Capítulo 4. Modo helicóptero Análisis del elemento de pala

Transcripción

1 Capítulo 4 Modo helicóptero El rotor es el encargado del gobierno del helicóptero y requiere una gran atención en la fase de modelado. Las fuerzas y los momentos del rotor se calculan tradicionalmente y en la mayoría de las referencias citadas) utilizando el análisis del elemento de pala que es un método simple y eficiente. Al estar este método extendido y bien probado será el que se utilice en este trabajo. El fenómeno central de este desarrollo es el denominado flapping o aleteo que sufre la pala del rotor durante el giro de éste. A partir la aceleración, la velocidad y del ángulo de flapping y de las características del rotor en [4], se desarrollan las ecuaciones por medio de las cuales se pueden obtener las fuerzas y pares que el rotor realiza en su giro. A continuación se expondrá de manera resumida la forma en que se obtienen las ecuaciones que describen el aleteo Análisis del elemento de pala Con el fin de derivar las ecuaciones que describen el flapping de las palas y las fuerzas generadas, es necesario examinar las fuerzas aerodinámicas en un pequeño elemento de la pala. Mediante la integración de éstas se pueden encontrar las fuerzas aerodinámicas resultantes y esfuerzos de torsión de la hoja. En la figura 4.1) se puede observar el buje de un rotor y una pala que gira a 39

2 4.1 Análisis del elemento de pala Figura 4.1: Sección transversal de una pala una velocidad angular Ω, donde dr es un elemento infinitesimal de ésta, el cual proporcionará una fuerza aerodinámica de sustentación dl. La longitud de la pala será R y el elemento diferencial estará a una distancia r de la articulación. Podemos ver en la figura que se ha representado una articulación e que permite el flapping de la pala. En nuestro caso dicha articulación no existe produciéndose este fenómeno por la flexibilidad propia de la pala. Aún así según [15] podemos modelar la pala como rígida con una articulación virtual de un 1 % de la longitud de la pala. El ángulo de pitch de cada pala es controlado por el plato oscilante, el cual transforma el actuador fijo al cuerpo en variaciones armónicas de los ángulos de flapping de las palas. El pitch en función del ángulo ψ de azimut puede ser formulado como: θ r = θ col θ lat cos ψ θ lon sin ψ + θ t e + r R 4.1) Donde θ col, θ lon y θ lat, son el valor de los mandos colectivos, longitudinal y lateral, mientras que θ t, es el ángulo de torsión de la hoja y define cómo cambia el pitch a lo largo perfil de la pala. A la vista del resultado anterior, el ángulo de flapping de este elemento diferencial de la pala puede ser descrito como función del ángulo ψ como el primer armónico de una serie de Fourier y a partir de ella podemos obtener sus derivadas temporales. β = a col a lon cos ψ + a lat sin ψ 4.2) β = ȧ col ȧ lon ȧ lat Ω) cos ψ + ȧ lat + a lon Ω) sin ψ 4.3) β = ä col ä lon 2ȧ lat Ω a lon Ω 2 ) cos ψ + ä lat + 2ȧ lon Ω a lat Ω 2 ) sin ψ 4.4) En la figura 4.2) podemos observar con más claridad cada uno de los ángulos hasta ahora definidos. 4

3 Modo helicóptero Figura 4.2: Definición de los ángulos de flapping y de control Figura 4.3: Sección transversal de una pala Análisis aerodinámico básico En la figura 4.3) podemos ver una sección de una pala. Ella muestra las dos fuerzas que actúan sobre el elemento diferencial dr: la sustentación, perpendicular a la dirección de la velocidad V b de la pala, y la resistencia, paralela a dicha velocidad. Estas fuerzas se definen como dl = 1 2 ρv 2 b C l αc dr dd = 1 2 ρv 2 b C d c dr Donde ρ es la densidad, c la longitud de la cuerda, y α es el ángulo de ataque, que multiplicado por el coeficiente de sustentación C l, proporciona una aproximación a la pendiente de la curva de sustentación C L. C d a su vez es el coeficiente de resistencia. 41

4 4.1 Análisis del elemento de pala En la figura también podemos observar que el ángulo de ataque es la suma del pitch de la pala y del ángulo de incidencia del viento α i de manera que ) Ut α = θ r + α i = θ r + arctan θ r + U t U p U p Esta última expresión se ha simplificado ya que la velocidad horizontal de la hoja es mucho mayor que su velocidad vertical U t U p, lo que conlleva que V b = Ut 2 + Up 2 U t Con todo esto las expresiones de la sustentación y la resistencia quedan de la siguiente manera dl = 1 2 ρu t 2 C l θ r + U ) t c dr dd = 1 U p 2 ρu t 2 C d c dr 4.5) Dos fenómenos diferentes influyen en la velocidad horizontal de la pala. La rotación de ésta alrededor del eje es el principal, pero el movimiento del helicóptero también influye. Esto permite formular dicha velocidad como U t = mr v xmr sin ψ mr v ymr cos ψ + Ω mr e + r cos β) mr v xmr sin ψ mr v ymr cos ψ + Ω mr e + r) ) e + r Ω mr R mr + µ x sin ψ µ y cos psi R mr 4.6) Expresiones donde se ha asumido pequeños ángulos de flapping y se han definido los ratios de avance del rotor. µ x = mr v xmr Ω mr R mr y µ y = mr v ymr Ω mr R mr También podemos observar que aparecen las variables mr v xmr y mr v ymr. Éstas son las componentes x e y de la velocidad del origen de los ejes de rotor principal expresadas en estos mismos ejes. Para hallar esta velocidad se puede acudir a la composición de velocidades y, según la figura 4.4) se podrán obtener como sigue: mr v mr = h v h + h ω h h R mr tr v tr = h v h + h ω h h R tr 42

5 Modo helicóptero Figura 4.4: Posición de los rotores En la velocidad vertical de las palas del rotor intervienen un mayor número de elementos, el más significativo de ellos es la velocidad inducida por el rotor v i. En [4] se puede encontrar un desarrollo más extensivo de la expresión de esta velocidad que, dado lo limitado de este proyecto, no puede ser incluida. Así U p queda como sigue U p ω mr R mr λ µ x β cos ψ µ y β sin ψ) βr + 4.7) +e + r) mr ω xmr cos ψ mr ω ymr sin ψ) 4.8) Ecuación donde aparecen el ratio de viento incidente o inflow ratio λ y el número de bloqueo de la pala o blade lock number γ que se definen gracias al momento de inercia I b ) de la siguiente manera: λ = mr v zmr v i Ω mr R mr γ = ρc lcr 4 mr I b El inflow ratio es la relación entre la velocidad actual del rotor en el eje z y la velocidad de avance de la pala. En ella aparece la velocidad del viento incidente v i. Esta variable no es directamente conocida, lo que complicará el cálculo de dicho ratio. La variable v i se puede calcular a partir de la expresión v i = T 2ρA mr v 2 x mr + mr v 2 x mr + mr v xmr v i ) 2 La cual, sustituida en la definición de λ nos da la siguiente expresión: λ = mr v zmr v i Ω mr R mr = mr v zmr v i Ω mr R mr C T Ω mr R mr 2 mr vx 2 mr + mr vx 2 mr + mr v xmr v i ) 2 = µ z C T 2 mr v 2 x mr + mr v 2 x mr + λ 2 43

6 4.2 Dinámica del rotor Se observa que tenemos una expresión de cuarto grado cuya solución analítica es harto difícil de hallar. En la literatura se suelen encontrar dos direcciones diferentes para su cálculo. En [4] el autor se inclina por encontrar una expresión analítica con la ayuda de software de cálculo simbólico, mientras que en [15] podemos ver que el autor prefiere llegar a la solución haciendo uso de un cálculo iterativo. En nuestro caso se seguirá la formulación de este último, ya que el número de iteraciones suele ser pequeño entre 3 y 5 iteraciones suelen ser suficientes) mientras que el número de términos que componen la solución analítica es tan alto y de una complejidad suficiente como para que la velocidad de la solución se vea comprometida. A partir de ahora, se buscarán las expresiones que nos ayudarán a obtener la fuerza que ejerce el rotor y por tanto que controla el helicóptero. En adelante todos los desarrollos que se siguen se harán en los ejes definidos sobre el rotor principal, y en el caso de las fuerzas del rotor de cola los ejes serán los situados en éste, por lo tanto, una vez halladas las fuerzas habrán de proyectarse en los ejes cuerpo que son donde se necesitan para la resolución de las velocidades a partir de las ecuaciones de movimiento linealizadas Dinámica del rotor La dinámica del rotor esta dominada por el flapping de sus palas, el cual está gobernado por diferentes momentos trabajando sobre ellas. Para determinar la dinámica del movimiento de flap usaremos una ecuación de equilibrio de momentos τ a + τ cf + τ β + τ cor + τ R + τ ba + τ bn = donde los momentos son el aerodinámico, centrífugo, de inercia, de Coriolis, de resistencia y los momentos de aceleración angular y normal. A continuación examinaremos cada uno de ellos y daremos una expresión para su cálculo. 44 Par aerodinámico Es el principal. Está originado por las fuerzas de sustentación. Se puede calcular por la integración de dicha fuerza sobre la longitud de la pala τ a = R e r dl = R e 1 2 ρ U t 2 C l θ r + U ) t c r dl 4.9) U p

7 Modo helicóptero Par centrífugo Provocado por las fuerzas centrífugas que actúan sobre la pala consecuencia del giro del rotor. Trabajan perpendicularmente al eje de rotación y, debido al flapping de la pala, provocan un momento alrededor de la articulación de ésta. Su expresión para el cálculo asumiendo pequeñas ángulos de flapping es la siguiente: τ Ω 2 em b + I b )β donde M b y I b son el primer y segundo momento de inercia y cuyo cálculo puede verse en el anexoa) Par de aleteo Es debido al movimiento de flap de la pala originado por la aceleración angular de ésta alrededor de la articulación. Podemos expresarlo como τ b = I b β Par de Coriolis Originado por las fuerzas de Coriolis debidas al movimiento de rotación de los ejes del rotor. Puede ser calculado a partir de τ cor = r df cor 2 mr ω ymr cos ψ + mr ω xmr sin ψ)em b + I b ) Momento de resistencia Debido a la flexibilidad de la pala. Se modela como un muelle en la articulación con una constante de elasticidad K s τ R = K s β Par angular La fuerza generada en un un elemento diferencial de la pala por la aceleración angular del helicóptero alrededor de los ejes X b Y b son df ba = r h ω yh cos ψ h ω xh sin ψ)dm b Ecuación que integrada proporciona la expresión del par angular τ ba = rdf ba = h ω yh cos ψ h ω xh sin ψ)i b Par normal Es debido a la aceleración a lo largo del eje Z b, ésta provoca una fuerza que podemos formular como df bn = h v zh h v xh h ω yh + h v zh h ω xh ) Ésta, una vez integrada, nos proporciona la siguiente expresión para el par normal τ bn = r df bn = M b h v zh h v h xh ω yh + h v h zh ω xh ) 45

8 4.3 Expresiones del flapping 4.3. Expresiones del flapping Una vez descrito todos los momentos que actúan sobre las palas del rotor podemos obtener las expresiones de los ángulos de flapping. Para conseguir estas ecuaciones sustituiremos las fórmulas dadas para los pares en la expresión4.9) junto con 4.2), 4.3) y 4.4). Esto nos proporciona una fórmula en la que aparecen una serie de armónicos de orden superior como sin 2ψ que serán despreciados, cosa que también haremos con los términos e 3 y e 4. Finalmente, igualando los elementos que contienen sin ψ a ä lat, los que tienen cos ψ a ä lon y los constantes a ä col, podremos escribir las ecuaciones que describen la dinámica del plano de puntas del rotor y que pueden verse desarrolladas en el anexoa) 4.4. Fuerzas y momentos del rotor principal La fuerza dominante en el rotor es la tracción a lo largo del eje Z b T = F z ) y el par dominante se produce también en torno a dicho eje. Asumiremos que las fuerzas generadas por el rotor son debidas principalmente a la sustentación y la resistencia aerodinámicas siendo la contribución de otras fuerzas despreciadas. Las fuerzas infinitesimales dl y dd pueden ser proyectadas en los ejes del rotor principal como se ve en las figuras 4.5) y 4.6) obteniéndose así las siguientes ecuaciones: df xmr = dd cos α i dl sin α i ) sin ψ + dl cos α i + dd sin α i ) sin β cos ψ df ymr = dd cos α i dl sin α i ) cos ψ + dl cos α i + dd sin α i ) cos ψ sin ψ df zmr = dl cos β cos α i + dd cos β sin α i ) Estas ecuaciones han de ser integradas para obtener la fuerza total. Para simplificar asumiremos que los ángulos β y α i toman valores pequeños, lo cual reduce las ecuaciones anteriores a df xmr = dd sin ψ + dl β cos ψ + α i sin ψ) 4.1) df ymr = dd cos ψ + dl β sin ψ α i cos ψ) 4.11) df zmr = dl 4.12) 46

9 Modo helicóptero Figura 4.5: Proyección vertical de las fuerzas de la pala Figura 4.6: Proyección horizontal de las fuerzas de la pala 47

10 4.4 Fuerzas y momentos del rotor principal Las fuerzas infinitesimales serán ahora integradas en la longitud de la pala, desde hasta R e y promediamos sobre una revolución del ángulo de azimut integrando desde a 2π y divididiendo entre 2π. Finalmente, las fuerzas resultantes se calculan multiplicando el número de hojas b. F x = bc ρ 2π 2 2π R e Ut 2 C d sin ψ + C l θ r + U p U t ) β cos ψ + U )) p sin ψ drdψ U t 4.13) F y = bc ρ 2π 2π 2 R e Ut 2 C d cos ψ + C l θ r + U ) p β sin ψ U )) p cos ψ drdψ U t U t 4.14) F z = bc ρ 2π 2π 2 R e Ut 2 C l θ r + U ) p drdψ 4.15) U t Los pares generados por el rotor principal también son generados por las fuerzas aerodinámicas, pero esta vez, a diferencia del caso de las fuerzas, si se considerará la contribución de otros efectos. Así, para el caso de los ejes X e Y, el par creado por las fuerzas de resistencia sí será incluido. El par en el eje Z, al considerarse sólo las fuerzas de sustentación y resistencia, es el más fácil de calcular y puede ser formulado de la siguiente manera: dτ z = e + r)dd cos α i dl sin α i ) e + r)dd dlα i ) Y el par puede ser calculado por medio de la integración de τ z = bc ρ 2π R e Ut 2 U p r + e) C d + C l θ r + U )) p drdψ 4.16) 2π 2 U t U t La sustentación aerodinámica contribuye a los pares longitudinal y lateral como se puede ver en la figura 4.7). Y teniendo en cuenta la aproximación de pequeños ángulos para β obtenemos: τ ax = τ a = el cos β el sin ψ 4.17) τ ay = el cos ψ 48

11 Modo helicóptero Figura 4.7: Par debido a la sustentación aerodinámica Por otra parte, el par debido a la resistencia de deformación de la pala puede formularse para los ejes X, Y como sigue τ Rx = K s β sin ψ τ R = K s β 4.18) τ Ry = K s β cos ψ Finalmente, gracias a las ecuaciones 4.17) y 4.18) podemos obtener las expresiones de los pares en ejes X e Y integrando las siguientes expresiones. τ x = bc ρ 2π 2π 2 ec l R e Ut 2 θ r + U ) p sin ψdrdψ + b 2π U t 2π K s β sin ψdψ 4.19) τ x = bc ρ 2π 2π 2 ec l R e Ut 2 θ r + U ) p cos ψdrdψ + b 2π U t 2π K s β cos ψdψ 4.2) Los resultados de las integrales 4.13), 4.14), 4.15), 4.16), 4.19) y 4.2) se pueden ver en el apéndice A). Estas expresiones junto con las de flapping cierran el problema. Las ecuaciones desarrolladas de los ángulos del plano de punta pueden formularse de la siguiente manera ẋ = Ax + bu donde ẋ = [ä col ä lon ä lat ȧ col ȧ lon ä lat ] T, x = [ȧ col ȧ lon ȧ lat a col a lon a lat ] T, 49

12 4.5 Fuerzas y momentos del rotor de cola u = [θ col θ lon θ lat θ t λ ω x ω y ω x ω y v z ] T y A = a 3 6 I y B = b Siendo I la matriz identidad, la matriz nula, a y b los coeficientes que multiplican a los componentes de los vectores x e u y que tienen las dimensiones indicadas. Gracias a esta formulación las ecuaciones lineales de segundo orden pueden ser resueltas numéricamente por el software Matlab. Una vez integradas, los valores de los ángulos de flapping se usarán para obtener el valor de las fuerzas que genera el rotor. Finalmente, obtenidas las fuerzas, habrán de ser proyectadas a los ejes cuerpo de nuestra aeronave, eso provocará la aparición de unos momentos debido a que las fuerzas no están siendo aplicadas en el centro de gravedad de nuestro aparato Fuerzas y momentos del rotor de cola Para finalizar el modelado del helicóptero falta definir las fuerzas que hará nuestro rotor de cola, realizando un análisis análogo al expuesto para el rotor principal, sin tener en cuenta los efectos del flapping dado que la longitud de estas palas es suficientemente pequeña para poder despreciarlos. Así, la fuerza y momentos realizadas en el eje perpendicular al plano de palas del rotor de cola, es decir, el eje Z tr se pueden formular de la siguiente manera: F ztr = b trc tr 2π ρ 2π 2 C l tr R tr Ut 2 tr θ tr + U ) t tr dr tr dψ tr 4.21) U ptr τ ztr = b trc tr 2π ρ 2π 2 R tr Ut 2 U ttr tr r tr C dtr + C ltr θ tr + U )) t tr dr tr dψ tr 4.22) U ptr U ptr 5

13 Modo helicóptero 4.6. Fuselaje Para cerrar el modelo del helicóptero falta tener en cuenta la resistencia que opone el fuselaje al movimiento del avión. Durante el proyecto se ha mencionado que la obtención de derivadas de estabilidad para un helicóptero es una tarea complicada, por tanto se han tomado dos soluciones diferentes para la obtención de la contribución del fuselaje. La primera de ellas se utilizará más adelante en la sección 6.1.1, en este caso se define un coeficiente de resistencia C D y a partir de él se obtiene una estimación de la fuerza de resistencia. Esto habrá de hacerse para cada superficie de resistencia de nuestro helicóptero, es decir la superficie del plano YZ que ofrece resistencia a la velocidad U, otra superficie, la contenida en el plano XZ para la velocidad V y por último la del plano XY para la velocidad W. En nuestro caso, dado el estado en que encuentra, se realizó una aproximación de las superficies. Éstas se modelaron como planos de una determinada área, es decir, el fuselaje se ha modelado como un paralelepípedo recto. La segunda manera de modelar la fuerza aerodinámica de resistencia se basa en el análisis dimensional y la semejanza física. Se parte de la solución de un helicóptero que se admite dimensionalmente semejante. En este supuesto, ambos problemas poseen la misma solución adimensional, con lo que basta con multiplicar estos valores por el coeficiente de referencia adecuado para obtener las variables dimensionales del helicóptero deseado. La solución semejante se puede obtener en la literatura, por ejemplo en [17]. 51

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