Arreglos Numéricos, Transformaciones de figuras Geométricas y Comportamientos de las Funciones como Recursos del Álgebra Abstracta

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Jorge Cuenca Godoy
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2 Arreglos Numéricos, Transformaciones de figuras Geométricas y Comportamientos de las Funciones como Recursos del Álgebra Abstracta Francisco Cordero, Ed Dubinsky y Marcela Ferrari

3 Arreglos numéricos, Transformaciones de figuras geométricas y 1 Índice de contenidos Introducción 3 Sección I I.1. Grupos 6 I.2. Subgrupos 10 I.3. Permutaciones y grupos de permutaciones 13 Sección II II.1. Conjuntos laterales 25 II.2. Teorema de Lagrange 32 II.3. Grupos cocientes II.3.1. Un fenómeno matemático 33 II.3.2. Definición y ejemplos 35 II.3.3. Normalidad 39 Sección III III.1. Las asíntotas de las funciones 43 III.2. Las categorías de asintoticidad 44 III.2.1. Las asíntotas verticales 45 III.2.2. Las asíntotas horizontales 48 III.2.3. Las asíntotas definidas a través de 51 una suma de funciones III.2.4. Las asíntotas definidas por un 59 cociente

4 2 Arreglos numéricos, Transformaciones de figuras geométricas y III.3. Las asíntotas de las funciones y la estabilidad de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes III.3.1. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de primer orden III.3.2. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de segundo orden Sección IV IV.1. Grupos cocientes y las asíntotas de las funciones 79 IV.2. Las asíntotas definidas a través de una suma de 80 funciones IV.3. Las asíntotas definidas a través de un cociente de 82 funciones IV.4. Una definición 84 Sección V V.1. Actividades 87 Bibliografía 103

5 Arreglos numéricos, Transformaciones de figuras geométricas y 3 Introducción El álgebra abstracta o moderna, a través de la teoría de grupos, se ha desarrollado como una rama de la matemática desde fines del siglo XIX. Las propiedades de equivalencia y de simetría de las raíces de las ecuaciones son fundamentales para la solución de muchos de los problemas matemáticos. Por ejemplo, la teoría de grupos dio luz al problema de la solución por radicales de ecuaciones de grado superior. Sin embargo, esta álgebra tiene cierto privilegio en la curricula de la Educación Superior, pues pertenece sólo a las licenciaturas de matemáticas. Inclusive, tal vez, no forma parte de las

6 4 Arreglos numéricos, Transformaciones de figuras geométricas y problemáticas principales de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Pero hay varias razones para contrarrestar este privilegio. Una de ellas consiste en que el álgebra abstracta trata con un contenido especial y desarrolla procedimientos que sólo pertenecen a éste, lo que provoca un pensamiento matemático sui generis. Por ejemplo, el contenido del álgebra abstracta no podría ser dominado por memorizar fórmulas, tampoco imitando soluciones de los problemas que requieren cálculos. Se requiere de varias propiedades matemáticas y construcciones independientes de ejemplos particulares, es decir, una vez construido un grupo concreto, el tránsito del grupo a uno de sus cocientes cambia la naturaleza de los elementos y obliga al estudiante a tratar con elementos (conjuntos laterales) que son, para su experiencia matemática, indefinidos. En ese sentido, el estudiante lucha con conceptos abstractos, trabaja con importantes principios matemáticos y aprende a escribir demostraciones. Otra razón más, consiste en que su contenido está relacionado a la matemática del nivel educativo básico. Ciertos arreglos numéricos que son seleccionados para tratarse en ese nivel educativo corresponden a conceptos del álgebra abstracta. Sin embargo, los profesores de matemáticas de tal nivel educativo, en general, desconocen esas relaciones matemáticas. Sería pertinente entonces, que el álgebra abstracta desempeñara un papel importante para la formación de profesores de matemáticas. Es por esto, que con el Cuaderno Didáctico, Arreglos numéricos, transformaciones de figuras geométricas y comportamientos de las funciones como recursos del álgebra abstracta, queremos dejar un testimonio, como reflejo, de una experiencia con

7 Arreglos numéricos, Transformaciones de figuras geométricas y 5 profesores de matemáticas quienes en mayoría no habían tenido la experiencia de dicho conocimiento. En ese sentido hemos seleccionado un contenido que presumiblemente esté cercano a las vivencias escolares de los profesores y su relación al álgebra abstracta. Los conceptos de grupo, subgrupo, conjunto lateral y grupo cociente son los conceptos principalmente tratados en este Cuaderno Didáctico. Para ello, elegimos un conjunto de ejemplos de diversos arreglos numéricos que cumplen con ciertas regularidades. También, elegimos un conjunto de figuras geométricas que al efectuarles ciertos movimientos, como rotar y reflejar, los vértices de las figuras cumplen con ciertas regularidades. Esas regularidades construyen los conceptos antes mencionados del álgebra abstracta. Además, elegimos un conjunto de funciones con cierto comportamiento tendencial, cuyo patrón de comportamiento permitió establecer los conceptos algebraicos: conjunto lateral y grupo cociente. Y por último, mostramos que el conjunto de las soluciones estables de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, también, forma estos conceptos algebraicos. Entonces, a través de diferentes arreglos numéricos, diferentes movimientos de figuras geométricas, diferentes comportamientos tendenciales de las funciones y diferentes condiciones de estabilidad de las ecuaciones diferenciales formulamos actividades para construir los conceptos de grupo, subgrupo, conjunto lateral y grupo cociente, con la esperanza de

8 6 Arreglos numéricos, Transformaciones de figuras geométricas y que esta aproximación contribuya a contrarrestar el privilegio curricular del álgebra abstracta. Sección I I.1. Grupos El primer concepto que abordaremos es el de grupo, necesitamos entonces pensar en un conjunto de elementos, sobre el cual se haya definido una operación binaria. Recordemos que una operación binaria definida sobre el conjunto A es una relación que asigna a todo par ordenado de elementos del conjunto A, algún elemento que también pertenece al conjunto A, es decir, A es cerrado bajo la operación. Esto significa que si tomamos los elementos a y b pertenecientes al conjunto A, diremos que la operación binaria asigna al par ordenado (a, b) un elemento a b que también pertenece a A.

9 Arreglos numéricos, Transformaciones de figuras geométricas y 103 Bibliografía Birkhoff, G. & MacLane, S. (1967). Algebra. New York, EE. UU.: The MacMillan Company. Cordero, F. (1998). El entendimiento de algunas categorías del conocimiento del cálculo y análisis: el caso de comportamiento tendencial de las funciones. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Número 1, Cordero, F. y Solís, M. (2001). Las gráficas de las funciones como una argumentación del Cálculo. Serie Cuadernos de Didáctica, Edición Especial Casio Académico, Grupo Editorial Iberoamérica, 3a. edición, 79 pp. Fraleigh, J. B. (1987). Álgebra Abstracta. México: Addison- Wesley Iberoamérica.

10 104Arreglos numéricos, Transformaciones de figuras geométricas y Hall, M. (1976). The theory of groups. Nueva York, EE. UU.: Chelsea Publishing Company. Herstein, I. N. (1986). Álgebra Abstracta. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

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