OPTIMIZACIÓN NO LINEAL UNIDIMENSIONAL

Transcripción

1 04 de Abril de 2018 OPTIMIZACIÓN NO LINEAL UNIDIMENSIONAL (Parte 1) Postgrado de Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Programación No Lineal José Luis Quintero 1

2 Puntos a tratar 1. Introducción 2. Teoremas de interés 3. Método de bisección 4. Método de falsa posición Programación No Lineal José Luis Quintero 2

3 Introducción Los métodos para obtener la solución de un PPNL se basan en obtener una sucesión de puntos tales que su límite sea una solución óptima del problema que se considera. Para asegurar la convergencia debe suponerse que el PPNL es un problema convexo diferenciable. Sin embargo, estos algoritmos se aplican aún cuando no se satisfacen estas condiciones. Programación No Lineal José Luis Quintero

4 Introducción Considere el problema: Minimizar Z = f ( x) donde y f : R R es una función x R diferenciable para cada x R Programación No Lineal José Luis Quintero

5 Introducción Los métodos se dividen en dos categorías: 1. Los que usan información sobre las derivadas. Se basan en aplicar métodos numéricos. Programación No Lineal José Luis Quintero

6 Introducción 2. Los que sólo usan evaluaciones de la función objetivo. Utilizan, entre otros métodos, fórmulas de interpolación para estimar iterativamente el mínimo de un problema unidimensional. Programación No Lineal José Luis Quintero

7 Puntos a tratar 1. Introducción 2. Teoremas de interés 3. Método de bisección 4. Método de falsa posición Programación No Lineal José Luis Quintero 7

8 Teorema usando la primera derivada Sea f definida en un intervalo abierto I, y suponga que f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en un punto c interior a I. Si la derivadaf'(c) existe, es f'(c) = 0. Programación No Lineal José Luis Quintero 8

9 Teorema usando la primera derivada Suponga f continua en un intervalo cerrado [a,b] y además que existe la derivada en todo punto del intervalo abierto (a,b), excepto posiblemente en un punto c. f'(x) a. Si es positiva para todo y negativa para todo máximo relativo en c f'(x), f tiene un b. Si es negativa para todo y positiva para todo mínimo relativo en c x > c x > c f' x < c x < c, f tiene un Programación No Lineal José Luis Quintero 9

10 Teorema usando la segunda derivada Sea c un punto crítico de f en un intervalo abierto (a,b); esto es, suponga que y. Suponga también que existe la segunda derivada a < c < b f'' f'(c) = 0 en (a,b). Se tiene entonces: a) Si es negativa en (a,b), f tiene un máximo relativo en c f'' f'' b) Si es positiva en (a,b), f tiene un mínimo relativo en c Programación No Lineal José Luis Quintero 10

11 Ejemplo numérico 1 f(x) = x x f'(x) = 0 3x x = 0 x(3x 1) = 0 x = 0,x = f''(x) = 6x 1 f''(0) = 1 < 0, (0,0) 1 1 (, ) f''() = 1 > Máximo relativo Mínimo relativo Programación No Lineal José Luis Quintero 11

12 Ejemplo numérico 1 Programación No Lineal José Luis Quintero 12

13 Ejemplo numérico f(x) = (x 2) 4x f'(x) = = 0 x = 0 3 x 2 + f'(0) > 0,f'(0) < 0 + f'( 2) < 0,f'( 2) > 0 + f'( 2) < 0,f'( 2) > 0 3 (0, 4) ( 2,0);( 2,0) Máximo relativo Mínimo relativo Programación No Lineal José Luis Quintero 13

14 Ejemplo numérico 2 Programación No Lineal José Luis Quintero 14

15 Ejemplo numérico 3 4 f(x) = x 3 f'(x) = 0 4x = 0 x = 0 2 f''(x) = 12x f''(0) = 0 2 f''() ε = 12ε > 0 (0,0) Mínimo relativo Programación No Lineal José Luis Quintero 15

16 Puntos a tratar 1. Introducción 2. Teoremas de interés 3. Método de bisección 4. Método de falsa posición Programación No Lineal José Luis Quintero 16

17 Método de bisección 1. Sea f cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo en un intervalo I que contiene al intervalo [a,b]. 2. Si f es una función continua sobre el intervalo [a,b] y si f'(a)f'(b) < 0, entonces f debe tener un mínimo local (f es cóncava hacia arriba) o un máximo local (f es cóncava hacia abajo) en (a,b). Programación No Lineal José Luis Quintero 17

18 Método de bisección 3. El método de bisección explota esta idea asi: sif'(a)f'(b) < 0, entonces se calcula el 1 iterado como c = 2(a + b) y se investiga si se cumple f'(a)f'(c) < 0. Si lo es, entonces f tiene un cero en [a,c]. Programación No Lineal José Luis Quintero 18

19 Método de bisección Sea f continua en [a,b] y suponga que f'(a).f'(b) < 0, el método de bisección genera una sucesión denotada {c} n que se aproxima a r con la propiedad b a c r ; n 0 n n Programación No Lineal José Luis Quintero 19

20 Método de bisección inicio leer (a,b,iteraciones,cotaerror,cotaimagen) u f'(a) v f'(b) e b-a escribir (a,b,u,v) si signo(u) = signo(v) entonces stop desde k = 1 hasta iteraciones hacer e e 2 c a + e w f'(c) escribir (k,a,u,c,w,b,v,e) si e < cot aerror o w < cot aimagen entonces stop si signo(w) signo(u) entonces b c v w sino a c u w fin_si fin_desde fin Programación No Lineal José Luis Quintero 20

21 Método de bisección Programación No Lineal José Luis Quintero 21

22 Método de bisección 1. El script bisecgraf.m realiza el cálculo de una raíz de una función aplicando el método de bisección. 2. El archivo bisecgraf.m es una función en MATLAB. Para ejecutar el algoritmo escriba en el ambiente MATLAB: bisecgraf('biseccion',2,6,0,7,100) Programación No Lineal José Luis Quintero 22

23 Método de bisección 3. El código de la función biseccion se transcribe a continuación. Llame al script como biseccion.m. La función bisección es a quien se le calcula la raíz. function y = biseccion(x) y = (1-x.*cos(x)).*x; Programación No Lineal José Luis Quintero 23

24 Método de bisección 20 Método de bisección 10 Solucion final x=a x=c f(x) x Programación No Lineal José Luis Quintero 24

25 Orden y tasa de convergencia En el método de bisección se sabe que 1 1(b a) e = c r (b a ) = n n n+ 1 n+ 1 2 n+ 1 n Por otro lado 1 e = c r (b a) n n 2 n n Programación No Lineal José Luis Quintero 25

26 Orden y tasa de convergencia Por lo tanto 1 e e n+ 1 2 n El método de bisección converge r linealmente a con tasa de convergencia igual a ½. Programación No Lineal José Luis Quintero 26

27 Puntos a tratar 1. Introducción 2. Teoremas de interés 3. Método de bisección 4. Método de falsa posición Programación No Lineal José Luis Quintero 27

28 Método de falsa posición Como el método de Bisección converge muy lentamente, se intentó diseñar un método que converja más rápidamente pero con la misma propiedad que el método de Bisección: asegurar la convergencia encerrando la raíz en cada paso. Como antes, se supone quef'(a).f'(b) < 0 y se aproxima el gráfico de f por una recta que pase por los puntos(a,f'(a)) y(b,f'(b)) y la raíz de esta recta c será una aproximación a la raíz r de f (x). Programación No Lineal José Luis Quintero 28

29 Método de falsa posición Se descarta uno de los extremos y se reemplaza por c para obtener un nuevo intervalo que contenga a r y se repite el proceso. La ecuación de la recta será f'(b) f'(a) g(x) = f'(b) + (x b) b a Programación No Lineal José Luis Quintero 29

30 Método de falsa posición Si se llama c a la raíz de esta recta, entonces se tiene g(c) = 0, así que f'(b) f'(a) f'(b) + (c b) 0 b a = por lo tanto b a c = b f'(b) f'(b) f'(a) Programación No Lineal José Luis Quintero 30

31 Método de falsa posición Programación No Lineal José Luis Quintero 31

32 Método de falsa posición inicio leer (a,b,iteraciones,cotaimagen,cotalongitud) u f'(a) v f'(b) escribir (u,v) si signo(u) = signo(v) entonces stop desde k = 1 hasta iteraciones hacer c b v [(b a)( v u) ] w f(c) escribir (k,a,u,c,w,b,v) si w < cot aimagen o b a < cotalongitud entonces stop si signo(w) signo(u) entonces b c v w sino a c u w fin_si fin_desde fin Programación No Lineal José Luis Quintero 32

33 Método de falsa posición Programación No Lineal José Luis Quintero 33

34 Método de falsa posición 1. El script falsi.m realiza el cálculo de una raíz de una función aplicando el método de falsa posición. 2. El archivo falsi.m es una función en MATLAB. Para ejecutar el algoritmo escriba en el ambiente MATLAB: falsi('falsa',0,5,0.001,100) Programación No Lineal José Luis Quintero 34

35 Método de falsa posición 3. El código de la función falsa se transcribe a continuación. Llame al script como falsa.m. La función falsa es a quien se le calcula la raíz. function y = falsa(x) y = x.*x-9; Programación No Lineal José Luis Quintero 35

36 Pensamiento de hoy El modelo sistémico nos brinda, en primer lugar, una manera de concebir la realidad. Pierre Collerette Programación No Lineal José Luis Quintero 36