Ejercicios en LATEX. Universidad Tecnológica de Bolívar
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- Víctor Manuel Soriano Botella
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1 Universidad Tecnológica de Bolívar Estática Ejercicios en LATEX Entregado por: Beicker Baena Baldiris Yeison Sarmiento Lopez Yair Franco Puello Álvaro Polo Ulloque Profesor: Alfredo Abuchar 6 de septiembre de 2015
2 Índice 1. Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio
3 1. Ejercicio 1 Se aplican dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura. Si se sabe que la magnitud de P es 35 N, determine por trigonometría a) el ángulo requerido, si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho debe ser horizontal, y b) la magnitud correspondiente de R. Datos P=35 N Q=50 N θ = 25 α=? correspondiente de α. Figura 1: Ejercicio 1 Q = 50 cos 25î + 50 sin 25ĵ P = 35 cos αî 35 sin αĵ F R = F R î F R = P + Q F R = ( 35 cos αî 35 sin αĵ) + ( 50 cos 25î + 50 sen 23ĵ) F R = ( 35 cos α 50 cos 25)î + ( 35 sin α + 50 sin 25)ĵ F R = 35 cos α 50 cos 25 0 = 35 sin α 50 sin sin α = 50 sin 25 sin α = 50 sin ( ) 50 α = arcsin sin ,13 ( ) F R = 35 cos α + 50 cos 25 F R = 35 cos 37, cos 25 F R = 73,22N 2
4 2. Ejercicio 2 Si se sabe que la tensión en el cable BC es de 725 N, determine la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB. Figura 2: Ejercicio 2 F R = F 2 Rx + F 2 Ry θ = arctan F Ry F Rx θ = 62, 30 F R = 255, 88N T = 750N Q = 500 cos αî 500 sin αĵ p = 780 cos βî 780 sin βĵ T = 725 cos θî sin θĵ Q = 500 cos( 3 5 )î 500 sin(4 5 )ĵ Q = 300î 400ĵ ( ) ( 12 5 P = 780 î ( ) ( 12 5 P = 780 î ) ĵ ) ĵ
5 P = 720î 300ĵ ( ) ( ) T = 725 î ĵ T = 525î + 500ĵ F R = Q + P + T F R = ( 300î 400ĵ) + (720î 300ĵ) + ( 326î + 500ĵ) F R = ( )î + ( )ĵ F R = 105î 200ĵ 4
6 3. Ejercicio 3 Determine a) la tensión requerida en el cable AC, si se sabe que la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto C del aguilón BC debe estar dirigida a lo largo de BC, b) la magnitud correspondiente de la resultante. Figura 3: Ejercicio 3 Q = 50ĵ p = 75 sin 25î 75 cos 25ĵ P = 31,70î 67,97ĵ T = T cos 65î + T sin 65ĵ F R = F R sen 65î + F R cos 65ĵ F R = Q + P + T F R sin 35î F R cos 35ĵ = 50ĵ + (31,67î 67,97ĵ) + ( T cos 65î + T sin 65ĵ) F R sin 35î F R cos 35ĵ = (31,67 T cos 65)î + ( 50 67,97 + T sin 65)ĵ F R sin 35î = (31,67 T cos 65)î F R cos 35ĵ = ( 50 67,97 + T sin 65)ĵ T = 117,97 F r cos 35 cos 65 T = 117,97 cos 65 F r cos 35 cos 65 T = 279,14 F R 1,93 5
7 F R sen 35 = 31,7 (279,14 F R 1,93) sin 65 F R (sen , 75) = 221,28 F R 2,32 = 221,28 F R = 221,28 2,32 F R = 121,68 T = 240,15 6
8 4. Ejercicio 4 En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que P = 500N y α = 60. Determine la tensión en los cables AC y BC. Figura 4: Ejercicio 4 + Fx = 0 T CB cos(25 ) T CA cos(45 ) P cos(60 ) = 0 (1) + Fy = 0 Se suman (1) +(2) T CB sin(25 ) + T CA sin(45 ) P sin(60 ) = 0 (2) T CB sin(25 ) + T CB cos(25 ) P (sin(60 ) + cos(60 )) = 0 De (6) T CB = P (sin(60 ) + cos(60 )) sin(25 ) + cos(25 ) T CB = 513,96[N] T CB = 513,96 25 [N] T CA = P sin(60 ) + T CB sin(25 ) sin(45 ) T CA = 305,19[N] T CA = 305,19 45 [N] 7
9 5. Ejercicio 5 Para los cables de la figura se sabe que la tensión permisible máxima es de 600N en el cable AC y 750N en el cable BC.Determine:a)la máxima fuerza P que puede aplicarse en C, b)el valor correspondiente de α. Figura 5: Ejercicio 5 Este ejercicio es muy sencillo, simplemente se hace una sumatoria de fuerzas y se despejan los respectivos valores de P. Σ F = 0 600cos(45)î + 600sin(45)ĵ + 750cos(25)î + 750sin(25)ĵ P = 0 P = 255,466î + 741,227ĵ P = 255, ,227 2 = 784,0165[N] ( ) 741,227 α = atan 1 = 70,98 255,466 8
10 6. Ejercicio 6 Un marco ABC está sostenido en parte por el cable DBE, el cual pasa a través de un anillo sin fricción en B. Si se sabe que la tensión en el cable es de 385 N, determine las componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte en D. Figura 6: Ejercicio 6 T = T BD = T BE = 385N F BD = T λ ˆ BD F BE = T ˆ λ BE BD λ BD = BD BE λ BE = BE BD = 480î + 510ĵ ( )ˆk BD = 480î + 510ĵ 300ˆk BE = 270î + 400ĵ 600ˆk se le saca la magnitud a los dos vectores BD = 770 BE = 770 λ BD = 48 77î ĵ ˆk λ BE = 22 77î ĵ ˆk F = = 5 F BD = 240î + 255ĵ 160ˆk F BE = 135î + 200ĵ 300ˆk 9
11 7. Ejercicio 7 Un contenedor de peso W está suspendido del aro A, al cual se unen los cables AC y AE. Una fuerza P se aplica al extremo F de un tercer cable que pasa sobre una polea en B y a través del anillo A y que está unido al soporte en D. Si se sabe que W=1000N, determine la magnitud de P. Figura 7: Ejercicio 7 La sumatoria de todos los vectores fuerza es 0. Una fuerza se descompone en el vector unitario (λ xx ) multiplicado por la magnitud. T AB + T AC + T AD + T AE + w = 0 T AB = λ AB T AB = P λ AB T AC = λ AC T AC T AD = λ AD T AD = P λ AD T AE = λ AE T AE w = 1000ĵ 10
12 Se hallan cada uno de los vectores unitarios: λ AB = AB AB AB AB λ AB =? = 0,78î + 1,60ĵ ( 0,78)2 + 1,60 2 = 0,4382î + 0,8989ĵ T AB = ( 0,4382P î + 0,8989P ĵ) T AB λ AC =? AC = 1,60ĵ + 1,20P ˆk AC = 2m λ AC = 0,8ĵ + 0,6P ˆk T AC = 0,8T AC ĵ + 0,6T ACˆk λ AD =? T AD = 1,30î + 1,60ĵ + 0,40ˆk AD = 2,10m λ AD = 0,6190î + 0,7619ĵ + 0,1905ˆk T AD = 0,190P î + 0,7619P ĵ + 0,1905ˆk λ AE =? T AE = 0,4î + 1,60ĵ 0,86ˆk AE = 1,86m λ AE = 0,2150î + 0,8602ĵ 0,4624ˆk T AE = 0,2150T AE î + 0,8602T AE ĵ 0,4624T AEˆk Reescribiendo la sumatoria de fuerzas: ( 0,4382P î + 0,8989P ĵ) + (0,8T AC ĵ + 0,6T ACˆk) + (0,190P î + 0,7619P ĵ + 0,1905ˆk)+ ( 0,2150T AE î + 0,8602T AE ĵ 0,4624T AEˆk) + ( 1000ĵ) = 0 11
13 Agrupando por vectores: ( 0,4382P + 0,6190P 0,2150T AE )î (0,89899P + 0,8T AC + 0,7619P + 0,8602T AE 1000)ĵ (0,6T AC + 0,1905P 0,4624T AE )ˆk = 0 Escribiendo las ecuaciones por separado: î : 0,1808P 0,2150T AE = 0 (3) ĵ : 1,6608P + 0,8T AC + 0,8602T AE 1000 = 0 (4) ˆk : 0,6T AC + 0,1905P 0,4624T AE = 0 (5) Ahora se suman las ecuaciones 2 y 3 0,6 (4) 0,8 (5) 0,9965P + 0,48T AC + 0,5161T AE 600 = 0 0,1524P 0,48T AC + 0,3699T AE = 0 0,8441P + 0,8860T AE = 600 (6) De (3) T AE = 0,1808P 0, ,8441P De (6) T AE = 0,886 0,1888P 0,2150 = 600 0,8441P 0,886 0,8409P = 677,20 0,9527P 0,8409P + 0,9527P = 677,20 1,7936P = 677,20 P = 677,20 1,7936 P = 377,56[N] 12
14 8. Ejercicio 8 Los collarines A y B se conectan por medio de un alambre de 525mm de largo y pueden deslizarse libremente sin fricción sobre las varillas. Si una fuerza P de 341N se aplica al collarín A, determine: a)la tensión en el alambre cuando y=155mm, b)la magnitud de la fuerza Q requerida para mantener el equilibrio del sistema. Figura 8: Ejercicio 8 Primero se halla la magnitud de Z AB = x 2 + y 2 + z 2 AB (x 2 + y 2 ) = z = z z = 460mm Ahora se halla la tension en T AB. Para esto se hace diagrama de cuerpo libre en A Σ F = 0 N x î + P ĵ + N zˆk + TAB λ AB = 0 13
15 Solamente se va a tomar la componente en j. ĵ : P + T AB λ ABĵ = 0 λ ABĵ = P T AB 525 = (341N) T AB = 155 T AB = 1155[N] Ahora se hace la sumatoria de fuerzas en el collarin B. N x î + Qˆk + N y ĵ T AB λ AB = 0 Se toma la componente en z de la sumatoria. ˆk : Q + T AB λ ABˆk = 0 λ ABˆk = Q T AB 525 = [N] Q = 525 Q = 1012[N] 14
![1155[N] Ahora se hace la sumatoria de fuerzas en el collarin B.](/docs-images/40/7495959/images/page_15.jpg "N x î + Qˆk + N y ĵ T AB λ AB = 0 Se toma la componente en z de la sumatoria.")
16 9. Ejercicio 9 Determine el alargamiento de cada uno de los dos resortes requeridos paramantener el cajón de 20kg en la posición de equilibrio mostrada. Cada resorte tiene una longitud no alargada de 2m y rigidez k = 300N/m. Figura 9: Ejercicio 9 λ OC = F OC = λ OC F OC 6î + 4ĵ + 12ˆk = î ĵ ˆk Ahora si se hace la sumatoria de fuerzas: F OC + Σ F = 0 F AO + F BO W = 0 ( 6F OC 14 + F BO)î + ( 4F OC 14 + F AO)ĵ + ( 12F OC 14 F OC = Se despeja F OC 12F OC ,8 = , = 228,67[N] (20 9,8))ˆk = 0
17 Se despeja F OB 6 228, F BO = 0 F BO = 98,001[N] Sabiendo que la funcion de un resorte es F = s k se puede saber la enlongacion del resorte OB. F = s k s = F k s BO = 98,001 = 0,32m 300 Ahora se hace el mismo procedimiento para F AO 4 228, F AO = 0 F BO = 65,33[N] Sabiendo que la funcion de un resorte es F = s k se puede saber la enlongacion del resorte OB. F = s k s = F k s AO = 65, = 0,21m 16
18 10. Ejercicio 10 Una fuerza P de 8 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el momento de P alrededor de B cuando a es igual a 25 o. Figura 10: Ejercicio 10 arctan ( ) 22 = β 8 β = 70,01 AB = AB = 23,4in M = (AB)(P )(cos(β + α 90) M = 186,56Lb.in 17
19 11. Ejercicio 11 Utilice el análisis vectorial cartesiano para determinar el momento resultante de las tres fuerzas con respecto a la base de la columna localizada en A. Considere: Figura 11: Ejercicio 11 Se tienen estas 3 fuerzas: F 1 = 400î + 300ĵ + 120ˆk F 2 = 100î 100ĵ 60ˆk F 3 = 0î + 0ĵ 500ˆk Y estos 3 brazos de palanca: R 1 = 0î + 0ĵ + 12ˆk R 2 = 0î + 0ĵ + 12ˆk R 3 = 0î 1ĵ + 8ˆk Se hacen los productos cruz. M 1 =< 400î + 300ĵ + 120ˆk > < 0î + 0ĵ + 12ˆk > M 2 =< 100î 100ĵ 60ˆk > < 0î + 0ĵ + 12ˆk > M 3 =< 0î + 0ĵ 500ˆk > < 0î 1ĵ + 8ˆk > Se suman los resultados de los productos cruz para hallar la respuesta: M A = M 1 + M 2 + M 3 M A = 1900î 6000ĵ + 0ˆk 18
20 12. Ejercicio 12 Para la estructura y la carga de la siguiente figura determine el valor de α para el que la tension del cable BC es minima y su correspondiente valor de tension. Figura 12: Ejercicio 12 Se hace diagrama de cuerpo libre en C y se sacan la siguiente formula: Σ F = 0 T BC + F AC + 300λ C = 0 Para que la tension BC sea minima, debe ser totalmente perpendicular a la barra AC, entonces no dice que ABC es un triangulo recto. Para hallar α simplemente se debe hacer la suma de los angulos del triangulo: α = 180 α = α = 60 Ahora para hallar T BC se despeja del sistema de ecuaciones de 2 2 que quedo: T BC cos(60 ) + F AC 300cos(20 ) = 0 (7) F AC = 300cos(20 ) T BC cos(60 ) T BC sin(60 ) + F AC sin(30 ) + 300sin(20 ) = 0 (8) T BC sin(60 ) + 300cos(20 ) T BC cos(60 ) sin(30 ) + 300sin(20 ) = 0 19
21 T BC sin(60 ) + 300cos(20 )sin(30 ) T BCcos(60 )sin(30 ) + 300sin(20 ) = 0 ( ) ( ) T BC sin(60 ) + cos(60 )sin(30 ) cos(20 )sin(30 ) = sin(20 ) ( ) cos(20 )sin(30 ) sin(20 ) cos(30 T BC = ) sin(60 ) + cos(60 )sin(30 ) Esa expresion puede reducirse utilizando indentidades tringonometricas (9) cos(20 )sin(30 ) + sin(20 ) = cos(20 )sin(30 ) + sin(20 ) Utilizando la identidad sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) la expresion se reduce a: cos(20 )sin(30 ) + sin(20 ) = sin(50 ) Aplicando tambien a la segunda quedaria de la siguiente forma: sin(60 ) + cos(60 )sin(30 ) = sin(90 ) = 1 Volviendo a la ecuacion (9): T BC = 300 sin(50 ) 1 Se cancelan los cos(30) y la expresion final es: T BC = 300sin(50 ) = 229,81lb 20
22 13. Ejercicio 13 El collarin A puede deslizarse sin friccion sobre una barra horizontal y esta conectado a una carga de 50lb, como se muestra en la figura. Determine la distancia x para la cual el collarin se conserva en equilibrio cuando P = 48lb. Figura 13: Ejercicio 13 Se hace diagrama de cuerpo libre en el collarin. F = 0 48î Nĵ + 50λ AC = 0 Como La fuerza P y N son perpendiculares se puede armar un triangulo rectangulo donde 50 es la hipotenusa. Simplemente se despeja el cateto N = N = N 2 N = 14 Para hallar la distancia a la cual el sistema se encuentra en equilibrio, se utiliza la semejanza de triangulos. 14 es a 20 como 48 es a la distancia que se desconoce. x = x 20 = = 68,57in 21
23 14. Ejercicio 14 Una torre de transmision se sostiene mediante tres alambres los cuales estan anclados por medio de pernos en B, C y D. Si la tension en el alambre AD es de 315lb, determine las componentes de la fuerza ejercicida por el alambre sobre el perno en D. Figura 14: Ejercicio 14 Primero se halla el vector unitario AD λ DA = 20î + 100ĵ + 74ˆk λ DA = 0,1587î + 0,79365ĵ + 0,5873ˆk Ahora se multiplica la magnitud de la fuerza por el vector unitario λ DA : 315λ DA = 50î + 250ĵ + 185ˆk 22
24 15. Ejercicio 15 Si el cilindro E pesa 30lb y θ = 15 determine el peso del cilindro F. Figura 15: Ejercicio 15 Se hace sumatoria de fuerzas en el anillo C. Fx = 0 F BC + F CD W E = 0 Se escriben las ecuaciones correspondientes a las dos dimensiones: î : F BC cos(15 ) F CD = 0 (10) ĵ : F BC sin(15 ) + F CD sin(30 ) 30 = 0 (11) sin(15) (10) + cos(15) (11) F BC sin(15)cos(15) F CD sin(15)cos(30) = 0 F BC cos(15)sin(15) + F CD cos(15)sin(30) 30cos(15) = 0 F CD sin(15)cos(30) + F CD cos(15)sin(30) 30cos(15) = 0 F CD ( sin(15)cos(30) + cos(15)sin(30)) = 30cos(15) Utilizando la identidad sin(a b) = sin(a)cos(b) cos(a)sin(b) la expresion se reduce a: F CD (sin(15)) = 30cos(15) F CD = 30cos(15) sin(15) = 111,96lb Ahora reemplazando F CD en (10) F BC cos(15 ) 111,96 = 0 F BC cos(15 ) = 111,96 23
25 F BC = 111,96cos(30 ) cos(15 ) = 100,38lb Ahora se hace sumatoria de fuerzas en el anillo B. + F x = 0 F BA cos(45) F BC cos(15) = 0 F BA cos(45) 100,38cos(15) = 0 F BA = 100,38cos(15) cos(45) = 137,12lb Ya sabiendo F BA se hace sumatoria de fuerzas en y: + F y = 0 137,12sin(45) + 100,38sin(15) W F = 0 W F = 137,12sin(45) + 100,38sin(15) W F = 123lb 24
26 16. Ejercicio 16 Los resortes en la cuerda ya estan estirados 1ft cuando θ = 0. Determine la fuerza vertical F que debe ser aplicada para que θ = 30. Figura 16: Ejercicio 16 Primero se halla la enlongacion del resorte a 30. Para estop se debe saber cuanto mide la cuerda BA cuando esta a 30 : h = cos(30) = 2 h 2 cos(30) = 2,309ft Esta es la longitud final de la cuerda BA. Si originalmente la cuerda media 2 ft esto quiere decir que se estiro 0,3094ft mas 1ft que estaba estirado cuando θ = 0 entonces el resorte esta estirado 1,3094ft. Ahora se reemplaza esto en la ecuacion de fuerza del resorte para saber cuanta fuerza estan aplicando los resortes. F r = k x F r = 30 1,309 = 39,28lb Sabiendo esto, simplemente se hace una sumatoria de fuerzas en y para saber la magnitud de la fuerza F. + F y = ,28 sin(30) F = 0 F = 39,28lb 25
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