NÚMEROS ALEATORIOS Y PSEUDOALEATORIOS

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD VICTORIA MODALIDAD A DISTANCIA UNIDAD II SIMULACIÓN NÚMEROS ALEATORIOS Y PSEUDOALEATORIOS

2 2.1 Números Aleatorios: definición, propiedades y generadores de tablas En todos los experimentos de simulación existe la necesidad de generar valores de variables aleatorias que representan a una cierta distribución de probabilidad. Durante un experimento de simulación, el proceso de generar un valor de la variable aleatoria de una distribución particular, puede repetirse tantas veces como se desee y tantas veces como distribuciones de probabilidad existan en el experimento de simulación. 1 Un paso clave en simulación es tener rutinas que generen variables aleatorias con distribuciones especificas: exponencial, normal, etc. Esto es hecho en dos fases. La primera consiste en generar una secuencia de números aleatorios distribuidos uniformemente entre 0 y 1. Luego esta secuencia es transformada para obtener los valores aleatorios de las distribuciones deseadas. Definición de Números Aleatorios: Definición 1: Kolmogorov (1987) Una sucesión de números es aleatoria si no puede producirse eficientemente de una manera más corta que la propia serie. Definición 2: L Ecuyer (1990) Una sucesión de números es aleatoria si nadie que utilice recursos computacionales razonables puede distinguir entre la serie y una sucesión de números verdaderamente aleatoria de una forma mejor que tirando una moneda legal para decidir cuál es cuál. Definición 3: Un Número aleatorio es una realización de una variable aleatoria que tiene asociada una ley de probabilidades F. Obs: Una particular ley de Probabilidad base para la generación de números pseudoaleatorios u1, u2,, un : es la uniforme (0 ; 1) ui ~ U(0,1).

3 Definición 4: Una sucesión de números aleatorios generados {u1, u2,, un} es una sucesión de números U(0;1), si tiene las mismas propiedades estadísticas relevantes que dicha sucesión de números aleatorios reales. 2 Un generador de números aleatorios es un algoritmo que produce secuencias de números que siguen una distribución de probabilidad específica y tienen la apariencia de aleatoriedad. La referencia a secuencias de números aleatorios significa que el algoritmo produce muchos números aleatorios en serie. Propiedades: Una secuencia de números aleatorios debe tener dos propiedades importantes: 1) Uniformidad 2) Independencia Las sub-secuencias también deben cumplir las propiedades anteriores 1) y 2). Deben ser secuencias largas y sin huecos (densas) Algoritmos rápidos y que no ocupen mucha memoria. Cada número aleatorio es una muestra independiente tomada de una distribución continua uniforme entre 0 y 1 Su valor esperado es 1/2 y su varianza 1/12 Generadores de tablas: Aunque existe un gran número de métodos posibles para la generación de números aleatorios en una computadora, hay también unas ciertas consideraciones importantes para la elección de un método u otro. La rutina debe ser rápida. La rutina debe ser transportable entre diferentes ordenadores e, idealmente, a diferentes lenguajes de programación. La rutina debe tener un ciclo suficientemente largo. Un ciclo representa la longitud de una secuencia antes que comiencen a repetirse los números en el orden

4 anterior. La ocurrencia de repeticiones en los números obtenidos puede propiciar la no aceptación del generador. Las secuencias de números aleatorios deben ser replicables. Partiendo del mismo número se debe poder obtener la misma secuencia Los números obtenidos deben aproximarse a las propiedades estadísticas ideales de uniformidad e independencia. 3 Las propiedades deseadas del generador son las siguientes: 1. Deben ser eficientes computacionalmente: dado que típicamente se requieren varios miles de números aleatorios por corrida, el tiempo de procesador requerido para generarlos debe ser pequeño. 2. El periodo debe ser largo: periodos cortos limitan la longitud aprovechable de una corrida de simulación porque el reciclaje resulta en una repetición de secuencias de eventos. 3. Los valores sucesivos deben ser independientes y uniformemente distribuidos: la correlación entre números sucesivos debe ser pequeña y si es significante indica dependencia. Las primeras dos propiedades son relativamente fáciles de implementar. La tercera requiere un conjunto de pruebas estadísticas. Algunos métodos generadores de tablas son: Métodos de congruencias lineales: mixto y multiplicativo Métodos combinados: barajeo Método de los Cuadrados Medios Otros

5 2.2 Números Pseudoaleatorios y sus propiedades Definición Números Pseudoaleatorios 4 Es un número generado en un proceso que parece producir números al azar, pero no lo hace realmente. Las secuencias de números pseudoaleatorios no muestran ningún patrón o regularidad aparente desde un punto de vista estadístico, a pesar de haber sido generadas por un algoritmo completamente determinista, en el que las mismas condiciones iniciales producen siempre el mismo resultado. Propiedades: Ajustarse a una distribución U(0,1). Ser estadísticamente independientes (no debe deducirse un número conociendo otros ya generados). Ser reproducibles (la misma semilla debe dar la misma sucesión). Ciclo repetitivo muy largo. Facilidad de obtención. Ocupar poca memoria. Cualquiera que sea el método para generar números aleatorios debe satisfacer las siguientes condiciones: 1. Uniformemente distribuidos 2. Estadísticamente independientes 3. Reproducibles 4. Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión 5. Generación a grandes velocidades 6. Requerir el mínimo de capacidad de almacenamiento

6 2.2.1 Técnicas para generar números Pseudoaleatorios 5 En todo modelo de simulación estocástico, existen una o varias variables aleatorias interactuando. Generalmente, estas variables siguen distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas diferentes a la distribución uniforme. Por consiguiente, para simular este tipo de variables, es necesario contar con un generador de números uniformes y una función que a través de un método especifico, transforme estos números en valores de la distribución de probabilidad deseada. Existen varios procedimientos para lograr este objetivo. Entre los procedimientos más comunes y más difundidos se encuentran los siguientes: Métodos de centros al cuadrado El método de centros al cuadrado o medios al cuadrado fue propuesto en la década de los 40 del siglo XX por Von Neumann y Metrópolis. Requiere un número entero detonador (llamado semilla) con D dígitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D dígitos del centro; el primer número r i, se determina simplemente anteponiendo el 0, a esos dígitos. Para obtener el segundo r j, se sigue el mismo procedimiento, solo que ahora se elevan al cuadrado los D dígitos del centro que se seleccionaron para obtener el primer r i. Este método se repite hasta obtener n números r i. Los pasos para generar números con el algoritmo de cuadrados medios son: 1. Seleccionar una semilla (X 0 )con D dígitos (D>3) 2. Sea X 0 =resultado de elevar X 0 al cuadrado; sea X 1 =los D dígitos del centro, y sea r i =0 D dígitos del centro. 3. Sea Y j = al resultado de elevar X, al cuadrado; sea X i+1 = los D dígitos del centro, y sea r i =0, D dígitos del centro para toda i=1,2,3 n. 4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n números r j deseados Si no es posible obtener los D dígitos del centro del número Y, agregue ceros a la izquierda del número.

7 Ejemplo 1: P1 : Obtener semilla (por ejemplo 445) P2 : Aplicación del algoritmo (elevar al cuadrado y truncar) P3 : Validación del conjunto de los números generados 6 TABLA 2.1: Consideremos la semilla 445 X X 2 No. Aleatorio , , , Ejemplo 2: Se desea generar una secuencia de números de 4 dígitos Pseudoaleatorios usando el método del medio del cuadrado o centros al cuadrado. Para ello, se elige como semilla el número x 0 = 3187: (3187) 2 = x 1 = 1569 (1569) 2 = x 2 = 4617 (4617) 2 = x 3 = 3166 (3166) 2 = x 4 = 0235 (0235) 2 = x 5 = 0552 (0552) 2 = x 6 = 3047 (3047) 2 = x 7 = 2842 Siguiendo con este proceso se irían obteniendo los números 0769, 5913, 9635, 8332, 4222, 8252,...

8 Las secuencias obtenidas mediante esta técnica presentan gran número de problemas como bajo periodo (es decir, que suelen caer rápidamente en una rutina que se repite continuadamente) y el hecho de que si en algún momento se produce el número cero, todos los números siguientes de la secuencia serán el cero. 7 Si bien este último problema se puede presentar en la mayoría de los generadores de secuencias pseudoaleatorias, la mayoría de las veces éstos se podrán diseñar de forma que se garantice que el número cero no se van a producir. En este generador es imposible garantizar esto. El siguiente ejemplo muestra este caso. Ejemplo 3: Se desea generar una secuencia de números de dos dígitos Pseudoaleatorios empleando el método del medio del cuadrado, partiendo de la semilla x 0 = 44: (44) 2 = 1936 x 1 = 93 (93) 2 = 8649 x 2 = 64 (64) 2 = 4096 x 3 = 09 (09) 2 = 0081 x 4 = 08 (08) 2 = 0064 x 5 = 06 (06) 2 = 0036 x 6 = 03 (03) 2 = 0009 x 7 = 00 (00) 2 = 0000 x 8 = 00

9 Métodos de congruencia multiplicativo y mixto Generadores Congruenciales Lineales 8 Varios esquemas han sido propuestos para la generación de números Pseudoaleatorios a través de relaciones matemáticas de recurrencia. Estos números se consideran Pseudoaleatorios, porque aunque pasan todas las pruebas estadísticas de aleatoriedad, ellos son de hecho completamente determinísticos. Actualmente, casi todas las computadoras incluyen en sus programas de biblioteca alguna variante de los métodos congruenciales sugeridos por Lehmer. Los dos métodos congruenciales más populares son: congruencial mixto y congruencial multiplicativo. Congruencial Mixto. Los generadores congruenciales lineales generan una secuencia de números Pseudoaleatorios en la cual el próximo número pseudoaleatorio es determinado a partir del último número generado, es decir, el número pseudoaleatorio X n+1 es el derivado a partir del número pseudoaleatorio X n. Para el caso particular del generador congruencial mixto, la relación de recurrencias en la siguiente: X n+1 =(ax n + c) mod m.. Ec. 1 Dónde: X 0 = la semilla (X 0 > 0) a = el multiplicador (a > 0) c = constante aditiva (c > 0) m = el módulo (m > X 0,m > a y m > c) Ésta relación de recurrencia nos dice que X n+1 es el residuo de dividir ax n + c entre el módulo. Lo anterior significa que los valores posibles de X n+1 son 0, 1, 2, 3,., m 1, es decir, m representa el número posible de valores diferentes que pueden ser generados.

10 Con el propósito de ilustrar la generación de números Pseudoaleatorios a través de este métodos, supongamos que se tiene un generados en el cual los valores de sus parámetros son: a = 5, c = 7, X 0 = 4 y m = 8. Para estos valores, la secuencia de números Pseudoaleatorios y números uniformes (X n+1 / m ) son mostrados en la siguiente tabla, en la cual se puede apreciar el periodo del generador es 8. 9 Después de haber analizado este ejemplo, podría pensarse que el periodo de todo generador es siempre igual a m. Sin embargo, esto es falso porque el periodo depende de los valores asignados a los parámetros a, c, X 0 y m, es decir, se requiere seleccionar valores adecuados para estos parámetros en el fin de que el generador tenga periodo completo. TABLA 2.2. Números Pseudoaleatorios del generador X n+1 = (5 X n + 7) mod 8. N X n (5 X n + 7) / 8 X n+1 Números uniformes /8 3 3/ /8 6 6/ /8 5 5/ / /8 7 7/ /8 2 2/ /8 1 1/ /8 4 4/8 Para ilustrar el caso que se presenta cuando el periodo < m, suponga que se tiene un generador en el cual los valores de sus parámetros son: a = X 0 = c = 7 y m = 10. Para estos valores, la secuencia de números Pseudoaleatorios y números uniformes son mostrados en la siguiente tabla. Como puede apreciarse en esta tabla, el periodo del generador es 4. Esto demuestra que una selección inadecuada de los valores de los parámetros del generador, puede conducirse a obtener resultados indeseables y poco confiables del experimento de simulación.

11 TABLA 2.3: Números Pseudoaleatorios del generador X n+1 = (7 X n + 7) mod N X n (7 X n + 7)/10 X n+1 Números uniformes /10 6 6/ /10 9 9/ / /10 7 7/10 De los ejemplos anteriores, se advierte la necesidad de establecer algunas reglas que pueden ser utilizadas en la selección de los valores de los parámetros, para que el generador resultante tenga periodo completo. Algunas de estas reglas se mencionan a continuación: a) Selección de m. 1. Seleccionar m de modo que sea el modulo primo más grande posible y que a su vez sea menor que p d, donde p es la base del sistema (binario, decimal, hexadecimal, etc.) que está utilizando y d es el número de bits que tiene una palabra de computadora es ese sistema. Por ejemplo, si se tiene una computadora IBM 370 que trabaja en sistema binario, entonces p = 2 y d = Seleccionar m como p d. Cuando m toma este valor se facilita el cálculo del número rectangular (Un = X n /m), ya que solo se correo el punto binario o decimal a la izquierda del número. Sin embargo, se ha comprobado que cuando el modulo toma este valor, los últimos dígitos del número pseudoaleatorio generado no se comportan en forma aleatoria. Para ilustrar el problema que se presenta cuando se utiliza el criterio 2, suponga que se tiene un generador cuyos parámetros son: a = 81, c = 89, X 0 = 5 y m = Para estos valores, la secuencia de números Pseudoaleatorios son mostrados en la siguiente tabla. En esta tabla se puede apreciar el ultimo digito del número pseudoaleatorio tiene un periodo de 10. Esto significa que el último dígito puede ser determinado a partir de la siguiente relación de recurrencia. Y n+1 = (Y n + 9) mod 10

12 TABLA 2.4. Números Pseudoaleatorios del generador X n+1 = (81 X n + 89) mod 100. n X n N X n N X n n X n n X n Del ejemplo anterior, es posible generalizar una relación de concurrencia que relacione los últimos dígitos del número pseudoaleatorio generado. Si m = p d, se encontrado que la relación de recurrencia de los últimos dígitos es la siguiente: Y n+1,i = X n+1 mod P i < d. Ec. 2 Dónde: Y n+1,i = últimos i dígitos del número pseudoaleatorio X n+1 i = últimos i dígitos que se están considerando. El valor de i puede ser 1, 2, 3,, d -1.

13 Por ejemplo si i = 1, la expresión (Ec. 2) permite determinar el valor del último dígito del número pseudoaleatorio X n+1, si i = 2, se determina el valor de los últimos dígitos y así sucesivamente. La expresión (Ec. 2) puede ser manipulada y expresada en función de los últimos dígitos del número pseudoaleatorio inmediato anterior, de acuerdo a lo siguiente: 12 Y n+1,i = X n+1 mod p i Sustituyendo en la expresión anterior la ecuación (1) se obtiene: Y n+1,i = (ax n + c) mod p d mod p i Pero si q es la parte entera que resulta de dividir (ax n + c) / p d, entonces la expresión anterior se transforma en: Y n+1,i = (ax n + c - qp d ) mod p i Y n+1,i = (ax n + c - p d ) mod p i Y n+1,i = ax n mod p i + c mod p i Y como X mod m = (X mod m) mod m, entonces la expresión anterior se transforma en: Y n+1,i = (ax n mod p i ) mod p i + c mod p i Y haciendo uso de la identidad (2.2), la expresión anterior se transforma finalmente en: Y n+1,i = (ay n,i + c) mod p i. Ec. 3 Esta última expresión también tendrá periodo completo (p i ) si el generador tiene un periodo de p d. b) Selección de a El valor seleccionado de a debe de ser entero impar, y además no debe ser divisible por 3 o 5. Sin embargo, si queremos asegurar que el generador tenga periodo completo, el valor de a se debe de seleccionar de acuerdo al siguiente criterio:

14 (a 1) mod 4 = 0 es un factor de m (a 1) mod b = 0 si b es un factor primo de m Usualmente se selecciona a como 2k + 1 cuando se trabaja en sistema binario y 10k + 1 cuando se trabaja en sistema decimal. En ambos casos el valor de k debe ser mayor o igual a c) Selección de c El valor seleccionado para este parámetro puede ser cualquier constante. Sin embardo, si se desean asegurar buenos resultados el valor de c debe ser c mod 8 = 5 si se trabaja en sistema binario y c como mod 200 = 21 si se trabaja en sistema decimal. Más específicamente, el valor de c debe ser un entero impar y relativamente primo a m. d) Selección de X 0 Para el generador congruencial mixto, se ha encontrado que el valor de la semilla es irrelevante, es decir, el valor de este parámetro resulta tener poca o ninguna influencia sobre las propiedades estadísticas de las sucesiones. Finalmente, antes de terminar la discusión de este generador, conviene señalar que existen otras formas matemáticas de representarlo. Tales formas son las siguientes: Ec. 4 X n = a n X 0 + c a n 1 mod m a - 1 X n + k = a n X k + c a n 1 mod m Ec. 5.. a - 1 Con la expresión X n el n-ésimo número pseudoaleatorio se obtiene a partir de la semilla. Con la expresión X n + k el n + k-ésimo numero pseudoaleatorio se obtiene a partir del k- ésimo número, es decir, si por ejemplo n + k = 10 y k = 4, entonces significa que el número pseudoaleatorio 10 se va a obtener a partir del número 4.

15 Congruencial Multiplicativo Al igual que el generador congruencial mixto, el generador congruencial multiplicativo determina el próximo número pseudoaleatorio a partir del último número generado, de acuerdo a la siguiente relación de recurrencia: X n+1 = ax n mod m... Ec Para este generador se recomienda también seleccionar adecuadamente los valores de los parámetros a, X 0 y m, con el fin de asegurar un periodo máximo para las sucesiones generadas por este método. Los valores de estos parámetros dependerán del sistema en que se trabaje, es decir, estos parámetros tomarán valores distintos si se trabaja en sistema decimal, que si se trabaja en sistema binario. Por consiguiente, a continuación se describen las reglas que se recomiendan seguir para seleccionar los valores de a, X 0 y m dependiendo de si el sistema en que se trabaja es binario o decimal. a) Sistema decimal Si se trabaja en sistema decimal, los valores de los parámetros deben ser seleccionados de acuerdo a los siguientes criterios: 1. El valor de la semilla puede ser cualquier entero impar no divisible entre 2 o 5 y debe ser relativamente primo a m. 2. El valor seleccionado de a debe ser obtenido de acuerdo a la siguiente identidad: a = 200t + p donde t es cualquier entero y p es cualquiera de los siguientes valores: 3,11, 13, 19, 21, 27, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 69, 77, 83, El valor seleccionado de m puede ser 10 d. Si m = 10 y d > 5 el periodo del generador es 5 x 10 d-2. Por otra parte, si m = 10d y d < 5, entonces el periodo del generador se obtiene de acuerdo a la siguiente expresión: Periodo* = Mínimo común múltiplo... Ec. 7

16 Dónde: (2) = 1, (4) = 2 (2 d ) = 2 d-2 si d > 3 (p d ) = p d -1 (p 1) si p > 2 15 *Pi es un factor primo de m. Con el propósito de ilustrar la obtención del periodo para este último caso, analicemos el siguiente generador: X n+1 = 3X n mod 100 y X 0 = 17 Puesto que m puede ser expresado como 10 2 o bien como (2 2 )(5 2 ), entonces el periodo de este generador de acuerdo a la expresión anterior (Periodo*) sería: Periodo = Mínimo Común Múltiplo ( (2 2 )(5 2 ) ) = Mínimo común múltiplo (2,20) = 20 La siguiente tabla muestra la secuencia de números Pseudoaleatorios de este generador. Como se puede apreciar en esta tabla, el periodo del generador es 20. TABLA 2.5. Números Pseudoaleatorios del generador X n+1 = 3X n mod 100 N X n N X n N X n N X n

17 b) Sistema Binario Si se trabaja en sistema binario, los valores de los parámetros deben ser seleccionados de acuerdo a los siguientes criterios: 1. El valor de la semilla puede ser cualquier entero impar relativamente primo a m. 2. El valore seleccionado de a debe ser obtenido a partir de la siguiente expresión: 16 a = 8t + 3 Donde t es cualquier entero. 3. El valor seleccionado de m puede ser 2 d. Si m = 2 d el periodo del generador es 2 d -2 ó m/4. Para ilustrar la obtención del periodo de un generador en sistema binario, suponga que se tiene un generador en el cual los valores de sus parámetros son: a = 5, X 0 = 5 y m = 32. Para estos valores, la secuencia de números Pseudoaleatorios son mostrados en la siguiente tabla. Como se puede apreciar el periodo del generador es 8. TABLA 2.6. Números Pseudoaleatorios del generador X n+1 = 5X n mod 32 n X n n X n

18 2.3 Pruebas de Aleatoriedad 17 Puesto que cualquier variable aleatoria no-uniforme (normal, exponencial, poisson, etc.), es obtenida a partir de números uniformes (0;1), el principal énfasis en pruebas estadísticas deberá ser con respecto al generador de números pseudoaleatorios, ya que cualquier deficiencia estadística en la distribución de la variable aleatoria no-uniforme, se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador de números pseudoaleatorios. Por consiguiente a continuación se explican algunas de las muchas pruebas estadísticas que han sido desarrolladas para probar la aleatoriedad de los números pseudoaleatorios. Prueba de los promedios. Quizá la función de densidad de probabilidad más simple es aquella que se caracteriza por ser constante en el intervalo (0;1) y cero fuera de él. Esta función de densidad define la distribución de conocida como uniforme o rectangular. Matemáticamente la función de densidad uniforme se define como: 1 si 0 x 1 f(x) = 0 si 0 > x > 1 En esta expresión, x es una variable aleatoria definida en el intervalo (0;1). Por otra parte, la distribución acumulada F(x), de una variable aleatoria x uniformemente distribuida, se puede obtener como: F(x) = x 0 1 dt = x El valor esperado y la variancia de una variable aleatoria uniformemente distribuida están dados por las siguientes expresiones: E(x) = x 0 x(1)dx = ½ var(x) = x 0 (x ½) 2 (1)dx = 1/12

19 f(x) f(x) x 1 x FIGURA 2.1: Distribución de probabilidad y distribución acumulada de los números uniformes. Conociendo los parámetros de la distribución uniforma, es posible plantear una prueba de hipótesis de promedios, con la cual se trata de probar que los números pseudoaleatorios generados provienen de un universo uniforme con media de 0.5. Más específicamente, una prueba de hipótesis de promedios puede ser planteada de la siguiente forma: Hipótesis nula H 0 : u = 172 Hipótesis alternativa H 1 : u ½ La realización de esta prueba requiere obtener una muestra de tamaño N, es decir, es necesario generar N números pseudoaleatorios. En seguida, su promedio aritmético es evaluado de acuerdo a la siguiente expresión: Ec.. 8 X = U 1 + U 2 + U n N En seguida se determina el valor del estadístico Z 0, utilizando la siguiente expresión: Ec. 9. Z 0 = ( x - ½) N 1/12

20 Si Z 0 < Z /2, entonces no se puede rechazar la hipótesis de los números pseudoaleatorios generados provienen de un universo uniforma con media de 0.5. Para ilustrar la aplicación de esta prueba de hipótesis, considere los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7. Para estos números, la media aritmética (aplicando la ecuación de x) resulta ser de , y el estadístico Z 0 resulta ser de: 19 Z 0 = ( ) 100 1/12 = Si se supone un nivel de significado (α) de 5%, entonces Z /2 tiene un valor de 1.96 y puesto que Z 0 < 1.96, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que estos números pseudoaleatorios tienen una media de 0.5. TABLA 2.7. Tabla de números pseudoaleatorios

21 Prueba de Frecuencias 20 Probablemente una de las más importante pruebas sobre aleatoriedad de los números pseudoaleatorios es la prueba de las frecuencias. Esta prueba consiste en dividir el intervalo (0;1) en n sub-intervalos (ecuación Z 0 ) para luego comparar para cada subintervalo la frecuencia esperada con la frecuencia observada. Si estas frecuencias son bastantes parecidas, entonces la muestra proviene de una distribución uniforme. El estadístico que se usa en esta prueba es X 2 0 el cual se obtiene de acuerdo a la siguiente expresión: Ec. 10 Dónde: n X 2 0 = (FO i FE i ) 2 i=1 N FO i = Frecuencia observada del i th sub-intervalo. FE i = Frecuencia esperada del i th sub-intervalo (N/n). N = Tamaño de la muestra. n = Número de sub-intervalos. Este estadístico X 2 0 se compara con X 2 α,(n-1), la cual representa a una variable aleatoria chi-cuadrada con (n-1) grados de libertad y un nivel de significado α. Si X 2 0 < X 2 α,(n-1), entonces no se puede rechazar la hipótesis de que la muestra proviene de una distribución uniforme. Frecuencia esperada N/n N/n N/n N/n N/n Frecuencia observada FO1 FO2 FO3 FOn-1 Fon Figura 2.2: Frecuencia esperada y observada de cada sub-intervalo. Por ejemplo, considere los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7, y además considere que el número de sub-intervalos es 5, es decir, n = 5. Para este valor

22 de n, la frecuencia esperada de cada sub-intervalo es 20, y las frecuencias observadas son: Frecuencia esperada Frecuencia observada Por consiguiente, aplicando la ecuación (X 2 0) se obtiene: X 2 0 = 1/20 (21-20) 2 + (22-20) 2 + (19-20) 2 + (23-20) 2 + (15-20) 2 = 2 Si se especifica un valor arbitrario de α = 0.05, entonces X = Puesto que X 2 0 < X ,4, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7 provienen de una distribución uniforme.

23 Prueba de la Distancia Esta prueba puede ser realizada de dos maneras: considerando a los números pseudoaleatorios generados como dígitos, o considerando como números reales. a) Números pseudoaleatorios considerados como dígitos. 22 Si los números pseudoaleatorios generados son considerados como dígitos, entonces la prueba consiste en contar el número de dígitos que aparece entre ocurrencias sucesivas de un mismo dígito. Por ejemplo, ilustra un hueco de tamaño 3 entre los dos cincos. La probabilidad de cada uno de los tamaños de hueco (i = 0, 1, 2.) se obtiene con la siguiente expresión: Pi = 0.1(0.9)i para i = 0, 1, 2, Ec. 11 Sin embargo, como teóricamente el valor del tamaño del hueco puede ser infinito, es conveniente agrupar las probabilidades para valores de i mayores o iguales a un determinado valor de n. Tal sumatoria se obtiene de acuerdo a la siguiente expresión: = = Ec. 12 Con las ecuaciones anteriores se obtienen las frecuencias esperadas para cada tamaño de hueco. La obtención de tales frecuencias se ilustra en la tabla 2.8. Si las frecuencias esperadas y observadas para cada tamaño de hueco son bastante parecidas, entonces se puede decir que los números pseudoaleatorios generados pasan la prueba de la distancia. El estadístico X 2 0 que se usa en esta prueba se obtiene como: = Ec. 13 El cual se compara con X 2 α,n. Si X 2 0 < X 2 α,n, entonces los números pseudoaleatorios pasan la prueba de la distancia. Es muy importante señalar que el valor seleccionado de n, debe ser tal que la suma de las frecuencias esperadas de todos los tamaños de huecos agrupados, sea mayor que 5.

24 TABLA 2.8. Frecuencias esperadas y observadas para los diferentes tamaños de hueco, considerando a los números pseudoaleatorios generados como dígitos. 23 I P i FO i FE i FO 0 FO i (0.1) (0.9) FO 1 FO i (0.1)(0.9) (0.9) 2 FO 2 FO i (0.1)(0.9) I 0.1 (0.9) i FO i FO i (0.1)(0.9) i n (0.9) n FO n FO i (0.9) Total 1.0 FO i FO i b) Números pseudoaleatorios considerados como Números Reales Si los números pseudoaleatorios generados son considerados como números reales, entonces, para realizar esta prueba es necesario seleccionar un intervalo (,β), el cual debe de estar contenido en el intervalo (0;1), es decir, 0 β 1. En seguida, para cada número pseudoaleatorio generado se pregunta si es o no elemento del intervalo (,β). Si U j (número uniforme generado) es elemento de (,β), U j+1 hasta U j+i no son intervalos de dicho intervalo y U j+i+1 vuelve a ser elemento del intervalo (,β), entonces se tiene un hueco de tamaño i. Por ejemplo, si =.3 y β =.5 y los números pseudoaleatorios generados son como sigue: , , , , , entonces el hueco es de tamaño 3. Para el caso de considerar los números pseudoaleatorios generados como números reales, la distribución de probabilidad del tamaño del hueco es como sigue: Pi = θ (1 θ) i para i = 0, 1, 2 Ec. 14

25 Dónde θ = β α representa la probabilidad de caer en el intervalo (,β). Al igual que en el inciso anterior, es conveniente agrupar las probabilidades para valores de i n. Tal agrupación se obtiene con la siguiente expresión: = = Ec Con las ecuaciones anteriores se obtienen las frecuencias esperadas, las cuales aparecen en la siguiente tabla. TABLA 2.9. Frecuencias esperadas y observadas para los diferentes tamaños de hueco, considerando a los números pseudoaleatorios generados como números reales. I P i FO i FE i 0 θ FO 0 FO i (θ) 1 θ (1- θ) FO 1 FO i (θ)(1- θ) 2 θ (1- θ) 2 FO 2 FO i (θ)(1- θ) I θ (1- θ) i FO i FO i (θ)(1- θ) i n (1- θ) n FO n FO i (1- θ) n Total 1.0 FO i FO i Utilizando la ecuación X 2 0 y comparando el resultado obtenido con X 2 α,n. se toma la decisión de aceptar o rechazar la prueba de la distancia. Es muy importante señalar que el valor de α y β no tienen ninguna influencia en la bondad de la prueba, y también es necesario señalar que el valor de n debe ser seleccionado de acuerdo al criterio mencionado en el inciso anterior.

26 Por ejemplo, si se consideran los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7, un valor de n = 3 y valores de α =.3 y β =.7, entonces las frecuencias observadas y esperadas para los diferentes tamaños de hueco serían como aparecen en la tabla Para estas frecuencias el valor del estadístico X 2 0 sería: X 2 0 = (11-16) 2 + (12-9.6) 2 + ( ) 2 + (6-8.64) 2 = Si se especifica un valor arbitrario de α = 0.05, entonces X , 3 = Puesto que X 2 0 < X , 3, entonces los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7 pasan la prueba de la distancia. TABLA Frecuencias esperadas y observadas para los diferentes tamaños de hueco que originan los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7. I P i FO i FE i Total

27 Prueba de Series 26 La prueba de series se utiliza para comprobar el grado de aleatoriedad entre números sucesivos. Usualmente esta prueba consiste en formar parejas de números, las cuales son consideradas como coordenadas en un cuadrado unitario dividido en n2 celdas. Esta idea se puede extender a las ternas de números pseudoaleatorios que representan puntos en un cubo unitario. Sin embargo, en esta sección se analiza solo el caso de dos dimensiones. La prueba de series consiste en generar N números pseudoaleatorios de los cuales se forman parejas aleatorias entre U i y U i+1, es decir, si se generan 10 números, entonces las parejas aleatorias que se pueden formar serían: (U 1, U 2 ), (U 2, U 3 ), (U 3, U 4 ), (U 4, U 5 ), (U 5, U 6 ), (U 6, U 7 ), (U 7, U 8 ), (U 8, U 9 ), (U 9, U 10 ) En seguida, se determina la celda a que pertenece cada pareja ordenada (ver figura 2.3), con lo cual se determina la frecuencia observada de cada celada. La frecuencia esperada de cada celda se obtiene al dividir el total de parejas coordenadas (N-1) por el total de celdas (n 2 ). Finalmente, conocida la frecuencia observada y esperada de cada celda, se obtiene el estadístico X 2 0 como sigue: 2. Ec. 16 Donde FO ij es la frecuencia observada de la celda ij. Si < entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números provienen de una distribución uniforme.

28 Ui+1 1 (n-1)/n 27 3/r 2/n 1/n 1/n 2/n 3/n n-1/n 1 Ui Figura 2.3. Cuadrado unitario con n 2 celdas. Finalmente conviene mencionar que algunos autores han mezclado la prueba de series y la prueba de frecuencias en el siguiente estadístico: = Ec. 17 El cual sigue una distribución chi-cuadrada con (n-1)2 grados de libertad. Si se opta por esta prueba, entonces se compara con. Si <, entonces no se puede rechazar la hipótesis de uniformidad de los números pseudoaleatorios generados. Por ejemplo, si se aplica esta prueba a los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7, utilizando un valor de n = 5, entonces se obtienen las frecuencias observadas que aparecen en la figura 2.7. Para estas frecuencias, la aplicación de la ecuación 3.9 produce los siguientes resultados: = 25/99 (5(2-3.96) 2 + 5(3-3.96) 2 + 5(4-3.96) 2 + 6(5 3.96) 2 + 4(6-3.96) 2 ) = 11.86

29 Y seleccionando un valor de α = 0.5, entonces =36.4. Puesto que <, entonces los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7 pasan la prueba de uniformidad. 28 Figura 2.4. Frecuencias observadas obtenidas con los nuevos pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7.

30 Prueba de KOLMOGOROV SMIRNOV 29 El procedimiento de Kolmogorov Smirnov prueba la hipótesis de que la distribución acumulada de una variable aleatoria x es F 0 (x). Para probar esta hipótesis, una muestra de tamaño n es obtenida de una distribución continua F(x). En seguida, se determina la distribución acumulada de la muestra, la cual se denota por F n (x). Posteriormente, F n (x) es comparada con la distribución acumulada hipotética F 0 (x). Si F n (x) difiere demasiado de F 0 (x), entonces esto es una amplia evidencia de que F n (x) no es igual a F 0 (x). La aplicación de esta prueba al caso de números pseudoaleatorios uniformes, puede ser descrita en los siguientes pasos: 1. Generar n números pseudoaleatorios uniformes. 2. Ordenar dichos números en orden ascendente. 3. Calcular la distribución acumulada de los números generados con la siguiente expresión: F n (x) = Ec. 18 Donde i es la posición que ocupa el número Xi en el vector obtenido en el paso Calcular el estadístico Kolmogorov Smirnov del modo siguiente (Ver la figura 2.5). D n = máx F n (X i ) X i para toda X i. Ec Si D n < d α,n, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números generados provienen de una distribución uniforme. La distribución de D n ha sido tabulada (ver tabla 2.11) como una función de n y α para cuando F n (x) = F 0 (x).

31 30 Figura 2.5. Comparación de F 0 (x) para cada valor de x generado.

32 Tabla d α,n para diferentes valores del nivel de significado y del tamaño de la muestra. 31 Tamaño de la muestra dα,n (n) α = 10% α = 5% α = 1% Fórmula aproximada para n>100

33 Para ilustrar una aplicación de esta prueba, considere los números pseudoaleatorios presentados en le tabla 2.7. Para estos números la tabla 2.12 muestra un ordenamiento de dichos números en orden ascendente, los cuales corresponden a la distribución acumulada teórica F 0 (x).también, en esta tabla se muestra la distribución acumulada experimental F n (x). De acuerdo a estas distribuciones, el estadístico kolmogrov smirnov (ecuación 19) resulta ser de: 32 D n = = Y seleccionando un valor de α = 0.05, entonces d 0.05,100 =0.134 (ver tabla 2.11). Puesto que D n d 0.05,100, entonces los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7 provienen de una distribución uniforme.

34 Prueba de Póker 33 La prueba de póker examina en forma individual los dígitos del número pseudoaleatorios generado. La forma como esta prueba se realiza, es tomando 5 dígitos a la vez y clasificándolos como: par, dos pares, tercia, póker, quintilla, full y todos diferentes. Lo anterior significa que los números pseudoaleatorios generados son de 5 dígitos cada uno, o bien, en caso de que el número tenga más de 5 dígitos, solamente se concedieran los primeros 5. Las probabilidades para cada una de las manos de póker posibles se muestran en seguida: Todos diferentes = Un par = Dos pares = Tercia = Full = Póker = Quintilla =

35 Tabla Distribución acumulada teórica experimental de los números pseudoaleatorios presentados en la tabla F 0 (x) F n (x) F 0 (x) F n (x) F 0 (x) F n (x) F 0 (x) F n (x) F 0 (x) F n (x) Con las probabilidades anteriores y con el número de números pseudoaleatorios generados, se puede calcular la frecuencia esperada de cada posible resultado, la cual al compararse con la frecuencia observada de cada posible resultado, la cual al compararse con la frecuencia observada produce el estadístico: =. Ec. 20 Si < entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios provienen de una distribución uniforme.

36 Por ejemplo, si se aplica esta prueba a los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7, se obtienen las frecuencias observadas que se muestran en la tabla Sin embargo, puesto que las frecuencias esperadas de full, póker y quintilla son menores que 5, entonces es necesario agrupar sus frecuencias con la frecuencia esperada de tercia. Con estas agrupaciones, el valor del (ecuación 20) resulta ser de: = = Y seleccionando un valor de, entonces = Puesto que, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7 provienen de una distribución uniforme. Tabla Frecuencias observadas y esperadas por cada una de las manos de póker. Frecuencia Observada Frecuencia Esperada Todos diferentes Un par Dos pares Tercia Full Póker Quintilla

37 Prueba de las Corridas Existen dos versiones de la prueba de las corridas: la prueba de corridas arriba y abajo del promedio y la prueba de corridas arriba y abajo. Prueba de corridas arriba y abajo del promedio. 36 La prueba de corridas arriba y abajo del promedio es un caso ligeramente modificado de la prueba de la distancia en la cual y β = En esta versión de la prueba de las corridas, una secuencia de números pseudoaleatorios U 1, U n es generada. En seguida una secuencia binaria es obtenida, en el cual i th término es 0 si U i <0.5 y 1 si U i > 0.5. una vez obtenida la secuencia binaria, el siguiente paso es determinar la cantidad de veces que una misma longitud de corrida se repite (frecuencia observada de la corrida de longitud i). Una sucesión de i ceros (unos), enmarcada por unos (ceros) en los extremos, representa una corrida de longitud i. El número total esperado de corridas y el número esperado para cada tamaño de corrida, se obtienen con las siguientes expresiones: E (total de corridas) =. Ec. 21 FEi =. Ec. 22 Estas frecuencias esperadas son comparadas con las observadas a través de una distribución chi-cuadrada y una decisión sobre la aleatoriedad de los números pseudoaleatorios generados es tomada. a) Prueba de corridas arriba y abajo En la prueba de corridas arriba y abajo, una secuencia de números pseudoaleatorios U 1 Un es generada, y al igual que en el inciso anterior, una secuencia binaria es obtenida, en la cual el i th término es cero si U i < U i+1 y 1 si U i >U i+1. Una vez obtenida la secuencia binaria, se sigue el mismo procedimiento descrito anteriormente y se obtiene la frecuencia observada para cada tamaño de corrida. El número total esperado de corridas y el número esperado para cada tamaño de corrida, se obtienen con las siguientes expresiones:

38 E (total de corridas) =. Ec. 23 FE i = 2 para i < N-1. Ec. 24 FE N-1 = para i = N-1. Ec Finalmente, el estadístico X 0 se determina de acuerdo a la siguiente expresión: = Ec. 26 Donde n es el número de términos de la ecuación anterior. Es importante señalar que en el cálculo del estadístico, la frecuencia esperada para cada tamaño de corrida debe ser mayor o igual a cinco. Si las frecuencias esperadas para corridas de tamaño grande son menores que 5, tales frecuencias se deben agrupar con las adyacentes de tal modo que la frecuencia esperada de los tamaños de corrida sea de al menos 5. Con el propósito de ilustrar una aplicación de esta prueba, considere los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7. Para estos números, la secuencia binaria que resulta es la siguiente: A partir de esta secuencia binaria se obtienen las frecuencias observadas para cada tamaño de corrida. Estas frecuencias, así como las esperadas se muestran en la tabla De acuerdo a estas frecuencias, el valor del estadístico resulta ser de: = + + = 6.04 Y seleccionando un valor de entonces = Puesto que, entonces se rechaza la hipótesis de uniformidad de los números pseudoaleatorios presentados en la tabla 2.7.

39 Tabla Frecuencias esperadas y observadas para cada uno de los tamaños de corrida. Tamaño de Corrida Frecuencia Observada Frecuencia Esperada

40 2.4 Método de Monte Carlo Cuando un sistema contiene elementos que muestran azar en su comportamiento, se puede aplicar el método Monte Carlo de simulación. La base de la simulación de Monte través del muestreo aleatorio. La técnica se divide en 5 sencillos pasos: Establecer una distribución de probabilidad para las variables importantes. 2. Construir una distribución acumulada de probabilidad para cada variable. 3. Establecer un intervalo de números aleatorios para cada variable. 4. Generar números aleatorios. 5. Simular una serie de ensayos. Examinemos estos pasos unos tras otro: PASO 1. Establecer distribuciones de probabilidad. La idea básica en la simulación de Monte Carlo es generar valores para las variables que componen el modelo que se está estudiando. Hay una gran cantidad de variables en los sistemas del mundo real que son probabilísticas por naturaleza, y que podemos querer simular. Por nombrar solo algunas: La demanda de inventario diaria o mensual. El plazo de entrega de los pedidos de inventario. Los tiempos entre las llegadas a unas instalaciones de servicio. Los tiempos de servicio. Los tiempos para completar las actividades de un proyecto. El número de empleados ausentes del trabajo diariamente. Una manera común para establecer una distribución de probabilidad de una variable dad es mediante el examen de los datos históricos. La probabilidad o frecuencia relativa, de cada resultado posible de una variable se encuentra al dividir la frecuencia de la observación ente el número total de observaciones.

41 Ejemplo: La demanda diaria de neumáticos radiales en Barry s Auto Tire durante los pasados 200 días se muestra en las columnas 1 y 2 de la tabla Podemos convertir esta demanda en una distribución de probabilidad ( si suponemos que las tasas de llegadas pasadas se mantendrían en el futuro) dividiendo cada frecuencia de demanda por la demanda total, 200. El resultado se muestra en la columna PASO 2. Construir una distribución acumulada de probabilidad para cada variable. La conversión de una distribución de probabilidad regular, tal como la que aparece en la columna 3 en la tabla 2.15 a una distribución acumulada de probabilidad es un trabajo sencillo. En la columna 4, vemos que la probabilidad acumulada para cada nivel de demanda en la suma del número en la columna de probabilidad (columna 3) sumando a la probabilidad acumulada anterior. PASO 3. Establecer intervalos de números aleatorios. Una vez que hemos establecido la distribución de probabilidad acumulada de cada variable que se incluye en la simulación, debemos asignar un conjunto de números que represente a cada valor o resultado posible. Estos se denominan intervalos de números aleatorios. Básicamente, un número aleatorio es una serie de dígitos (digamos, dos dígitos de 01, 02, 98,99,00) que han sido seleccionados mediante un proceso totalmente aleatorio.

42 Tabla 2.15 Demanda de Barry s Auto Tire. (1) (2) (3) (4) 41 Demanda de Probabilidad de Probabilidad Frecuencia Neumáticos Ocurrencia Acumulada /200= /200= /200= /200= /200= /200= días 200/200=1.00 Si existe una probabilidad del 5% de que la demanda de un producto (como los neumáticos radiales de Barry) sea de 0 unidades por día, entonces desearemos que el 5% de los números aleatorios disponibles correspondan a una demanda de 0 unidades. Si se utiliza un total de 100 números de los dígitos de la simulación, se podría asignar una demanda de 0 unidades a los primeros cinco números aleatorios: 01, 02, 03, 04 y 05. Entonces se puede crear una demanda acumulada simulada de 0 unidades cada vez que se elija uno de los números de 01 a 05. Si existe también una probabilidad del 10% de que la demanda del mismo producto sea una unidad por día, se puede hacer que los siguientes 10 números aleatorios (06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14 y 15) representen esa demanda y así sucesivamente para los otros niveles de demanda-. De forma similar, en la tabla 2.15 podemos observar que la longitud de cada intervalo de la derecha corresponde a la probabilidad de cada una de las posibles demandas diarias. Por lo tanto, al asignar números aleatorios a la demanda diaria de tres neumáticos radiales, el rango del intervalo de números aleatorios (36 a 65) corresponde exactamente a la probabilidad (o proporción) de ese resultado. Una demanda diaria de tres neumáticos radiales sucede el 30% de las veces. Cualquiera de los 30 números aleatorios que van del 35 hasta el 65 incluido están asignados a ese evento.

43 PASO 4. Generar números aleatorios. Los números aleatorios pueden generarse para problemas de simulación de dos maneras. Si el problema es grande y el proceso que se está estudiando implica muchas pruebas de simulación, existen programas de computador disponibles para generar los números aleatorios necesarios. Si la simulación se hace a mano, los números pueden seleccionar de una tabla de números aleatorios. 42 Tabla La asignación de Intervalos de Números Aleatorios para Barry s Auto Tire. Demanda Diaria Probabilidad Intervalo de Probabilidad Números Acumulada Aleatorios hasta hasta hasta hasta hasta hasta 00 PASO 5. Simular el experimento. Podemos simular los resultados de un experimento mediante la simple selección de números aleatorios de la tabla 2.17, empezando por cualquier lugar de la tabla, vemos el intervalo de la tabla, vemos el intervalo de la tabla 2.16 en el que cae cada número. Por ejemplo, si el número aleatorio escogido es el 81 y el intervalo 66 a 85 representa una demanda diaria de cuatro neumáticos, entonces seleccionamos una demanda de cuatro neumáticos.