Contrastes de hipótesis

Transcripción

1 M. Wiper Estadística 1 / 16 Contrastes de hipótesis Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid

2 M. Wiper Estadística 2 / 16 Objetivo Ilustrar las ideas básicas de las contrastes de hipótesis estadísticas.

3 M. Wiper Estadística 3 / 16 ¾Qué es un contraste de hipótesis? Una hipótesis es una armación sobre la población. La hipótesis es paramétrica si se reere al valor de un parámetro de la población. El nivel medio de alcohol de los conductores que saltan el semáforo es más de 0,5 mg/litro Un contraste de hipótesis es una técnica para evaluar si los datos proporcionan evidencias sucientes para conrmar la hipótesis.

4 M. Wiper Estadística 4 / 16 Ejemplo En 100 pruebas de alcoholemia de conductores que han saltado un semáforo en Aranjuez el nivel medio de alcohol en aire era de 0,65 mg/litro con una cuasi desviación típica de 0,1mg/litro. La media de la muestra es por arriba de 0,5mg/litro. ¾Hay evidencia suciente para inferir que el verdadero nivel medio de alcohol en conductores que saltan el semáforo es por arriba de 0,5mg/litro o es debido a factores puramente aleatorios? ¾Puede que en promedio los conductores no van demasiado altos pero nos ha tocado una muestra rara?

5 M. Wiper Estadística 5 / 16 Los elementos de un contraste de hipótesis Sea µ = el nivel medio de alcohol en el aire de conductores que saltan el semáforo. La hipótesis experimental o alternativa, H 1, es la hipótesis sobre la que queremos buscar evidencia positiva. H 1 : µ > 0,5 La hipótesis contraria se llama la hipótesis nula. Representa el staus quo. H 0 : µ = 0,5

6 M. Wiper Estadística 5 / 16 Los elementos de un contraste de hipótesis Sea µ = el nivel medio de alcohol en el aire de conductores que saltan el semáforo. La hipótesis experimental o alternativa, H 1, es la hipótesis sobre la que queremos buscar evidencia positiva. H 1 : µ > 0,5 La hipótesis contraria se llama la hipótesis nula. Representa el staus quo. H 0 : µ = 0,5 Nota para estadísticos: podemos también escribir H 0 : µ 0,5, pero en el procedimiento que se utiliza, se supondrá la igualdad.

7 M. Wiper Estadística 6 / 16 Procedimiento del contraste 1 Supongamos que H 0 sea verdad. µ = 0,5 2 ¾Son los datos ( x = 0,65) improbables bajo H 0? Recordamos que X µ σ/ N(0, 1). Si H n 0 es verdad, Z = X 0,5 0,1/ N(0, 1). 100 El valor observado es z = 0,65 0,5 0,1/ 100 = 15. La probabildad de observar un valor tan alto de z si H 0 es verdad es P(Z 15) < 0, ¾Es suciente evidencia en contra H 0?

8 M. Wiper Estadística 7 / 16 Tipos de error en un contraste de hipótesis ¾Cuál de los dos errores es el más serio?

9 M. Wiper Estadística 8 / 16 El nivel de signicacion y la región crítica Podemos controlar el error tipo I jando el nivel de signicación α = P(rechazar H 0 H 0 es verdadero). Valores típicos en la práctica son α = 0,05 o α = 0,01. Si α = 0,05, rechazamos H 0 si z > 1,645. En nuestro caso, z = 15 No está en la región crítica, y sí hay evidencias para rechazar H 0 a un nivel de signicación de 5 %. Sí podemos armar nivel de signicación de 5 % que el nivel medio de alcohol de los conductores que saltan el semáforo es mayor de 0,5mg/litro.

10 M. Wiper Estadística 9 / 16 El p-valor Por más pequeño que sea α, más difícil es rechazar la hipótesis nula. El valor mínimo de α para que se rechazaría la hipótesis nula se llama el p-valor. Proporciona una medida de evidencia en contra de H 0 y a favor de H 1. El valor observado de z es z = 1,5. Luego el p-valor es P(Z > 15) < 0, Evidencia muy fuerte contra H 0.

11 M. Wiper Estadística 10 / 16 Contrastes para la media de una población normal: varianza conocida o muestra grande Supongamos que la hipótesis nula es H 0 : µ = µ 0. Calculamos la estadística z = x µ0 σ/ n. Dependiendo de H 1, calculamos la región de rechazo. Si el valor de z cae en la región de rechazo, rechazamos H 0 a favor de H 1. En caso contrario, no rechazamos H 0.

12 M. Wiper Estadística 11 / 16 Ejemplo con todos los pasos En la encuesta del CIS de abril 2015 la valoración media de la Guardia Civil fue 6,02 (con desviación típica 2,82) de un total de 2389 encuestados. ¾Hay evidencias (a un nivel de signicación de 1 %) de que la verdadera valoración media de la Guardia Civil en España sea diferente a 6? 1 µ = la verdadera valoración media de la Guardia Civil en España. 2 Las hipótesis son: H 0 : µ = 5 H 1 : µ 5 Hipótesis nula Hipótesis alternativa 3 Datos n = 2389, x = 6,02, s = 2,82, µ 0 = 6, α = 0,01. 4 Estadística: z = x µ0 s/ n = 6,02 6 2,82/ ,347.

13 M. Wiper Estadística 12 / 16 Ejemplo con todos los pasos 5 Dibujamos la región crítica. 6 Tomamos la decisión: Como el valor observado z = 0,347 no cae en la región crítica, no hay evidencias para rechazar H 0. 7 En palabras reales: no hay evidencias para sugerir que la verdadera valoración media de la GC sea distínta a 6.

14 M. Wiper Estadística 13 / 16 Contrastes de hipótesis bilaterales e intervalos de conanza En la sesión anterior, calculamos un intervalo de conanza de 99 % = (100 1) % para el verdadero valor de µ. El resultado fue (5,87, 6,17). Observamos que el valor de 6 cae dentro del intervalo.

15 M. Wiper Estadística 13 / 16 Contrastes de hipótesis bilaterales e intervalos de conanza En la sesión anterior, calculamos un intervalo de conanza de 99 % = (100 1) % para el verdadero valor de µ. El resultado fue (5,87, 6,17). Observamos que el valor de 6 cae dentro del intervalo. Contrastes bilaterales (a nivel de signicación α) y intervalos de 100(1 α) % conanza proporcionan los mismos resultados. Si el valor bajo H 0 cae dentro del intervalo, no se rechaza la hipótesis nula. Si cae fuera, sí se rechaza la hipótesis nula.

16 M. Wiper Estadística 14 / 16 Contrastes para una proporción Supongamos que la hipótesis nula es H 0 : p = p 0 donde p es la verdadera proporción en la población que queremos contrastar. Luego calculamos la estadística: z = ˆp p 0. p 0 (1 p 0 )/n Después el contraste procede de la misma manera que para el caso de una media.

17 M. Wiper Estadística 15 / 16 Ejemplo con todos los pasos De una muestra de 100 pruebas aleatorias de alcoholemia, 10 conductores dan positivo. ¾Hay evidencias de que menos de un 15 % de los conductores en España conducen borrachos? 1 p = la verdadera proporción de conductores borrachos. 2 Las hipótesis son: H 0 : p = 0,15 H 1 : p < 0,15 Hipótesis nula Hipótesis alternativa 3 Datos n = 100, ˆp = 10/100 = 0,1, p 0 = 0,15, α = 0,05. 4 Estadística z = ˆp p0 p0(1 p0)/n = z = 0,1 0,15 0,15 0,85/100 = 1,4.

18 M. Wiper Estadística 16 / 16 Ejemplo con todos los pasos 5 Dibujamos la región crítica. 6 Tomamos la decisión: Como 1,4 no cae en la región crítica, no hay evidencias sucientes para rechazar H 0 a un nivel de signicación de 5 %. 7 En palabras reales, no hay evidencias en contra de que la proporción de conductores borrachos es un 15 %.