"Unidad II" Razones trigonométricas. Ing. Arnoldo Campillo Borrego.

Transcripción

1 "Unidad II" Razones trigonométricas Ing. Arnoldo Campillo Borrego. 1

2 ÍNDICE Definición de funciones trigonométricas.pag. 3 Conversión de ángulos..pag. 3 Conversión de grados a radianes pag. 3 Conversión radianes a grados.pag. 4 Razones trigonométricas..pag. 5 Razones trigonométricas complementarias..pag. 8 Cálculo de razones trigonométricas pag. 8 Obtención de las razones trigonométricas de los ángulos de 30, 45 y 60...pag. 10 Resolución de triángulos rectángulos utilizando ángulo de elevación y de depresión. pag. 13 Ángulo de depresión...pag. 13 Ángulo de elevación...pag. 13 Bibliografía...pag. 14 2

3 1.2 definiciones. Funciones trigonométricas. Trigonometría es el área de las matemáticas que estudia los triángulos y las relaciones entre sus elementos. Aunque aparentemente sólo estudia los triángulos y las relaciones entre sus elementos, esta rama de las matemáticas nace de la necesidad de solucionar varios problemas como el cálculo de áreas, distancias y trayectorias, cuya solución se observó a partir de la resolución de triángulos. Como ejemplos claros están: el tener métodos de navegación para no perderse y seguir la mejor trayectoria, el cálculo del tiempo a partir del desarrollo de calendarios, el conocimiento del Universo en cuanto a la posición y distancia de los objetos celestes en, y general, toda la astronomía está fundamentada en esta parte de las matemáticas. Conversión de ángulos en grados a radianes y viceversa. Un radián se define como la medida del arco sobre la circunferencia de radio 1 que mide exactamente lo mismo que la longitud del radio de la circunferencia, es decir, 1; los radianes se miden directamente sobre la circunferencia. Esto es lo que se utiliza para realizar las equivalencias, por lo tanto: 2 π radianes = 360. Por lo cual: π radianes = 180 Como sabes, el valor de π tiene un número infinito de decimales que no son predecibles. Sin embargo, y por cuestiones prácticas se entenderá como valor aproximado de esta constante:

4 Por lo tanto para convertir grados a radianes sólo debes aplicar una simple regla de tres. El número de grados se multiplica por el valor de π y se divide entre 180. Ejemplo: Convertir 45 a radianes. Solución: Se realiza la siguiente operación: 45 x π = 45 x = Esto quiere decir que 45 = radianes. Cabe hacer una aclaración, en algunas ocasiones que quiere ser más exacto, en vez de usar se deja indicado el valor de en los radianes. Por ejemplo, como lo viste anteriormente, 45 podría escribirse de la siguiente manera: simplificando primero y obteniendo tercera a 45 y 180 se obtiene 15 y 60. Como todavía pueden simplificarse, se les saca quinceava a 16 y 60 y sus respectivos resultados son 1 y 4; el 1 no es necesario escribirlo, por eso queda como se indica a continuación: 45 π = 15 π = π Haciendo todas las simplificaciones 45 sería lo mismo que π rad. 4 Así como pueden convertirse grados a radianes, también pueden convertirse radianes a grados de una manera muy similar. Para hacer la conversión, la cantidad en radianes se multiplica por 180 y se divide 4

5 entre el valor de π. Por ejemplo, si se quiere saber cuántos grados son 3.5 radianes, se hacen las siguientes operaciones: Que escrito en unidades es: 3.5 x 180 = 630 = rad = = " En la última expresión ya se convirtió a minutos y segundos. 1.3 Razones trigonométricas Cuando dos triángulos rectángulos son semejantes como los que se presenta en la imagen, significa que al dividir cualquier pareja de sus lados correspondientes se obtiene un valor fijo, al que se le llama constante de proporcionalidad. En términos de sus lados, lo anterior se representa así: AB = CB = AC AE DE AD 5

6 Al sustituir los valores respectivos de las medidas de los lados se obtiene: 5.5 = 3.63 = 6.6 = Si tomas sólo una igualdad, haciendo operaciones simples, encontrarás otras relaciones que van más allá de la semejanza de los triángulos. 5.5 = Si cada denominador se pasa multiplicando hacia el otro lado, queda la siguiente igualdad: (5.5 x 1.32) = (2 x 3.63) Comprueba la relación anterior. Y también al pasar dividiendo, la siguiente igualdad se mantiene. 5.5 = 2 = Esta última relación es la división entre dos lados del mismo triángulo, si lo escribimos en términos del nombre de los lados, la expresión queda: AB = AE = cateto grande CB DE cateto chico Esas relaciones son denominadas como razones trigonométricas. En el ejemplo anterior, para diferenciar a los catetos se les denominó cateto grande y cateto chico, pero podría ocurrir que ambos fueran iguales. Entonces, una forma de diferenciar los catetos es señalándolos con respecto a 6

7 uno de los ángulos fijos. Ahora fija el ángulo agudo al cateto que está enfrente de él y denomínalo cateto opuesto y al que está al lado de α llámale cateto adyacente. Los catetos quedarían de la siguiente manera: Por otro lado, si se toma el mismo triángulo, pero ahora se toma como referencia el ángulo β, cambiarán los lugares del cateto opuesto y del adyacente, porque el cateto opuesto será aquel que se encuentra al lado del ángulo β y el cateto adyacente el que se encuentra al lado del ángulo. 7

8 Si observas, el triángulo es el mismo, pero a cuál se le llama cateto opuesto y a cuál cateto adyacente, dependerá del ángulo de referencia que se tome. Los ángulos de referencia siempre serán los agudos, y el lado que se encuentra en frente del ángulo recto siempre será la hipotenusa. Como cada pareja de lados de un triángulo rectángulo puede dividirse y el orden es importante, si se toma uno de los ángulos agudos fijo existen seis divisiones posibles, cada una de las cuales tiene un nombre particular. En general se les denomina como razones trigonométricas de un ángulo. A partir del siguiente triángulo y el ángulo de referencia α, se definen de la siguiente manera: Seno de alfa es: sen α = cateto opuesto hipotenusa Coseno de alfa es: cos α = cateto adyacente hipotenusa Tangente de alfa es: tan α = cateto opuesto cateto adyacente Cotangente de alfa es: cot α = hipotenusa cateto opuesto Secante de alfa es: sec α = hipotenusa cateto adyacente Cosecante de alfa es: csc α = hipotenusa cateto opuesto 2.3 Razones trigonométricas complementarias. Si observas las razones trigonométricas. te darás cuenta que teniendo sólo las tres primeras seno, coseno y tangente, denominadas como básicas, las demás pueden calcularse de manera muy sencilla a partir de ellas. En lenguaje matemático: cot α = cateto adyacente = 1 = 1 cateto opuesto tan cateto opuesto / cateto adyacente Asi mismo, puede aplicarse para secante y cosecante: 8

9 sec = hipotenusa = 1 = 1 cateto adyacente cos cateto adyacente / hipotenusa csc = hipotenusa = 1 = 1 cateto opuesto sen cateto opuesto / hipotenusa Cálculo de razones trigonométricas. De esta manera puede observarse que: La razón trigonométrica recíproca de seno es cosecante. La razón trigonométrica recíproca de coseno es secante. La razón trigonométrica recíproca de tangente es cotangente. Por lo tanto: La razón trigonométrica recíproca de cosecante es seno. La razón trigonométrica recíproca de secante es coseno. La razón trigonométrica recíproca de cotangente es tangente. Al conocer el valor de las tres razones trigonométricas básicas, podrás calcular las recíprocas a partir de ellas. Si conoces cuánto vale alguna de las funciones trigonométricas con respecto a un ángulo podrás identificar cuánto vale el ángulo. Para lograrlo, se utilizan funciones trigonométricas inversas que no debes confundir con las recíprocas. Estas funciones son conocidas como arco seno, arco coseno y arco tangente. En una calculadora científica comparten botón con seno, coseno y tangente, por lo que hay que emplear la segunda función (2df, o shift o inv), y aparecen como sen- 1, cos-1 y tan-1. En la siguiente página de internet encontrarás una calculadora científica en la que puedes usar en forma directa los modos deg para grados y rad para radianes. Además podrás calcular funciones trigonométricas inversas con las funciones asin, acos y atan. 9

10 2.5 Obtención de las razones trigonométricas de los ángulos de 30, 45 y 60 Para obtener los valores de las funciones trigonométricas sobre ángulos de 30, 45 y 60 las calculadoras dan un valor aproximado, esto debido a los números irracionales. Un número irracional es todo tipo de número que no se puede escribir como una fracción y que tiene expansión decimal infinita e impredecible. Por ejemplo, si trazas un rectángulo donde uno de sus lados mida 2 unidades y otro de sus lados 1 unidad, y después trazas su diagonal, usando el teorema de Pitágoras puede verse que la diagonal mide: Diagonal = = = 5 Y la raíz de 5 no es exacta, de hecho es infinita. A pesar de que aritméticamente no es posible encontrar todos los decimales, geométricamente se tiene un segmento que mide exactamente 5, la siguiente imagen la distancia es 5 entre los dos puntos verdes, que es algo más que 2. 10

11 El siguiente triángulo es semejante a los triángulos formados al dividir el cuadrado de lado 1 por una de sus diagonales. Aplicando el Teorema de Pitágoras encontramos la hipotenusa en términos de a = = 2 Con los valores de los lados del triángulo anterior, calcula las funciones trigonométricas de 45. Como ambos ángulos son iguales, es indistinto cual tomes como referencia para elegir el cateto opuesto y el adyacente. sen 45 = cateto opuesto = a = 1 hipotenusa a 2 2 cos 45 = cateto adyacente = a = 1 hipotenusa a 2 2 tan 45 = cateto opuesto = a = 1 = 1 cateto adyacente a 1 cot 45 = cateto adyacente = a = 1 = 1 cateto opuesto a 1 11

12 sec 45 = hipotenusa = a 2 = 2 = 2 cateto adyacente a 1 csc 45 = hipotenusa = a 2 = 2 = 2 cateto opuesto a 1 Calculemos las funciones trigonométricas tanto para el ángulo de 30, como para el ángulo de 60. Para encontrar el otro cateto aplicamos el Teorema de Pitágoras y nos da como resultado z 3/4 sen 30 = cateto opuesto = z / 2 = z = 1 hipotenusa z 2z 2 cos 30 = cateto adyacente = z 3/4 = 3/4 hipotenusa z tan 30 = cateto opuesto = z / 2 = z = 1 cateto adyacente z 3/4 2z 3/4 2 3/4 cot 30 = cateto adyacente =z 3/4 = 2 3/4 cateto opuesto z / 2 sec 30 = hipotenusa = z = 1 cateto adyacente z 3/4 3/4 csc 30 = hipotenusa = z = 2z = 2 cateto opuesto z / 2 z sen 60 = cateto opuesto = z 3/4 = 3/4 hipotenusa z cos 60 = cateto adyacente = z / 2 = z = 1 hipotenusa z 2z 2 tan 60 = cateto opuesto = z 3/4 = 2z 3/4 = 2 3/4 cateto adyacente z / 2 z cot 60 = cateto adyacente = z / 2 = z = 1 cateto opuesto 2 3/4 2z 3/4 2 3/4 sec 60 = hipotenusa = z = 1 cateto adyacente z / 2 z csc 60 = 12 hipotenusa = z = 1 cateto opuesto 2 3/4 3/4

13 2.6 Resolución de triángulos rectángulos utilizando ángulo de elevación y de depresión. Ángulo de depresión. Ángulo formado por la horizontal y la línea imaginaria entre el observador y el objeto. Cuando éste mira hacia abajo. Ángulo de elevación. Ángulo formado por la horizontal y la línea imaginaria entre el observador y el objeto, cuando este mira hacia arriba. 13

14 Tanto en el ángulo de elevación como en el de depresión, se aplican las mismas funciones trigonométricas para encontrar el valor buscado, sea el ángulo o un lado, el nombre que se le da a cada ángulo se debe simplemente a la apreciación que tenga el observador con respecto al objeto, esto es, si se encuentra el observador viendo hacia arriba o hacia abajo, básicamente los nombres se emplean dependiendo del evento en cuestión, si se tratara del lanzamiento de un misil o la altura de un edificio, estando en tierra, hablaríamos de un ángulo de elevación en cambio si queremos calcular la distancia entre la tierra y el sol, tomando como referencia la sombra proyectada por el mismo sol en un objeto, diríamos que se trata de un ángulo de depresión. 14

15 BIBLIOGRAFÍA Geometría y trigonometría Baldor Matemáticas 2 Progreso Editorial Matemáticas 2 Fernández Editores 15