SOLUCIONES EJERCICIOS DE CINEMÁTICA. 1º BCT.

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1 SOLUCIONES EJERCICIOS DE CINEMÁTICA. 1º BCT. 1. a) Para calcular la velocidad media entre los instantes 1 y 4 calculamos los vectores de posición correspondientes a esos instantes: r 1 = (4 1 3)i + (1, )j=( i +5,5 j) m r(t)= (4t 3) i + (1,5t 2 +4) j m r 4 = (4 4 3)i + (1, ) j=(13 i +28 j) m v m = r = r 4 r 1 = (13 i +28 j) ( i +5,5 j) = 12 i + 22,5 j = (4 i + 7,5 j) m/s t t 4 t b) Debemos calcular primero la velocidad instantánea para poder calcular la velocidad en 1 y en 4 s: v 1 = (4 i j)= (4 i + 3 j)m/s v= dr = (4 i + 3t j) m/s dt v 4 = (4 i j)= (4 i + 12 j)m/s a m = v = v 4 v 1 = (4 i + 12 j) (4 i + 3 j) = 9 j = 3 j m/s 2 t t 4 t c) v 2 = (4 i j)= (4 i + 6 j)m/s v = = 7,2 m/s d) a= dv = 3 j m/s 2 a = 3 2 = 3 m/s 2 dt 2. a) a m = v = v v 0 = 33,3 25 = 8,3= 1,66 m/s 2 Al ser un movimiento rectilíneo podemos hacer el t t t problema sin vectores ya que el módulo del vector coincide con la única componente que tiene: 90 km 1000 m 1h = 25 m/s 120 km 1000 m 1h = 33,3 m/s h 1 km 3600s h 1 km 3600s b) Es de tipo tangencial ya que al ser un movimiento rectilíneo no hay aceleración normal. 3. a) Como la velocidad varía con el tiempo y el movimiento es curvilíneo existe aceleración tangencial y normal. Si utilizamos el sistema de referencia intrínseco a la trayectoria: b) a t = dv = 6 m/s 2 a n =- v 2 =-12 2 = -144= -4,8 m/s 2 a t dt R a n a T v 2 = 6 2= 12 m/s a T =a t + a n =(6 u t - 4,8 u n ) m/s 2 a T = 6 2 +(-4,8) 2 = 7,68 m/s 2 c) Al desplazarse a velocidad constante no habrá aceleración tangencial pero si hay aceleración normal por ser movimiento curvilíneo: 40 km 1000 m 1h = 11,1 m/s a n =-v 2 =-11,1 2 =- 123,21=-4,1u n m/s 2 h 1 km 3600s R a) El automóvil se mueve con MRUA y el camión con MRU,por lo que a cada uno le aplicamos su ecuación correspondiente: x a = x 0 + v 0 t + ½ at 2 x a = t +½ 2t 2 x a= t 2 Hemos tomado el origen de referencia donde arranca el coche x c = x 0 + v t x c = t x c = 15 t 54 km 1000 m 1h = 15 m/s h 1 km 3600s

2 Cuando el coche alcance al camión los dos están en la misma posición y se cumplirá que: x a = x c luego t 2 = 15 t t 2 = 15 t= 15 s t b) Para calcular la posición en que lo alcanza podemos coger la ecuación del movimiento del coche o del camión ya que en ese momento están en el mismo sitio: x c = 15 t = = 225 m El coche lleva un MRUA por lo tanto utilizamos la ecuación de la velocidad de este movimiento para calcular la velocidad del coche: v= v 0 + a t v= v= 30 m/s m V 02 = 0 m/s V 01 = 30 m/s R a) El cuerpo que cae experimenta una caída libre mientras que el que sube está sometido a un lanzamiento vertical hacia arriba. Si le aplicamos a cada uno su ecuación Correspondiente con sus signos adecuados nos queda: y 1 =y 01 + v 01 t ½ 9,8 t 2 y 1 = 30 t ½ 9,8 t 2 y 2 = y 02 ½ 9,8 t 2 y 2 = 60 ½ 9,8 t 2 Cuando se crucen se cumple que la posición es la misma para los dos: y 1 = y 2 luego: 30 t ½ 9,8 t 2 = 60 ½ 9,8 t 2 30 t = 60 t= 2 s b) v 1 = v 01 9,8 t v 1 = 30 9,8 2 v 1 = 10,4 m/s v 2 = 9,8 t v 2 = 9,8 2 v 2 = 19,6 m/s c) Debemos calcular primero el tiempo que tarda cada uno en llegar al suelo: Cuerpo 1 (lanzamiento vertical): cuando llegue al suelo y 1 =0 0= 30 t ½ 9,8 t 2 30 t = ½ 9,8 t 2 30 t = t 2 30 = t 2 t= 6,12 s t Cuerpo 1 (caída libre): cuando llegue al suelo y 2 =0 0= 60 ½ 9,8 t 2 60 = ½ 9,8 t 2 60 = t 2 t= 3,5 s Las velocidades serán: v 1 = v t v 1 = ,12= 30 m/s v 2 = 9.8 t v 2 = 9.8 3,5= 34,3 m/s 6. v 0x = 20 m/s Se trata de un lanzamiento horizontal, compuesto de un MRU en dirección horizontal y una caída libre en dirección vertical: 25 m Dirección horizontal: x= x 0 + v x t Dirección vertical: y= y 02 ½ 9,8 t 2 = 25 t 2 v= 9.8 t En dirección horizontal la velocidad es constante e igual a 20 m/s y si medimos desde donde se lanza x 0 = 0 m luego: x= 20 t

3 a) Para calcular el vector de posición r tenemos que calcular cuanto vale x e y a 1 s de movimiento: r=(x i + y j) m x 1 = 2031=20 m y 1 = =20 m luego: r=(20 i+20 j)m b) v= v x + v y v x = 20 m/s v y = 9,8 1= 9,8 m/s v=(20 i 9,8 j) m/s c) Cuando llegue al agua se cumple que y=0 por lo tanto: 0= 25 t 2 25= t 2 t= 2,2 s d) Usando el tiempo anterior y sustituyéndolo en la expresión de v y obtendremos la velocidad al llegar al agua, v x sigue valiendo 20 m/s: v y = 9,8 2,26= 21,5 m/s v= v x + v y v=(20 i 21,5 j) m/s e) La distancia desde la base del acantilado es el alcance x siendo el tiempo el total del movimiento: x= 20 t x= 20 2,2=44 m 7. Y Se trata de un tiro parabólico que se compone de un MRU en dirección X, siendo la velocidad siempre igual a v 0x,y un tiro o lanzamiento vertical en dirección Y. Si en cada una de estas direcciones aplicamos las ecuaciones de estos movimientos: V 0y 20 m/s Dirección X: x= x 0 + v x t 60º y=y 0 + v 0y t ½ 9,8 t 2 V 0x X Dirección Y: v y = v 0y 9,8 t sen60º= v 0y v 0 v oy= v 0 sen60º=20 sen60º= 17,32 m/s cos60º= v 0x v ox= v 0 cos60º=20 cos60º= 10 m/s v 0 Por lo tanto las ecuaciones anteriores se transforman en las siguientes ecuaciones del movimiento: Dirección X: x= 10 t Dirección Y: y=17,32 t t 2 v y = 17,32 9,8 t a) En la altura máxima se cumple que v y se anula: 0= 17,32 9,8 t t= 17,32 t= 1,75 s sustituyendo este tiempo en y nos 9,8 dará la altura máxima: y=17,32 t t 2 y=17,32 1,75 1,75 2 y= 30,31 15,01 y= 15,3 m b) Para calcular el vector de posición r tenemos que calcular cuanto vale x e y a 1,75 s de movimiento: x= 10 1,75= 17,5 m r=(x i + y j) m r=(17,5 i + 15,3 j) m y= 17,32 1,75 1,75 2 = 15,3 m

4 c) El tiempo que está la pelota en el aire es el tiempo total del movimiento, es decir, cuando y=0 0=17,32 t t 2 17,32 t= t 2 17,32=t 2 t= 3,53 s t d) La pelota tocará el suelo a los 3,53 s. Con ese tiempo calculamos la componentes del vector velocidad: v= v x + v y v x =v 0x = 10 m/s v y = 17,32 9,8 3,53=17,27 m/s v=(10 i 17,27 j) m/s m R MRU (0,8 s) MRUA (a=8m/s 2 ) 90 km 1000 m 1h = 25 m/s h 1 km 3600s Debemos calcular las distancias recorridas en los dos movimientos y sumarlas: MRU: x 1 = x 0 + v x t x= 25 t x=25 0,8 x= 20 m MRUA: x 2 = x 0 + v 0 t + ½ at 2 x=25 t ½ 8 t 2 El tiempo de este movimiento es el que transcurre desde que empieza a frenar hasta que para (v=0). v= v 0 +a t v=25 8 t 0=25 8 t t= 3,125 s Sustituyendo este tiempo en la ecuación de la posición: x=25 t ½ 8 t 2 =25 3, ,125 2 x=39,1 m La posición final del coche será la suma de las dos anteriores: x=x 1 +x 2 x=20+39,1 x=59,1 m Atropellará a la vaca ya que se encuentra a 50m y la posición final es de 59,1 m. 9. v x =v 0x = 100 m/s Se trata de un lanzamiento horizontal, compuesto de un MRU en dirección horizontal y una caída libre en dirección vertical Dirección horizontal: x= x 0 + v x t = 100 t y 0 = 2000 m Dirección vertical: y= y 02 ½ 9,8 t 2 = 2000 t 2 v= 9.8 t x En dirección horizontal la velocidad es constante e igual a 100 m/s y si medimos desde donde se lanza x 0 = 0 m luego: x=100 t a) Necesitamos conocer el tiempo total del vuelo del paquete, eso ocurrirá cuando llegue al suelo, es decir, cuando y=0: 0= 2000 t = t 2 t= 20,20 s En ese tiempo habrá recorrido en dirección horizontal: x=100 20,20 x= 2020 m Luego esa será la distancia a la que habrá que dejarlo caer antes de llegar a la isla.

5 b) v= v x + v y v x = 100 m/s v y = 9,8 20,20= 197,96 m/s v=(100 i 197,96 j) m/s v = (-197,96) 2 v = 221,78 m/s 10. a) Se trata de un tiro o lanzamiento vertical en dirección Y con y 0 =0. Las ecuaciones serían: y=y 0 + v 0y t ½ 9,8 t 2 y= 7 t t 2 v y = v 0y 9,8 t v y = 7 9,8 t b) En la altura máxima se cumple que v y se anula: 0=7 9,8 t t= 7/9,8 t=0,7 s Y la altura máxima será: y= 7 0,7 0,7 2 y= 2,5 m c) Cuando llegue al suelo se cumple que y=0 m y por tanto el tiempo que transcurrirá será: 0= 7 t t 2 7 t= t 2 7 = t 2 t=1,4 s t 11. A B v a =80 km/h v b =100 km/h Los dos coches van con MRU ya que el enunciado no indica nada de que se frene o acelere. Luego la ecuación del movimiento para los dos coches es: x= x 0 + v t 110 km= m Si tomamos la referencia de posición en la ciudad A: x 0A = 0 m y x 0B = m Si tomamos la referencia de tiempo en el coche que sale antes, el segundo coche lleva un retraso de 2 minutos o 120 segundos: 80 km 1000 m 1h = 22,2 m/s x A = x 0A + v A t =0+22,2 t (velocidad positiva porque va hacia h 1 km 3600s la derecha) 100 km 1000 m 1h = 27,8 m/s x B = x 0B + v B t = ,8 (t 120) (velocidad negativa porque h 1 km 3600s va hacia la izquierda) Cuando se encuentren están en la misma posición: x A = x B O lo que es lo mismo: 22,2 t = ,8 (t 120) 22,2 t= ,8 t ,2 t+27,8 t= t= t=2267 s Tardan en encontrase 2267 segundos, en ese tiempo los coches estarán respecto a la ciudad A, que es donde hemos puesto la referencia de posición: x A = 22,2 t x A = 22, x A = 50327,4 m