CÁLCULO DEL TIEMPO MEDIO DE LA FASE METAESTABLE EN EL MODELO DE ISING BIDIMENSIONAL A PARTIR DE SIMULACIONES EN EQUILIBRIO. L. H. Barbosa, J. D.

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1 CÁLCULO DEL TIEMPO MEDIO DE LA FASE METAESTABLE EN EL MODELO DE ISING BIDIMENSIONAL A PARTIR DE SIMULACIONES EN EQUILIBRIO L. H. Barbosa, J. D. Muñoz 1 Universidad Central, Universidad Nacional de Colombia 2 Universidad Nacional de Colombia (Recibido 10 de Oct.2005; Aceptado 24 de Mar. 2006; Publicado 16 de Jun. 2006) RESUMEN En este trabajo se estudia un estado metaestable del modelo de Ising bidimensional bajo la dinámica de Metrópolis[1] a temperatura fija. Particularmente, se calcula el tiempo de escape de la fase metaestable implementando un nuevo método (MultiBHM) basado en ideas de la Dinámica Proyectiva[2] y del Broad Histrogram Method[3]. Distinto a los métodos actuales, el nuestro toma muestras de simulaciones de Monte Carlo en equilibrio, en vez de hacerlo a lo largo de escapes. Esto permite no solo esquivar los inmensos tiempos de CPU que un solo escape suele requerir, sino que además, permite calcular para cualquier campo externo y cualquier temperatura a partir de una única toma de datos. El método usa el muestreo multicanónico[4] para recorrer todo el espacio de fase de energía de intercambio y magnetización (E,M). Para validar nuestro método calculamos el tiempo de escape de un modelo de Ising de tamaño 8x8 para distintos valores de campo. Asimismo, comparamos con simulaciones directas del proceso de Metrópolis para un rango de temperaturas por debajo de la temperatura crítica. Palabras Claves: tiempo medio, fase metaestable, modelo de Ising bidimensional ABSTRACT In this work a state metaestable of the pattern of two-dimensional Ising is studied under the dynamics of Metrópolis[1] to fixed temperature. Particularly, the time of escape of the phase metaestable is calculated implementing a new method (MultiBHM) based on ideas of the Dynamic Proyectiva[2] and of the Broad Histrogram Method[3]. Different to the current methods, ours taking samples of simulations of Mount Carlo in equilibrium, instead of making it along escapes. This not allows alone to avoid the immense times of CPU that a single escape usually requires, but rather also, it allows to calculate for any external field and any temperature starting from an only one taking of data. The method uses the sampling multicanónico[4] to travel the whole space of phase of exchange energy and magnetization (E,M). To validate our method we calculate the time of escape of a model of size Ising 8x8 for different field values. Also, we compare with direct simulations of the process of Metropolis for a range of temperatures below the critical temperature. Keywords: average time, metaestable phase, bidimensional model of Ising 1. Introducción En este trabajo se estudia un estado metaestable del modelo de Ising bidimensional bajo la dinámica de Metrópolis[1] a temperatura fija. Este modelo constituye el modelo de trabajo más sencillo para estudiar sistemas metaestables. Aunque los pasos de Metrópolis no tienen 982

2 REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 2, 2006 ninguna relación directa con el tiempo real (en segundos), el modelo de Ising con la dinámica de Metrópolis es un sistema dinámico por derecho propio que presenta muchos de los comportamientos observados en sistemas reales. Los métodos computacionales que se desarrollan para este modelo de prueba son aplicables después al estudio de sistemas metaestables reales, como por ejemplo microsistemas magnéticos[5]. El modelo de Ising consiste de un conjunto de espines σ i arreglados en una cuadrícula, con solo dos posibles valores por espín, σ i = ±1. El hamiltoniano del sitemas es H = J σ σ H, (1) i j i j σ, i i donde H es el campo magnético externo y J es la llamada constante de acople. Al primer término lo llamamos energía de intercambio, E. La dinámica de Metrópolis consiste en tomar un espín al azar, calcular el cambio de energía total que se obtendría al voltearlo. Si el cambio de energía es menor que cero, el espín se voltea siempre, si no, se voltea con la probabilidad, exp(- E /kt), siendo T la temperatura y k la constante de Boltzman. Cuando se tiene una red de Ising bidimensional con todos sus espines hacia abajo, en presencia de un campo magnético, H, contrario a la dirección inicial de los espines del sistema, el sistema exhibe metaestabilidad. Muy importante es el tiempo promedio que toma el sistema en escapar del estado metaestable. Este se denomina, tiempo de escape y se define como el tiempo promedio <τ> que el sistema requiere para voltear la mitad de sus espines [2], promediando sobre un gran número de procesos de escape. Este tiempo <τ> es función del campo H y de la temperatura T. En términos computacionales, el tiempo corresponde al número de pasos de Monte Carlo que se necesitan para que la magnetización se nula[7]. Para calcularlo se puede utilizar la dinámica de Metrópolis[2]. El problema es que esta simulación directa de proceso requiere bastante tiempo real de computo, y además hay que hacer una corrida para cada valor de campo. Por ejemplo, para una red de Ising con L=20, y con un campo H=0.75, la simulación para escapes y para un rango del inverso de la temperatura entre 0.5 y 1.8, suele requerir cerca de dos semanas. Entonces, surge la necesidad de métodos[2] más rápidos y eficaces. Uno de aquellos métodos es la dinámica proyectiva (DP). En este método el proceso de escape se puede aproximar como un proceso de de Markov a lo largo del eje de magnetización y se puede calcular a partir de las probabilidades promedio de crecer (grow) en magnetización, G(M), acercándose a la estabilidad, y de disminuir (shrink) en magnetización, S(M), alejándode de ella. Al formalizar el método, la probabilidad de llegar desde una magnetización M a una M en un tiempo t está dado por la expresión, PMt (, ) = W M M ' P( M ', t), (2) t { M '} donde W es la matriz de Markov constante en el tiempo que representa la probabilidad de transición de un estado M a uno M. La probabilidad de permanecer, se expresa por esta matriz como, W M M ' = 1 G( M) S( M) si M = M ' (3) Las cantidades G y S son constantes en el tiempo. El proceso de escape mantiene al sistema saltando constantemente hacia adelante y hacia atrás a lo largo del eje de magnetización. Entonces, es posible calcular los tiempos de residencia promedio h(m) que el sistema 983

3 demora en cada valor de M a partir de los valores de G y de S. Por tanto, si hay un escape efectivo es posible calcular a partir de (3) el tiempo de residencia h(m) y luego, el tiempo de permanencia total o tiempo de escape[2]. Por supuesto, este método permite reducir el número de escapes requeridos para calcular con precisión el tiempo de escape en casi dos órdenes de magnitud. Sin embargo, los promedios de G y S se calculan realizando escapes y sigue siendo necesario realizar una corrida para cada valor de campo. Nosotros hemos subsanado este último problema al implementar una simulación desde un proceso en equilibrio. Para ello hemos implementado un nuevo método, MultiBHM combinando ideas del BHM y muestreando con el método multicanónico. 2. Calculo del tiempo de Escape a partir de simulaciones en equilibrio Para calcular las funciones G y S hemos estudiado el espacio de fase (E,M) tomando muestras con el método múlticanónico el cual permite barrer todo el espacio de fase. Asimismo, para estudiar la configuración de energía del sistema en cada valor de magnetización, y de acuerdo a los posibles cambios de energía del modelo de Ising (0, ±4, ±8), hemos utilizado la idea de los promedios microcanónicos de las cantidades macrscópicas Nup y Ndn del método de histograma ancho(bhm). En consecuencia, consideremos un sistema de Ising Bidimensional con la dinámica de Metrópolis (giro de un único espín por paso) y campo externo H orientado hacia arriba que está escapando del estado metaestable (todos los espines hacia abajo) hacia el estado estable (todos los espines hacia arriba). Supongamos que el sistema se encuentra en un estado x con energía de intercambio E y magnetización M. Si ya sabemos que el sistema tiene magnetización M, cuál será la distribución de energías de la configuración x que pertenece a algún escape y tienen ese valor de magnetización?. En nuestra propuesta vamos a asumir que tal distribución es proporcional al término de Boltzmann. En otras palabras, si se sabe que el sistema tiene magnetización M, la probabilidad de que aparezca en el estado x es, exp ( ( E HM) / kt) ( E HM) P x M = ; ZM ( ) = Ω( EM, )exp ZM ( ) E kt (4) Sabiendo ya que el sistema tiene magnetización M, G(M) y S(M) se puede calcular sumando sobre todas las energías los valores promedio G(E,M) y S(E,M) ponderados por la probabilidad, P(x M) de que el sistema tenga efectivamente esa energía. Ahora bien, A qué es igual G(x)? Según la dinámica de Metrópolis, todos los espines del sistema tienen la misma probabilidad de ser escogidos para girar, pero no la misma probabilidad de aceptar girarlos. Tal probabilidad depende de los cambios en energía de intercambio, E, y en magnetización, M, que se producirían si se volteara el espín, según, la rata de aceptancia de Metrópolis[6]. Esta probabilidad es la misma para todos los espines de la configuración x que, al voltearsen, producen los mismos cambios E y M. Si M = 2, esta probabilidad contribuye a G(M), si M = -2, a S(M). Sea, M el número de espines que producen tales cambios, entonces G(x) y S(x) resultan ser, 1 E, E, 2 Gx ( ) = N( x) P( E, + 2) ; Sx ( ) = N( x) P( E, 2) (5) Ahora, se puede calcular G(E,M) y S(E,M) como, 984

4 REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 2, E, E, 2 G( E, M) = P( E, + 2) N( EM, ); S( E, M) = P( E, 2) N( EM, ) (6) Recapitulando, con multicanónico se toman muestras (y se guardan) del plano (E,M) para calcular la densidad de estados y los promedios Nup y Ndn. Luego se construye un algoritmo que lea esos datos y se calcula G(E,M) y S(E,M) por dinámica proyectiva. Finalmente utilizando este último, se calcula el tiempo de escape. En este caso los resultados fueron, b) Figura No.1. En la figura (a) se muestra el tiempo de escape en función del inverso de la temperatura para una red de Ising 8x8 en presencia de un campo H=0,75J. MultiBHM(círculos) y Metrópolis (triángulos). En b) se muestra la misma curva para distintos valores de campo. La línea vertical es, Tc 2,269..J. Conclusiones En este trabajo hemos propuesto un nuevo método (MultiBHM) para calcular los tiempos de escape promedio, de estados metaestables en el modelo de Ising Bidimensional. Este nuevo método se basa en la dinámica proyectiva combinado con ideas del BHM. A diferencia de los métodos anteriores, el nuestro toma muestras de simulaciones de Monte Carlo en equilibrio, en vez de hacerlo a lo largo de escapes. Esto permite esquivar los inmensos tiempos de CPU y además permite calcular para cualquier campo externo y cualquier temperatura a partir de una única toma de datos. Hemos concordado solo en un cierto rango de temperaturas, la razón de la dicrepancia quizas se deba a que a temperaturas bajas el proceso de escape no es un proceso de Markov. En tal caso debemos reconsiderar nuestra hipótesis dada en (4). Es muy probable que se necesite relajar más el sistema para tomar muestras e incluso aumentar el número de iteraciones multicanónicas para que el histograma de visitas sea suficientemente plano. De todas maneras este trabajo muestra por primera vez que es posible calcular tiempos de escape a partir de muestras obtenidas de simulaciones en equilibrio. Referencias [1] Metrópolis, A.W. Rosemblut, A. H. Teller, J.Chem. Phys. 21, (1953) [2] Novotny M. A., A new aproach to an old algorithm... Computer in Physics, V9, 1 Jan/Feb (1995). [3] Lima A.R., de Oliveira P.M.C., Penna T.J.P..B H M. Solid State Communications, 114 (2000). [4] B. A. Berg, y T. Neuhaus, Phys. Rev. Lett. 68, 9-12 (1991). [5] P. A. Rikvold and B. M. Gorman, Reviews of Computational Physics I, (World Scienti.c),

5 [6] M.L. Guerra, J.D. Muñoz, Int. J. of Modern Phys. (Word Scienti.c) C, Vol 15,3,