COMBINATORIA. Instructor: Marcos Villagra Clase # 4 Escriba: María Belén Martínez Pavetti Fecha: 13 de noviembre de 2017

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1 COMBINATORIA Instructor: Marcos Villagra Clase # 4 Escriba: María Belén Martínez Pavetti Fecha: 13 de noviembre de 2017 OBSERVACIÓN: Los conceptos teóricos de este resumen fueron entresacados del libro Introductory Discrete Mathematics, de V.K. Balakrishnan. Donde se usó otra fuente, se indica con paréntesis y se referencia al final del documento. INTRODUCCIÓN La teoría combinatoria es un área de la matemática que se ocupa principalmente del estudio de los conjuntos finitos o discretos y de las estructuras en estos conjuntos. Cuando se analizan estos conjuntos y estructuras, surgen tres tipos de problemas: los problemas de existencia, los de conteo y los de optimización. Definición 1 Problemas de existencia. Se ocupan de verificar si se cumple o no una propiedad. Ejemplo 1 - Dada una cierta ciudad, existen barrios situados entre sí a 12 km? - Existe un camino desde un punto de la ciudad a otro, tal que su longitud es no mayor a 5 km? Definición 2 Problemas de conteo. Son problemas que se ocupan de analizar cuántos elementos de un conjunto complen con cierta propiedad. Ejemplo 2 - Si tengo una bolsa con 10 bolitas de diferentes colores, cuántas de ellas son rojas? Definición 3 Problemas de optimizacón. Si a cada elemento de un conjunto se le asigna, por ejemplo, un costo, se ocupa de encontrar el costo mínimo. Nota 1: En combinatoria, no hay un conjunto de operaciones, sino un conjunto de reglas. Definición 4 Primer Principio: La Regla de la Multiplicación (counting principle). Supongamos que hay una secuencia de eventos E 1, E 2,...E n, tales que: a) estos eventos pueden ocurrir de n i formas, b) el número de formas en las que un evento puede ocurrir no depende de cómo ocurrieron los eventos en la secuencia anterior. Entonces, hay (n 1 ) (n 2 )...(n r ) formas en las que todos los eventos en la secuencia pueden ocurrir. Es un producto cartesiano en el que cada evento E i tiene asociados a los restantes n 1 eventos. Ejemplo 3 - Las placas de automóvil en Paraguay tienen 2 letras y 3 números, por ejemplo, AAA111. Cuántas posibles placas pueden confeccionarse? Para poder hallar el total de placas posibles, debemos determinar la cantidad de eventos que pueden ocurrir. Por un lado, tenemos la cantidad de letras del alfabeto, que son 26.

2 Table 1: Representación de opciones de combinación alfa numérica en chapas A A A (26) (26) (26) (10) (10) (10) Por otra parte, tenemos la cantidad de dígitos de entre los cuales podemos elegir, que son 10. Éstos se agrupan, según el enunciado, en 3 letras y tres números, como en el esquema de la Tabla 1: Entonces, para hallar la cantidad de veces C que estos eventos pueden ocurrir simultáneamente, se multiplican entre sí la cantidad de veces que pueden ocurrir aisladamente, es decir: C = = (26 10) 3 C = Nota 2: Hay una distinción entre considerar sólo la cantidad de asociaciones sin imponer restricciones y considerar las asociaciones con alguna restricción. Lo que hallamos en el ejemplo anterior usando con la regla de la multiplicación es la cantidad de asociaciones considerando todas las posibles secuencias, hallamos la cantidad de vectores. Ejemplo 4 - Para el caso de la chapa del ejemplo anterior, consideremos ahora que no deseamos que haya letras o números repetidos. Una chapa válida sería entonces ABC123. Cómo calculamos ahora la cantidad de eventos posibles? Este es un caso de dependencia de eventos. Lo analizamos de la siguiente forma: Eventos posibles considerando las letras: 1er evento: puede elegirse cualquier letra del alfabeto. Eventos posibles = 26. 2do evento: puede elegirse cualquier letra menos la que ya se consideró en el 1er evento. Eventos posibles = 26-1 = 25. 3er evento: puede elegirse cualquier letra menos las 2 elegidas en el 1er y en el 2do evento. Eventos posibles = 26-2 = 24. Análogamente para los números: 1er evento: puede elegirse cualquier número del 0 al 10. Eventos posibles = 10. 2do evento: puede elegirse cualquier número del 0 al 10 menos el considerado en el 1er evento. Eventos posibles = 10-1 = 9. 3er evento: puede elegirse cualquier número del 0 al 10 menos los considerados en el 1er y en el 2do evento. Eventos posibles = 10-2 = 8. En la Tabla 2 representamos esquemáticamente la situación. Table 2: Representación de opciones de combinación alfa numérica en chapas, sin repetición A B C (26) (25) (24) (10) (9) (8) En este casos, la cantidad de eventos posibles en simultáneo, con el criterio de dependencia establecido en el enuncuado, es: C = C =

3 Definición 5 Segundo Principio: La Regla de la Adición (addition rule o disyunctive counting). Supongamos que hay r eventos E 1, E 2,...E r, tales que: a) hay n i formas en que E i (i = 1, 2,..., r) puede ocurrir, y b) dos eventos no pueden ocurrir simultáneamente. Entonces, hay (n 1 ) + (n 2 ) (n r ) formas en que uno de estos eventos puede ocurrir. Otra forma de interpretar este principio es a través de la teoría de conjuntos. Sean dos conjuntos distintos en general, A y B. Como son distintos, tenemos que: A B = A + B En este caso, los conjuntos representan las posibilidades de ocurrencia de eventos, y como la intersección es vacía porque los eventos no ocurren al mismo tiempo, la suma de los conjuntos da la cantidad de posibilidades. Ejemplo 5 Un profesor enseña 2 asignaturas, una es cálculo avanzado donde tiene 25 alumnos, y la otra es estadística, con 31 alumnos. 13 alumnos están inscriptos en ambas. Cuántos alumnos tiene el profesor? Si se elije un alumno al azar, hay 3 eventos posibles que NO pueden ocurrir simultáneamente: 1er evento: si se elije un alumno al azar, éste puede estar inscripto en cálculo avanzado pero no en estadística. Cantidad de eventos posibles E 1 = = 12. 2do evento: si se elije un alumno al azar, éste puede estar inscripto en estadística pero no en cálculo avanzado. Cantidad de eventos posibles E 2 = = 18. 3er evento: si se elije un alumno al azar, éste puede estar inscripto en ambas asignaturas. Cantidad de eventos posibles E 3 = 13 Por la regla de la adición, uno cualquiera de estos eventos puede ocurrir de E 1 +E 2 +E 3 = = 43 formas. En otras palabras, el total de alumnos que tiene el profesor considerando ambas asignaturas es 43. Ejemplo 6 Continuando con el ejemplo anterior, nótese que si se considera el evento de que al elegir un estudiante al azar éste curse tanto cálculo avanzado y a la vez tome estadística. De cuántas formas puede ocurrir este evento? En este caso, no puede aplicarse la regla de la adición de los dos eventos, por la simultaneidad de ocurrencia. Nota 3: las reglas elementales de la multiplicación y la adición son muy útiles en resolver problemas de conteo sin efectuar una enumeracón explícita. Sin embargo, si uno no tiene cuidado, es probable que sean utilizadas de manera errónea, lo que produce resultados incorrectos. PERMUTACIONES Trata el problema de determinar de cuántas formas puede ordenarse una secuencia de cosas. Considere una colección X de n objetos diferentes. Una r-permutación es un arreglo en una fila de cualesquiera r objetos de X, con r n. A r se le denomina longitud de la secuencia. Usaremos la nomenclatura P (n, r) para denominar al número de r-permutaciones en un conjunto de n elementos. Ejemplo 7 3

4 Sea el conjunto X = {0, 1, 2, 3, 4}. Si deseamos hacer secuencias de 3 elementos, de cuántas formas podemos hacer ésto? Algunos ejemplos de secuencias de 3 elementos, o 3-permutaciones, de elementos que pertenecen a X pueden ser; (0, 1, 2); (0, 1, 3); (0, 2, 4); (2, 0, 4) Observe que las dos últimas secuencias tienen los mismos elementos, pero desde el punto de vista de la permutación no representan a una misma agrupación. Si usamos la nomenclatura P (n, r) para denominar al número de r-permutaciones en un conjunto de n elementos, P (n, r) está dada por: P (n, r) = n (n 1) (n 2)... (n (r 1)) Cualquier r-permutación puede considerarse como una secuencia de r eventos en que el número de formas en las que un evento puede ocurrir no depende de los eventos anteriores a él. Por ello, usamos la regla de la multiplicacón para establecer la fórmula anterior. Con ella, se representa que un primer objeto arbitrario de X puede elegirse de n formas, y habiendo elegido una forma, un segundo objeto arbitrario puede elegirse de (n 1) formas, y así sucesivamente hasta que los r objetos son elegidos. Para el caso particular en que n = r, tenemos: P (n, r) = n (n 1) (n 2)... (1)) es decir, en este caso, P (n, r) = n!. Nota 4: nótese que en todos los casos, [r] = {1, 2, 3,..., r} está compuesto por números positivos. Haciendo el análisis desde otro punto de vista, una r-permutación es equivalente al número de funciones inyectivas f : [r] X y en el caso en que n = r, la función es inyectiva y sobreyectiva, es decir, hay una biyección (allocation problem). Cuando n = r, en lugar de r-permutación decimos simplemente perutación. Entonces, una permutación es una biyeccón en [n]. Explicando la biyección en otras palabras: tenemos un conjunto dado por una lista de posiciones [r] = 1, 2,...r, y a cada posición le asignamos un elemento de X. Si la cantidad n de elementos de [X] es igual a la cantidad de posiciones r, en la primera posición está la imagen del 1, en en la segunda la del 2, y así sucesivamente, tal que los elementos de [r] no comparten imagen en X, es decir, no hay repeticiones (R2). Ejemplo 8Uso de notaciones Consideremos el conjunto y la lista de posiciones X = {2, 5, 4, 3, 1} r = {1, 2, 3, 4, 5} Entonces, establecemos la relación entre los elementos de r y los de X considerando que a la posición 1 le corresponde el elemento 2, a la posición 2 el elemento 5, etc. Esta relación puede escribirse a través de la notación de Cauchy de la siguiente forma: ( )

5 Obsérvese que en la primera fila del arreglo anterior se indica el número de orden del elemento de la permutación, y en la segunda fila el elemento propiamente. Podemos también escribir, por ejemplo, Π(1) = 2 Π(3) = 4 que significan que a la posición 1 le corresponde el elemento 2, a la posición 3 el elemento 4, etc. Un tipo de notación compacta que puede también puede usarse es la notación de ciclos (R3). La notación de ciclos se forma de la siguiente manera: 1. Primero, elegimos cualquier elemento y lo escribimos. El siguiente número que escribimos es la imágen del primer elemento elegido. Luego viene la imagen de la imagen correspondiente al elemento anterior y se continua con este procedimiento hasta volver a obtener el primer número. Con esto se obtiene un ciclo. 2. Segundo, elegimos cualquier otro elemento con la condición de que no esté contenido en el primer ciclo, y se repite de nuevo el proceso del paso 1, obteniendo un segundo ciclo. 3. El procedimiento debe realizarse hasta obtener un conjunto de ciclos disjuntos. Para el caso del conjunto ( ) tendríamos: ( ) ( 3 4 ) Definición 6 Permutaciones circulares. Una permutación es circular si tiene un sólo ciclo. Una permutación es k-circular si tiene k ciclos. Ejemplo 9 Cuántos ciclos tiene la permutación del ejemplo anterior? La permutacón del ejemplo anterior tiene 2 ciclos. Nota 5: Una propiedad de un ciclo es que, siempre que la secuencia se tome en el mismo sentido de rotación, el ciclo es el mismo Ejemplo 10 La permutación dada por notación de ciclos analizada en el ejemplo anterior, también puede ser escrita como: ( ) ( 3 4 ) Teorema 1 El número de permutaciones circulares en un conjunto de n elementos es (n 1)!. Demostración. Al elegir un elemento del dominio [r], hay (n 1)! biyecciones relacionadas a él. Luego, eligiendo un elemento diferente de [r], nuevamente hay (n 1)! biyecciones relacionadas a él. (Se demuestra por argumento combinatorio). Teorema 2 (*)La cardinalidad de un conjunto de potencias. Demostración. Si x es finito, entonces. Por principio combinatorio. 2 x = 2 x 5

6 Teorema 3 Sean A y B dos conjuntos finitos. El número de funciones f : A B es B A (el teorema (*) es un corolario de éste. Demostración. Sea A un vector de longitud A. Entonces, construimos A como vector. A = (,,, ) Como está elevado a la A, no es una biyección (no se puede restar cada vez que pareamos). COMBINACIONES Definición 7 Combinación. Sea X una colección de n objetos diferentes. Cualquier colección r de objetos diferentes de X se llama una r-combinación de X. En otras palabras, si X es un conjunto con n elementos, cualquier subconjunto de X con r elementos es una r-combinación de X. Entonces, una r-combinación es un subconjunto de X, denotado por S X, donde S = r. Nota 6: La notación C(n, r) se lee combinación de n elementos tomados de a r. Y además, para diferenciar una secuencia de una combinación, usaremos la siguiente notación: ( ) para denotar a una secuencia (importa el orden de los elementos). { } para denotar a una combinación (el orden de los elementos no importa). Ejemplo 11 Consideremos el conjunto X = {1, 2, 3}. Hagamos combinaciones de sus elementos tomados de a 2. La notación para representar la operación es C(3, 2) (combinación de 3 elementos tomados de a 2). Las combinaciones son: Que sería lo mismo que escribir {1, 2}{1, 3}{2, 3} {2, 1}{3, 1}{3, 2} En cambio, si considerásemos las permutaciones posibles, las opciones son: (1, 2)(1, 3)(2, 1)(2, 3)... Teorema 4 La relación entre una combinación y una permutación está dada por Demostración. Tenemos que C(n, r) r! = P (n, r) de lo cual, P (n, r) r! = n (n 1)... (n r 1) r! P (n, r) r! = n! r! (n r)! (n r) (...) (2) (1) (n r) (...) (2) (1) 6

7 Corolario 1 C(n, r) = C(n, n r) En otras palabras, si X es un conjunto con n elementos, el número de subconjuntos en X con r elementos es igual al número de subconjuntos con (n r) elementos. Teorema 5 Teorema de Pascal. La fórmula de Pascal es C(n, r) = C(n 1, r) + C(n 1, r 1) Demostración. Sea X un conjunto con n elementos, e Y un subconjunto de X con (n-1) elementos. Además, sea t el elemento de X que no pertenece a Y. Cada subconjunto de r-elementos de X puede ser un subconjunto de r-elementos de Y, o bien la unión de un subconjunto con (r 1) elementos y el conjunto de un único elemento t. En el primer caso, hay C(n 1, r) conjuntos, y en el segundo C(n 1, r 1). En otras palabras, el número total de subconjuntos de X con r elementos es la suma de C(n 1, r) y C(n 1, r 1). Nota 7: el principio usado para demostrar el teorema de Pascal se llama principio del elemento distinguido. Definición 8 Coeficiente binomial. ( n r ) = C(n, r) Ejemplo 12El teorema binomial Para cualquier n 1, con x, y R, el teorema binomial puede expresarse como: (x + y) n = C(n, n r)x n r y r donde r puede variar de 0 a n. El lado derecho de la ecuación es llamado expansión binomial de (x + y) n. Los coeficientes C(n, r) que aparecen en la expansión binomial se llaman coeficientes binomiales. Demostración. El teorema puede demostrarse por combinatoria. Para ello, hacemos: (x + y) n = (x + y) (x + y)... (x + y) Es decir, descomponemos el binomio elevado a la n en un producto de n binomios. Luego, hacemos el artificio de asignarle un número a cada variable, de acuerdo a la posición que ocupa en el producto de los n binomios. Por ejemplo, el primer binomio del producto será (x 1 + y 1 ), el quinto (x 5 + y 5 ), etc. Es decir, tenemos que: x i = x y i = y Entonces, el binomio elevado a la n puede expresarse así: (x + y) n = n (x i + y i ) i=1 7

8 Ahora, sea I [n] cualquier conjunto de índices, entonces hay 2 n monomios de la forma x i i I lo que representa la propiedad distributiva. Nota 8: Los coeficientes binomiales de (x + y) n pueden calcularse si se conocen los coeficientes binomiales de (x + y) n 1, usando la fórmula de Pascal: C(n, r) = C(n 1, r) + C(n 1, r 1). Así, los coeficientes binomiales pueden arreglarse en la forma conocida como el triángulo de Pascal: 1 1 i/ I y i La primera fila corresponde a n = 0 en (x + y) n, la segunda a n = 1, la tercera a n = 2, y as sucesivamente. PERMUTACIÓN GENERALIZADA Consideremos ahora el caso de una colección X de n objetos que no necesariamente sean diferentes entre sí. Consideremos, además, que estos objetos pertenecen a k grupos diferentes no vacíos, con las siguientes condiciones: - todos los objetos de cada grupo son idénticos, y - un objeto de un grupo no es idéntico a un objeto de otro grupo. Ejemplo 13 Consideremos la palabra A L O H A. En este conjunto de letras hay dos elementos idénticos, la primera A y la segunda A. Entonces, los elementos de este conjunto pueden agruparse en 4 subconjuntos, uno de ellos que contiene dos elementos idénticos A y los restantes tres cada uno con un elemento. Si asumimos que en un conjunto hay n i objetos, con i = 1, 2, 3,..., k, cualquier arreglo en fila de estos n objetos se llama una permutación generalizada en X. Ejemplo 14 La palabra H O L A A es una permutación generalizada de las letras de la palabra A L O H A. Nota 9: El número de permutaciones generalizadas se denota por P (n; n 1, n 2,..., n k ), y este número sería igual a n! si los objetos de X fuesen diferentes entre sí. Definición 9 Multiconjunto. repetidos. Llamamos multiconjunto a un conjunto con elementos 8

9 Teorema 6 Sea X un conjunto con elementos repetidos, tal que X = n. Si X se compone de k grupos, tales que cada grupo está constituido por n i elementos idénticos, siendo n i la cardinalidad de los subgrupos e i = 1, 2,..., k, entonces el número de permutaciones generalizadas de X es (n!)/(n 1!)(n 2!)...(n k!). Demostración. C(n, r) r! = P (n, r) Si los objetos que pertenecen a un grupo i fuesen diferentes, entonces había n i! permutaciones para los elementos en este grupo. Entonces, cada permutación generalizada da lugar a N = (n 1!)(n 2!)...(n k!) permutaciones de X, si X tuviese objetos diferentes entre sí. Si t es el número total de permutaciones generalizadas, tenemos (t)(n) = n!, de donde se concluye el teorema enunciado. Nota 10: Observe que si k = n, cada grupo tiene exactamente un elemento, lo que es equivalente a decir que los objetos de X son diferentes, verificándose que P (n; 1, 1,..., 1), donde 1 se repite n veces, es igual a n!, como deberá ser. Nota 10: El símbolo de permutación en este caso tiene la forma: P (n; n 1, n 2,..., n k ) = ( ),,..., que es un vector de n elementos. REFERENCIAS R1 Introductory Discrete Mathematics, V.K. Balakrishnan. R2 Notas de Matemática Discreta, P. Fernández Gallardo y J. Fernández Prez. Disponible en https: // www. uam. es/ personal_ pdi/ ciencias/ gallardo/ R3 Permutación, Wikipedia. Disponible en https: // es. wikipedia. org/ wiki/ Permutacion# Notaci. C3. B3n_ de_ ciclos 9