CAPITULO 14 ANÁLISIS DE RESULTADOS

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1 CAPITULO 14 ANÁLISIS DE RESULTADOS 172 Tema: Práctica de Laboratorio 1. Distribución de frecuencias 2. Estadísticos asociados con la distribución de frecuencias 3. Prueba de Hipótesis 4. Pruebas Paramétricas: una muestra Para poder realizar análisis de frecuencia, calcular los estadísticos asociados a la distribución de frecuencia, y las pruebas paramétricas para una muestra, la herramienta SPSS es una de entre tantas alternativas. A continuación se le da una serie de instrucciones que deberá seguir para poder realizar ejercicios posteriores relacionados con su trabajo final de investigación de mercados. Paso 1. Abra el programa SPSS 15.0 para Windows. (O la versión que esté disponible en su PC) Figura 1. Ventana de SPSS Fuente: Data View (vista de datos). Aquí se tabulan los resultados. La primera columna va del 1 en adelante que representa el número de encuestas realizadas. Si por ejemplo aplica 300 encuestas, la vista de datos irá desde el 1 hasta el 300.

2 Figura 2. Vista de variables en SPSS 173 La vista de variable en SPSS, sirve para poder registrar cada una de las preguntas que vienen en la encuesta. A continuación se explica el significado de cada columna en vista de variables. Nombre: si por ejemplo la pregunta es consume café?, es lógico que en la columna nombre no alcanza toda la pregunta, entonces habrá que ponerle nombre a la variable, puede ser por ejemplo consumo. O también puede ponerle P1, que representa pregunta 1. Las siguientes columnas, tipo y anchura no se tocan. Decimal: aquí comúnmente se utiliza 0 para decimales. Etiqueta: aquí si tendrá la libertad de escribir toda la pregunta. Por ejemplo: con que frecuencia consume café? Valores: los valores representan las categorías para cada pregunta. Si Cuál es su sexo? tiene como categorías de respuesta: femenino, masculino, Como puede observar estas respuestas no están codificadas. Por lo tanto, es importante tener previamente codificada las respuestas. De la siguiente forma: (1) femenino (2) masculino Cuando le toque ingresar los valores le aparecerá una ventana de la siguiente manera.

3 Figura 3. Etiqueta de valor Aquí se ingresa el código, por ejemplo, 1: femenino. El código es 1 2. Aquí se ingresa la categoría. Si 1: femenino. Entonces escribe solamente femenino. 3. Cuando haya ingresado digitado 1 en valor y femenino en sexo. Le da añadir. Perdidos: usualmente el usuario (persona que llena la encuesta) no sabe que responder, deja la respuesta en blanco, o marca todas las opciones de respuesta. Estos son considerados valores perdidos. Se le puede asignar cualquier número, pero el que comúnmente se utiliza es el 999. Figura 4. Perdidos (missing) La figura 4 ejemplifica en la vista de variables, la 7ma columna, Missing, que en español es perdidos. Si le da le da clic con el cursor a esta columna le aparecerá un cuadro de diálogo así. La figura a la izquierda es el cuadro de diálogo para valores perdidos. La primera opción es cuando no hay respuestas sin contestar por el encuestado.

4 La segunda opción es para reflejar un código para valores perdidos. Escriba en la primera casilla de la segunda opción 999 para reflejar que ese es un valor perdido. 175 Ahora que ya maneja lo básico del programa SPSS, el siguiente paso ingresar la encuesta al programa y luego empezar a tabularlas. Paso 2. Ingresando la encuesta El anexo de este documento le presenta un ejemplo de una encuesta ya tabulada. Para ilustrar, se va a tabular la pregunta número 4, que usted deberá ingresar siguiendo las instrucciones. 4. Evalúe en una escala del 1 al 5 la importancia que tiene para usted cada uno de los siguientes factores al momento de elegir qué marca de chocolate comprar. Donde, 1=Nada importante, 2=Poco importante, 3=neutro, 4=importante, 5=muy importante Precio Calidad Instrucciones para ingresar la pregunta 4, opción precio. 1. Vaya a vista de variable en el editor de datos SPSS 15.0 para Windows 2. Digite en la columna nombre P 4.1. (porque la pregunta número 4 tiene dos incisos, 4.1: precio y 4.2: calidad. Si lo desea, en lugar de P 4.1., digite el nombre precio. 3. En la tercera columna decimales elija 0 dando clic a la flechita abajo. 1. Digite en la columna Etiqueta el enunciado de la pregunta. Sin embargo, puede reeditar la pregunta de la siguiente forma: qué importancia tiene para usted el precio al momento de elegir qué marca de chocolate comprar. 4. En la columna etiqueta de valor ingrese los siguientes valores. 1: nada importante, 2: poco importante, 3: neutro, 4: importante, 5: muy importante 5. En la columna perdidos de clic y cuando aparezca el cuadro de diálogo ingrese 999 en la segunda opción de valores perdidos discretos. 6. Realice la misma operación para la pregunta 4.2 Instrucciones para ingresar la pregunta 4, opción calidad. 2. Digite en la columna nombre P 4.2. (porque la pregunta número 4 tiene dos incisos, 4.1: precio y 4.2: calidad. Si lo desea, en lugar de P 4.2., digite el nombre calidad. 3. En la tercera columna decimales elija 0 dando clic a la flechita abajo. 4. Digite en la columna Etiqueta el enunciado de la pregunta. Sin embargo, puede reeditar la pregunta de la siguiente forma: qué importancia tiene para usted la calidad al momento de elegir qué marca de chocolate comprar.

5 5. En la columna etiqueta de valor ingrese los siguientes valores. 1: nada importante, 2: poco importante, 3: neutro, 4: importante, 5: muy importante. 6. En la columna perdidos de clic y cuando aparezca el cuadro de diálogo ingrese 999 en la segunda opción de valores perdidos discretos. 176 Trabajo de laboratorio 1. Repita este mismo proceso para las otras preguntas de la encuesta. Paso 3. Digite las respuestas dadas por los encuestados. Para este paso, será necesaria la colaboración de ustedes como estudiantes. Se elije un moderador que irá anotando las respuestas para cada pregunta en la pizarra. Y cada uno de ustedes irá digitando. Para esta tarea, se van a digitar solamente la primera y la segunda pregunta. Posteriormente, el facilitador (docente), les dará una base datos ya digitada para que la trabajen. Paso 4. Genere datos de distribución de frecuencia y sus estadísticos asociados. Instrucciones para analizar pregunta 1 1. Seleccione analizar de la barra de menú de SPSS 2. Haga clic en estadísticos descriptivos y seleccione frecuencia 3. Traslade la variable consume chocolate? [P1] al recuadro VARIABLES 4. Haga clic en ESTADÍSTICOS 5. Seleccione MODA 6. Haga clic en CONTINUAR 7. Haga clic en GRÁFICOS 8. Haga clic en GRÁFICO DE BARRAS y luego CONTINUAR 9. Elija ACEPTAR Instrucciones para analizar pregunta 2 1. Seleccione analizar de la barra de menú de SPSS 2. Haga clic en estadísticos descriptivos y seleccione frecuencia 3. Traslade la variable qué marca de chocolate consume con mayor frecuencia en un mes normal? [P3] al recuadro VARIABLES. (En el recuadro variable existe otra variable. La ingresada anteriormente, regrese la misma al recuadro de la izquierda) 4. Haga clic en ESTADÍSTICOS 5. Seleccione MODA 6. Haga clic en CONTINUAR 7. Haga clic en GRÁFICOS 8. Haga clic en GRÁFICO DE BARRAS y luego CONTINUAR 9. Elija ACEPTAR

6 Trabajo Laboratorio 2. Repita estos mismos paso para el ingreso de otras preguntas con escala nominal. 177 ANALICE PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS. Antes de iniciar con este paso, es necesario explicar lo que se va analizar. Se desea saber por ejemplo cuál es la importancia que tiene para los encuestados el precio al momento de elegir que marca de chocolate comprar. Suponiendo que se desea lanzar al mercado una marca de chocolate con bajo precio, asequible al mercado que lo demanda, se supone entonces que le precio debe tener una escala de importancia mayor a 3. Ese es el éxito que andamos buscando en nuestra investigación. Por tanto, lo que menos esperamos es que el precio sea calificado con un promedio menor o igual que 3. La hipótesis nula en este caso es lo que no esperamos: el precio tiene una escala promedio de importancia menor o igual a 3 al momento de elegir que marca de chocolate comprar. La hipótesis alternativa es lo que si esperamos probar: el precio tiene una escala promedio de importancia mayor a 3 al momento de elegir que marca de chocolate comprar. Primer paso. Plantear hipótesis H 0 : 3 H 1 : 3 Segundo paso. Elegir el estadístico de prueba Se trabajará con la prueba t para una sola muestra en el editor de datos SPSS Tercer Paso. Elegir el grado de importancia Se trabajará con un grado de importancia de =0.05. En esta curva, 0.05 representa la región de rechazo. El resultado esperado será una probabilidad dada por el programa SPSS, cualquier valor de probabilidad menor a 0.05, cae en la zona de rechazo, cualquier valor

7 mayor 0.05 cae en la zona de aceptación, que representa Si trabajamos con el valor t, es necesario conocer grados de libertad (Gl) para hacer uso de la tabla de t de student. Regla de decisión: si t de student es menor o igual al valor crítico, cae en la zona de aceptación, entonces aceptamos la hipótesis nula. Si el valor t de student es mayor que el valor crítico, cae en la zona de rechazo y se acepta la hipótesis alternativa. Cuarto paso. Calcular valor t. En el editor de datos SPSS haga lo siguiente 1. Seleccione analizar en la barra de menú SPSS 2. Haga clic en COMPARAR MEDIAS y luego en PRUEBA T PARA UNA MEDIA 3. Traslade Qué importancia tiene para usted el precio al momento de elegir que marca de chocolate comprar? [P.4.1] al recuadro CONTRASTAR VARIABLES 4. Escriba 3 en el recuadro VALOR DE PRUEBA. Note que 3 es nuestro promedio de calificación límite para nuestras hipótesis nula y alternativa. 5. Elija aceptar. Le aparecen los siguientes cuadros en resultados Estadísticos para una muestra qué importancia tiene para usted el precio al momento de elegir que marca de chocolate comprar? N Media Desviación típ. Error típ. de la media

8 Prueba para una muestra 179 qué importancia tiene para usted el precio al momento de elegir que marca de chocolate comprar? t gl Sig. (bilateral) Valor de prueba = 3 95% Interv alo de confianza para la Dif erencia diferencia de medias Inf erior Superior El valor t es Encontrando el valor crítico. Para encontrar el valor crítico disponemos de los grados de libertad 24 y nivel de importancia 0.05, entonces nos vamos al cuadro de distribución t de student. Tabla t de student El valor de elegido es 0.05 que está en la 6ta columna. Este lo elegimos nosotros. r o grados de libertad los proporciona el editor de datos SPSS y es 24. El cruce entre la fila de grados de libertad (r) y la columna =0.05 nos da como resultado el valor crítico Quinto paso. Comparar el valor de t de student y el valor crítico y analizar el resultado.

9 180 t= Valor crítico=1.711 El valor t= claramente cae en la zona de aceptación. Además es menor al valor crítico por tanto se acepta la hipótesis nula: la calificación promedio de importancia para el precio a la hora de elegir que marca de chocolate comprar es menor o igual a 3. Sexto paso: tomar la decisión en términos del problema de investigación de mercados. Para este mercado, el precio no es importante a la hora de elegir una marca de chocolate, por lo tanto no tendría caso lanzar al mercado una marca de chocolate de bajo precio porque no sería aceptado. Repita el mismo proceso para la calidad. Trabajo de laboratorio 3. Hacer la prueba de hipótesis para la pregunta 4.2. ANÁLISIS DE PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS Se desea conocer la relación que existe entre el sexo y el consumo de chocolate con el objetivo de diseñar la campaña publicitaria dirigida exclusivamente mujeres, hombre o ambos. Para analizar este resultado se hace uso de la prueba de hipótesis Paso 1. Plantear hipótesis H 0 : no hay relación entre la decisión de consumo de chocolate y el sexo H 1 : si hay relación entre la decisión de consumo de chocolate y el sexo Paso 2. Elegir el estadístico de prueba Los estadísticos de prueba que pueden usarse son: (Malhotra, 2007)

10 Prueba de Chi Cuadrada ( 2 ): se utiliza para probar la significancia estadística de la asociación observada en una tabulación cruzada. Nos ayuda a determinar si existe relación entre las dos variables. Coeficiente Fi ( ): se utiliza como una medida de fuerza de asociación en el caso especial de una tabla con dos reglones y dos columnas (una tabla 2x2). El estadístico toma un valor 0 cuando no hay asociación, lo que también indicaría una Chi Cuadrada de 0. Cuando las variables están perfectamente relacionadas, fi toma el valor de 1. Fi se calcula solo cuando Chi demuestra que las variables están asociadas. Coeficiente de contingencia: se utiliza para medir la fuerza de asociación en una tabla de cualquier tamaño. Varía entre 0 y 1. El valor 0 ocurre cuando no hay asociación, es decir cuando las variables son totalmente independientes. Pero nunca se alcanza el valor máximo de 1. V de Cramer: es una versión modificada del coeficiente de correlación fi, se utiliza en tablas más grandes que 2x2, no tiene un límite superior. La V de Cramer se obtiene al ajustar fi al número de reglones o al número de columnas de la tabla, dependiendo de cuál de las dos sea más pequeño. El ajuste es tal que V va del 0 al 1. Un valor grande de V solo indica un alto grado de asociación, y no la forma en que las variables se relacionan. 181 En este caso se elige Chi y Fi, porque la tabla será 2x2. Paso 3. Fijar la regla de decisión Hay dos formas. 1) Si el valor de Chi es mayor que el valor critico calculado en base a los grados de libertad y el valor de significancia ( ), cae en la zona de rechazo, y se rechaza H 0 y se acepta H 1. 2) Se trabaja con un nivel de significancia de 0.05, si la probabilidad dada en el cálculo de Chi, es menor a 0.05, cae en la zona de rechazo, se rechaza H 0 y se acepta H 1.

11 Paso 4. Calcular Chi y Fi, fi siempre que Chi de mayor al valor critico. En el editor de SPSS haga lo siguiente: Seleccione analizar en la barra de menú SPSS 2. Haga clic en ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS y seleccione TABLAS DE CONTINGENCIA 3. Traslade la variable consume chocolate? [P1] al recuadro FILAS 4. Traslade la variable sexo [P6] al recuadro COLUMNAS. 5. Haga clic en CASILLAS 6. Elija OBSERVADAS en FRECUENCIAS y COLUMNAS en PORCENTAJES. 7. Haga clic en CONTINUAR 8. Haga clic en ESTADISTICOS 9. Haga clic en CHI CUADRADA, PHI y V DE CRAMER 10. Haga clic en CONTINUAR 11. Elija ACEPTAR Le aparecen los siguientes cuadros en resultados Resumen del procesamiento de los casos consume chocolate? * Sexo Casos Válidos Perdidos Total N Porcentaje N Porcentaje N Porcentaje % 0.0% % Tabla de contingencia consume chocolate? * Sexo consume chocolate? Total Si No Recuento % de Sexo Recuento % de Sexo Recuento % de Sexo Sexo Masculino Femenino Total % 82.6% 83.3% % 17.4% 16.7% % 100.0% 100.0%

12 Pruebas de chi-cuadrado 183 Chi-cuadrado de Pearson Corrección por continuidad a Razón de v erosimilitudes Estadístico exacto de Fisher Asociación lineal por lineal N de casos válidos Sig. asintótica Valor gl (bilateral).037 b a. Calculado sólo para una tabla de 2x2. Sig. exacta (bilateral) Sig. exacta (unilateral) b. 2 casillas (50.0%) tienen una f recuencia esperada inf erior a 5. La frecuencia mínima esperada es Nominal por nominal N de casos válidos Phi Medidas simétricas V de Cramer a. Asumiendo la hipótesis alternativ a. Sig. Valor aproximada b. Empleando el error típico asintótico basado en la hipótesis nula. 30 El valor de CHI CUADRADA es Forma 1. Encontrando el valor crítico. Para encontrar el valor crítico disponemos de los grados de libertad 1 y nivel de importancia 0.05, entonces nos vamos al cuadro de Chi Cuadrada Probabilidad de un valor superior - Alfa (α) Grados libertad 0,1 0,05 0,025 0,01 0, ,71 3,84 5,02 6,63 7,88 Gl=1 Valor critico=3.84 Alfa=0.05

13 Forma 2. Usando la probabilidad dada En la tercera columna y primera fila, el sig. Bilateral da Paso 5. Comparar el valor de Chi Cuadrada y el valor crítico y analizar el resultado. Regla de decisión, forma 1: Si el valor de Chi es mayor que el valor critico calculado en base a los grados de libertad y el valor de significancia ( ), cae en la zona de rechazo, y se rechaza H 0 y se acepta H 1. En este caso, Chi Cuadrada=0.037 es menor al valor crítico=3.84, cae en la zona de rechazo por lo tanto se acepta la hipótesis nula que no hay asociación entre sexo y la decisión de consumo. Regla de decisión, forma 1: Se trabaja con un nivel de significancia de 0.05, si la probabilidad dada en el cálculo de Chi, es menor a 0.05, cae en la zona de rechazo, se rechaza H 0 y se acepta H 1. En este caso sig. Bilateral= 0.847, mayor a 0.05, cae en la zona de rechazo, por tanto se acepta la hipótesis nula que no hay asociación entre sexo y la decisión de consumo. AUNQUE NO HAY ASOCIACION, para ejemplificar, se puede observar que fi = 0.035, se acerca más a 0 que a 1, la FUERZA DE ASOCIACION entre SEXO y DECISION DE CONSUMO ES DEBIL Sexto paso: tomar la decisión en términos del problema de investigación de mercados. En vista que el género masculino o femenino no es relevante en las decisiones de compra, la campaña promocional será dirigido a ambos sexos. Trabajo de laboratorio 4. Realice la prueba de hipótesis para valorar la asociación entre sexo y la marca de chocolate que consume ANALIZANDO PRUEBAS DE HIPOTESIS PARA PROPORCIONES Un ejemplo Una tienda departamental ha realizado una investigación de mercados para determinar si es conveniente brindar el servicio de compras por Internet a sus clientes, y brindará el servicio si más del 40% de los clientes compra por esa vía. Paso 1. Plantear hipótesis nula e hipótesis alternativa Hipótesis nula (H0): el 40% o menos de la población compra por Internet Hipótesis alternativa (H1): más del 40% de la población hace compras por Internet H0: 0.40 H1: 0.40

14 Paso 2. Estadístico de prueba 185 Z=p- / p Donde p: proporción de la muestra que compra en Internet : Proporción de la población que compra en Internet p : error estándar de la población p = ( (1- )/n) 1/2 Paso 3. Elegir el grado de importancia Error tipo I. Rechazar H0 cuando en realidad es verdadera, =0.05 Error de tipo II. No se rechaza H0 cuando en realidad es falsa: =0.01 El criterio para rechazar H0 es tomando el error de tipo 1, =0.05, para un grado de importancia 0.05, se tiene un nivel de confianza de 0.95, buscando el valor z en la tabla de curva normal para una cola, se hace el siguiente procedimiento Zona de rechazo =0.05 Z=1.65 Como se mira en la campana, a la izquierda del valor z, se tiene una probabilidad de 0.95, si buscamos el valor z para esta probabilidad, es imposible porque la tabla de curva normal solamente tiene una cara, es decir, la probabilidad de este valor z, de 0.95, seguramente aparece =0.45, y para una probabilidad de 0.45 el valor z es Por lo tanto si el valor z calculado es mayor a 1.65, entonces cae en la zona de rechazo y la hipótesis nula se rechaza. Paso 4. Recopilar datos y calcular estadístico de prueba Resumen de datos calculados

15 Compras en Internet Frecuencia Porcentaje Si No Total n=30 p=0.567, que es el porcentaje de la muestra que compra por Internet =0.40, que es el porcentaje estimado en la hipótesis nula p = ( (1- )/n) 1/2 p = (0.40(1-0.40)/30) 1/2 p = Z= /0.089 Z=1.88 Paso 5 y 6. Comparar la probabilidad y tomar la decisión. Si se calcula en la tabla probabilidad que z se encuentre por debajo de 1.88, al buscar en la tabla de una cola se encuentra, el resultado es , y si le sumamos 0.50, que se encuentra del otro lado de la cara de la curva, el resultado es Por lo tanto, por encima de 1.88, la probabilidad de es =0.0301, que es menor al valor de =0.05, por lo tanto z cae en la zona de rechazo. El valor z calculado es 1.88, mayor al valor de z=1.65, y por tanto cae en la zona de rechazo. Decisión: se rechaza H0 y se acepta H1 Paso 7. Expresar decisión estadística en términos de investigación de mercado. Más del 40% de la población compra en Internet, por lo tanto la tienda departamental brindará el servicio a los clientes. Trabajo de laboratorio 5. Haga una prueba de hipótesis para proporciones de la pregunta 1.

16 Anexo 1 El objetivo de esta encuesta es evaluar sus preferencias de consumo del chocolate así como sus intenciones de consumo. Marque con una x la casilla de su preferencia. (Solamente marque una casilla) Consume chocolate? (1) Si (2) No Si su respuesta es no, conteste la pregunta 2, Si su respuesta es sí, conteste la pregunta 3 2. Por qué no consume chocolate? (1) Porque no me gusta Porque he escuchado da acné en la cara (2) Porque engorda Porque da caries (3) Porque provoca adicción Porque le quita el hambre (4) Porque da migraña 3. Qué marca de chocolate consume con mayor frecuencia en un mes normal? (1) BONABON (2) SNICKERS (3) HERSHEY S (4) CHOCOBOLAS 4. Evalúe en una escala del 1 al 5 la importancia que tiene para usted cada uno de los siguientes factores al momento de elegir qué marca de chocolate comprar. Donde, 1=Nada importante, 2=Poco importante, 3=neutro, 4=importante, 5=muy importante Precio Calidad 5. En una escala del 1 al 5, Cómo se siente con la marca de chocolate que consume con relación al factor que mejor calificó en la pregunta anterior? Donde 1=Muy insatisfecho, 2=insatisfecho, 3=ni insatisfecho, ni satisfecho, 4=satisfecho, 5=muy satisfecho BONABON SNICKERS HERSHEY CHOCOBOLAS Otra 6. Sexo (1) Masculino (2) Femenino

17 Anexo 2 Valores críticos de la distribución ji cuadrada. 188 Probabilidad de un valor superior - Alfa (α) Grados libertad 0,1 0,05 0,025 0,01 0, ,71 3,84 5,02 6,63 7,88 2 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60 3 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84 4 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86 5 9,24 11,07 12,83 15,09 16, ,64 12,59 14,45 16,81 18, ,02 14,07 16,01 18,48 20, ,36 15,51 17,53 20,09 21, ,68 16,92 19,02 21,67 23, ,99 18,31 20,48 23,21 25, ,28 19,68 21,92 24,73 26, ,55 21,03 23,34 26,22 28, ,81 22,36 24,74 27,69 29, ,06 23,68 26,12 29,14 31, ,31 25,00 27,49 30,58 32, ,54 26,30 28,85 32,00 34, ,77 27,59 30,19 33,41 35, ,99 28,87 31,53 34,81 37, ,20 30,14 32,85 36,19 38, ,41 31,41 34,17 37,57 40, ,62 32,67 35,48 38,93 41, ,81 33,92 36,78 40,29 42, ,01 35,17 38,08 41,64 44, ,20 36,42 39,36 42,98 45, ,38 37,65 40,65 44,31 46, ,56 38,89 41,92 45,64 48, ,74 40,11 43,19 46,96 49, ,92 41,34 44,46 48,28 50, ,09 42,56 45,72 49,59 52, ,26 43,77 46,98 50,89 53,67

18 Anexo 3 Distribución normal estándar 189 Esta curva "de campana" es la distribución normal estándar. Puedes usar la tabla de abajo para saber el área bajo la curva desde la línea central hasta cualquier línea vertical "a valor Z" hasta 3, en incrementos de 0.1 Esto te dice qué parte de la población está dentro de "Z" desviaciones estándar de la media. En lugar de una tabla LARGA, hemos puesto los incrementos de 0.1 hacia abajo, y los de 0.01 de lado. Por ejemplo, para saber el área debajo de la curva entre 0 y 0.45, ve a la fila de 0.4, y sigue de lado hasta 0.45, allí pone Como la curva es simétrica, la tabla vale para ir en las dos direcciones, así que 0.45 negativo también tiene un área de Z

19 Z

20 Anexo 4 TABLA DE LA DISTRIBUCION t Student c t La tabla da áreas 1 y valores 1, r, donde, P[ T c] 1, y donde T tiene distribución t-student con r grados de libertad r