Transformación de coordenadas

Transcripción

1 Anexo A Transformación de coordenadas Para realizar las transformaciones entre sistemas de coordenadas astronómicos, se utilizarán giros en el espacio, ya que todos los sistemas se suponen con el mismo centro, de no ser así se realizaría primero una traslación entre orígenes y posteriormente se realizaría el giro. A.1. Tranformación entre coordenadas Horizontales y Ecuatoriales horarias Estos dos sistemas comparten un eje común, el eje Y dirigido hacia el Oeste, por tanto la matriz del giro en el espacio se simplifica; según la figura A.1 se tiene que para transformar las coordenadas de Horizontales a Ecuatoriales Horarias el giro debe ser de ángulo (90 ϕ), siendo ϕ la latitud del lugar. Dadas las coordenadas de un astro en el sistema Horizontal expresadas en función del Acimut (A) y la altura (h)como: X Y Z = cos A cos h sin A cos h sin h y en el sistema Ecuatorial Horario expresadas en función del ángulo horario (H) y la declinación (δ) como: 1

2 2 Anexo A. Transformación de coordenadas Figura A.1: Transformación entre Horizontales y Ecuatoriales Horarias X Y Z = cos H cos δ sin H cos δ La transformación entre los sistemas viene dada a través del giro mencionado tal y como se expresa a continuación en forma matricial: cos H cos δ sin H cos δ = cos(90 ϕ) 0 sin(90 ϕ) sin(90 ϕ) 0 cos(90 ϕ) cos A cos h sin A cos h sin h Expresando lo anterior como tres ecuaciones se obtienen las ecuaciones de la transformación dadas por: cos H cos δ = cos(90 ϕ) cos A cos h + sin(90 ϕ) sin h sin H cos δ = sin A cos h

3 A.1. Tranformación entre coordenadas Horizontales y Ecuatoriales horarias 3 = sin(90 ϕ) cos A cos h + cos(90 ϕ) sin h Y transformando las ecuaciones se tiene: cos H cos δ = sin(ϕ) cos A cos h + cos(ϕ) sin h sin H cos δ = sin A cos h (A.1) = cos(ϕ) cos A cos h + sin(ϕ) sin h De forma que la tercera ecuación nos permite obtener δ y dividiendo la segunda entre la primera obtenemos H: tan H = sin A cos h sin(ϕ) cos A cos h + cos(ϕ) sin h La elección de la solución adecuada para cada ángulo debe hacerse teniendo en cuenta lo siguiente: 1. Para δ la solución correcta debe estar entre [0, 90] o [0, 90], se rechaza aquella que no cumpla la condición 2. Para H, se analiza el signo del numerador que corresponde al sin H y el del denominador que corresponde al cos H, según estos signos sabremos el cuadrante en que se encuentra la tangente y elegiremos aquella solución que coincida con ese cuadrante. Para transformar las coordenadas de Ecuatoriales Horarias a Horizontales el giro debe ser de ángulo ( (90 ϕ)), quedando la transformación en forma matricial como: cos A cos h sin A cos h sin h = cos( (90 ϕ)) 0 sin( (90 ϕ)) ( sin(90 ϕ)) 0 cos( (90 ϕ)) cos H cos δ sin H cos δ Expresando lo anterior como tres ecuaciones se obtienen las ecuaciones de la transformación dadas por: cos A cos h = cos( (90 ϕ)) cos H cos δ + sin( (90 ϕ)) sin A cos h = sin H cos δ

4 4 Anexo A. Transformación de coordenadas sin h = sin( (90 ϕ)) cos H cos δ + cos( (90 ϕ)) Y transformando las ecuaciones se tiene: cos A cos h = sen(ϕ) cos H cos δ cos(ϕ) sin A cos h = sin H cos δ sin h = cos(ϕ) cos H cos δ + sin(ϕ) (A.2) De forma que la tercera ecuación nos permite obtener h y dividiendo la segunda entre la primera obtenemos A: tan A = sin H cos δ cos(ϕ) cos H cos δ + cos(ϕ) La elección de la solución adecuada para cada ángulo debe hacerse teniendo en cuenta lo mismo comentado en el caso anterior: 1. Para h la solución correcta debe estar entre [0, 90] o [0, 90], se rechaza aquella que no cumpla la condición 2. Para A, se analiza el signo del numerador que corresponde al sin A y el del denominador que corresponde al cos A, según estos signos sabremos el cuadrante en que se encuentra la tangente y elegiremos aquella solución que coincida con ese cuadrante. Para poder realizar esta transformación es necesario conocer la latitud del lugar, esquemáticamente podemos poner: (A, h) (90 ϕ) (H, δ) (H, δ) (90 ϕ) (A, h) La tranformación descrita anteriormente puede realizarse mediante el triángulo de posición del astro, sin utilizar el giro, y aplicando las tres formulas de Bessel. En ese caso se obtienen también tres ecuaciones que son equivalentes a las obtenidas con el giro, y de las que se pueden calcular las coordenadas de forma similar. La obtención de la tranformación mediante el triángulo de posición se propone como ejercicio.

5 A.2. Tranformación entre coordenadas Ecuatoriales Absolutas y Eclípticas 5 A.2. Tranformación entre coordenadas Ecuatoriales Absolutas y Eclípticas Estos dos sistemas comparten un eje común, el eje X dirigido hacia el punto Aries (γ), por tanto la matriz del giro en el espacio se simplifica; según la figura A.2 se tiene que para transformar las coordenadas de Ecuatoriales Horarias a Eclípticas el giro debe ser de ángulo ε, siendo ε la oblicuidad de la eclíptica. Figura A.2: Transformación entre Ecuatoriales Absolutas y Eclípticas Dadas las coordenadas de un astro en el sistema Ecuatorial Absoluto expresadas en función de la Ascensión Recta (α) y la declinación (δ)como: X Y Z = cos α cos δ y en el sistema Eclíptico expresadas en función de la Longitud Eclíptica (λ) y Latitud Eclíptica (β) como:

6 6 Anexo A. Transformación de coordenadas X Y Z = cos λ cos β sin λ cos β sin β La transformación entre los sistemas viene dada a través del giro mencionado tal y como se expresa a continuación en forma matricial: cos λ cos β sin λ cos β sin β = cos(ε) sin(ε) 0 sin(ε) cos(ε) cos α cos δ Expresando lo anterior como tres ecuaciones se obtienen las ecuaciones de la transformación dadas por: cos λ cos β = sin λ cos β = cos(ε) + sin(ε) (A.3) sin β = sin(ε) + cos(ε) De forma que la tercera ecuación nos permite obtener β y dividiendo la segunda entre la primera obtenemos λ: tan λ = cos(ε) + sin(ε) La elección de la solución adecuada para cada ángulo debe hacerse teniendo en cuenta lo mismo comentado anteriormente. Para transformar las coordenadas de Eclípticas a Ecuatoriales Absolutas el giro debe ser ahora de ángulo ( ε), quedando la transformación en forma matricial como: cos α cos δ = cos( ε) sin( ε) 0 sin( ε) cos( ε) cos λ cos β sin λ cos β sin β

7 A.3. Tranformación entre coordenadas Ecuatoriales Horarias y Ecuatoriales Absolutas 7 Expresando lo anterior como tres ecuaciones se obtienen las ecuaciones de la transformación dadas por: cos λ cos β = sin λ cos β = cos( ε) + sin( ε) sin β = sin( ε) + cos( ε) Y transformando las ecuaciones se tiene: cos λ cos β = sin λ cos β = cos(ε) sin(ε) sin β = sin(ε) + cos(ε) (A.4) De forma que la tercera ecuación nos permite obtener δ y dividiendo la segunda entre la primera obtenemos α: tan α = cos(ε) sin(ε) Sobre la elección de la solución adecuada para cada ángulo se tendrá en cuenta lo ya apuntado en anteriores transformaciones. Para realizar esta transformación es necesario conocer la oblicuidad de la eclíptica, esquemáticamente podemos poner: (α, δ) (ε) (λ, β) (λ, β) (ε) (A, h) La tranformación descrita anteriormente puede también realizarse mediante el triángulo de posición del astro, tal y como se comentó en la sección anterior para el caso de Ecuatoriales Horarias y Horizontales. A.3. Tranformación entre coordenadas Ecuatoriales Horarias y Ecuatoriales Absolutas En esta transformación se comparte una coordenada; la declinación, por ello se simplifica mucho la transformación ya que si recurrimos a la ecuación

8 8 Anexo A. Transformación de coordenadas fundamental de astronomía que relaciona la hora sidérea (θ) con la ascensión recta y el ángulo horario dada por: θ = H + α directamente podemos; conocida la hora sidérea; realizar el paso de Ecuatoriales Absolutas a Eclípticas y viceversa sin más que despejar de la ecuación anterior.

9 A.3. Tranformación entre coordenadas Ecuatoriales Horarias y Ecuatoriales Absolutas 9