Fraccions. Objectius. Abans de començar. 1. Fraccions pág. 24 Fraccions Equivalents Simplificació de Fraccions

Transcripción

1 Fraccions Objectius En aquesta quinzena aprendràs a Veure si dues fraccions són equivalents. Simplificar fraccions. Reduir fraccions al mateix denominador. Sumar i restar fraccions. Multiplicar i dividir fraccions. Obtenir la inversa d'una fracció. Calcular potències d'una fracció. Trobar l'arrel quadrada d'una fracció. Abans de començar 1. Fraccions pág. Fraccions Equivalents Simplificació de Fraccions.Fraccions amb el mateix denominador pág. Reducció a comú denominador Comparació de fraccions.operacions amb fraccions pág. Suma i resta Producte Quocient Potència Arrel quadrada Operacions combinades. Problemes d aplicació pág. Exercicis per practicar Per saber-ne més Resum Autoavaluació Solucions MATEMÀTIQUES n ESO 1

2 MATEMÀTIQUES n ESO

3 Abans de començar Ja coneixes el treball amb fraccions. Ja saps que una fracció pot veure s des d una triple perspectiva. Pots veure una fracció simplement com un nombre. També com una part d un total. O també pots interpretar una fracció com un percentatge. Recorda Per treballar amb fraccions necessitaràs en ocasions obtenir la descomposició factorial d un nombre, així com calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombre. Per descompondre en factors un nombre el dividim pel primer nombre primer que puguem. Si podem seguim dividint successivament aquest quocient pel mateix nombre primer. Quan no puguem fer la divisió per aquest nombre primer, la fem pel següent nombre primer que puguem. Així successivament, fins que el quocient final sigui 1. Finalment, posem aquest nombre com un producte de potències de factors primers. El mínim comú múltiple de varis nombres naturals és el nombre natural més petit que és múltiple de tots aquests nombres alhora, exceptuant el número 0. MATEMÀTIQUES n ESO

4 1. Fraccions Fraccions Equivalents Troba el valor de y.donen el mateix resultat. Són dues fraccions equivalents. Si a b c d, a i d es diuen extrems, b i c es diuen mitjans. A l'exemple, els extrems són i, els mitjans i. Observa que si multipliquem uns i altres s' obté el mateix resultat i. Anem a comprovar si les fraccions següents són o no equivalents. 1 i 1 Els extrems de les fraccions 1 i El seu producte val 1 Els mitjans de les fraccions 1 i El seu producte és 1 Per tant són equivalents 1 1 Exercicis Comprova si les següents fraccions són o no són equivalents b) 1 i 0 0 i 1 PISTA 0? 01? b)? 1? Simplificació de fracciones Simplificació de fraccions Si divideixes per el numerador i el denominador de 1 obtens, que és equivalent. Ara pots dividir i 1 entre. Obtens que no es pot simplificar. És Anem a simplificar la fracció següent 1 Numerador i denominador es poden dividir per 1 irreductible. 1 Resumint 1 que és irreductible. Al dividir numerador i denominador d una fracció per un mateix nombre, s obté una fracció equivalent. Numerador i denominador es poden dividir per 1 1 és una fracció irreductible MATEMÀTIQUES n ESO

5 . Fraccions amb igual denominador Reducció a comú denominador Fraccions Anem a reduïr a igual denominador les fraccions i 0 Trobem el m.c.m. dels denominadors m.c.m. (0,) 10 que serà el nou denominador de les fraccions. Dividim el m.c.m entre el primer denominador 10 0 i multipliquem el resultat pel primer numerador 1, que serà el nou primer numerador. Ara el m.c.m el dividim entre el segon denominador 10 i multipliquem el resultat pel segon numerador 10, que serà el nou segon numerador. Així, les fracciones quedan 1 10 i PISTA m.c.m.(1, 10) 0 b) m.c.m.(, 10) 10 1 Considera les fraccions i. Per tal de comparar-les i fer càlculs, podem fer servir d'altres fraccions equivalents amb el mateix denominador. 1 i Al dividir numerador i denominador d una fracció per un mateix nombre, s obté una fracció equivalent. Exercicis Redueix a comú denominador i b) i i d) i Comparació de fraccions Anem a comparar les fraccions i 1 Trobem el m.c.m. dels denominadors m.c.m. (1, ) Reduïm les dues fraccions a denominador comú 1 i 1 Ara ja podem comparar les fraccions 1 < per tant < 1 PISTA m.c.m. (, ) b) m.c.m. (1, ) 1 m.c.m. (1, )? d) m.c.m. (, )? Quina fracció és més gran, o Les reduïm a comú denominado? y La primera fracció és més gran > Exercicis Compara les següents fracciones Es convenient que facis servir els símbols major que, >, i menor que, <. 1 i b) i 1 i d) i 1 MATEMÀTIQUES n ESO

6 . Operacions amb fraccions Suma y resta Per sumar fraccions amb el mateix denominador, posa el mateix denominador i suma els numeradors. Si són fraccions amb denominadors diferents, les reduirem primer a comú denominador. És el mateix 1 que Exercici resolt Simplifica cada fracció i calcula En primer lloc simplifica les fraccions 10 1 ; 1 1 Queda ; Ara opera Calcula m.c.m. (,,) 1 i La solució és 1 PISTA Intenta simplificar primer cada fracció Exercicis Calcula el valor de 1 b) d) 1 Després calcula el m.c.m. dels denominadors. (Serà el nou denominador) Divideix el m.c.m. per cada denominador i multiplica l pel seu corresponent numerador. (Obtindràs els nous numeradors) Ja pots sumar o restar les fraccions. Producte de fraccions La figura representa a Anem a trovar de. Dividim en tres partes i prenem dos Exercici resolt Anem a calcular el valor del següent producte 1 0 Si es pot, simplifiquem les fraccions 1 1 és irreductible 0 1 Multipliquem els numeradors i denominadors Del total, tenim 1 Si és possible, simplifiquem el resultat. 1 En aquest cas és irreductible. MATEMÀTIQUES n ESO

7 . Operacions amb fraccions Exercici resolt Anem a calcular el valor del quocient següent 10 1 Si es pot simplifiquem les fraccions Multipliquem numeradors i denominadors en creu Si es pot, simplifiquem el resultat PISTA Intenta simplificar primer cada fracció Multiplica numeradors i denominadors en creu Si es pot, simplifica el resultat Quocient de fraccions Dues fraccions són inverses si el seu producte és 1. Per exemple, i ho són perquè 1 I escriurem 1. En general 1 d c c Para dividir fraccions, multiplica en creu Exercicis Calcula el valor dels quocients 1 1 d b) d) Potència d una fracció Quant val? Desenvolupem la potència Exercici resolt Anem a obtenir el valor de Elevem numerador i denominador a l exponent Calculem la potència 1 0 Per obtenir la potència d'una fracció has d'efectuar el quocient entre les potències del numerador i del denominador. Recorda n a b a b n n a 0 y 1 b Exercicis Calcula el valor de les potències b) d) 1 MATEMÀTIQUES n ESO

8 . Operacions amb fraccions Arrel quadrada d una fracció Per obtenir l'arrel quadrada d'una fracció, fes l'arrel quadrada del numerador i del denominador. i també La raó és que i. Per tant, hi haurà una arrel positiva i una de negativa. Recorda a a a y b b b Exercici resolt Anem a obtenir el valor de 1 Trobem l arrel del numerador i denominador Com que és arrel quadrada hi ha una altra solució Exercicis Calcula el valor de 1 1 b) 1 1 d) 1 Operacions combinades amb fraccions Hi ha una sèrie de qüestions que has de tenir en compte a l'hora d'efectuar operacions combinades amb fraccions L'ordre de les operacions és d'esquerra a dreta. Les multiplicacions i les divisions s'efectuen abans que les sumes i restes. Si hi ha parèntesis, les operacions que contenen tenen prioritat. Si hi ha parèntesis dins d'altres parèntesis, s'efectuen de dintre cap a fora. En general, no convé que esperis al final de l'exercici per simplificar. Exercicis Calcula el valor de b) Exercici resolt Anem a obtenir el valor de Operem separadament al numerador i al denominador Dividim, multiplicant en creu Si es pot, simplifiquem el resultat MATEMÀTIQUES n ESO

9 . Problemes d aplicació PROBLEMA 1. La setmana passada vaig llegir 1 d un llibre. Durant aquesta setmana he pogut llegir de la resta. En total he llegit pàgines del llibre. Quantes pàgines en total té el llibre? Solució 10 pàgines PROBLEMA. Hem buidat aigua des d un barril, a 1 recipients de litre cadascun. Han quedat tots plens menys un que s ha omplert fins a la meitat. En el barril han quedat 1 litres. Quants litres d aigua hi havia al barril? Solució, litres PROBLEMA. Està previst destinar 1 d una finca a places d aparcament. Però s han destinat del que s havia previst a zones enjardinades. Quina fracció de la finca s ha destinat finalment a zones d aparcament? Solució per a aparcaments PROBLEMA. D un depòsit de cereals se n han extret els 10. L endemà se n extreuen 1 de la resta. Quina fracció del total s ha extret del depòsit? 1 Solució del total 0 MATEMÀTIQUES n ESO

10 EXERCICIS resolts Fraccions equivalents. Simplificació 1. Són equivalents 0 i? 1 10 El producte d extrems val 1 0 i el producte de mitjans Els dos productes no coincideixen i, per tant, no són equivalents 10. Simplifica la fracció 0 Numerador i denominador es poden dividir per Numerador i denominador es poden dividir entre 1 Numerador i denominador es poden dividir entre 1 1 és irreductible. Fraccions amb igual denominador 1 1. Redueix a denominador comú les fracciones i 10 1 Trobem el m.c.m. dels denominadors m.c.m. (10,1) 00 que serà el nou denominador. Dividim el m.c.m entre el primer denominador Multipliquem el resultat pel primer numerador 1 1, que serà el nou primer numerador. Ara el m.c.m el dividim entre el segon denominador 001. I multipliquem el resultat pel segon numerador 1 0, que serà el nou segon numerador. 1 0 Així, les fraccions queden i, fraccions amb igual denominador Redueix a igual denominador les fraccions, i 1 Trobem el m.c.m. dels denominadors m.c.m. (, 1,) que serà el nou denominador de les fraccions. Dividim el m.c.m entre cada denominador, multiplicant el resultat pel corresponent numerador Així, les fraccions queden, i. 0 MATEMÀTIQUES n ESO

11 . Simplifica cada fracció i calcula En primer lloc simplifico les fraccions Queda EXERCICIS resolts (continuació) Operacions amb fraccions ; ; és irreductible Calcula el valor del següent producte Si és possible simplifiquem las fraccions Multipliquem els numeradors i denominadors Si és possible, simplifiquem el resultat Calcula el valor del següent quocient 1 0 Si és possible simplifiquem les fraccions. En aquest cas ambdues són irreductibles. Multipliquem numeradors i denominadors en creu I, si és possible, simplifiquem el resultat Calcula la següent potència Elevem numerador i denominador al exponent Calculem les potències 1 MATEMÀTIQUES n ESO 1

12 EXERCICIS resolts (continuació). Indica les dues solucions de l arrel Trobem l arrel del numerador i denominador Operacions amb fraccions Per ser arrel quadrada hi ha una altra solució 10. Calcula Operem por separat en el numerador i denominador Dividim, multiplicant en creu Si es pot, simplifiquem el resultat Calcula Operem primer el parèntesi Fem la potència Sumem En aquest cas no podem simplificar el resultat. és una fracció irreductible. 1. Calcula 1 0 Simplifiquem el resultat 1 0. Dividim multiplicant en creu. MATEMÀTIQUES n ESO

13 Per practicar Equivalència de fraccions 1. Comprova si són o no equivalents les següents fraccions 10 i b) i i d) i 1 Producte de fraccions. Calcula el valor del producte de les següents fraccions i simplifica el resultat quan sigui possible b) d) 1 Simplificar fraccions. Simplifica les següents fraccions b) 1 d) 1 Reduir a comú denominador. Redueix a comú denominador les següents fraccions 1, i b), i , i 1 1 d), i Quocient de fraccions. Calcula el valor del producte de les següents fraccions i simplifica el resultat quan sigui possible 1 10 b) d) Potenciació. Calcula el valor de las següents potencies i simplifica el resultat quan sigui possible b) d) Suma i resta de fraccions. Realitza les operacions següents i simplifica el resultat quan sigui possible b) Arrel quadrada. Troba el resultat de les següents arrels. Dóna les dues solucions possibles 1 b) d) d) MATEMÀTIQUES n ESO

14 Operacions combinades. Realitza les operacions següents i simplifica el resultat quan sigui possible 1. En una ciutat de 0 habitants, practiquen esport regularment. Quina fracció del total no practiquen esport amb regularitat? Quin tant per cent és? b) d) Problemes amb fraccions 1. La setmana passada he llegit 1 d un 10. Quants ampolles de refresc de 1 de litre podem emplenar amb 1 litres de refresc?. Expressa en forma de fracció l àrea d un rectangle amb mesura de la base m i altura m. 1. Un camió conté 00 Kg. de patates. Descarrega 1 de la sevs carrega. De la resta descarrega els. Quants Kg. de patates queden? llibre. Al llarg d aquesta setmana he pogut llegir de la resta. En total he llegit pàgines del llibre. Quantes pàgines en total té el llibre? 1. Hem buidat aigua continguda en un barril, en recipients de de litre cadascun. Tots han quedat plens excepte un que s ha emplenat per la meitat. En el barril han sobrat 10 litres. Quants litres d aigua contenia el barril? 1. Està previst destinar d una finca a places d aparcament. Però s han destinat del previst a zones enjardinades. Quina fracció de la finca s ha destinat finalment a zones de aparcament? 1. D un depòsit de cereals s han extret els. Al dia següent s extreu 1 de la resta. Quina fracció del total s ha extret del depòsit? MATEMÀTIQUES n ESO

15 Per saber-ne més Fraccions L ull d Horus Una fracció interminable Mira com està escrita aquesta fracció, La imatge de dalt, d'origen egipci, és l'ull d'horus, l'udyat. Horus havia perdut l'ull en combat però, per intervenció del déu Thot, li va ser substituït per l'udyat. Per als antics egipcis, l'udyat simbolitzava l'estat de perfecció i li atribuïen qualitats sanadores. També els servia per escriure nombres. Es pot escriure qualsevol fracció positiva com a suma de fraccions de numerador la unitat. Una suma d'aquest tipus es diu una fracció egípcia. Són fraccions egípcies I si seguim el procés indefinidament? S'obté una fracció contínua, el resultat de la qual no és una fracció! Amb fraccions contínues, es poden escriure nombres tan importants en matemàtiques com φ, el nombre d or i Els jeroglífics que feien servir els egipcis per tal d'escriure les fraccions més freqüents en mesures agràries de capacitat i volum eren parts de l'ull d'horus. Pots trobar més informació a la viquipèdia Secció auria http//ca.wikipedia.org/wiki/secció_àuria Fracció continua http//ca.wikipedia.org/wiki/fracció_contínua MATEMÀTIQUES n ESO

16 Recorda el més important Quan són equivalents dues fraccions? Quan el seu producte d extrems i mitjans coincideix. a c si compleix adcd b d Com se simplifiquen fraccions? Has de dividir numerador i denominador entre un mateix factor. Si el mcd del numerador i el denominador és la unitat, la fracció ja no es pot simplificar més, és irreductible. m.c.d.(0,1) Si saps el mcd del numerador i el denominador, el millor és dividir directament por aquesta quantitat. La fracció resultant serà irreductible. Com es redueixen fraccions a denominador comú? Divideix el mcm dels denominadors entre el denominador i multiplica pel numerador. Com se sumen i resten fraccions? Han de tenir el mateix denominador. Com es multipliquen fraccions? Multiplica numeradors i denominadors. Com es divideixen fraccions? Multiplica en creu els numeradors i els denominadors. Com s obté la potència d una fracció? Eleva el numerador i el denominador. Com s extreu l arrel d una fracció? Extreu l'arrel del numerador i el denominador. MATEMÀTIQUES n ESO

17 Autoavaluació 1. Troba una fracció irreductible equivalent a. 1. Sense simplificar-les, redueix a comú denominador 1 i.. Calcula. Calcula 1. El resultat ha de ser irreductible. 1 0 (en forma de fracció irreductible). 1. Troba la fracció irreductible equivalent a Troba. Calcula , expressat de forma irreductible.. Simplifica el resultat.. Troba el valor de simplificat. 10. El resultat ha d estar. Una roda avança metres cada volta. Quantes voltes ha de fer per avançar metres? 10. Troba 1. MATEMÀTIQUES n ESO

18 Solucions dels exercicis proposats en els Continguts Fraccions equivalents No són equivalents, ja que el producte de mitjans i extrems no coincideixen. b) No són equivalents, ja que el producte de mitjans i extrems no coincideixen. Reducció a comú denominador i 0 0 b) i i d) i b) 1 d) 1 y - b) y y - Potències Arrels PROBLEMA. S han emplenat 0 recipients de de litre. És a dir 0 0 litres d aigua. Un ha quedat per la meitat. Són 0, litres més. Per últim han sobrat 1 litres. En total tenim, litres d aigua en el barril PROBLEMA Per aparcaments s havia reservat 1 de la finca. Comparació de fraccions > 1 b) 1 < 1 < d) < 00 b) 1 d) 0 b) 1 Suma i resta Quocient de fraccions d) y - Operacions combinades b) Problemes d aplicació PROBLEMA 1. La setmana passada vaig llegir 1 del llibre. Em queden per llegir. Aquesta setmana he llegit de la resta, és a dir de. Del total he llegit 1 1. És a dir, del total resulten ser pàgines. Per tant el total serà Total 10 págines S ha fet servir zones enjardinades. de per 1 Per aparcaments ens quedarà del total Solució per aparcaments. PROBLEMA s haurà reservat El primer dia es va treure del total. 10 El segon dia es van extreure 1 de És a dir, el segon dia es van 1 treure (1- ) del 10 0 total. Solució La fracció del total 1 extreta ha estat d) MATEMÀTIQUES n ESO

19 Solucions dels exercicis per practicar Equivalència de fraccions 1. No. Els productes creuats no coincideixen. b) No. Els productes creuats no coincideixen. No. Els productes creuats no coincideixen. d) Si.. b) d) 1 Simplificar fraccions Reduir a comú denominador 1 1., i b), i 1 1, i 1 0 d), i Suma i resta de fraccions. b) d) b) Producte de fraccions 0 d). 1 b) 10 d) 1 Quocient de fraccions b) 1 d) 1. i - b) i - i - d) i - Potenciació Arrel quadrada Operacions combinades. 1 1 b) d) Problemes amb fraccions 10. Podem omplir 0 ampolles de refresc.. L àrea del rectangle és m 1. Queden al camió 0 Kg. De patates. 1. No practiquen esport amb regularitat un del total, el que suposa un 1%. 1. El llibre té en total pàgines. 1. Han sobrat, litres del barril. 1. S ha destinat del total de la finca una fracció de del total La fracció del total extreta ha sigut MATEMÀTIQUES n ESO

20 Solucions AUTOAVALUACIÓ 1... i voltes. 10. i. 0 MATEMÀTIQUES n ESO