MATEMÁTICAS Y CULTURA B O L E T Í N No. 293 COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

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1 MATEMÁTICAS Y CULTURA B O L E T Í N No. 293 COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS UN SISTEMA DE ECUACIONES COMPATIBLE INDETERMINADO CON UNA SOLA SOLUCIÓN Sabemos que los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en compatibles e incompatibles de acuerdo a si tienen solución o no y, a su vez, las compatibles pueden ser determinados o indeterminados dependiendo de si la solución es única o múltiple. Por ello el título de estos párrafos puede parecer incongruente pues un sistema compatible indeterminado debe tener una infinidad de soluciones y no una sola. Qué es lo que permite determinar esa solución? Veamos un problema muy interesante que se presenta en el Cuaderno de Ejercicios de Álgebra, de la edición publicada en el 2011 por la Facultad de Ingeniería y en donde tuve el privilegio de trabajar con los profesores Sergio Roberto Arzamendi Pérez, Francisco Barrera García y Juan Velázquez Torres. El responsable de cuatro plantas automotrices debe decidir cuál será la producción de cada planta para que no pare ninguna de ellas, puesto que eso representaría muchas pérdidas. Se tiene la siguiente información sobre la producción de las cuatro plantas: La suma de las unidades producidas por las tres primeras plantas es igual a la producción de la última. El doble de la producción de la tercera planta es igual a cuatro veces la producción de las plantas uno y dos, menos el triple de lo que produce la cuarta. Cuatro veces la producción de la segunda es igual a seis veces la producción de la primera mas dieciséis lo de la tercera menos lo que produce la cuarta. Seis veces la producción de la primera es igual a la producción de la cuarta.

2 Resolución: MB 2 Si traducimos al lenguaje algebraico las condiciones del problema, lo primero que podemos hacer es bautizar las variables. Sean x, y, z, las producciones de las plantas 1, 2, 3 y 4; respectivamente. De manera que la primera de las condiciones es: x y z La segunda condición queda: 2z 4 ( x y) 3 La tercera: 4y 6x 16z Y por último: 6x Si ordenamos y eliminamos paréntesis: x y z 0 4x 4y 2z 3 0 6x 4y 16z 0 6x 0 Como puede observarse, se trata de un sistema homogéneo, por lo que, de acuerdo con un teorema, el sistema es compatible, aunque si fuera determinado únicamente tendríamos la solución trivial, que en este caso sería absurda pues equivaldría al paro total de actividades. Vamos a aplicar el método de eliminación de Gauss. Para ello emplearemos la forma matricial y las transformaciones elementales: r 6r 6r r 1 2 r 1 3 r r3 5

3 r3 r 4 r2 r 3 MB r3 r El sistema equivalente es x y z 0... (1) 2y 2z 0... (2) 6z 0... (3) Este sistema es compatible indeterminado. Obtengamos su conjunto solución: De la ecuación (3) z 6 Sustituyendo en la ecuación (2): 2 2y 2 0 y 6 3

4 MB Ahora tomamos en cuenta los valores obtenidos de z y de y en la ecuación (1): 4 2 x Por lo que: x 6 Matemáticamente el conjunto solución es: 2 S x, y, z, ; R Para llegar a una solución única debemos tener en cuenta, en primer lugar, que aunque matemáticamente los elementos que resuelven al sistema son números reales, por tratarse de unidades producidas en una planta automotriz, deben ser números enteros. Por otra parte, tenemos que desechar los números negativos. Resulta absurdo el que una planta tenga una producción negativa de automóviles. Por último, en el enunciado del problema se señala que ninguna planta debe dejar de producir para evitar pérdidas, por lo que observando los valores de x, y y z en términos de, llegamos a la conclusión de que la producción mínima se tiene cuando la cuarta planta produzca seis vehículos. La conclusión es entonces que x 1, y 4. z 1, 6 Es decir, la primera planta debe producir una unidad, la segunda cuatro, la tercera una y la cuarta seis. Con ello puede concluirse que un sistema de ecuaciones lineales que por su solución matemática es compatible indeterminado, por su aplicación en un caso real puede determinarse. ÉRIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGA PROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

5 CULTURA MB LA FÓRMULA DE LA FELICIDAD 5 CULTURA En esta parte abordaremos una fórmula planteada por Jorge Bucay en su libro HOJAS DE RUTA. Jorge Bucay es médico y psicoterapeuta gestáltico nacido en Buenos Aires, Argentina en 1949 y aborda el tema de la felicidad de una manera extensa e interesante. En la parte correspondiente al camino de la felicidad menciona que la felicidad es función de la desdicha; es decir: Donde F es la felicidad y D es la desdicha. Cuanto menor sea la desdicha, mayor será la felicidad. Cuanto mayor sea la desdicha, menor será la felicidad.

6 MB 6 En otras palabras la felicidad es inversamente proporcional a la desdicha. De la gráfica se puede observar: Si D > 0 la felicidad es positiva Si D< 0 la felicidad es negativa Y si D=0 la felicidad es infinita, situación matemáticamente imposible y como lo veremos a continuación físicamente imposible. Por otro lado, la desdicha D es a su vez función de las expectativas E. D(E)= E - R Donde D es la desdicha, E las expectativas y R la realidad. Consideraremos la realidad como un parámetro debido a que R depende de varios factores, tales como; los sentidos, las emociones, culturales, religiosos, posición ante la vida, y el sistema de creencias. R no es constante, sin entrar en aspectos filosóficos; la realidad no es única depende de la percepción y concepción del mundo. De la segunda fórmula se puede concluir: 1. Si las expectativas superan la realidad, entonces D> 0 y F>0. 2. Si las expectativas son pocas respecto a la realidad entonces, D<0 y F<0. 3. Si nuestras expectativas coinciden con la realidad, entonces la desdicha es cero y la felicidad infinita. Un aspecto interesante de la última fórmula es una definición del término problema. Problema es una situación en la que la realidad no coincide con lo que se espera; lo que es y lo que debería ser. La desdicha es una situación creada por uno mismo. Esta discrepancia es el origen de la desdicha y malestares de la humanidad. Finalmente, analizando la gráfica de la felicidad se puede apreciar también que la felicidad F nunca será nula, independientemente que la desdicha D sea infinita. Entonces lo que tenemos que modificar para ser felices son nuestras expectativas (lo que esperamos que suceda), tenemos que transformarlas en preferencias (si la situaciones no se presentan no tenemos porque incomodarnos, molestarnos, enfadarnos o frustrarnos) y esto nos lleva a no querer tener un control sobre las situaciones de la vida y de las personas. MIGUEL EDUARDO GONZÁLEZ CÁRDENAS PROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM erik2306@unam.mx Por razones de austeridad, el tiraje del Boletín se sigue manteniendo a la mitad de lo que se acostumbraba.