Modelado. Parte II. 1. Los mandos de un helicóptero El plato cíclico

Transcripción

1 Parte II Modelado 1. Los mandos de un helicóptero Cuando un helicóptero se encuentra en vuelo estacionario, el rotor principal gira con una determinada velocidad angular, suciente para crear la sustentación necesaria y vencer la fuerza debida a la gravedad, como se aprecia en la Fig. 1. Figura 1: Fuerza de sustentación. Los movimientos de avance longitudinal y lateral se consiguen inclinando el rotor principal, la fuerza de sustentación se inclina de la misma manera creando una fuerza en el sentido de la inclinación, como indica la Fig.. Figura : Fuerza de sustentación inclinada El plato cíclico Para la siguiente explicación se pone como ejemplo el rotor con cuatro palas que se ilustra en la Fig. 3. []. 4

2 Figura 3: Rotor principal. Las palas están montadas sobre unos ejes de tal forma que puedan girar alrededor de éstos, lo que permite cambiar la incidencia o ángulo de ataque de las mismas. Para que las palas mantengan todas la misma incidencia, están unidas a unas varillas de transmisión, todas de la misma longitud, que a su vez están jadas al plato cíclico. Éste esta compuesto de un plato exterior jo y uno interior giratorio que están unidos mediante un cojinete que permite el giro entre ellos. En el plato exterior van jadas las varillas de mando conectadas a los servos y en el plato interior que gira igual que el rotor se enganchan las varillas que controlan la incidencia de las palas. El plato cíclico interior y las palas giran alrededor del eje principal simultáneamente. En este caso en contra del sentido de las agujas del reloj. Con esta conguración, si se comienza a girar el rotor alrededor del eje principal, las palas generan una sustentación uniforme y equilibrada. Para que el rotor se incline hacia algún lado será necesario que en alguna parte de la rotación se produzca más sustentación que en otra, cosa que se consigue cambiando cíclicamente la incidencia de las palas del rotor. Para ello se inclina el plato cíclico mediante los servos conectados al plato exterior, como se muestra en la Fig. 4. Figura 4: Plato Cíclico. 5

3 Lo que ocurre es lo siguiente: el plato cíclico se inclina y la varilla azul se eleva empujando la parte delantera de la pala azul causando un giro de ésta alrededor del eje de palas obteniendo una mayor incidencia y en consecuencia mayor sustentación. En el lado opuesto del plato cíclico pasa exactamente lo contrario. Esta parte del plato baja, con lo que la varilla roja tira de la parte delantera originando una incidencia negativa de la pala roja, que da lugar a una sustentación negativa. En las otras dos palas esta inclinación del plato cíclico no tiene repercusión alguna, se quedan con la misma incidencia neutral. Así pues, la pala azul produce una fuerza orientada hacia arriba y la roja una orientada hacia abajo, con lo que todo el conjunto debería tender a inclinarse hacia la izquierda de la gura. Esto no es del todo cierto debido al efecto giroscópico, como se explica más adelante. De momento, para simplicar la explicación de la mecánica, este fenómeno no se tiene en cuenta. Para que el desequilibrio de sustentación se mantenga, el sentido de la inclinación del plato cíclico debe ser constante. Si se gira 90 grados el rotor en contra del sentido de las agujas del reloj las varillas de las palas azul y roja pasan por el punto neutral del plato cíclico con lo que su incidencia pasa a ser neutral. En cambio las palas verde y gris cambian su sustentación de la misma forma como lo hicieran 90 grados antes las otras dos palas. Es decir, que cada pala va cambiando su incidencia cíclicamente, como se muestra en la Fig. 5: en el lado izquierdo de la gura tiene una incidencia negativa, a lo largo de los próximos 90 grados de giro del rotor va aumentando su incidencia hasta estar neutral, entre los 90 y 180 grados sigue aumentando la incidencia llegando al máximo a los 180 grados de giro en la parte derecha de la gura. Entre los 180 y 360 grados vuelve a disminuir progresivamente la incidencia pasando por neutral a los 70 grados, volviendo al punto de partida a la izquierda con incidencia negativa. Figura 5: Distribución cíclica de la incidencia de las palas. 1.. Efecto giroscópico Como se indica anteriormente, el efecto de la incidencia de las palas a lo largo de un giro de rotor no es el que cabría esperar. Si se inclina el plato cíclico hacia adelante, en este caso (sentido 6

4 de giro del rotor en contra de las agujas del reloj) el helicóptero realmente tiende a girar hacia la izquierda. Este fenómeno se debe al efecto giroscópico por el cual, cuando un cuerpo con simetría de rotación que gira alrededor de su eje de simetría se somete a un momento de fuerza que tiende a cambiar la orientación del eje de rotación, su comportamiento es aparentemente paradójico ya que el eje de rotación, en lugar de cambiar de dirección como lo haría un cuerpo que no girase, cambia de orientación en una dirección perpendicular a la dirección "intuitiva" El paso colectivo Se observa que inclinando el plato cíclico hacia los lados se puede controla la inclinación del helicóptero y con ello el vuelo de translación en el plano. El paso colectivo mueve el plato cíclico hacia arriba o hacia abajo, como se aprecia en la Fig. 6, con lo que la incidencia de las palas será mayor o menor, pero la misma en todo su giro, por lo que el efecto será una variación del empuje vertical y por tanto de la altura. Figura 6: Paso colectivo El rotor de cola Cuando el rotor principal gira impulsado por el par que genera el motor del helicóptero, la inercia hace que se produzca un par resistente y el fuselaje del helicóptero experimente un giro en sentido contrario, como se muestra en la Fig. 7. El rotor de cola sirve para compensar esta tendencia. Generalmente está impulsado por el mismo motor que impulsa el rotor principal mediante una relación de transmisión. El mayor o menor empuje de este rotor se controla por el cambio de paso de las palas. En las condiciones de vuelo estacionario, el empuje generado por el rotor de cola es el suciente para anular el giro del fuselaje. Aumentando o disminuyendo el empuje se controla la guiñada o giro alrededor del eje vertical. 7

5 Figura 7: Rotor de cola.. Modelo del helicóptero La Fig. 8 muestra los sistemas de referencia que se utilizan para describir el modelo. La posición y orientación del helicóptero, así como el régimen de giro del rotor se controlan normalmente mediante cinco variables: el paso colectivo del rotor principal (p c ) que tiene un efecto directo en la altura del helicóptero (eje n 3 en el sistema de referencia inercial N); el paso cíclico longitudinal (p x, giro del plato alrededor del eje f 1 ) que modica el ángulo de cabeceo del helicóptero (rotación alrededor el eje f en el sistema de referencia local F ) y provoca la translación longitudinal; el paso cíclico lateral (p y, giro del plato alrededor del eje f ) que modica el ángulo de balanceo del helicóptero (rotación alrededor el eje f 1 en el sistema de referencia local F ) y provoca la translación lateral; el paso colectivo del rotor de cola (p t ), el cual afecta al ángulo de guiñada del helicóptero (rotación alrededor el eje f 3 en el sistema de referencia local F ); y el control de la potencia del motor (p th ), que actúa directamente sobre el régimen de giro del rotor. Por lo tanto, el sistema dinámico del helicóptero es multivariable y subactuado, ya que sólo se disponen de cinco variables manipulables para controlar los seis grados de libertad en el movimiento y el régimen de giro del rotor. Además, el sistema es fuertemente no lineal con acoplamiento entre algunas variables. 8

6 Figura 8: Sistemas inercial (N) y local (F ) de referencia. Generalmente el modelo de un helicóptero se puede dividir en cuatro subsistemas diferentes: dinámica de los servos, dinámica del motor, modelo aerodinámico (rotor principal y rotor de cola) y modelo mecánico. Las conexiones entre estos subsistemas pueden verse en la Fig. 9. En la gura, p cmd representa las cinco señales de entrada mencionadas anteriormente antes de la dinámica de [ ] T [ ] T los actuadores. Asimismo, p = q 1 q q 3 y v = u 1 u u 3 son, respectivamente, la posición y la velocidad lineal del centro de masa del helicóptero en el sistema inercial de referencia. [ ] T Por otra parte, φ = q 4 q 5 q 6 son los ángulos de Euler 7 que parametrizan la rotación, [ ] T mientras que ω = u 4 u 5 u 6 es la velocidad angular en el sistema local de referencia. La velocidad angular del rotor principal es ω MR y la del rotor de cola es ηω MR, siendo η la relación de transmisión. El estado completo del helicóptero viene dado por: [ x = q 1 q q 3 q 4 q 5 q 6 u 1 u u 3 u 4 u 5 u 6 ] T Figura 9: Subsistemas de la dinámica del helicóptero. 7 balanceo, cabeceo y guiñada o roll, pitch, y yaw. 9

7 .1. Modelo mecánico El modelo mecánico considerado [3], representado en la Fig. 10, está compuesto por dos sólidos rígidos: el fuselaje, de masa m F y el rotor principal, de masa m MR. El sistema de referencia F con vectores base f 1,,3, está ligado al fuselaje. El movimiento del helicóptero se considera respecto al sistema de referencia inercial N con vectores base n 1,,3. Figura 10: Modelo mecánico. El rotor principal se modela como un disco sólido delgado que gira alrededor del eje que pasa por su centro con una velocidad angular ω MR f 3, con una distribución de masa equivalente a la de las palas rotando. Esto permite denir la diada de inercia del rotor principal en el sistema de referencia F sin tener en cuenta la posición angular de cada pala: I MR = I MR 11 f 1 f 1 + I MR 11 f f + I MR 11 f 3 f 3 La diada de inercia del fuselaje se considera como: I F = I F 11f 1 f 1 + I F f f + I F 33f 3 f 3 I MR 11, I F 11, I F e I F 33 son los momentos principales de inercia del rotor principal y del fuselaje. El rotor principal genera la fuerza de empuje F MR 3 = F3 MR f 3 y los momentos T MR i = Ti MR f i i = 1,, 3 8. F T R = F T R f y T T R = T MR f son la fuerza de empuje y el momento de arrastre del rotor de cola respectivamente 9. MR O, F O y CM son los centros de masa del rotor principal, el fuselaje y el sistema completo respectivamente. Se supone que el helicóptero es simétrico en la dirección lateral. O es el punto localizado en la intersección entre el eje de rotación del rotor principal y la línea 8 las fuerzas de arrastre según f y f 3 se desprecian 9 las fuerzas de arrastre y los momentos según f 1 y f 3 se desprecian 10

8 paralela a f 1 que pasa por T R O, centro del rotor de cola. La posición de todos los puntos se considera relativa a O, lo cual signica que los parámetros geométricos deben incluir el signo. Es decir, según la Fig. 10, r O MRO = domr O3 f 3, r O T RO = dot R O1 f 1 y r O FO = dof O1 f 1 +dof O3 f 3 teniendo domro 3 valor positivo y dot R O1, dof O1 y dof O3 valores negativos. Por simplicidad, de ahora en adelante se supone dof O1 = 0, lo que signica que el centro de masa del fuselaje se encuentra sobre el eje de rotación del rotor principal. Esto se puede conseguir en el sistema real colocando adecuadamente el equipo en el fuselaje. Esta suposición también se cumple para la mayoría de modelos comerciales de helicópteros a escala. Se introducen seis coordenadas generalizadas q i i = 1,, 6 para describir la posición y orientación del sistema, así como seis velocidades generalizadas u i i = 1,, 6 para describir su movimiento. Las coordenadas generalizadas q 1,,3 describen la posición del punto CM en el sistema inercial de referencia N: r NO CM = q 1 n 1 + q n + q 3 n 3 y las velocidades generalizadas u 1,,3 describen su movimiento: vcm N = u 1 n 1 + u n + u 3 n 3 Las coordenadas generalizadas q 4,5,6 son los ángulos de Euler que describen la rotación de la forma 13 del sistema de referencia F respecto a N 10. La velocidad angular del sistema de referencia F respecto a N se describe mediante las velocidades generalizadas u 4,5,6 : ω N F = u 4 f 1 + u 5 f + u 6 f 3 Esta denición de coordenadas y velocidades generalizadas proporciona las siguientes ecuaciones cinemáticas para la translación: q 1 = u 1 (.1) q = u (.) q 3 = u 3 (.3) y para la rotación: 10 Esto quiere decir que la rotación de F se compone de tres rotaciones sucesivas: q 4 alrededor de f 1 (roll), q 5 alrededor de f (pitch) y q 6 alrededor de f 3 (yaw). 11

9 q 4 = (u 4 cos(q 6 ) u 5 sin(q 6 ))/ cos(q 5 ) (.4) q 5 = u 4 sin(q 6 ) + u 5 cos(q 6 ) (.5) q 6 = u 6 + tan(q 5 )(u 5 sin(q 6 ) u 4 cos(q 6 )) (.6) Usando Autolev [4], un manipulador simbólico para el análisis de sistemas mecánicos que implementa el método de Kane [5], se obtienen las siguientes ecuaciones de movimiento para la translación: M u 1 = F MR 3 sin(q 5 ) F T R cos(q 5 ) sin(q 6 ) (.7) M u = F MR 3 sin(q 4 ) cos(q 5 ) + F T R (cos(q 4 ) cos(q 6 ) sin(q 4 ) sin(q 5 ) sin(q 6 )) (.8) M u 3 = F MR 3 cos(q 4 ) cos(q 5 ) + F T R (sin(q 4 ) cos(q 6 ) + cos(q 4 ) sin(q 5 ) sin(q 6 )) gm (.9) y para la rotación: K 1p4 u 4 = T MR 1 + K 1F F T R + u 5 (K 156 u 6 + K 15 ) (.10) K p5 u 5 = T MR + T T R + u 4 (K 46 u 6 + K 4 ) (.11) K 3p6 u 6 = T MR 3 + K 3F F T R + K 345 u 4 u 5 (.1) donde M = m F + m MR y los coecientes K xxx dependen de los parámetros del helicóptero y se denen como: K 1p4 = I F 11 + I MR 11 + (dofo3 domro3) m F m MR M K 1F = dofo3mf + domro3mmr M K 156 = I F I F 33 I MR 11 + (dofo3 domro3) m F m MR M K 15 = I MR 11 ω MR K p5 = I F + I MR 11 + (dofo3 domro3) m F m MR M K 46 = I F 11 + I F 33 + I MR 11 (dofo3 domro3) m F m MR M K 4 = I MR 11 ω MR K 3p6 = I F 33 + I MR 11 K 3F = dot R O1 K 345 = I F 11 I F (.13) 1

10 .. Modelo Aerodinámico El modelo aerodinámico se basa en la teoría del elemento de pala o BET 11 [6]. Una de las aportaciones fundamentales de esta teoría es que permite obtener estimaciones de las distribuciones radiales de las cargas aerodinámicas sobre las palas y calcular las actuaciones del rotor por integración de la contribución de cada sección. Las hipótesis básicas en las que se apoya el desarrollo de esta teoría son que las secciones aerodinámicas de las palas (elementos de pala) se idealizan como perles bidimensionales y que los efectos de la velocidad inducida se tienen en cuenta considerando únicamente una modicación del ángulo de ataque en cada elemento de pala y en la velocidad relativa. El objetivo básico de la BET es conocer las fuerzas aerodinámicas que actúan sobre cada elemento de pala, y para ello un paso previo es conocer la velocidad del aire relativa al perl en cada sección. Admitido que el perl opera en una situación de simetría azimutal, en el calculo de la velocidad del aire relativa a cada sección aerodinámica hay que considerar las contribuciones de la velocidad de rotación de la pala, Ωr, la velocidad del viento expresada en el sistema de referencia local del plano del rotor y la velocidad inducida por el rotor v i = v i (r), que en el marco de la teoría del elemento de pala depende de lo posición radial. La velocidad del viento expresada en el sistema de referencia local del plano del rotor se calcula como: v F a = F R N (v N w v N CM ) (.14) siendo v N w y la velocidad del viento en el sistema de referencia inercial N, y F R N la matriz de rotación que relaciona los sistemas de referencia N y F : F R N = c 5 c 6 s 4 s 5 c 6 + s 6 c 4 c 4 s 5 c 6 + s 6 s 4 c 5 s 6 s 4 s 5 s 6 + c 6 c 4 c 4 s 5 s 6 + c 6 s 4 (.15) s 5 s 4 c 5 c 4 c 5 donde s i = sin(q i ) y c i = cos(q i ). 11 BET = Blade Element Theory. 13

11 Figura 11: a. Vista superior del rotor. b. Perl de la pala. Se considera una pala rígida de longitud r r 1 como se aprecia en la Fig. 11a. Si se toma como referencia el sistema de ejes local ligado al plano del rotor R 1 R R 3, y se considera también el sistema de referencia ligado a la pala RT R 3, girado un ángulo α alrededor de R 3 (giro en el sentido de las agujas del reloj viendo el rotor desde arriba), las componentes de la velocidad del aire relativa al perl en este sistema de referencia son la velocidad tangencial según T : U T = Ωr + v a1 sin(α) + v a cos(α) (.16) y la velocidad normal según R 3 : U R3 = v a3 + v i (r) (.17) La contribución de la velocidad radial U R se considera despreciable y, por lo tanto, no se tiene en cuenta. De esta forma, la velocidad resultante que ve el perl es: U = U T + U R3 (.18) En la Fig. 11b. se muestra el triángulo de velocidades sobre el perl, con los correspondientes ejes denidos anteriormente y las fuerzas aerodinámicas de sustentación y resistencia que se generan. El ángulo de incidencia de la corriente resulta ser: γ = arctan ( UR3 U T ) (.19) y teniendo en cuenta el ángulo de paso geométrico del elemento de pala, ϕ, se obtiene que el ángulo de ataque vale: δ = ϕ γ (.0) 14

12 El ángulo de paso geométrico depende a su vez de los pasos colectivo y cíclicos de la siguiente forma: ϕ = p c cos(α)p x sin(α)p y (.1) Las fuerzas de sustentación y resistencia que actúan sobre el elemento de pala de longitud dr son: dl = 1 ρbu C l dr (.) dd = 1 ρbu C d dr (.3) donde ρ es la densidad del aire, b es la cuerda del perl, C l el coeciente de sustentación y C d el coeciente de resistencia. Los coecientes de sustentación y resistencia suelen considerarse como una función lineal y una función cuadrática del ángulo de ataque respectivamente: C l = c 1 + c δ (.4) C d = k 1 + k δ (.5) donde las constantes c 1, c, k 1 y k son parámetros que deben ser identicados experimentalmente. Las proyecciones de (.) y (.3) según R 3 y T dan lugar a las componentes diferenciales de la fuerza de empuje y la fuerza de arrastre: df R3 = dl cos(γ) dd sin(γ) (.6) df T = dl sin(γ) + dd cos(γ) (.7) Proyectando nuevamente (.6) y (.7) según el sistema de referencia R 1 R R 3 se tiene que: [ df = df T sin(α) df T cos(α) df R3 ] T (.8) El momento generado por esta fuerza se calcula como: [ dt = r df R3 sin(α) r df R3 cos(α) r df T ] T (.9) Integrando a lo largo de la pala, realizando su promedio azimutal y multiplicando el resultado por el número de palas n, resulta que la fuerza y el momento total que proporciona el rotor son: 15

13 F = n π T = n π ˆ πˆr 0 ˆ r 1 dfdα (.30) πˆr 0 r 1 dtdα (.31) Teniendo en cuenta las ecuaciones (.14) a (.9), las integrales de (.30) y (.31) se pueden resolver simbólicamente si se consideran las siguientes simplicaciones: El ángulo de incidencia de la corriente es pequeño debido a que la velocidad asociada al giro del rotor es grande en comparación con la componente axial (γ 1) de modo que, en primera aproximación, tan(γ) sin(γ) γ y cos(γ) 1. Bajo esta hipótesis resulta que U R3 U T, de modo que U U T. La distribución sobre le plano del rotor de la velocidad inducida es uniforme (v i = cte.). Aunque existen varios modelos para el cálculo de v i, tanto uniformes como no-uniformes, en adelante, por simplicidad, se desprecia este término, lo que equivale a sobre-estimar las fuerzas y momentos generados por el rotor...1. Rotor principal El rotor principal gira con velocidad angular Ω = ω MR. Usando las ecuaciones (.14) a (.31) se obtiene que las fuerzas y momentos en el modelo mecánico generados por el rotor principal son: F3 MR = 1 1 nρb ( m 3 (cm1 + c m p c ) (r m1 r m ) ( va1 + va ) ( +3c m r m1 rm) (py v a1 + p x v a + v a3 ) ω MR (c m1 + c m p c ) ( rm1 3 rm 3 ) ) ω MR (.3) T1 MR = 1 96 nρb ( ( m 3cm r m1 rm) ( ( py 3v a1 + va ) + va1 (p x v a + v a3 ) ) +16 (c m1 + c m p c ) ( rm1 3 rm) 3 ( va1 ω MR 6c m p y r 4 m1 rm 4 ) ) ω MR (.33) T MR = 1 96 nρb ( ( m 3cm r m1 rm) ( ( px v a1 + 3va ) + va (p y v a1 + v a3 ) ) +16 (c m1 + c m p c ) ( rm1 3 rm) 3 ( va ω MR 6c m p x r 4 m1 rm 4 ) ) ω MR (.34) T3 MR = 1 96 nρb ( ( ( m 4va3 3cm r m1 rm) (py v a1 + p x v a + v a3 ) 4 (c m1 + c m p c ) ( rm1 3 rm 3 ) ) ωmr ( 1k m1 r m1 rm) ( v a1 + va + ( rm1 + rm) ) ( ( ω MR + km 3 r m1 rm) ( ( 4p c v a1 + va ) +p ( y 3v a1 + va ) ( + p x v a1 + 3va) + 8py v a1 v a3 + 8va3 + 4p x v a (p y v a1 + v a3 ) ) ( +3p c r 3 m1 rm) 3 (py v a1 + p x v a + v a3 ) ω MR 6 ( p c + p x + p ( y) r 4 m1 rm 4 ) )) ω MR (.35) 16

14 ... Rotor de cola El rotor de cola gira con velocidad angular Ω = ηω MR, donde η es la relación de transmisión entre éste y el rotor principal. En este caso, el ángulo de paso geométrico depende solamente del paso colectivo, de forma que ϕ = p t. Debido a la orientación del plano de este rotor respecto al plano del rotor principal (girado 90 o alrededor de R 1 ), se tiene que las componentes de la velocidad del aire son v T R a1 = v a1, v T R a = v a3 y v T R a3 = v a. Usando las ecuaciones (.14) a (.31) teniendo en cuenta los cambios anteriores, se obtiene que las fuerzas y momentos en el modelo mecánico generados por el rotor de cola son: F T R = 1 1 nρb ( t 3 (ct1 + c t p t ) (r t1 r t ) ( va1 + va3 ) ( +3ηc t r t1 rt) va ω MR η (c t1 + c t p t ) ( rt1 3 rt 3 ) ) ω MR T T R = 1 4 nρb ( ( t 3 r t1 rt) ( ct va ( + k t1 v a1 + va3) ( + kt v a + p ( t v a1 + va3))) 4η (c t1 + (c t k t ) p t ) ( rt1 3 rt) 3 va ω MR 3η ( k t1 + k t p ) ( t r 4 t1 rt 4 ) ) ω MR (.36) (.37).3. Dinámica del motor La dinámica del motor se simplica mediante una ecuación diferencial no lineal de primer orden donde el par generado por el motor se supone proporcional a la entrada de potencia p th y la fricción de los engranajes se supone viscosa. Sin embargo, es habitual que en los modelos a escala de helicópteros la velocidad angular del rotor tenga un valor jo y no varíe. La dinámica del motor puede controlarse con p th mediante un bucle interno con una técnica de control clásica, de forma que la velocidad angular se mantenga aproximadamente constante en un valor de operación típico, por ejemplo ω MR = 141,3717 rad/s = 1350 rpm. Por lo tanto, en adelante se considera la velocidad angular como un parámetro constante con este valor..4. Dinámica de los servos Para cada servo se asume el comportamiento de un sistema lineal de primer orden con ganancia unidad. Se considera que la constante de tiempo es lo bastante pequeña para que su dinámica sea muy rápida en comparación a la dinámica del movimiento del helicóptero. Por lo tanto, en adelante se desprecia la dinámica de los servos..5. Parámetros La siguiente tabla resume los valores nominales de los parámetros utilizados para la simulación. Dichos valores se corresponden con los datos del helicóptero MARVIN, del TU Berlin. [7]. 17

15 Signicado Parámetro Valor Unidades Aceleración de la gravedad g 9,81 m s Densidad del aire ρ 1 Masa fuselaje m F 1 kg Masa rotor principal m MR 0,67 kg Momentos de inercial fuselaje I F 11, I F, I F 33 0,6, 1,1 kgm Momento de inercia rotor principal kg m 3 I MR 11 = 1 4 m MR(r m r m1 ) 0,1394 kgm Posición rotor principal domr O3 0,166 m Posición rotor de cola dot R O1 1,08 m Posición centro de masa fuselaje dof O3 0,11 m Radio interior rotor principal r m1 0,088 m Radio exterior rotor principal r m 0,9 m Cuerda del perl rotor principal b m 0,067 m Aerodinámica rotor principal c m1 0,093 Aerodinámica rotor principal c m 3,4645 rad 1 Aerodinámica rotor principal k m1 0,0133 Aerodinámica rotor principal k m 0,9796 rad Radio interior rotor de cola r t1 0,055 m Radio exterior rotor de cola r t 0,17 m Cuerda del perl rotor de cola b t 0,085 m Aerodinámica rotor de cola c t1 0 Aerodinámica rotor de cola c t 3,5084 rad 1 Aerodinámica rotor de cola k t1 0,054 Aerodinámica rotor de cola k t 0,5365 rad Número de palas n Relación de transmisión η 14 3 Velocidad angular rotor principal ω MR 141,3717 rad s 18

16 La Fig. 1 muestra el diagrama de bloques del modelo simplicado. Figura 1: Modelo simplicado. El subsistema modelo mecánico implementa las ecuaciones de estado de (.1) a (.1). El subsistema modelo aerodinámico implementa las ecuaciones (.3) a (.37). Para la simulación se utiliza una Función-S de Simulink obtenida mediante la compilación del modelo anterior con Real-Time Workshop. Se utiliza un tiempo de muestreo T s = 0,01 s..6. Punto de funcionamiento Para aplicar las diversas técnicas de control que se estudian más adelante, hace falta linealizar el modelo entorno a un punto de funcionamiento. Se considera que el punto de funcionamiento es la condición de vuelo estacionario, que viene determinada por el equilibrio estático de todas las fuerzas y momentos aplicados sobre el helicóptero. Debido a que la posición no aparece explícitamente en el modelo puede ser elegida libremente sin que esto afecte a la linealización. Por lo tanto, se elige [ ] T p 0 = Adicionalmente se asume que en el equilibrio la velocidad estará en torno a [ ] T [ ] T v 0 = 0 0 0, la velocidad angular en torno a ω 0 = 0 0 0, el ángulo de guiñada en torno a q6 0 = 0 y la velocidad angular del rotor en torno a ωmr 0 = 141,3717 rad/s. Las entradas correspondientes (p 0 c, p 0 x, p 0 y, p 0 t ) y los estados que faltan (q4 0 y q5) 0 se calculan por métodos numéricos igualando a cero las derivadas en las ecuaciones (.7) a (.1) y sustituyendo los valores elegidos para el resto de estados. La solución resulta ser: q4 0 = 0,07 rad q5 0 = 0 rad p 0 c = 0,049 p 0 x = 1, p 0 y = 7, p 0 t = 0,0487 Se observa que en el equilibrio el helicóptero presenta un pequeño ángulo de balanceo. Con esto se consigue que el empuje del rotor principal tenga una pequeña componente horizontal que compensa el empuje lateral del rotor de cola. 19

17 .7. Linealización Las ecuaciones (.1) a (.1) denen un modelo de la forma ẋ = f(x, u). Donde: [ x = ] T [ q 1 q q 3 q 4 q 5 q 6 u 1 u u 3 u 4 u 5 u 6 u = p c p x p y p t ] T son los vectores de estado y entrada, respectivamente. Para linealizar el modelo en torno al punto de funcionamiento y obtener una descripción en el espacio de estados de cara a aplicar las diversas estrategias de control, se calculan: A ij = f i(x, u) x j B ij = f i(x, u) u j x=x 0,u=u 0 x=x0,u=u 0 Una vez obtenidas las matrices A y B se discretizan con un tiempo de muestreo T s = 0,01 s. Se asume que el estado es completamente medible mediante sensores, por lo que, en este caso, la matriz C de observación es la matriz identidad de dimensión 1 1. Hay que tener en cuenta que el sistema linealizado sólo se utiliza para calcular los controladores y que estos se aplican directamente sobre la planta no lineal. 0