Problemática. Pregunta de Investigación

Transcripción

1 La variación, la aproximación y la transformación, como un marco de reconstrucción de significados de la derivada María del Pilar Rosado Ocaña, Francisco Cordero Osorio Centro de investigación y Estudios Avanzados del IPN. México mrosado@mail.cinvestav.mx fcordero@mail.cinvestav.mx Resumen Se presenta un avance de un proyecto de investigación cuya finalidad es formular una reconstrucción del significado de la derivada, la cual, se basará en tres situaciones: la de aproximación, la de variación y la de transformación. Las situaciones reflejarán la posibilidad de reconstruir significados de la derivada y explicarán la relación de éstos con el concepto de derivada, a través de la actividad humana. Problemática La problemática fundamental de la enseñanza de las matemáticas, consiste en una confrontación entre la obra matemática y la matemática escolar; cada una es de naturaleza y necesidad distinta. En ese sentido, la tarea fundamental de la Matemática Educativa consiste en reorganizar a la obra matemática. La fuente principal de la reorganización se encuentra en la reconstrucción de significados en contextos interactivos que formula la organización social del salón de clases (Cordero, 2001). El concepto de la derivada ha tenido muchos acercamientos, sin embargo no es claro su reorganización en la matemática escolar. Un cuestionamiento que se hace, en el marco de la problemática es, si la derivada como concepto es el resultado de la actividad. Es decir, si corresponde a la naturaleza del conocimiento que proviene de la actividad. Se percibe en diferentes investigaciones que el concepto de derivada no corresponde a esa naturaleza. En Mirón (2000) se reporta que el estudiante no incorpora significados a ésta a pesar de conocer que la derivada es la pendiente de una recta. En este artículo, se presenta un avance de un proyecto de investigación que considerando el cuestionamiento dentro de la problemática anteriormente mencionada, se propone a formular una reconstrucción del significado de la derivada que se basará en tres situaciones: la situación de aproximación, la situación de variación y la situación de transformación. Las situaciones reflejarán la posibilidad de reconstruir significados de la derivada y explicarán la relación de éstos con el concepto de derivada. Pregunta de Investigación Dentro del marco anterior es obligado formular la siguiente pregunta de investigación: Qué significados son posibles reconstruir con relación a la derivada a través de las situaciones de aproximación, variación, y transformación, en contextos interactivos de los estudiantes? Para aproximarse a una respuesta, se pretende en primer lugar hacer un estudio exploratorio a un grupo de estudiantes de bachillerato y de licenciatura. Posteriormente basándose en el marco teórico y la metodología elegida de la investigación se realizará un diseño de la situación para hacer la recolección de datos y su respectivo análisis. 115

2 Hipótesis La hipótesis consiste en creer que las reconstrucciones de los significados de la derivada se darán si los participantes construyen los argumentos correspondientes de cada una de las situaciones. En dado caso, los argumentos serían, respectivamente: la predicción, el comportamiento tendencial de las funciones y la analiticidad de las funciones. Marco Teórico De acuerdo a la problemática, se formula una epistemología inicial (la hipótesis de investigación), se diseña la situación y su implementación basada en esa epistemología, se recoleccionan los datos y se analizan para revisar la epistemología. El marco teórico sobre el cual estará basado el procedimiento anterior es la Teoría APOE (Acción, Proceso, Objeto y Esquema) de Dubinsky (Asiala, et al, 1996). Sin embargo, para articular la reconstrucción de significados con las construcciones mentales, la descomposición genética jugará un papel importante. La descomposición genética describe las construcciones mentales que un individuo pudiera hacer para lograr el entendimiento del concepto matemático. Pero, por la naturaleza de la teoría APOE la descomposición genética está compuesta de construcciones mentales que hacen referencia a un concepto matemático. Esto obliga a considerar como marco de referencia del concepto los objetos y las relaciones entre ellos que entran en cuestión. Sin embargo, el marco de referencia podría ampliarse si consideramos explícitamente la reconstrucción de significados de los conceptos matemáticos que se dan en contextos interactivos del salón de clases y de ahí establecer la descomposición genética. Una reconstrucción de significados en contextos interactivos pudiera bien ser estudiada a través de significados, procedimientos, procesos y objetos, y argumentos que en las interacciones necesariamente surgen. En conjunto, los cuatro elementos anteriores componen una situación del concepto, y pudiera ser la base para una descomposición genética. Los significados son los símbolos en un sistema que se construye y se usa en la interacción, los procedimientos son las operaciones comunes inducidas por los significados, los procesos y objetos son las diferentes construcciones mentales que aparecen en los procedimientos y los argumentos son los organizadores del contenido que entra en juego en la situación presentado en diferentes versiones para convencer (Cordero, 2001). En el marco anterior, la situación del concepto es una epistemología del mismo, donde los cuatro elementos que la componen están mutuamente relacionados, a priori tales elementos no aparecen en las definiciones de los conceptos. Se trata pues, de construir una descomposición genética basada precisamente en esta epistemología. Metodología La metodología de la investigación consiste en observar a las situaciones a través de un ciclo iterativo, considerando tres elementos mutuamente relacionados: análisis de hechos o datos para después transformarlos en fenómenos didácticos, diseño de la situación y de su implementación, la recolección de datos y con ello considerar la experiencia de la cual se partió. (Martínez, 1999). 116

3 Estos tres elementos componen seis etapas para alcanzar la actualización de la descomposición genética de los conceptos involucrados en las situaciones. En la etapa uno, se partirá de una experiencia epistemológica estudiando el contenido matemático correspondiente al tópico del proyecto, y se organizará el contenido con base a lo que significa entender el concepto y cómo el concepto puede ser construido por el que aprende. (Cordero, 1998). Para la etapa dos, se trabajarán ejemplos de diseño e implementación de situaciones y colección de datos en el laboratorio y en el salón de clases; se usa la tecnología, en las actividades con los estudiantes individualmente y en pequeños grupos, las observaciones se harán a través de métodos del aprendizaje cooperativo y método de las entrevistas clínicas. En la etapa tres, se realizará un análisis de los datos coleccionados y posteriormente se reconsiderará la experiencia de la cual se partió. Las interpretaciones de las respuestas dadas por los estudiantes ante las situaciones, estarán basadas en el marco de las construcciones mentales (acciones, procesos, objetos y esquemas); y el desarrollo de esta ante las situaciones. Se estudiarán las bases para transformar los datos (o hechos) en fenómenos didácticos. En la etapa cuatro, al analizar los datos coleccionados y de acuerdo a los resultados obtenidos, se espera encontrar los fundamentos para la aplicación de la situación en el proyecto. Al realizar el rediseño de la situación, se partirá de esos resultados. Para la etapa cinco, se realizará la aplicación del rediseño y la colección de datos. En la etapa seis, se realizará el análisis de datos y la actualización de la descomposición genética. Se pretende alcanzar un refinamiento del recorte o amplitud del entendimiento sobre el cuál se partió. Las interpretaciones continuarán dentro del marco de las construcciones mentales. Y la iteración continuará hasta alcanzar una explicación de la evolución socioepistemológica del contenido matemático de la problemática. Desarrollo de la investigación En la didáctica actual, todavía hallamos énfasis en los aspectos formales y rigurosos, dejando de lado los aspectos epistemológicos y psicológicos concernientes a los conceptos. En el cálculo, los conceptos fundamentales son señalados por la derivación e integración explicados a través de las concepciones del límite y de función, acompañados de sus representaciones geométricas, la recta tangente a una curva, y el área bajo la curva. Cabe señalar que esta didáctica ha generado una cultura, en el profesor y estudiante, aprenden a decir lo que es la derivada e integral y representarlos geométricamente, sin tener una explicación que les permita estudiar fenómenos de variación continua, sólo lo conciben como una herramienta que los provee de algoritmos eficientes, a los cuales hay que buscarles aplicación (Cordero, 1997). Esta didáctica tiene un buen desarrollo de los argumentos analíticos sobre los conceptos, logrando matizarlos a través de los dominios de las funciones, sin embargo la didáctica insinúa que estos argumentos sustituyen cualquier otro tipo de argumentos, por ejemplo, los intuitivos y los visuales. 117

4 La característica fundamental de esta didáctica es que toma los conceptos matemáticos como objetos ya hechos, sin considerar que estos conceptos tienen que ser construidos por el sujeto como una herramienta funcional que le será posible tratar con distintas clases de situaciones. El concepto de derivada es presentado comúnmente por ventanas como la siguiente: P Comúnmente, se le presenta al alumno una curva, se señala un punto y se le pide que trace la recta tangente a la curva en dicho punto. Sin embargo, este tipo de ventanas nos pueden representar tres situaciones, la situación de variación, la situación de aproximación y la situación de transformación (Cordero, 2001): Para la situación de aproximación. Se presenta por lo general en libros de cálculo, la expresión: f ( x) f ( x0 ) lim x x = f '( x0 ) 0 x x0 que define la derivada en el punto x 0, con el tipo de preguntas: hallar la ecuación de la recta tangente en el punto P de la curva y = f (x), los procedimientos que se siguen en esta situación de aproximación son el límite de un cociente cuyos procesos y objetos se reflejan en la función, la pendiente y la derivada y el argumento en esta situación es la analiticidad de la función. Para el caso de la situación de variación, la clase o el tipo de preguntas que se plantea es, sean f ( x 0 ) y f '( x0 ) condiciones iniciales de cierta posición de un móvil y se pide predecir la siguiente posición, este tipo de enunciados y de problemas no es tan común, los procedimientos aquí son la comparación de dos estados, digamos un estado inicial y uno siguiente que es el que se quiere predecir, cuyos procesos y objetos se reflejan sobre cantidades, variación continua y estado. Para la situación de transformación, se presenta con una expresión que puede ser de la forma y = Af ( bx + c) donde el tipo de preguntas sería en este caso, determinar el valor de los coeficientes A, b, y c para que la curva y = f (x) se parezca a la recta en un intervalo I 0, los procedimientos en esta situación son, la variación de coeficientes de la transformada de una función y los procesos y objetos se reflejan sobre los patrones y comportamientos de las gráficas. Cada uno de estos tres argumentos puede verse como una construcción del cálculo, pero también se puede considerar que los tres en conjunto proceden de una sola construcción; en 118

5 conjunto estos argumentos los podemos considerar como una epistemología del cálculo, que nos ayudan tomando en cuenta la modelización basada en la actividad humana. La idea central, es diseñar situaciones considerando la nueva epistemología con esos tres elementos que no solamente debe tomar en cuenta la adquisición del conocimiento, sino también el desarrollo de actividades. Esas situaciones deben mostrar o interpretar de alguna manera relaciones entre dos grandes contextos que son el contexto algebraico y el contexto gráfico. Además, es importante considerar que el lenguaje de herramientas basado en la actividad humana nos ayuda a identificar a la categoría del comportamiento tendencial de las funciones a través de argumentos cualitativos, estos argumentos cualitativos nos llevan a nuevas acciones que nos reflejan un intercambio permanente entre los contextos algebraicos y gráficos. Una epistemología del Cálculo La epistemología inicial consiste en establecer el marco de referencia del contenido matemático (dimensión epistemológica) y los planos de representación y procedimientos del estudiante (dimensión cognitiva). Tanto los marcos de referencia, como las representaciones y procedimientos ayudan a generar los argumentos (dimensión didáctica y social). Las explicaciones epistemológicas de estas categorías se han basado en cuatro elementos que son los significados y sistemas simbólicos, los procedimientos, los procesos y objetos y los argumentos. Esos cuatro elementos componen una reconstrucción del cálculo: La siguiente tabla, resume lo anterior, C onstrucciones de representación Situaciones Procedim ientos Procesos y objetos Argumentos Variación C om paración de dos estados Cantidad continua Predicción Transform ación V ariación de los coeficientes de una función Instrucción que organiza c o m p o rta m ie n to s Comportamiento tendencial de las funciones A proxim ación Operaciones lógico-form ales Fórm ulas algebraicas A n a litic id a d d e la s fu n c io n e s En las construcciones de representación se van a considerar las tres situaciones de variación, transformación y aproximación, y para cada una de ellas, se tienen diferentes procedimientos, procesos y objetos y argumentos; para la situación de variación, los procedimientos consisten en la comparación de dos estados, los procesos y objetos son representados por la cantidad continua y el argumento es la predicción; para el caso de la transformación, sus procedimientos son la variación de los coeficientes de una función, sus 119

6 procesos y objetos se representan como una instrucción que organiza comportamientos y el argumento es el comportamiento tendencial de las funciones; y para la situación de aproximación, tenemos como procedimientos a las operaciones lógico-formales, como procesos y objetos, a las fórmulas algebraicas y como argumento la analiticidad de las funciones (Cordero, 2001). Esta es la idea general de la problemática y cómo se llevará acabo la investigación. Uno de los aspectos importantes será el diseño de la situación para lograr reconstrucciones de significados de los estudiantes. Referencias bibliográficas Asiala, M., Brown, A., Devries, D., Dubinsky, E., Mathews, D., & Thomas, K. (1996). A framework for research and curriculum development in undergraduate mathematics education. CBMS Issues in Mathematics Education: Research in Collegiate Mathematics Education. II, 6, Cantoral, et. Al, (2000). Desarrollo del Pensamiento Matemático. Ed. Trillas, México, D.F. Cordero, F. (2001). La distinción entre las construcciones del cálculo. Una epistemología a través de la actividad humana (aceptado para su publicación en Relime). Cordero, F. (1997). Una base de significados en la enseñanza de la matemática avanzada. Serie: Antologías, número 1. Cordero, F. Y Solís, M. (1997). Las gráficas de las funciones como una argumentación del cálculo. Serie Cuadernos de Didáctica, Grupo Editorial Iberoamérica, 2ª. Edición, 79 pp. Cordero, F. (1998). El entendimiento de algunas categorías del conocimiento del cálculo y análisis: el caso del comportamiento tendencial de las funciones. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Numero 1, Martínez, M. (1999). Estudio de las relaciones que el estudiante hace para construir la gráfica de la derivada y de la primitiva: efectos de la enseñanza en la transformación de funciones., tesis de maestría. Dirección de estudios de posgrado. Subnodo Regional de Matemática Educativa. Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo. Mirón, H. (2000). Naturaleza y posibilidades de aprendizaje en un ambiente tecnológico: una exploración de las relaciones f y f en el bachillerato interactuando con calculadoras gráficas., tesis doctoral. Departamento de Matemática 120