Asignaturas antecedentes y subsecuentes Mecánica Clásica y Cálculo Vectorial

Transcripción

1 PROGRAMA DE ESTUDIOS MECÁNICA ANALÍTICA Área a la que pertenece: Área Sustantiva Profesional Horas teóricas: 5 Horas prácticas: 0 Créditos: 10 Clave: F0112 Asignaturas antecedentes y subsecuentes Mecánica Clásica y Cálculo Vectorial PRESENTACIÓN La mecánica no sólo es el área más antigua de la física, también es la que conforma las bases fundamentales de la física teórica. Sin un conocimiento sólido de la mecánica clásica, la mecánica cuántica difícilmente podría haberse entendido y formulado. Las teorías de campo y la electrodinámica, por ejemplo, utilizan su estructura formal. Sus principios fundamentales y su estructura geométrica han sido adoptados por otras áreas de la física como la relatividad general y la mecánica estadística que han contribuido enormemente al desarrollo de la física moderna. Así, hoy en día es necesario introducir conceptos como simetría, principios de invariancia, transformación de norma, caos y la estructura geométrica del espacio fase que juegan un papel muy importante en la física actual. La mecánica clásica es el campo donde el estudiante aprenderá a desarrollar formalismos generales (lagrangiano y hamiltoniano) a través de los cuales las ecuaciones de movimiento pueden derivarse. OBJETIVO GENERAL Al finalizar el curso el estudiante será capaz de aplicar los principios variacionales para construir las ecuaciones de Lagrange. Reconocerá la importancia fundamental de este formalismo en la estructura general de la mecánica clásica. A través de las transformadas de Legendre sabrá pasar del formalismo lagrangiano al hamiltoniano y aplicará este formalismo en el estudio de sistemas dinámicos complejos analizando la estructura del espacio fase F0112_Mecánica Analítica 1/7

2 CONTENIDO 1 LAS LEYES DE NEWTON Y EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA Objetivo El alumno se familiarizará con la dinámica del movimiento de una particular partícula. Conocerá los teoremas del momento lineal y angular. Comprenderá el teorema de la energía y el principio de conservación de la energía mecánica. Distinguirá diferentes tipos de fuerza y los movimientos a los que dan lugar 1.1. Las leyes de Newton y su Interpretación Movimiento unidimensional Teorema del momento lineal Fuerzas típicas Fuerzas dependientes del tiempo Fuerzas de pendientes de la velocidad Fuerzas dependientes de la posición Energía potencial y teorema de conservación de la energía Movimiento tridimensional Cinemática en dos y tres dimensiones en sistemas de coordenadas generalizados Principios de conservación del momento lineal y angular Conservación de la energía Fuerzas conservativas Energía potencial Principio de conservación de la energía mecánica Movimiento en un campo de fuerzas centrales El alumno comprenderá el significado de las leyes de Newton. Distinguirá los diferentes tipos de fuerzas que tienen lugar en la interacción mecánica de los cuerpos. Comprenderá la importancia de los principios de conservación en la descripción del movimiento de una partícula. Entenderá lo que son la integral de la energía y las constantes del movimiento. Estará en condiciones de resolver diversos problemas mecánicos F0112_Mecánica Analítica 2/7

3 2 DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Objetivo El estudiante comprenderá la manera de formular las leyes de particular Newton para describir el comportamiento mecánico de un sistema de partículas 2.1 Principios de conservación El centro de masa Conservación del momento lineal Conservación del momento angular Conservación de la energía. 2.2 El problema de los dos cuerpos 2.3 El problema de los N cuerpos El alumno comprenderá la definición del centro de masa y su utilidad en la descripción de la dinámica de un sistema de partículas. Conocerá los conceptos de momento lineal total, momento angular total y energía total. Entenderá la importancia de los principios de conservación asociados a estas cantidades y podrá utilizarlos en la solución de diversos problemas. 3 EL FORMALISMO LAGRANGIANO Objetivo El estudiante conocerá otras formulaciones de las leyes de la particular mecánica, como son, el principio de D Alembert y el principio de Hamilton. Sabrá deducir de estos las ecuaciones de Lagrange, y ganará habilidad en la solución de problemas. 3.1 El principio de D Alembert y las ecuaciones de Lagrange Coordenadas generalizadas y constricciones. 3.2 Cálculo variacional Técnicas del cálculo de variaciones. 3.3 Principio de mínima acción La acción El principio de Hamilton Derivación de las ecuaciones de Lagrange partiendo del principio de Hamilton. 3.4 Teoremas de conservación y propiedades de simetría utilizando la El estudiante comprenderá el problema que implican las contricciones al determinar el movimiento de un sistema físico, diferenciará entre los distintos tipos de aquellas. Sabrá lo que son el desplazamiento y el trabajo virtual, y su empleo en la formulación del principio de D Alembert. Comprenderá la utilidad de este último en la derivación de las ecuaciones de Lagrange. Conocerá la definición de la función lagrangiana y el significado de las fuerzas generalizadas. Obtendrá las ecuaciones de lagrange para diversos sistemas físicos. El estudiante valorará la F0112_Mecánica Analítica 3/7

4 función lagrangiana importancia de derivar las ecuaciones de Lagrange a partir de un principio integral como el principio de Hamilton. Ganará habilidad en la solución de problemas que involucran el cálculo de variaciones. Sabrá de qué manera la función lagrangiana permite estudiar la relación entre los teoremas de conservación y las propiedades de simetría de los sistemas físicos. 4 EL FORMALISMO HAMILTONIANO Objetivo El estudiante comprenderá la importancia de la formulación particular Hamiltoniana como un medio para estudiar la estructura formal de la mecánica. Sabrá que aquella es el punto de partida para desarrollos posteriores como la mecánica cuántica y la mecánica estadística. Conocerá las ecuaciones de Hamilton 4.1 Transformaciones de Legendre y las ecuaciones de movimiento de Hamilton. 4.2 Derivación de las ecuaciones de Hamilton del principio de mínima acción Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación Ejemplos del uso de las ecuaciones de Hamilton. 4.3 La estructura del espacio fase para un sistema de n partículas. 4.4 Introducción a las transformaciones canónicas. El estudiante comprenderá que el Hamiltoniano resulta de una transformación de Legendre de la función Lagrangiana. Sabrá que ambas formulaciones son equivalentes, pero que aquella permite una visión de los fenómenos físicos a veces más conveniente y profunda. Distinguirá entre el espacio de configuración y el espacio fase. Deducirá las ecuaciones de Hamilton y será capaz de obtener el hamiltoniano en casos sencillos. Entenderá la relación entre las coordenadas cíclicas y los teoremas de conservación. Comprenderá la conveniencia de derivar las ecuaciones de Hamilton de un principio de mínima acción. El estudiante sabrá lo que es una transformación canónica. Conocerá los corchetes de Poisson y los empleará para estudiar la relación entre las transformaciones canónicas infinitesimales y los teoremas de F0112_Mecánica Analítica 4/7

5 conservación 5 LA DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO Objetivo El alumno comprenderá los principios de la dinámica del cuerpo particular rígido 5.1 Sistemas de referencia en rotación; El Teorema de Coriolis 5.2 Algebra tensorial Diagonalización de un tensor simétrico El tensor de inercia y el elipsoide de inercia 5.3 Las ecuaciones de Euler La Solución de Poinsot Los ángulos de Euler. 5.4 Análisis del movimiento del trompo Al concluir la unidad, el estudiante entenderá que es posible escribir las ecuaciones de movimiento de un sistema físico, desde un sistema de coordenadas en rotación. Conocerá el teorema de Coriolis. Entenderá la utilidad de los tensores en la descripción del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, será capaz de diagonalizar un tensor simétrico y determinar sus ejes principales. Calculará el tensor de inercia para diversos cuerpos. Expresará la energía cinética de un sólido rígido en rotación, en términos del tensor de inercia del mismo. Deducirá las ecuaciones de Euler. Conocerá la solución de Poinsot. Estudiará el movimiento del trompo Sugerencias didácticas En la unidad 1 se sugiere que el profesor: Después de hacer un repaso de los conceptos básicos, el docente hará énfasis en la mayor generalidad y profundidad con que ahora son presentados En la unidad 2 se sugiere que el profesor: El docente hará analogías entre diversos tipos de promedios ponderados y el concepto de centro de masa. Enfatizará la importancia de la tercera ley de Newton en la derivación de la conservación de los momentos lineal y angular, y en la validez general de estos principios en los diferentes campos de la física F0112_Mecánica Analítica 5/7

6 En la unidad 3 se sugiere que el profesor: Es conveniente que el profesor presente gran cantidad de ejemplos, donde se muestren diversos sistemas de coordenadas generalizadas y la forma que adquieren las ecuaciones de movimiento en cada uno de ellos. Del mismo modo, se ejemplificarán situaciones físicas donde aparezcan diferentes tipos de constricciones. Se hará énfasis en el empleo de los conceptos de desplazamiento y trabajo virtual como medio para eliminar las fuerzas de constricción. Se presentarán brevemente las principales ideas del cálculo de variaciones. Se pedirá a los estudiantes que investiguen la utilidad de los principios variacionales en la física. En la unidad 4 se sugiere que el profesor Repasar la teoría de las transformaciones de Legendre y su aplicación en la termodinámica. Cuando no sea posible estudiar todos los detalles cuantitativos, el docente debe procurar hacer explicaciones cualitativas del significado e implicaciones de los nuevos conceptos introducidos, en particular, lo referente a las transformaciones canónicas infinitesimales, los corchetes de Poisson y los teoremas de conservación. Hará énfasis en la aplicación de estos últimos a otras ramas de la física, como la mecánica estadística y la mecánica cuántica. En la unidad5 se sugiere que el profesor Es conveniente que el docente presente los tensores que se emplearán en esta unidad, como operadores vectoriales lineales (diadas), esto permitirá arribar a los resultados importantes de manera más concreta y directa. Estrategias de evaluación del aprendizaje Se sugiere se tomen en cuenta los siguientes puntos para evaluar el logro del objetivo de esta asignatura. El profesor podrá designar un porcentaje a cada uno de estos. - asistencia, - participación en clases - exposiciones de temas - tareas y examen F0112_Mecánica Analítica 6/7

7 Bibliografía Básica. 1. Mc Call, L.W. Classical mechanics: A modern introduction. Wiley-Publisher, USA, Goldstein, H. Classical Mechanics. 4th Edition, Addison Wesley Series, USA, Marion, B. J. Dinámica clásica de partículas y sistemas. 2da. Edición, Reverté, México, Chow, T.L. Classical mechanics. Wiley-Publisher, USA, Hawkins, B. Classical mechanics simulations. Wiley-Publisher, USA, Scheck, F., Mechanics: From Newton s laws to deterministic chaos. Springer- Verlag, USA,1990. Complementaria. 1. Main, I. G. Vibrations and Waves in Physics. Cambridge University Press, England, Arnold, V.I. Mathematical methods of classical mechanics. Springer-Verlag, USA, Fowles, G.B. Analytical Mechanics. Holt, Rinehrat & Winston, USA, J. Binney & S. Tremaine, Galactic Dynamics. Princeton series in Astrophysics, USA, F0112_Mecánica Analítica 7/7