Trabajo Práctico N 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3 = 1 + =2

Transcripción

1 Álgebra Geometría nalítica 8 Trabajo Práctico N : SISTEMS DE EUIONES LINELES Ejercicio : Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en IR, IR 5 IR : 5 a) Escriba en forma matricial. b) Resuelva los sistemas por método de Eliminación de Gauss. c) nalice el sistema aplicando el teorema de Rouché-Frobenius e indique cómo se clasifica. d) Indique las variables principales libres los grados de libertad del sistema. Ejercicio : Indique si alguno de los siguientes pares ordenados son una solución de los sistemas propuestos. Pares ordenados: a) (-5, -) b) (, -4) c) (, ) d) (, ) Sistemas: i) 9 5 ii) 4 Ejercicio :.) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales empleando cuando sea posible, método matricial /o regla de ramer. Interprete gráficamente..) nalice el siguiente sistema de ecuaciones mediante la Regla de ramer: a) Qué cambios realiaría en el sistema de ecuaciones para que tenga infinitas soluciones?. Verifique.

2 Álgebra Geometría nalítica 8 b) Encuentre la solución por el método de Eliminación de Gauss e indique los grados de libertad del sistema. c) Interprete gráficamente. Ejercicio 4: Determine, si es posible, el/los valores de λ para que los siguientes sistemas tengan solución única, infinitas soluciones o no tengan solución. i) λ λ 9 λ ii) λ Ejercicio 5: Determine, en cada caso, si los sistemas de ecuaciones lineales dados son equivalentes: a) c b a c b a b c c b a b) Ejercicio : Dado el siguiente sistema de ecuaciones: a) Resuélvalo por el método de eliminación de Gauss-Jordan con pivote. b) Interprete geométricamente. c) Para los sistemas en IR, qué relación debería eistir entre los planos para que el sistema sea incompatible? Y para que sea compatible indeterminado? d) nalice el sistema homogéneo asociado por el método de Gauss-Jordan. Podría ser incompatible?

3 Ejercicio 7: Dado el siguiente sistema: Facultad Regional Mendoa. UTN Álgebra Geometría nalítica 8 a) uáles son las variables libres las variables principales? Encuentre el conjunto solución. Ejercicio 8: Determine, si es posible aplicando el método matricial, un vector tal que b si ; b 4 Ejercicio 9: lasifique los sistemas lineales con las matrices ampliadas siguientes como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible, en función de los parámetros a b. uando un caso no se verifique, escriba nunca". uando un caso se de siempre, independientemente del valor de a b escriba siempre". Para los casos en los que obtengas varios valores de parámetros, escríbalos eplícitamente utiliando los conectivos lógicos de conjugación o disunción que se leen " u o". a) b)

4 Álgebra Geometría nalítica 8 c) d) e) Ejercicio : Dado el siguiente sistema rectangular: 5 a) Determine el conjunto solución. b) En cada uno de los siguientes casos responda proporcione un ejemplo, si fuese posible: Es posible agregar una ecuación al sistema dado de manera que el sistema resultante: b ) tenga única solución? b ) tenga infinitas soluciones? b ) no tenga solución? Ejercicio : Encuentre los valores de λ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones calcule el conjunto solución. ( λi) X, siendo 4 4

5 Álgebra Geometría nalítica 8 Ejercicio : Dada la matri, plantear el sistema de ecuaciones que 4 corresponda en cada caso para encontrar una matri B de tal que a) B O (O es la matri nula) b) B I (I es la matri identidad) Ejercicio : rgumente la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. a) Dado un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo que tiene solución única, es posible agregar otra ecuación para que el nuevo sistema no tenga solución. b) Siendo de 4 tal que X B, se puede encontrar una matri B para que el sistema tenga solución única. c) Si el sistema X O tiene solución única, es cuadrada. d) El sistema cuadrado X B tiene solución única si es equivalente por filas a la matri identidad. e) ualquier sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene como máimo n soluciones. f) Si B son matrices equivalentes entonces los sistemas X O B X O tienen el mismo conjunto solución. g) Si en el sistema X B, X es solución X también lo es, entonces X X es solución del sistema. h) Un sistema homogéneo con matri de coeficientes cuadrada puede tener infinitas soluciones. i) Si en el sistema X O, X es solución, entonces k.x (k real) también es solución. j) Un sistema con más incógnitas que ecuaciones siempre es indeterminado. k) El rango de la matri ampliada debe coincidir con el rango de la matri de coeficientes para que el sistema.x B sea compatible. l) Si es una matri cuadrada el sistema.x es compatible determinado, su solución es igual a la del sistema t. X. 5

6 Álgebra Geometría nalítica 8 EJERIIOS RESUELTOSS Ejercicio : Una fábrica de muebles se dedica a la construcción de sillas, mesas armarios. Para su construcción se utilian madera de pino, clavos de 5 mm de grosor cola de ebanista. Las cantidades de material de cada tipo para la construcción de una unidad de cada uno de los muebles es la siguiente: Silla Mesa rmario Tablones de pino aja de clavos 4 Potes de cola Si la empresa dispone de tablones de pino, 4 cajas de clavos potes de cola, se quiere calcular cuántas sillas, mesas armarios se pueden construir ocupando todo el material, se solicita que: a) Escriba un sistema de ecuaciones que le permita resolver el problema. b) Determine el conjunto solución del sistema. c) Suponiendo que los precios de venta al público de sus productos fueran los siguientes: $4 una silla, $7 una mesa $ un armario, determine el ingreso que tendría la fábrica si vendiera todo lo fabricado. d) Si los costos de los insumos son: $ el tablón de pino, $ la caja de clavos $ el pote cola, determine el beneficio obtenido con la venta de la producción utiliando todos los recursos disponibles. Solución: a) Llamando : cantidad de sillas; : cantidad de mesas; : cantidadd de armarios tenemos: b) 4 4

7 Álgebra Geometría nalítica 8 Por lo tanto, eiste solución al problema: 8, 4, onclusión: la empresa puede construir, ocupando todo el material, 8 sillas, 4 mesas armarios. c) Si la empresa vende todoo lo fabricado, el ingreso que obtendría es: Ing $7 d) Para obtener el beneficio que se tendría con la venta de la producción, se debe tener en cuenta el costo:.. 4. $ Luego, el beneficio sería: B Ing B $7 - $ B $ 5 57 Ejercicio : Un agente financiero planea invertir pesos argentinos en bonos de tres tipos:, B, bajo ciertas condiciones. Lo que invierte en bonos B es / de lo invertido en bonos. demás, la mitad de lo invertido entre los tres tipos de bonos es igual a la suma del % de lo invertido en B, el % de el % de. a) Escriba un sistema de ecuaciones lineales que le permita, en caso de ser posible, determinar cuántos pesos invertirá el agente en cada tipo de bono. b) Encuentre, el conjuntoo solución del sistema. c) Suponga que además, el agente decide invertir $ más en bonos B que en los de tipo. Qué solución eiste para este nuevo sistema? Solución: a) B ( B ), B,, 7

8 Álgebra Geometría nalítica 8 8 Sustituendo la primera ecuación en la segunda resulta:,,.,. Luego, el sistema resultante es: B b) La solución general es: 9 X Se observa que el problema no tiene solución pues la inversión en pesos en bonos del tipo resultaría un valor negativo. c) El nuevo sistema planteado es: B Resolviendo:

9 Álgebra Geometría nalítica 8 naliando el resultado obtenido a partir del nuevo sistema, se conclue que no se ha obtenido solución al problema planteado. 9