2.ESTADÍSTICA. Página 1

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1 .ESTADÍSTICA Página 1

2 Gráficos y parámetros estadísticos Diagramas de dispersión. Ajuste de una recta Página

3 1. GRÁFICOS Y PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. BARRAS, RECTÁNGULOS Y SECTORES Supongamos que repetimos un experimento cierto número de veces, N. FRECUENCIA ABSOLUTA de un resultado es el número de veces que ocurre dicho resultado cuando el experimento se repite un cierto número de veces. Se representa por f. FRECUENCIA RELATIVA : expresa la relación entre la frecuencia absoluta de un resultado y el número total de repeticiones del experimento. Se representa por f r. FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA= Nº TOTAL DE PRUEBAS f r = f N Ejemplo.- Hemos lanzado simultáneamente cuatro monedas del mismo tipo, anotando el número de caras obtenidas. En total hemos realizado 117 lanzamientos, obteniendo los siguientes resultados: X Nº DE CARAS f FRECUENCIA Construye la distribución de frecuencias relativas. Expresa las frecuencias relativas en forma de porcentaje y dibuja los diagramas de puntos, de barras y de rectángulos. En este caso, la distribución de frecuencias relativas o tabla de frecuencias relativas es: X Nº DE CARAS f r F. RELATIVA 0,077 7,7 % 0,, % 0,368 36,8 % 0,73 7,3 % Estos datos podemos representarlos usando distintos tipos de diagramas: 0,06 6 % PUNTOS BARRAS RECTANGULOS En esta figura se representa el DIAGRAMA DE SECTORES asociado a los datos del problema. El ángulo correspondiente a cada sector se determina de forma que sea proporcional a la frecuencia. Así, el ángulo correspondiente a 1 CARA se obtiene de la siguiente forma : 117 lanzamientos corresponden a 360 o x 117 x = x = Procediendo de forma parecida, obtenemos los siguientes resultados: RESULTADO 0 CARAS 1 CARA CARAS 3 CARAS 4 CARAS ÁNGULO 8 O 80 O 13 O 98 O O o Página 3

4 HISTOGRAMAS 1) Dibuja el diagrama de rectángulos de la siguiente distribución de frecuencias: INTERVALOS Entre 15 y 0 años Entre 0 y 30 años Entre 30 y 40 años Entre 40 y 60 años FRECUENCIAS ABSOLUTAS 10 empleados 35 empleados 5 empleados 30 empleados Observa que la diferente anchura de los intervalos en este diagrama falsea la realidad, ya que parece que el último intervalo tenga mayor frecuencia, lo que no es cierto. Para evitar este problema se utiliza el histograma, que es un diagrama de rectángulos en el que el área de cada rectángulo es igual a la frecuencia correspondiente. La altura de cada rectángulo (que se denomina densidad de frecuencia) se calcula mediante la siguiente fórmula: Densidad de frecuencia = frecuencia longitud del intervalo ) Halla las densidades de frecuencia y dibuja el histograma correspondiente a los datos del apartado anterior. PIRÁMIDE DE POBLACIÓN La siguiente gráfica es una pirámide de población. Representa dos histogramas, uno para hombres y otro para mujeres. Nos informa de la distribución de población de un país según su relación con la actividad económica en 199 (en millones de personas). a) Halla aproximadamente el número de hombres y mujeres en edad de trabajar que había en 199. b) Halla aproximadamente el número, así como el porcentaje, de hombres y mujeres ocupados. c) Compara la población de hombres y mujeres parados. En qué intervalo de edades se encuentra el mayor número de parados en el grupo de hombres y en el de mujeres?. Página 4

5 MONEDAS Hemos lanzado simultáneamente cuatro monedas del mismo tipo, anotando el número de caras obtenidas. En total hemos realizado 117 lanzamientos, obteniendo los siguientes resultados: Calcula el número medio de caras obtenidas. Si disponemos de una tabla de frecuencias: X Nº DE CARAS f FRECUENCIA DATOS X X 1 X X X N FRECUENCIAS f f 1 f f f N entonces, la media X de los datos se calcula mediante la fórmula: disposición práctica para el cálculo de la media aritmética es la siguiente: N X i i1 N i1 f X En general, la f i i X f Xf X 1 f 1 X 1 f 1 X f X f X n f n X n f n N P Por lo tanto, la media aritmética es P X X o bien f X, N f EDADES En la siguiente tabla se muestra la distribución de edades de los trabajadores de una empresa. Calcula la edad media. EDADES FRECUENCIA Si los datos están agrupados en intervalos, para calcular la media aritmética se utilizan como valores las llamadas MARCAS DE CLASE que son los valores medios de cada intervalo. MENTIR CON ESTADÍSTICAS Dos empresarios discuten sobre el sueldo de sus empleados. Uno de ellos asegura que el salario más representativo de su empresa es de 1713,33 euros; el segundo niega esto, diciendo que el más representativo es de 1400 euros. Observa la distribución de sueldos de la empresa. A cuál de los dos le darías la razón?. Página 5

6 SUELDO Nº DE EMPLEADOS Al valor más frecuente en una estadística se le llama MODA y se representa por m. Hay ocasiones en que la moda es más representativa que la media y viceversa. ATLETISMO a) En un campeonato de atletismo se enfrentan dos equipos A y B de 50 corredores cada uno en la prueba de 00 metros. La distribución de tiempos en cada uno de los equipos es la siguiente: TIEMPO (segundos) EQUIPO A (frecuencia) EQUIPO B (frecuencia) Qué equipo ha conseguido mejor tiempo?. Para decidirte, calcula la media y la moda y dibuja el histograma correspondiente a cada equipo. Cuál crees que debe obtener mejor clasificación?. En algunos problemas no basta con tener la media y la moda, es necesario también medir la dispersión de los datos respecto al centro (respecto de la media). Para ello se puede usar un parámetro estadístico llamado rango que es la diferencia entre el máximo y el mínimo dato. Es más usual utilizar la desviación típica o desviación estándar, cuyo valor se obtiene así: X i f i X i f i X i - X Xi - X X - X f i En esta tabla se cumple: Llamamos varianza al cociente: N P Q media aritmética: Q V = N V = X P N La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir: = V X i La desviación típica representa un promedio de las desviaciones de dada dato X i a la media X. X f b) Calcula los rangos y las desviaciones típicas correspondientes a los dos equipos de corredores. Con este dato, qué equipo debe tener mejor clasificación?. i f X i - X f i f i Página 6

7 USA TU CALCULADORA Consulta en el manual de tu calculadora cómo efectuar cada uno de los pasos que se indican a continuación: Activa el modo SD de tu calculadora: MODE SD. Borra el contenido de la memoria estadística, pulsando INV AC ó SHIFT AC. Introduce datos y frecuencias del siguiente modo: DATO x FRECUENCIA M + X 1 x f 1 M + X x f M X n x f n M + Para calcular la media, activa la función X, pulsando INV 7 ó SHIFT 7. Para calcular la desviación típica, activa la función n, pulsando INV 8 ó SHIFT 8. Además puedes hallar: X f mediante la función X donde el símbolo significa suma. X f mediante la función X f mediante la función n a) Utilizando la calculadora, halla la media y la desviación típica de la siguiente distribución: X f b) Cómo puedes usar la calculadora para borrar datos?. Cómo puedes desactivar el modo SD, volviendo al modo de uso normal?. TU CLASE Te proponemos que recojas información sobre tu clase en los siguientes aspectos: número de hermanos. tiempo invertido para desplazarse de casa al instituto. tallas y pesos. a) Con los datos obtenidos, dibuja: un diagrama de barras para la información referida al número de hermanos. un diagrama de rectángulos para el tiempo de desplazamiento. un diagrama de rectángulos para los pesos. En los dos últimos casos te será útil agrupar los datos en intervalos. Cómo puedes hacerlo?. b) Un histograma es un diagrama de rectángulos en el que el área de cada rectángulo es igual a la frecuencia del intervalo correspondiente. Dibuja el histograma de las tallas de tu clase. c) Analiza la información obtenida: Cuántos hermanos tienen tus compañeros por término medio?. Cuál es el tiempo medio de desplazamiento al instituto?. Cuál es la talla media de la clase?. Y el peso medio?. Hay mucha dispersión en el número de hermanos?. Y en la talla?. Y en el peso?. Y en el tiempo de desplazamiento?. Cuál de las cuatro magnitudes consideradas te parece más dispersa?. Página 7

8 BALONCESTO En la siguiente tabla tienes los puntos totales conseguidos por cada uno de los jugadores de dos equipos de baloncesto en la pasada liga: EQUIPO A EQUIPO B a) Calcula la media y desviación típica de cada equipo. Qué equipo es mejor?. b) Qué equipo tiene puntuaciones menos dispersas en torno a la media?. El coeficiente de variación es el cociente entre la desviación típica y la media de un conjunto de datos estadísticos. CV X Se suele expresar en porcentaje y sirve para comparar y medir la dispersión relativa de distintas poblaciones. En general, no es menos dispersa la población que presenta menos desviación típica, sino la que presenta un menor coeficiente de variación, ya que la dispersión depende también del valor de la media. No es lo mismo una desviación de 5 frente a una media de 10 que una desviación de 5 frente a una media de 100. Siendo las desviaciones típicas iguales, en el segundo caso hay menor dispersión relativa, lo que se traduce en un menor valor del coeficiente de variación. DOS EMPRESAS Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 10 millones de pesetas y una desviación típica de ptas. En otra empresa más pequeña B, la media es 1 5 millones de pesetas y la desviación típica ptas. Calcula mediante el coeficiente de variación, cuál de las dos tiene más variación relativa. MERCADOS El volumen de exportaciones de una empresa tiene una media mensual de dólares, con desviación típica de 9500 dólares. La misma empresa vende mensualmente, en el mercado interior, un promedio de 50 millones de pesetas, con desviación típica de 4 3 millones. Qué mercado es más estable, el mercado interior o el exterior?. SOCIOLOGÍA En un grupo de sociología se han obtenido estas puntuaciones en un test de habilidad mental: Comprueba si en el intervalo (m-, m+) se encuentra aproximadamente el 68% de los datos, siendo m la media y la desviación típica. SOLDADOS Las estaturas aproximadas de 4350 soldados son las siguientes: Estatura (en m) Nº de soldados Decimos que los soldados que tienen su estatura entre m+ y m+3 son altos; si la tienen entre m-3 y m- son bajos, y son normales si la tienen entre m- y m+. Calcula, aproximadamente, el porcentaje de bajos, normales y altos que hay en la muestra. Página 8

9 En los ejercicios anteriores habrás observado que en el intervalo [m-, m+] se encuentran, aproximadamente el 67 % de los datos. También se cumple que: En el intervalo [m-, m+] se encuentra el 67% de los datos. En el intervalo [m-, m+] se encuentra el 75% de los datos. En el intervalo [m-3, m+3] se encuentra el 89% de los datos. En el intervalo [m-4, m+4] se encuentra el 94% de los datos. En el intervalo [m-5, m+5] se encuentra el 96% de los datos. En general, es muy poco probable que un dato se aparte de la media más de tres desviaciones típicas. Este resultado es el Teorema de Tchebycheff y puedes utilizarlo para obtener intervalos centrados en la media que contengan un cierto % de los datos. De esta forma se pueden clasificar los datos estadísticos en bajos, altos y normales. MATERNIDAD En una maternidad se han tomado los pesos (en kg) de 50 recién nacidos, obteniendo estos resultados: a) Calcula la media y la desviación típica b) Halla intervalos, centrados en la media, que contengan el 75 %, 89 %, 94 % y 96 % de los datos, respectivamente. RITMO CARDÍACO A un grupo de 30 personas se le ha tomado el número de pulsaciones por minuto (ritmo cardíaco) y se han obtenido los siguientes resultados: a) Calcula la media y la desviación típica. b) Halla intervalos, centrados en la media, que contengan el 75 %, 89 % y 94 % de los datos, respectivamente. FRECUENCIAS ACUMULADAS La frecuencia acumulada correspondiente a un determinado valor es la suma de todas las frecuencias de los valores anteriores a él más su propia frecuencia. Por ejemplo, hemos efectuado 100 lanzamientos de cuatro monedas obteniendo estos resultados: X Nº DE CARAS f FRECUENCIA La frecuencia acumulada de X= es F() f(0) f(1) f() La frecuencia acumulada de X=4 es F(4) f(0) f(1) f() f(3) f(4) 100. La frecuencia absoluta acumulada correspondiente al último dato coincide con el tamaño muestral N. La frecuencia relativa acumulada correspondiente al último dato es igual a 1. Página 9

10 Si los datos están agrupados en intervalos, las frecuencias acumuladas, absolutas o relativas, se representan se la siguiente forma: Por el extremo derecho de cada intervalo se traza una vertical de altura igual a la frecuencia acumulada, absoluta o relativa, correspondiente. Se unen por una poligonal los extremos de estas verticales. Se completa la poligonal uniendo el extremo izquierdo del primer intervalo con el extremo superior de la primera vertical. La gráfica así obtenida se llama polígono de frecuencias acumuladas. 1) Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas acumuladas correspondiente a los 100 lanzamientos de las cuatro monedas. ) La distribución de trabajadores de una empresa según su edad es la indicada en esta tabla: EDADES (años) FRECUENCIA (nº trabajadores) Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas acumuladas y dibuja el polígono de frecuencias absolutas acumuladas. GAS NATURAL La siguiente gráfica es un polígono de frecuencias acumuladas que muestra los distintos usos del gas natural en Termia es la cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura de una tonelada de agua en 1º C. a) Qué cantidad de energía procedente del gas natural se consumió en total durante el año 1990?. b) A qué se destinó la mayor cantidad de gas natural en 1990?. Página 10

11 USOS DEL GAS NATURAL La siguiente tabla recoge las previsiones para el año 00 de los usos del gas natural. Dibuja el polígono de frecuencias acumuladas correspondiente. USOS PREVISIÓN DEMANDA GAS NATURAL AÑO 00 (millones de termias) Doméstico comercial Industrial Usos no energéticos 700 Cogeneración 4900 Generación eléctrica convencional MEDIANA La mediana de una distribución estadística es el valor que deja a su izquierda un número de datos igual a los que deja a su derecha; es decir, se trata del valor central de la distribución. Se representa por M. Ejemplo 1.- Las calificaciones de 7 alumnos en Lengua y de otros 8 en Matemáticas han sido las siguientes: En las notas de Lengua, la nota 6 deja tres notas a su izquierda y tres a su derecha; es el valor central, porque el número de dados es impar. En las de Matemáticas, como no hay una calificación central, tomamos la media aritmética de las dos centrales: M = '. Si el número de datos es impar, la mediana coincide con el valor central. Si el número de datos es par, hay dos valores centrales; entonces, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Ejemplo.- Las notas que obtuvieron 3 alumnos de una clase, en Matemáticas, en la primera evaluación fueron las siguientes: X f En primer lugar hay que ordenar todos los datos en orden creciente, teniendo en cuenta que hay dos 1, dos, tres 3, cinco 4, siete 5, etc. 1, 1,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10 Como hay 3 datos (que es par), hay dos valores centrales, cuyas posiciones son 3 16 y 17. En la posición 16 hay un 5 y en la posición 17 hay un 5. Luego la mediana es M = También podemos calcular la mediana en este caso utilizando las frecuencias acumuladas: X f F Página 11

12 Como el número de datos N=3 es par, la mediana es media aritmética de los dos valores N centrales que ocupan las posiciones 3 16 y N 1 17, que a la vista de la tabla de frecuencias acumuladas, son 5 y 5, respectivamente, ya que en dicha tabla se observa que desde la posición 1 hasta la posición 18 los datos son siempre 5. Por lo tanto la mediana es: 5 5 M = 5. Si el número de datos N es par, hay dos valores centrales, cuyas frecuencias acumuladas son N y N 1. Entonces la mediana es la media aritmética de estos dos valores centrales. Si el número de datos N es impar, hay un valor central, cuya frecuencia acumulada es N +1. Entonces la mediana es este valor central. Si los datos están agrupados en intervalos, para determinar la mediana dibujaremos el polígono de N frecuencias acumuladas, trazaremos una horizontal por la frecuencia acumulada hasta alcanzar a la gráfica y la proyección sobre el eje horizontal será la mediana. 1) Las temperaturas medias en las capitales de 1 países europeos, en grados centígrados, son: Amsterdam 13 Atenas 5 Berlín 14 Bruselas 15 Copenaghe 11 Dublín 14 Lisboa 0 Londres 15 Luxemburgo 15 Madrid 0 París 15 Roma Calcula en esta distribución estadística la media, la moda y la mediana. ) Esta tabla recoge las medidas de las cinturas de 100 personas. Calcula la mediana. Cintura (cm) Frecuencias CUARTILES Los cuartiles Q 1, Q y Q 3 son los valores que dividen la distribución en cuatro partes iguales, es decir, de igual porcentaje. El primer cuartil deja por debajo un 5% de los datos y por encima un 75%. El segundo cuartil deja un 50% de datos por debajo y un 50% por encima. El tercer cuartil deja por debajo un 75% de los datos y un 5% por encima. El segundo cuartil coincide con la mediana. Decir, por ejemplo, que el precio de un coche está en el tercer cuartil significa que dicho coche es más caro que el 75% de los coches del mercado y que es más barato que el 5% restante. Para hallar los cuartiles de una tabla de frecuencias acumuladas basta tener en cuenta que: La frecuencia acumulada asociada al primer cuartil Q 1 es igual a 4 N. La frecuencia acumulada asociada al segundo cuartil Q es igual a N. 3 N La frecuencia acumulada asociada al tercer cuartil Q 3 es igual a. 4 Página 1

13 Si los datos están agrupados en intervalos, para calcular los cuartiles basta dibujar el polígono de N N frecuencias acumuladas y trazar rectas horizontales por las frecuencias acumuladas, y 4 3 N, hasta alcanzar a la gráfica. Las proyecciones sobre el eje horizontal son los cuartiles. 4 Llamamos rango intercuartílico a la diferencia entre el primer y el tercer cuartil, es decir se cumple que: R = Q 3 Q 1. El rango intercuartílico contiene el 50% de los datos de la muestra. El uso de los cuartiles y del rango intercuartílico permite determinar intervalos centrados en la mediana que contengan la mitad de los datos muestrales. 1) En una clase de 30 alumnas y alumnos se hace una encuesta para conocer el número de hermanos que tienen cada uno y los resultados son los siguientes: Nº HERMANOS FRECUENCIA a) Amplia la tabla con dos columnas que contengan los datos correspondientes a las frecuencias y porcentajes acumulados. b) Observando los datos de la tabla, sabrías hallar la mediana y los cuartiles?. ) En una clase se recogen datos sobre el tamaño de las viviendas en las que residen los estudiantes. Los resultados se indican en la siguiente tabla: SUPERFICIE (m ) 40, 60 60, 80 80, , 10 10, 140 FRECUENCIA a) Representa gráficamente el polígono de frecuencias acumuladas. b) Trazando paralelas al eje X a la altura de los siguientes porcentajes: 5 %, 50 % y 75 %, obtén a partir de la gráfica los valores de los cuartiles y la mediana. Interprétalos. ANDAR Se ha observado en una muestra de 30 niños la edad, en meses, a la que empiezan a andar, obteniéndose los siguientes resultados: Meses Frecuencia a) Justifica por qué la media es superior a la mediana. b) Halla un intervalo de edades centrado en la mediana que contenga al 50% de los datos. c) A partir de qué edad se encuentra el 5% de los niños mas tardíos en comenzar a andar?. LANZAMIENTOS DE UN DADO Los resultados obtenidos al lanzar un dado 00 veces vienen reflejados en la siguiente tabla: Número de puntos Repeticiones x y 35 a) Determina las frecuencias que faltan, x e y, sabiendo que la puntuación media es 3 6. b) Calcula la mediana y determina un intervalo centrado en la mediana que contenga al 50% de los datos. Página 13

14 UN TEST En un test, compuesto de 10 preguntas, a un grupo de 40 personas, se dan los siguientes resultados: Nº de respuestas [0, ) [, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) Nº de personas a) Representa gráficamente la distribución. b) A partir de qué valor se encuentra el 75% de las personas que han obtenido mejor resultado?. c) A partir de qué valor se encuentra el 5% de las personas que han obtenido mejor resultado?. DIAGRAMAS DE CAJA Los diagramas de caja son representaciones gráficas de una distribución estadística unidimensional en las que se reflejan cinco parámetros: límite inferior, primer cuartil, mediana, tercer cuartil y límite superior. A partir de estos cinco parámetros se pueden obtener fácilmente otros dos parámetros: el rango y el rango intercuartílico. Además también dan una medida de la simetría o asimetría de la distribución, del sesgo y de la dispersión. Ejemplo.- Las calificaciones finales de una clase han sido las siguientes: Calificaciones Nº de alumnos Construye el diagrama de cajas y extrae de él toda la información que puedas. El límite inferior es: L 1 3 El límite superior es: L S 9 Si efectuamos los cálculos correspondientes, obtenemos que: El primer cuartil es: Q 1 4, 5 ; La mediana es: M=5; El tercer cuartil es: Q 3 6, 5 Por tanto, el diagrama de cajas es el siguiente: A la vista del diagrama de cajas, se observa que: 1) El bigote de la izquierda es algo más corto que el bigote de la derecha, lo que indica que las calificaciones de la cuarta parte más baja de la clase están algo más concentradas que las calificaciones de la cuarta parte con calificaciones más altas. ) También se observa que la parte izquierda de la caja, que corresponde a los alumnos que han obtenido calificaciones entre el 5% y el 50%, es menor que la de la derecha, lo que indica que las calificaciones de estos últimos alumnos están más dispersas. 3) Es fácil ver que el rango es: L S L Y que el rango intercuartílico es: Q 3 Q1 6, 5 4, 5. También se observa que la distribución es asimétrica y ligeramente sesgada hacia la derecha. Página 14

15 Estudiando el número de hijos de 30 familias elegidas al azar en una ciudad, se han observado los siguientes datos: Calcula la mediana y los cuartiles e interpreta su significado. Representa el diagrama de cajas. CONTAMINACIÓN La siguiente tabla muestra las concentraciones de dióxido de azufre y humo en una zona de tráfico denso de la ciudad de Valencia, durante cada mes de Zona Trànsit dens Diòxid de sofre Fum Gener 6 44 Febrer Març 49 Abril 0 31 Maig 33 Juny 4 8 Juliol 8 36 Agost Setembre 4 50 Octubre 0 60 Novembre 3 55 Desembre 1 79 Mitjana Anual 47 Nota: Concentracions en micrograms / m3 Font: Laboratori Municipal. Ajuntament de València a) Representa gráficamente los datos, mediante diagramas de cajas. b) Halla la mediana y los cuartiles de las dos distribuciones e interpreta los resultados. CONTAMINACIÓN ACÚSTICA El nivel sonoro se mide a partir de un mínimo que se establece en el umbral de percepción del oído humano, este es de 0 db (decibelios), entorno a 130 db se sitúa el nivel del dolor. La O.C.D.E. establece como recomendable valores inferiores a los 65 db. Aquí tienes algunos niveles sonoros de referencia: Sonido de fondo en el campo: entre 15 y 0 db. Sonido en una biblioteca: en torno a 35 db. Sonido de una conversación: en torno a 65 db. Sonido del tráfico: en torno a 70 db. Sonido de un avión despegando: en torno a 10 db. Los siguientes datos proceden del Servicio de Medio Ambiente del Ayuntamiento de Valencia. Las medidas del nivel sonoro se toman en tres puntos de la ciudad: Nuevo Centro, Plaza de España y Pista de Silla. La información indica niveles promedios durante un día para las distintas franjas horarias. Las mediciones se han hecho en el cuarto trimestre de Página 15

16 NIVEL SONORO EN db. Media por hora del día Hora Nuevo Centro Plaza de España Pista de Silla a) Dibuja, en unos mismos ejes, tres gráficas que muestren la evolución, durante el día, del nivel sonoro en cada punto de referencia (Nuevo Centro, Plaza de España y Pista de Silla). Cada una de las gráficas obtenidas se llama serie temporal, porque muestra la evolución en el tiempo de una variable aleatoria. Las hemos dibujado en los mismos ejes para poder establecer comparaciones entre ellas. b) Cuál es el nivel de ruido en cada uno de los puntos de referencia a las 6 de la mañana?. Y a las 14 horas?. A qué horas del día hay un nivel de ruido superior a 7 db?. En qué lugares?. c) Cómo evoluciona el nivel sonoro a lo largo del día?. Redacta un pequeño informe. d) Cuál es el mayor nivel de ruido durante el día?. A qué hora?. Dónde?. Y el menor?. A qué hora?. Dónde?. Se cumple la recomendación de la O.C.D.E.?. e) Dónde hay más contaminación acústica, en Nuevo Centro o en la plaza de España?. Investiga según las diferentes horas del día. f) Habrá mucha variación en la gráfica en otras épocas del año?. Y en otros años?. Página 16

17 . DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN. AJUSTE DE UNA RECTA. RUIDO Y VEHÍCULOS Material: papel milimetrado, regla graduada, calculadora. a) La siguiente tabla indica el número de turismos matriculados y el nivel de ruido por trimestre en la ciudad de Valencia durante el periodo Representa gráficamente estos datos en una hoja de papel milimetrado, situando en el eje horizontal el número de turismos y en el eje vertical el número de decibelios. Turismos matriculados Nivel medio sonoro en db 1995 Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Cómo debes elegir las escalas de los ejes?. Tiene sentido unir los puntos de la gráfica?. A la vista de la gráfica, crees que existe una relación entre el número de turismos y el nivel de ruido?. Si la relación anterior existe, crees que se puede expresar mediante una fórmula?. La gráfica obtenida se llama diagrama de dispersión o nube de puntos y muestra la relación de dependencia entre dos magnitudes. Si los puntos están próximos a una recta, se dice que hay correlación entre dichas magnitudes; si los puntos están muy dispersos y no parecen seguir ningún patrón, se dice que no hay correlación entre las dos magnitudes. Conforme los puntos estén más y más próximos a una recta la correlación es mayor. Si al aumentar una magnitud, aumenta la otra, la correlación es positiva; si al aumentar una magnitud, la otra disminuye, la correlación es negativa. Podemos cuantificar esta idea con un número r denominado coeficiente de correlación, medido en una escala de 1 a 1, de forma que si r está próximo a 1, la correlación es negativa, si r = 0 ó próximo a 0, no hay correlación y si r está próximo a 1, la correlación es positiva. He aquí unos ejemplos: Página 17

18 Qué valor del coeficiente de correlación asignarías al diagrama nº de turismos nº de decibelios que has construido anteriormente?. b) Intenta construir lo más aproximadamente que puedas una recta que se ajuste a la nube de puntos, de forma que la distancia de los puntos a dicha recta sea lo menor posible. Esta recta se llama recta de ajuste o recta de regresión. c) Qué ocurrirá si continua aumentando el número de turismos matriculados?. Qué nivel medio de ruido cabe esperar en el trimestre en que se matriculen 8000 turismos?. Y cuando se matriculen 9000?. Si el ritmo de crecimiento se mantiene, ha de pasar mucho tiempo para que se alcancen vehículos matriculados en un trimestre?. d) Qué grado de seguridad te merecen las estimaciones que has hecho anteriormente?. e) Te atreves a construir una fórmula que represente la recta de ajuste que has dibujado?. Compara los resultados con los de tus compañeros. ESTUDIO Y TV a) Recoge información de tu clase sobre el número de horas diarias que dedican tus compañeros al estudio y a ver la televisión. Resume la información en una tabla de doble entrada: HORAS ESTUDIO HORAS TV b) Representa gráficamente la nube de puntos y asígnale un coeficiente de correlación. Página 18

19 Te sugerimos que hagas lo siguiente: Por los extremos de cada intervalo traza rectas paralelas a los ejes. De esta forma, la gráfica queda dividida en casillas. Pues bien, dibuja en cada casilla tantos puntos como indique la frecuencia respectiva. Así, si la frecuencia es, 5 ó 6, dibujarás en la casilla correspondiente: c) Dibuja lo más aproximadamente que puedas una recta de ajuste. d) Maribel dedica al estudio una hora y media diaria. Podrías decir, de manera aproximada, cuánto tiempo dedica diariamente a ver la televisión?. Es fiable la estimación realizada?. e) Intenta encontrar una fórmula que represente la recta de ajuste. RUÍDO Y MOTOCICLETAS La siguiente tabla muestra el número de motocicletas matriculadas cada trimestre en la ciudad de Valencia, durante el período Haz un estudio como el indicado en las siguientes actividades para averiguar el tipo de correlación que existe entre el número de motos matriculadas y el nivel de ruido. Motocicletas matriculadas Nivel medio sonoro en db 1995 Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Dibuja el diagrama de dispersión y asígnale un coeficiente de correlación. Dibuja lo más aproximadamente que puedas la recta de ajuste. Qué nivel de ruido cabe esperar cuando el número de motos matriculadas sea de 500?. Hasta qué punto es fiable la estimación anterior?. Página 19

20 TALLA Y PESO Mucha gente cree que a mayor talla, mayor peso. Estarán en lo cierto?. Sabemos, por ejemplo, que hay personas que pesan menos que otras de menor altura. Existirá alguna relación entre talla y peso?. Para averiguarlo, recoge información de tu clase en una tabla de doble entrada como la siguiente: PESO TALLA Si agrupas los datos en intervalos, podrás ahorrarte mucho trabajo. Con los datos obtenidos haz una gráfica PESO TALLA a) Cómo puedes representar las frecuencias correspondientes a cada par de intervalos?. b) A la vista de la gráfica obtenida, crees que existe alguna relación entre talla y peso?. Qué tipo de relación?. Fuerte?. Débil?. c) Podrías ajustar los puntos obtenidos mediante una recta?. PADRES E HIJOS La altura de 10 padres y de su primer hijo varón está reflejada en la siguiente tabla: TALLA DEL PADRE (X) TALLA DEL HIJO (Y) a) Representa la nube de puntos. b) Existe correlación entre las tallas de padre e hijo?. c) En caso afirmativo dibuja la recta de regresión. d) Qué altura cabe esperar en un hijo cuyo padre mide 18 cm?. Página 0

21 TEMPERATURA La latitud en grados y la temperatura máxima en ºC en un mismo día del año son: CIUDAD LATITUD (X) TEMPERATURA (Y) Acapulco Barcelona 41 0 Calcuta 3 Dakar Estambul Jerusalén 3 5 Karachi 5 31 La Coruña a) Representa la nube de puntos. b) Existe correlación entre latitud y temperatura?. c) En caso afirmativo dibuja la recta de regresión. CUIDADO CON LAS ESTADÍSTICAS Qué opinas de algunas de estas afirmaciones?. Todas ellas se han hecho basándose en datos estadísticos, de forma que las magnitudes que se citan están correlacionadas. 1) Los niños con los pies grandes tienen mejor ortografía. Significa esto que el tamaño del pie nos informa sobre la calidad de la ortografía de los niños?. ) En el sur de Francia, los municipios con mayor tasa de divorcio tienen generalmente menor tasa de mortalidad. Será bueno divorciarse para vivir más años?. 3) Los países que añaden flúor al agua tienen tasas de cáncer mayores que otros que no lo añaden. Es el flúor, en concentraciones elevadas, perjudicial para la salud?. 4) Los accidentes de circulación se producen, generalmente, en vehículos que circulan con velocidad moderada. Pocos accidentes ocurren a 180 km/h. Quiere esto decir que es más seguro circular a gran velocidad?. 5) En una determinada región del sur de Italia se observó con el paso del tiempo que hubo un fuerte crecimiento de la población al mismo tiempo que aumentó el número de cigüeñas. Significa esto que a los niños los traen las cigüeñas?. Ten en cuenta que la correlación entre dos magnitudes puede deberse al azar o a otras causas. El hecho de que dos variables estén correlacionadas no quiere decir que una sea causa de la otra necesariamente. Página 1