I.- CONTRASTE LEVIN Y LIN DE RAÍCES UNITARIAS PARA DATOS DE PANEL CON HETEROGENEIDAD EN EL PATRÓN RESIDUAL

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1 I.- COTRASTE LEVI Y LI DE RAÍCES UITARIAS PARA DATOS DE PAEL CO HETEROGEEIDAD E EL PATRÓ RESIDUAL I.A.- Introducción Tras su trabajo inicial de 992, Levin y Lin se centran un año después en el desarrollo de un test de raíces unarias para datos de panel que pueda integrar patrones residuales diferentes para los diferentes individuos de la muestra. Su procedimiento estará diseñado para evaluar la hipótesis nula de que cada individuo del panel exhibe una raíz unaria frente a la alternativa de estacionariedad conjunta. Una vez más se persigue que, dado que la hipótesis nula impone una restricción a lo largo de toda la dimensión transversal (todos los individuos tienen idénticos coeficientes de correlación parcial de primer orden), este test para datos de panel pueda ofrecer una potencia mayor que los aplicados sobre cada individuo separadamente. Este tipo de contrastes es especialmente recomendable allí donde los procedimientos ya existentes son menos potentes o de complejo desarrollo: los paneles de datos de dimensiones temporal y transversal moderadas. Así, si nos enfrentamos a un panel con una gran dimensión temporal (varios cientos de observaciones) y escasa transversal (unos 0 individuos), la aplicación de los tests tradicionales de series parece suficientemente adecuada, asumiendo patrones muy generales de correlación entre individuos. Del mismo modo, en el caso contrario, procedimientos ya existentes propios de los datos de panel (MaCurdy 982, Hsiao 986; Holtz- Eaking et al. 988, Breung y Meyer 994), son apropiados asumiendo, en este caso, patrones muy generales de correlación temporal individual. El procedimiento propuesto por estos autores es notablemente flexible, permiendo la máxima heterogeneidad entre individuos en muchos aspectos. Así, del mismo modo que sus desarrollos previos y en contraste con los trabajos previos de Breung y Meyer (994) y Quah (992) permen incorporar términos independientes y tendencias específicas pero, sobre todo, prevén que la varianza residual y el patrón de la correlaciones seriales de orden superior varíen libremente entre individuos. Es más, los tests propuestos permen detectar consistentemente Es decir, aquellos desarrollados sin considerar la presencia de autocorrelación residual.

2 hipótesis alternativas en las que los coeficientes de autocorrelación parcial varíen también entre individuos. A modo de resumen, y tal como ya ha quedado de manifiesto en apartados previos de esta Tesis, los autores encontrarán que los estimadores y test estadísticos poseen una interesante combinación de las propiedades asintóticas que han sido derivadas para los datos de panel estacionarios (normalidad asintótica e independencia de los términos deterministas), y aquellas que pueden encontrarse en la leratura tradicional de raíces unarias de series temporales (superconsistencia). I.B.- Formalización del procedimiento Se considera el proceso estocástico y para una serie de individuos i..., cada uno de los cuales se observa desde t...t. Se pretende determinar si ese proceso es integrado para cada individuo del panel. Recordemos que todos los individuos del panel, y esta es la única rigidez del procedimiento, compartirán una misma autocorrelación parcial de primer orden pero todos los demás parámetros que definen las perturbaciones del proceso pueden variar libremente de unos individuos a otros. Así, bajo la hipótesis nula, cada serie temporal individual tiene una raíz unaria, siguiendo la serie en diferencias un proceso ARMA estacionario. Bajo la hipótesis alternativa, el proceso y es estacionario sobre una tendencia para cada individuo del panel. Los tres modelos clásicos de proceso generador de datos para y y las hipótesis que se contrastan son las siguientes 2 : 2 Para resaltar la similud de la exposición de la parte inicial de este procedimiento con el caso individual del test DF, se ha respetado en esta sección la notación utilizada en el epígrafe correspondiente a la exposición del test DF del documento de trabajo sobre los Conceptos Básicos en Torno a la Estacionariedad en series Temporales que se acompaña como anexo a esta Tesis, aún a costa de renunciar a la utilizada por los autores en texto original y por mí mismo en otros apartados previos de esta tesis referidos a aportaciones de estos mismos autores.

3 (Tabla ) Modelos de contraste y definición de hipótesis para el test heterogéneo de Levin y Lin MODELO H0 H () γ i y + ε (La serie y tiene media cero para cada individuo del panel) (2) a0i + γ i y + ε (La serie y tiene media específica para cada individuo, pero no contiene tendencia temporal). γ i 0 para todo i,... γ i 0, a 0i 0 para todo i,... γ i <0 para todo i,... γ i <0, a 0i R para todo i,... (a) (3) a0i + ai t + γ i y + ε (La serie y tiene media y tendencia específica para cada individuo) γ i 0, a i 0 para todo i,... γ i <0, a i R para todo i,... (b) (a) (b) Bajo la hipótesis nula γ i 0, un valor no nulo de a 0i generaría una tendencia temporal en la serie en niveles (y ) ausente en el modelo teórico considerado para la misma. Bajo la hipótesis nula γ i 0, un valor no nulo de a i generaría una tendencia temporal cuadrática en la serie en niveles( y ) ausente en el modelo teórico considerado para la misma. La perturbación ε se distribuye de forma independientemente entre individuos y sigue un proceso ARMA estacionario e invertible para cada uno de ellos 3 : ε j 0 θ ij ε j + e cumpliendo las condiciones de presencia de órdenes finos, necesarias para la convergencia del procedimiento de Phillips (987) y Phillips-Perron (988) 4. 3 Asunción que se corresponde con las condiciones de Said y Dickey (994) para la convergencia de los procedimientos del test ADF. 4 La perturbación aleatoria presenta momentos finos de cuarto orden, la varianza innovacional está acotada en el cero en su lime inferior y la varianza en la frecuencia cero (o a largo plazo) está acotada superiormente en algún valor fino.

4 La construcción de los contrastes propuestos para este contexto puede abordarse completando las etapas que forman el siguiente esquema básico: Etapa.- Filtro de dependencia transversal Como ya se ha mencionado en otras partes de esta Tesis, los tests propuestos por estos y otros autores requieren que los datos hayan sido generados independientemente para el corte transversal considerado. Sin embargo, en un modelo de datos de panel estacionario, se perme la presencia de una limada dependencia en virtud de la presencia de efectos específicos de naturaleza temporal comunes a todos los individuos. La posible existencia de estos efectos en los datos observados obliga a filtrar los mismos mediante alguna transformación que no interfiera en la aplicación posterior de los estadísticos de contraste. La más simple, inocua, y común de las transformaciones de este tipo, capaz de eliminar factores comunes que tengan idéntico impacto en cada individuo del panel, consiste en sustraer a las series y las medias transversales calculadas conforme a la expresión 5 : y t i y A fin de simplificar la notación que se utilizará en el resto de etapas del procedimiento, se considerará que y es ya la serie filtrada de estos efectos temporales comunes entre individuos. Etapa 2.- Estimación, para cada individuo del panel, de las regresiones auxiliares ADF necesarias para construir posteriormente el test único de datos de panel La expresión de partida para el contraste de la raíz unaria en cada serie individual es la correspondiente a la forma convencional del test ADF: γ i y p i + β il L + ami d mt + ε L 5 Existen otras transformaciones más elaboradas que permen eliminar el efecto de patrones de correlación contemporánea más complejos. Algunas de ellas pueden observarse con detalle en Quah y Sargent (993).

5 como se observará, las novedades introducidas en la expresión para su adaptación al contexto en que nos movemos son las siguientes: El número de retardos de la variable en diferencias incluidos en la especificación (p i ) puede ser diferente para cada individuo considerado Los términos a mi y d mt no son más que representaciones abreviadas de los parámetros y variables deterministas que podemos incluir en el modelo de regresión. Así, d mt indica el vector de variables deterministas incluidas y a el vector de coeficientes para cada uno de los posibles modelos de partida propuestos en la tabla inicial m,2 ó 3. Por tanto, d t φ, d 2t {}y d 3t {,t}. En lugar de estimar en un solo paso la regresión anterior, pueden realizarse dos regresiones auxiliares: f p i L β il L, ami d mt, e y p i f β 2iL y L, a2mi d mt, v L computándose después: eˆ p i L βˆ a il L ˆ mi d mt vˆ p i y β ˆ 2iL L aˆ 2mi L d mt para estimar finalmente la ecuación: eˆ γ ˆ + ε iv El test de raíces unarias aplicado sobre el conjunto del panel partirá de la estimación de una ecuación análoga a la anterior para cada individuo i; así pues, llegados a este punto, tenemos un conjunto de valores de γ.

6 El test, impondrá la restricción de un mismo coeficiente γ bajo la nula y la alternativa. Por tanto, a fin de controlar la heterogeneidad entre individuos, antes de ser calculado ese estadístico global, se procede normalizando los componentes innovacionales estimados e así como el retardo ortogonalizado v - utilizando el error estándar de la regresión calculado como: ( e iv ) 2 σˆ ei ˆ γ T p i T t pi quedando: e e ˆ σˆ ei vˆ v σˆ ei Asintóticamente, las innovaciones e estarán independiente e idénticamente distribuidas para todos los individuos i,... y períodos temporales t,...t. La regresión final, para toda la muestra, podrá entonces expresarse así: e γ + ε v estimándose el parámetro γ por MCO como: γˆ T v e i t 2+ pi T v 2 i t 2+ pi sobre una muestra de T con: T ( T p ) y p i p i

7 para, finalmente calcular el estadístico t como: γˆ t γ ES( γˆ) donde: ˆ σ ε T i t 2+ pi ( e γˆ v ) T 2 ES( γˆ) ˆ σ ε T v 2 i t 2+ pi Etapa 3.- Corrección de la razón t para muestras pequeñas y modelos con componentes deterministas De modo análogo a los resultados revisados en los apartados previos, la convergencia asintótica de la razón t a una normal estándar requiere un ajuste del coeficiente calculado tanto en términos de media como de desviación típica. Efectivamente, el análisis de las propiedades asintóticas del test anterior llevado a cabo por Levin y Lin reflejó que, supuesto un crecimiento del orden del retardo ADF, p max, a una razón T P con 0<p /4 y del orden de truncamiento K a una razón T q con 0<q<, entonces bajo la hipótesis nula γ0 el test t tiene, para el modelo más sencillo, una distribución normal estándar, pero en presencia de tendencia determinista y término independiente, diverge a menos infino. En todo caso, además de lo anterior, la corrección es deseable en el espacio fino incluso para el caso del modelo más restringido. La corrección del parámetro t se apoya en el cálculo previo de la razón entre las desviaciones estándar a corto y largo plazo para cada individuo s i : σˆ sˆ i σˆ yi ei y el medio para el total de la muestra S

8 Sˆ ˆ s i i El cálculo de la varianza a largo plazo se realiza conforme a la expresión sugerida por Phillips (986) 6 : σ 2 yi T T K T wkl T t 2 L t 2+ L L 2 donde el término w KL representa la ponderación elegida para cada una de las autocovarianzas muestrales y para cuya selección debe observarse la precaución de no generar un valor negativo para el total del cálculo. Tal y como se desarrolla en el apartado correspondiente al test PP del documento de trabajo en torno al análisis de la estacionariedad en series temporales adjuntado como anexo a esta Tesis, Phillips (986) y Phillips y Perron (988) sugerían utilizar los pesos de Bartlett en línea con ewey y West (987): L w KL K + siendo K el orden de truncamiento (truncation lag) considerado 7. En el caso del modelo con tendencia debe observarse una precaución operativa importante. Antes de computar la varianza a largo plazo debe eliminarse la presencia de la tendencia reemplazándose los términos (y obviamente sus retardos) por la media del valor de para el individuo i. siendo 6 Si se compara esta expresión con la sugerida para el caso del test PP aplicado a las series temporales, podrá observarse que, en este caso, el autor opta por el cálculo de la varianza a partir de la variable en primeras diferencias, en lugar de utilizar los niveles. Esto se apoya en los resultados obtenidos por Schwert (989), que indicaban que, de esta forma, el sesgo cometido en muestras pequeñas es menor que el cometido si se utiliza el residuo de la regresión: uˆ y ρi y 7 En el caso del test PP aplicado a las series temporales, se sugería la recomendación de Schwert (987 y 989) tomando K (entonces l ) en función del número de datos según las expresiones: ˆ 4 4 T 2 T K ; K

9 Llegados a este punto, sólo cabe escribir la expresión final propuesta por los autores para el cálculo de la razón t corregida: ˆ 2 t ( ˆ) * γ TS σ ε ES γ γ * σ mt t µ * mt donde los parámetros de ajuste para la media y la varianza * µ T m y * σ T m se derivaron de simulaciones de Monte Carlo y se presentan tabulados en Levin y Lin (993) para cada uno de los tres procesos generadores de datos propuestos, una dimensiónt entre 25 y 250 observaciones y un parámetro K entre 9 y 20. La dimensión se fijó en 250 en todos para el cálculo de los factores de ajuste.

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