Grupos Puntuales de Simetría

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José Luis Ponce Bustamante
hace 6 años
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Grupos Puntuales de Simetría Operación de Simetría: Transformación de la posición de un cuerpo tal que la posición final es físicamente indistinguible de la inicial y las distancias entre todas las

1 Grupos Puntuales de Simetría Operación de Simetría: Transformación de la posición de un cuerpo tal que la posición final es físicamente indistinguible de la inicial y las distancias entre todas las parejas de puntos del cuerpo se mantienen iguales Elemento de Simetría: entidad geométrica (punto, recta, plano) con respecto al cual se efectúa una operación de simetría Eje de simetría de orden n (Cn): si una rotación (Ĉn) de 360/n grados da como resultado una configuración indistinguible de la original (donde n es un número entero)

2 Eje de rotación: al plano molecular Pasando por el átomo de B (n = 3) F 3 F 1 F 2 F 2 F 3 F 1 Eje de rotación: Enlace B-F 1 (n = 2) Eje de rotación: Enlace B-F 2 (n = 2) Eje de rotación: Enlace B-F 3 (n = 2) F 1 F 3 F 2 F 3 F 2 F 2 F 1 F 1 F 3

3 Plano de simetría ( ): si la reflexión ( ˆ ) de todos los puntos con respecto a ese plano da una configuración físicamente indistinguible de la original

4 F 2 F 1 F 3 Plano molecular Plano que pasa por los núcleos B y F 1 Y es al plano molecular Plano que pasa por los núcleos B y F 2 Y es al plano molecular Plano que pasa por los núcleos B y F 3 Y es al plano molecular

configuración indistinguible de la original (x, y, z)

5 Centro de simetría ( i ): si la inversión ( î ) todos los puntos del cuerpo con respecto al centro conlleva a una configuración indistinguible de la original (x, y, z) (-x, -y, -z) F 1 F 6 F 2 F 3 F 4 F 5 î F 4 F 5 F 2 F 3 F 6 F 1

6 Eje Alternante de simetría de orden n, Eje impropio S ˆ n =σˆ Cˆ n Eje de rotación reflexión (Sn) Un cuerpo tiene un eje Sn, si la rotación de (360/n) grados alrededor de un eje, seguida de una reflexión en un plano al mismo, conlleva a una conformación indistinguible de la original.

7 Productos de Operaciones de Simetría Las operaciones de simetría son operadores que transforman la posición de un cuerpo en el espacio tridimensional. El producto de dos de estos operadores representa la aplicación sucesiva de los mismos, aplicando primero el operador de la derecha 2 Cˆ 3 C ˆ 3 =Cˆ 3 C ˆ C ˆ C ˆ =C ˆ Rota la molécula 240 o Rota la molécula 360 o (posición original) C ˆ = Eˆ 3 3 C ˆ n n = Eˆ Cˆ Cˆ Cˆ Cˆ 2 Rotan la molécula 120 o Rotan la molécula 180 o Un eje Cn es también un eje Cm Si n/m = # entero Dos reflexiones sucesivas o Dos inversiones sucesivas Regresan el sistema a su posición original ˆ î p par p σ =E p ˆ = Eˆ σ ˆ î p impar p p = σˆ = î

Grupos Puntuales de Simetría Grupos de Baja Simetría C 1 :

simetría posible es la operación identidad (Ê) C s : Sólo

identidad (Ê) y reflexión ( ˆ ) C i : Sólo 1 centro de

8 Grupos Puntuales de Simetría Grupos de Baja Simetría C 1 : No tiene elementos de simetría La única operación de simetría posible es la operación identidad (Ê) C s : Sólo 1 plano de simetría Operaciones de simetría posibles identidad (Ê) y reflexión ( ˆ ) C i : Sólo 1 centro de simetría Operaciónes de simetría posibles identidad (Ê) e inversión ( î ) î

Grupos Puntuales de Simetría Grupos con 1 solo eje de simetría H 2 O 2 C n (n =2, 3, 4, ): Sólo 1 eje de simetría Operaciónes de simetría posibles Ĉ n, Ĉ n2,,ĉ n-1 n, Ê C 2 C nh (n =2, 3, 4, ): 1

9 Grupos Puntuales de Simetría Grupos con 1 solo eje de simetría H 2 O 2 C n (n =2, 3, 4, ): Sólo 1 eje de simetría Operaciónes de simetría posibles Ĉ n, Ĉ n2,,ĉ n-1 n, Ê C 2 C nh (n =2, 3, 4, ): 1 eje y 1 plano Operaciónes de simetría posibles, Ĉ n, Ĉ n2,,ĉ n-1 ˆ n, Ê y como ˆ hc ˆ n Sˆ n el eje C n es también un eje S n y si n es par también hay î ˆ ˆ ˆ ˆ hc2 S2 i Si 2 H 2 B(OH) 3 C 2h C 3h

10 Grupos con 1 solo eje de simetría C nv (n =2, 3, 4, ): 1 eje y n planos que contienen al eje H 2 O NH 3 C 2v C 3v S n (n =2, 3, 4, ): 1 eje impropio S ˆ =σˆ Cˆ n n C 2 H 4 F S 4 Ĉ 4 ˆ

11 Grupos con 1 eje C n y n ejes C 2 C(NO 2 ) 3 - D n (n =2, 3, 4, ): 1 eje C n y n ejes C 2 al eje Cn (sin plano de simetría) Ej: grupo D 2, 3 ejes C 2 Operaciónes de simetría posibles Ĉ x2, Ĉ y2, Ĉ z2, Ê D 3 D nh (n =2, 3, 4, ): 1 eje C n, n ejes C 2 y 1 plano al eje Cn el eje Cn es también un eje Sn C 6 H 6 D 6h

12 Grupos con 1 eje C n y n ejes C 2 D nd (n =2, 3, 4, ): 1 eje C n, n ejes C 2 y n planos conteniendo al eje Cn Estos planos se llaman planos diagonales y se simbolizan como d C 3 H 4 C 8 H 16 D 2d D 4d

13 Moléculas Lineales C 2 H 2 D h : Moléculas con 2 mitades idénticas 1 eje C, ejes C 2, planos conteniendo al eje C 1plano al eje C D h C v : Moléculas con 2 mitades diferentes 1 eje C, planos conteniendo al eje C C 2 Cl C v

Grupos con varios ejes C n (Grupos de Alta

(sólidos platónicos) Tetrahedro: 4 caras

14 Grupos con varios ejes C n (Grupos de Alta simetría) Estos grupos están relacionados con las propiedades de simetría de los sólidos formados por polígonos regulares (sólidos platónicos) Tetrahedro: 4 caras triangulares Cubo: 6 caras cuadradas Octahedro: 8 caras triangulares Dodecahedro: 12 caras pentagonales Icosahedro: 20 caras triangulares

Grupos con varios ejes C n (Grupos de Alta simetría) T d : Pertenecen a este grupo las moléculas que presentan los mismos elementos de simetría que un tetraedro regular 4 ejes

15 Grupos con varios ejes C n (Grupos de Alta simetría) T d : Pertenecen a este grupo las moléculas que presentan los mismos elementos de simetría que un tetraedro regular 4 ejes C 3, pasan por el centro y un vértice CH 4 3 ejes C 2, pasan por el centro y un vértice 6 planos, conteniendo pares de ejes C 3 T d 4 Ejes de simetría C 3 3 Ejes de simetría C 2

16 Grupos con varios ejes C n (Grupos de Alta simetría) 6 Planos de simetría CH 4 T d

17 Grupos con varios ejes C n (Grupos de Alta simetría) T h : 4 ejes C 3, 3 ejes C 2, 2 planos T: 4 ejes C 3, 3 ejes C 2 T T h T d

3, pasan por los vertices opuestos del cubo 6 ejes C 2, conectan los puntos medios de las aristas opuestas 3 planos, paralelos a

18 Grupos con varios ejes C n (Grupos de Alta simetría) O h : Pertenecen a este grupo las moléculas que presentan los mismos elementos de simetría que un cubo y un octahedro regular 3 ejes C 4, pasan por los centros de las caras opuestas del cubo 4 ejes C 3, pasan por los vertices opuestos del cubo 6 ejes C 2, conectan los puntos medios de las aristas opuestas 3 planos, paralelos a las caras opuestas 6 planos, pasan por las aristas opuestas y 1 centro Cubane, C 8 H 8 SF 6 O = O h, sin reflexiones, ni rotaciones impropias

19 Grupos con varios ejes C n (Grupos de Alta simetría) I h : Pertenecen a este grupo las moléculas que presentan los mismos elementos de simetría que un dodecaedro y un icosahedro 6 ejes C 5, centros de caras opuestas (D), vértices opuestos (I) 10 ejes C 3, vertices opuestos (D), centros de caras opuestas (I) 15 ejes C 2, conectan los puntos medios de las aristas opuestas 15 planos, contienen unpar de C 2 ó C 5 y 1 centro I = I h, sin reflexiones, ni rotaciones impropias Fullereno, C 60

20 Grupos con varios ejes C n (Grupos de Alta simetría) K h : Simétría de la esfera Sólo los átomos pertenecen a este grupo Números de Simetría

21 Esquema para determinar el grupo puntual de simetría de una molécula

22 Bibliografía recomendada: La Teoría de Grupos Aplicada a la Química Albert Cotton, Editorial Limusa S.A. De C.V., Molecular Symmetry David Willock, Editorial Wiley, 2009.

23 Ejercicios 1. Cite los elementos de simetría de las siguientes moléculas: a) HCN f) C 3 H 6 alternado b) H 2 S c) CH 3 F g) C 3 H 6 eclipsado d) CH 2 ClF h) 1,3,5-C 6 H 3 F 3 e) C 2 H 4 2. Diga a qué grupo puntual de simetría pertenecen.

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