Autómatas Celulares. Séptima sesión. Hugo Franco, PhD. 28 de febrero de 2011

Transcripción

1 Modelos de Séptima sesión 28 de febrero de 2011

2 Primer Corte Máquinas de Estado Finito Modelos de Fecha, hora, lugar Lunes 7 de marzo, 6:30 p.m. (máximo 45 minutos), salón de clase Evaluación Talleres 1, 2 y 3: 50 %, Parcial: 50 % Entrega de notas Lunes 14 de marzo (sitio web)

3 Contenido Máquinas de Estado Finito Modelos de 1 Máquinas de Estado Finito 2 3 Modelos de 4 5

4

5 Modelos de Deniciones previas Símbolo: Representación abstracta de un objeto, en general es un caracter que representa algún elemento del modelo Alfabeto (Vocabulario): Conjunto nito de símbolos. Debe existir al menos un símbolo en el alfabeto, Cadena (Frase): Secuencia de símbolos construida con los elementos de un Alfabeto. Lenguaje: Es un conjunto de cadenas, las cuales deben estar formadas con los símbolos de un Alfabeto Estado: Es la situación en que se halla un sistema en un momento dado de su dinámica. El sistema sólo puede estar en un estado a la vez.

6 Modelos de Denición de Máquina de Estado Finito Máquina de Estado Finito: Modelo matemático basado en la estructura de Grafo (Red) que representa el comportamiento de un sistema basado en reglas de transición entre un número nito de estados Un autómata puede ser denido matemáticamente como la 5-upla Donde M {S, Σ, T, q 0, A} S: Conjunto de estados (nodos en la representación de grafo) Σ: Alfabeto de entrada (conjunto de símbolos presentados a cada nodo/estado) T : Aplicación de transición S (Σ {ε}) 2 S, donde ε es la entrada vacía y 2 S es el conjunto partes de S q 0 S: Estado inicial A S: Conjunto de estados nales (de aceptación) de la máquina

7 Deniciones II Máquinas de Estado Finito Modelos de Máquina de Estado Finito Determinista: No acepta transiciones basadas en la entrada vacía ε; toda cambio de estado se debe a la presentación de un y sólo un elemento del alfabeto que, a su vez, siempre lleva al mismo estado de llegada. Máquina de Estado Finito No-Determinista: Aquella que permite que una misma entrada pueda llevar a dos estados diferentes (con alguna probabilidad asociada) o no llevar a ningún estado (inexistencia de la transición). Máquina de Estado Finito No-Determinista con Transiciones Vacías: La que permite cambios de estado sin que se hayan presenten entradas a la máquina (lo que se representa mediante transiciones ε).

8 Modelos de Representación de una MEF (AEF) como Grafo Dirigido Una Máquina de Estado Finito se puede representar como un Grafo Dirigido extendido Se especializan los nodos, permitiendo representar el estado inicial y estado de aceptación Se permite denir una arista que llega al mismo nodo del que parte (conservación de estados) Los enlaces representan las transiciones entre dos estados El valor del enlace es así el símbolo que produce la transición entre el estado de partida y el de llegada

9 Modelos de Tabla de Transiciones Forma sintética (no gráca) de representar el comportamiento de una máquina de estado Transiciones entre estados dependiendo de la entrada presentada a la máquina Adecuada para Máquinas Deterministas... no es apropiada para autómatas no deterministas de transiciones estocásticas a 1 a 2 q 0 q 1 q 2 q 1 q 0 q 2 q 2 q 1 q 2

10 Modelos de Representación como cabeza de lectura/escritura Cintas de entrada y salida Suelen representar modelos especícos para comportamientos con memoria Necesidad de recorrido sobre estados visitados Ejemplo: Autómatas de Pila que almacenan el recorrido por el conjunto de estados para estudio posterior del comportamiento a una entrada dada

11 Ejemplo Máquinas de Estado Finito Modelos de Denir una máquina que modele un sistema de control simple de calefacción de lazo cerrado Apagado t>t c t<t c t>t c Encendido t<t c

12 Ejemplo Máquinas de Estado Finito Modelos de Denir una máquina de estado nito determinista que acepte cadenas binarias que contengan un número par de ceros

13 Modelos de Sintaxis Ejemplo: S = {1, 2, 3}, Σ = {a, b}, T = (1, a, 2), (2, b, 3), (3, a, 1), (1, b, 3), q 0 = 1, A = {3} Sintaxis: Relación entre el alfabeto y el conjunto de combinaciones de transiciones de la máquina que permiten llegar a un estado de aceptación Inducen un subconjunto de transiciones que se considera válido Las cadenas constituidas de secuencias consecutivas de aes no están en la sintaxis de esta máquina

14 Semántica Máquinas de Estado Finito Modelos de En términos de modelado, la semántica de una máquina de estados está relacionada con la interpretación de los componentes del modelo: Cada nodo (estado) de la máquina en términos de los estados análogos del sistema real. Cada enlace representa el comportamiento dinámico del sistema ante condiciones externas y la evolución de sus parámetros dados eventos especícos

15 Trazas Máquinas de Estado Finito Modelos de En términos de grafos Conjunto de trazas de una máquina de estado nito: el conjunto de todos los caminos (de enlaces, transiciones) alcanzables desde el nodo (estado) inicial. Genera el conjunto un conjunto de frases válidas dentro de la dinámica de la Máquina Inducen una sintaxis {a, b, a} camino 1, 2, 3, 1 {b, a} camino 1, 3, 1 {a, b, a, b, a} camino 1, 2, 3, 1, 3, 1 {b, a, a, b, a} camino 1, 3, 1, 2, 3, 1 {b, a, b, a,..., b, a} camino 1, 3, 1, 3,..., 1, 3 etc.

16

17 Modelos de Máquinas como Autómatas Autómata: Modelo matemático de una máquina abstracta denida formalmente sobre un conjunto de estados, una serie de transiciones entre esos estados y los datos que rigen dichas transiciones Se congura el concepto de regla de transición como componente dinámico del modelo

18 Modelos de El Autómata Celular Autómata celular: Distribución espacial de unidades de cómputo interrelacionadas Cada nodo (célula) puede ser considerado por sí mismo un autómata con su propio estado, cambiante en el tiempo. Las reglas de transición se convierten en reglas de evolución para cada célula Las reglas de evolución de cada célula se denen sobre el estado de las células vecinas

19 Modelos de Evolución de los modelos de autómatas I Autómatas nucleares (Autómatas de Estados Finitos) Máquinas de cómputo (Máquinas de Moore, Turing...) Autómatas celulares de Von Neumann Juego de la Vida (Gardner) Estudios de estabilidad de Wolfram

20 Modelos de Autómatas Celulares

21 Modelos de Analogía con el modelado matemático I En un dominio de una dimensionalidad n dada, las variables del problema (campos en n dimensiones) se estiman para cada elemento de la malla correspondiente a la discretización del dominio Relaciones dinámicas cuantitativas (ecuaciones diferenciales) Ejemplo: Modelo tipo PredadorPresa (Lotka Volterra): dx dt dy dt = Ax Bxy = Cy + Dxy

22 Modelos de Analogía con el modelado matemático II En casos en los que las relaciones no sean fácilmente traducibles a variables en sistemas de ecuaciones, la evolución del sistema no serán modelado como un sistema dinámico sino como una red de elementos que interactúan mediante reglas Reglas dinámicas cuantitativo/cualitativas. Mayor sentido de la discretización Ejemplo: Modelos predadorpresa modelados como supervivencia de individuos según vecindad de presas/predadores a lo largo del tiempo

23 Modelos de No linealidad y complejidad Las reglas no representadas mediante operaciones matemáticas y/o aplicación de operadores integro/diferenciales (lineales) suelen llevar el sistema a comportamientos nolineales Útil en casos de sistemas no linealizables Riesgoso en términos de control de la estabilidad del modelo Sistemas dinámicos con componentes de no linealidad potencialmente pueden exhibir: Comportamientos caóticos (transición al caos) Comportamientos emergentes (dinámicas colectivas organizadas no previsibles por el análisis individual de los elementos/estados)

24 Modelos de Emergencia de los autómatas celulares Un autómata celular es, pues, una representación adecuada para el modelado y la simulación de sistemas complejos basados en reglas no lineales o de difícil cuanticación Se asume la simplicación propia de la discretización homogénea del espacio Se impone un análisis basado en estados sobre elementos discretos y no en valores de variables continuas Cada nodo tiene un comportamiento de máquina/autómata. Los símbolos presentados para la transición son el estado anterior del nodo y de sus vecinos

25 Componentes de un Autómata Celular

26 Elementos Máquinas de Estado Finito Modelos de Un espacio ndimensional (usualmente 2D) dividido en un número de subespacios conocidos como células, denominado malla. En el caso usual, la subdivisión es regular (Teselación Homogénea) Cada célula puede estar en un estado, perteneciente a un conjunto nito (o numerable) o de estados. Una Conguración Inicial, consistente en la distribución de estados de cada celda del autómata en t 0. Un criterio de vecindad determinado por las posiciones relativas de las células consideradas vecinas a una célula dada Las reglas de evolución denen cómo se darán los cambios de estado en cada celda, dependiendo del estado anterior propio y de su vecindad. Un Reloj de Cómputo conectado a todas las células, el cual generará los pulsos que aplican las reglas de evolución.

27 Modelos de Estructura de la vecindad Una vecindad denida sobre una célula consiste en un conjunto de células contiguas, escogidas mediante algún criterio de vecindad. Vecindad de Von Neumann: todas las células que compartan aristas (caras) con la célula evaluada. Ochovecinos (de Moore): todos los que tengan caras, aristas o tan siquiera vértices comunes con la célula bajo evaluación Vecindades denidas por máscaras: permiten introducir un sesgo direccional y ampliar el ámbito de inuencia de las células en su entorno i-1,j i,j-1 i,j i+1,j i,j+1 i,j i,j

28 Modelos de Reglas de Evolución Conjunto de reglas de transición entre estados para una célula dada Denen cómo debe cada celda cambiar de estado, según del estado inmediatamente anterior de su vecindad: s n+1 (i, j) = F (s n (i, j), B(s ij, n)) F usualmente es denida de forma explícita usando reglas arbitrarias (lógicas, aritméticas, tablas de transición, etc.)

29 Modelos de Reloj Virtual de Cómputo La evolución del autómata celular se ejecuta como la discretización temporal permite que las reglas de evolución (cambios de estado) se evalúen con cada pulso El reloj permite lanzar el evento pulso y, así determinar la dinámica del modelo La conexión de dicho reloj se implementa de forma paralela s s' Conexión en Paralelo

30 Modelos de Modelado de los comportamientos de borde I Frontera abierta. Se consideran células virtuales existentes fuera de la malla, que mantienen un estado jo durante toda la evaluación Una frontera se dice fría si las células fuera de la frontera se consideran inactivas, y caliente si se asumen como activadas. Frontera periódica. El autómata celular se modela para que las células vecinas de un extremo superior de la malla sean las células del extremo opuesto de la misma y viceversa, criterio que también se aplica a los bordes en todos los sentidos Autómata de dimensión 1: topología de circunferencia. Autómata de dimensión 2: topología de toroide

31 Modelos de Modelado de los comportamientos de borde II Frontera reectora: Se aceptan células virtuales de fuera de la malla que toman automáticamente los mismos estados de aquellas en el interior a manera de reexión especular. Frontera dinámica: contando con un criterio de parada, se puede hacer crecer dinámicamente la frontera, evaluando más células nuevas que se añaden al autómata para conservar la estimación del estado de los vecinos a una célula dada.

32 Ejemplos y Aplicaciones

33 Modelos de Autómatas 1D y 3D

34 Modelos de Ejemplos: simulación de sistemas ecológicos Modelos de supervivencia por recursos, colaboración y competencia basadas en reglas Las células representan regiones del dominio habitadas por diferentes especies, las que se modelan como estados

35 Modelos de Aplicaciones: propagación de frentes o variables Propagación de Epidemias (VIH)