciones para conversión de fracciones a decimales En las unidades anteriores se hizo una presentación de las fracciones y cómo se utilizan en algunos ámbitos. También se insistió en que todas las operaciones (suma, resta, multiplicación y división) con fracciones se pueden realizar con gran facilidad al convertir a las fracciones en decimales. Pero en algunas ocasiones se requiere que los resultados de esas operaciones sean presentados en quebrados, por lo que a continuación se presentan algunas recomendaciones para hacer dicha conversión. Conversión de las fracciones más comunes. En el hogar o en el comercio es común utilizar las siguientes fracciones:,,, y Al realizar las divisiones de estas fracciones se obtiene su equivalencia en decimales: 0.5, 0., 0.500, y Lo anterior significa que cada vez que se tenga una fracción en forma de quebrado, ésta puede ser convertida a decimal. Así por ejemplo, tenemos: =.50 6 = =.750 =.50 =. Con el simple hecho de recordar las equivalencias en quebrados de los decimales 0.5, 0., 0.5, y 0.750, se puede hacer la conversión de manera automática. Con las fracciones convertidas en decimales se pueden hacer todas las operaciones que en la vida cotidiana son necesarias. Observe usted: + + = = 0.5 Y como se sabe que 0.5 es igual a, se puede decir que = 0

23 Unidad IX: Razones y proporciones De la misma manera se pueden realizar otras operaciones, como las siguientes, y poner sus resultados en decimales o en quebrados: - = =.5 = x =.5 x = 7.5 = 7 =.5.5 =.0 En todos estos casos, los decimales resultantes coinciden con una de las fracciones más utilizadas. Sin embargo, hay ocasiones en las que los decimales resultantes no corresponden a estas cinco fracciones, por lo que es necesario tener en cuenta algunas equivalencias que pueden ayudar, como las que se muestran en la siguiente tabla guía. Fracción Decimal Fracción Decimal Fracción Decimal Estos no son todos los quebrados que se pueden convertir a decimales, sin embargo, pueden ayudar. 57

24 Fracciones Observe usted las siguientes operaciones: x =.5 x.5 = 8.5 Al buscar en la tabla la fracción 0.5 encontramos que es equivalente a, 8 por lo que podemos escribir, =.5 x.5 = 8.5 = 8 x 8 Otro ejemplo lo tenemos con la siguiente operación: 5 x = 5.75 x.5 = Al buscar la equivalencia de en la tabla encontramos que es igual a 7, por lo que se puede decir que, = 5 8 Sin embargo, pueden haber fracciones que no tengan equivalencia en la tabla, como a continuación se observa: x =. x.75 = Los decimales no tienen equivalente en la tabla, y es muy difícil conocer su equivalencia en quebrados, por lo que se recomienda dejar la cantidad en decimal. Ejercicios Haga las siguientes conversiones utilizando la tabla guía. a).56 = b) 7.7 = c).50 = d).65 = e) = f) 9.5 = 58 5 Ejemplo g).87 = h) 0.75 = i) = j).78 = k). =

25 Autoevaluación Muchas felicidades! Con esta unidad usted acaba de terminar la segunda parte de este libro, Fracciones. Los últimos temas que estudió fueron: Razones y Proporciones. Para saber cuál ha sido su avance en esta unidad es conveniente que realice la siguiente autoevaluación. Si tiene dudas en algunos ejercicios, pregunte a sus amigos o a quien le pueda ayudar, aparte de consultar su libro, usar su calculadora y utilizar todo el material que necesite. Después revise sus respuestas y decida si continúa con el libro de Geometría y medición.. Teresa compró un televisor con un costo de $,500.00, que va a rifar con la venta de 00 boletos. a) Lucy, su vecina, compró 5 boletos de los 00. La razón correcta de este enunciado es, que se lee también como de. b) Aurora compró 9 boletos de los 00. La razón correcta de este enunciado es.. Don Pepe compró una caja de vasos de cristal que contiene 80 vasos, de los cuales tres están rotos. Qué porcentaje de vasos están rotos?. Si Teresa pagó $60.00 por 6 boletos para la feria, cuánto pagó Aurora por 9 boletos?. Si Aurora pagó $0.00 por 7 pares de calcetines, cuánto pagará Cesar por pares de calcetines que cuestan lo mismo? 5. Enedina compró kilos de queso panela en $ Si Lety compró 5 kilos del mismo queso, cuánto pagó? 59