Teoría de Riesgo Una perspectiva histórica y contemporánea. M. Bladt Universidad Nacional Autónoma de México
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- Gerardo del Río Valenzuela
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1 Teoría de Riesgo Una perspeciva hisórica y conemporánea M. Blad Universidad Nacional Auónoma de México Jornadas de Posgrado, 2012
2 Origen: Johannes Nikolaus Teens El érmino riesgo aparece por primera vez en conexión con anualidades en 1785 por Johann Nikolaus Teens. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
3 Origen: Johannes Nikolaus Teens El érmino riesgo aparece por primera vez en conexión con anualidades en 1785 por Johann Nikolaus Teens. Teens ( ), nacido en Holsein, Alemania, y educado en física y filosofía, era funcionario ane la cámara de finanzas en Copenhague, Dinamarca, subdirecor del banco esaal danés y direcor del fondo de pensión para viudas. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
4 Origen: Johannes Nikolaus Teens El érmino riesgo aparece por primera vez en conexión con anualidades en 1785 por Johann Nikolaus Teens. Teens ( ), nacido en Holsein, Alemania, y educado en física y filosofía, era funcionario ane la cámara de finanzas en Copenhague, Dinamarca, subdirecor del banco esaal danés y direcor del fondo de pensión para viudas. En 1785 publicó Einleiung zur Berechnung der Leibrenen und Anwarschafen (Inrodución al cálculo de pensiones y reclamaciones) donde aparece el érmino risiko der casse (riesgo para la caja/aseguradora). IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
5 Teoría de Riesgo: pasos iniciales Teens es reconocido por los acuarios como la primera obra que usa riesgo como una medida propia (un medio de la desviación esandar). IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
6 Teoría de Riesgo: pasos iniciales Teens es reconocido por los acuarios como la primera obra que usa riesgo como una medida propia (un medio de la desviación esandar). Aneriormene hubo publicaciones de e.g. Halley (1693) sobre anualidades vialicias IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
7 Teoría de Riesgo: pasos iniciales Teens es reconocido por los acuarios como la primera obra que usa riesgo como una medida propia (un medio de la desviación esandar). Aneriormene hubo publicaciones de e.g. Halley (1693) sobre anualidades vialicias o de Richard Price Observaions on reversionary paymens (pensión para viudas) en IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
8 Teoría de riesgo clásica La probabilidad p de sufrir una perdida de S iene un prima jusa P dado por P = ps. Más generalmene, si S es esocásico con función de disribución F, enonces Z P = E(S)= 0 xdf(x). IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
9 Teoría de riesgo clásica La probabilidad p de sufrir una perdida de S iene un prima jusa P dado por P = ps. Más generalmene, si S es esocásico con función de disribución F, enonces Z P = E(S)= xdf(x). 0 Teens propuso como medida de riesgo Z Z R = (x P)dF(x)= 1 x P df(x), P 2 0 i.e. la pérdida esperada de la compañía si la reclamación provoca una pérdida. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
10 Teoría de riesgo clásica La probabilidad p de sufrir una perdida de S iene un prima jusa P dado por P = ps. Más generalmene, si S es esocásico con función de disribución F, enonces Z P = E(S)= xdf(x). 0 Teens propuso como medida de riesgo Z Z R = (x P)dF(x)= 1 x P df(x), P 2 0 i.e. la pérdida esperada de la compañía si la reclamación provoca una pérdida. Ejemplo: Dos riesgos: una pérdida de 100 con probabilidad 0.1 y una de 1000 con probabilidad Ambos ienen una prima jusa de 10 (10 = 100 0,1 = ,01) pero R 1 = 1 (10 0, ,1) = 9 2 R 1 = 1 (10 0, ,01) = 9,9 2 IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
11 Teoría de riesgo clásico Se reconoció que era más prácico rabajar con la desviación esándar que con la desviación media por lo que se propuso una medida alernaiva de riesgo, 1/ 2M donde Z M 2 = 0 (x P) 2 df(x). IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
12 Teoría de riesgo clásico Se reconoció que era más prácico rabajar con la desviación esándar que con la desviación media por lo que se propuso una medida alernaiva de riesgo, 1/ 2M donde Z M 2 = 0 (x P) 2 df(x). Para el ejemplo de arriba, M 1 = 30 y M 2 = 99. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
13 Teoría de riesgo clásico Se reconoció que era más prácico rabajar con la desviación esándar que con la desviación media por lo que se propuso una medida alernaiva de riesgo, 1/ 2M donde Z M 2 = 0 (x P) 2 df(x). Para el ejemplo de arriba, M 1 = 30 y M 2 = 99. Ese era el inicio de diferenciar riesgo por más que su valor esperado. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
14 Teoría de riesgo clásico Se reconoció que era más prácico rabajar con la desviación esándar que con la desviación media por lo que se propuso una medida alernaiva de riesgo, 1/ 2M donde Z M 2 = 0 (x P) 2 df(x). Para el ejemplo de arriba, M 1 = 30 y M 2 = 99. Ese era el inicio de diferenciar riesgo por más que su valor esperado. Anecendenes en esa dirección es por ejemplo la conocida paradoja de S. Peerburgo de Daniel Bernoulli (1738), inroduciendo funciones de uilidad (en ese caso la función logarimica). IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
15 Teoría de riesgo clásico Barrois (1834) reomó la idea de Bernoulli y propuso para el caso de seguros conra incendios que una prima P para una coningencia x F es acepable por ambas pares si Z 0 w(s x)df(x) apple w(s P), donde S es la riqueza del asegurado y w es la función de uilidad. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
16 Teoría de riesgo clásico Barrois (1834) reomó la idea de Bernoulli y propuso para el caso de seguros conra incendios que una prima P para una coningencia x F es acepable por ambas pares si Z 0 w(s x)df(x) apple w(s P), donde S es la riqueza del asegurado y w es la función de uilidad. Von Neumann y Morgensern hicieron poseriormene oda una eoría sobre dicho méodo, desembocando en la eoría de decisiones y riesgo en economía (Borch). IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
17 Lundberg: eoría coleciva de riesgo Mejor palabra que colecivo hubiese sido dinámico. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
18 Lundberg: eoría coleciva de riesgo Mejor palabra que colecivo hubiese sido dinámico. Sin el uso de la eoría de probabilidad formal, Filip Lundberg ( ), inrodujo una eoría basada en el modelo de un presa, pensando en la llegada de primas como un flujo a una presa y la presa libera cargas de reclamaciones de vez en cuando. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
19 Lundberg: eoría coleciva de riesgo Mejor palabra que colecivo hubiese sido dinámico. Sin el uso de la eoría de probabilidad formal, Filip Lundberg ( ), inrodujo una eoría basada en el modelo de un presa, pensando en la llegada de primas como un flujo a una presa y la presa libera cargas de reclamaciones de vez en cuando. La inovación en esa imagen es que no se habla de una póliza o un número fijo de polizas pero en un número dinámico de polizas y aunque el negocio de las primeras polizas cuasaría pérdidas, es probable que habrín nuevas polizas que causarían el efeco opueso. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
20 Teoría de ruina R U 3 u U 1 U 2 U 4 S 1 S 2 S 3 S 4 Figura : Modelo básico de la reserva IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
21 Teoría de Riesgo clásico Con el concepo de ruina y sus probabilidades, (u) = P(inf 0apple< R < 0 R 0 = u) (u, T) = P(inf 0appleappleT R < 0 R 0 = u), había nacido una nueva área en la probabilidad (aplicada). IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
22 Teoría de Riesgo clásico Con el concepo de ruina y sus probabilidades, (u) = P(inf 0apple< R < 0 R 0 = u) (u, T) = P(inf 0appleappleT R < 0 R 0 = u), había nacido una nueva área en la probabilidad (aplicada). Harald Cramér ( ) hizo grandes conribuciones al esablecer resulados rigurosos. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
23 Teoría de Riesgo clásico Con el concepo de ruina y sus probabilidades, (u) = P(inf 0apple< R < 0 R 0 = u) (u, T) = P(inf 0appleappleT R < 0 R 0 = u), había nacido una nueva área en la probabilidad (aplicada). Harald Cramér ( ) hizo grandes conribuciones al esablecer resulados rigurosos. El modelo con arribos ipo Poisson, reclamaciones generales e incremenos lineales (prima consane) se refiere al modelo de Cramér Lundberg. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
24 Teoría de Riesgo clásico Con el concepo de ruina y sus probabilidades, (u) = P(inf 0apple< R < 0 R 0 = u) (u, T) = P(inf 0appleappleT R < 0 R 0 = u), había nacido una nueva área en la probabilidad (aplicada). Harald Cramér ( ) hizo grandes conribuciones al esablecer resulados rigurosos. El modelo con arribos ipo Poisson, reclamaciones generales e incremenos lineales (prima consane) se refiere al modelo de Cramér Lundberg. La probabilidad de ruina no esa explíciamene disponible salvo en casos conados: reclamaciones ipo exponencial, gamma o ipo fase. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
25 Teoría de Riesgo clásico Con el concepo de ruina y sus probabilidades, (u) = P(inf 0apple< R < 0 R 0 = u) (u, T) = P(inf 0appleappleT R < 0 R 0 = u), había nacido una nueva área en la probabilidad (aplicada). Harald Cramér ( ) hizo grandes conribuciones al esablecer resulados rigurosos. El modelo con arribos ipo Poisson, reclamaciones generales e incremenos lineales (prima consane) se refiere al modelo de Cramér Lundberg. La probabilidad de ruina no esa explíciamene disponible salvo en casos conados: reclamaciones ipo exponencial, gamma o ipo fase. Mucho rabajo en el área ha raado de aproximar probabilidades ruina (e.g. aprox. de Cramér Lundberg) IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
26 Disribuciones ipo fase Marcel F. Neus (1935 ) : Desarrolló la eoría de disribuciones ipo fase con aplicaciones principalmene en el área de colas. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
27 Disribuciones ipo fase Marcel F. Neus (1935 ) : Desarrolló la eoría de disribuciones ipo fase con aplicaciones principalmene en el área de colas. Agner Krarup Erlang ( ), pionero en elecomunicaciones. Trabajó como primero con convoluciones de iempos exponencialmene disribuidos para modelar la duración de llamadas elefónicas. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
28 Disribuciones ipo fase X p + 1 p IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
29 Disribuciones ipo fase X p + 1 p IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
30 Disribuciones ipo fase X p + 1 p IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
31 Disribuciones ipo fase X p + 1 p IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
32 Disribuciones ipo fase X p + 1 p IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
33 Disribuciones ipo fase X p + 1 p IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
34 Disribuciones ipo fase X p + 1 p IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
35 Disribuciones ipo fase X p + 1 p IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
36 Disribuciones ipo fase X p + 1 p IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
37 Disribuciones ipo fase R X 1 X 2 X 3 u X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5 I IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
38 Disribuciones ipo fase Maríz de inensidad del proceso subyacene T Tp p p 1 = = p IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
39 Disribuciones ipo fase Maríz de inensidad del proceso subyacene T Tp p p 1 = = p Maríz de ransición P s = exp( s)= e Ts e e Ts e IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
40 Disribuciones ipo fase Maríz de inensidad del proceso subyacene T Tp p p 1 = = p Maríz de ransición Densidad: implicando P s = exp( s)= e Ts e e Ts e 0 1 f (x)dx = P( 2 (x, x + dx]) px = ip x ij jdx i,j=1 X Ä = i e Tx ä ij jdx i,j=1 = e Tx dx. f (x)= e Tx... IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
41 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
42 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
43 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
44 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
45 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
46 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
47 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
48 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
49 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
50 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
51 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j.
52 Disribuciones ipo fase X p u(x)=probabilidad de un arribo en [x, x + dx). Enonces el proceso concaenado iene maríz de inensidad R = T + : r ij dx = ij dx + i dx j. IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
53 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5
54 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5
55 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5
56 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5
57 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5
58 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5
59 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5
60 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5
61 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5
62 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5 (u)= + e (T+ +)u e, + = p T 1
63 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5 (u)= + e (T+ +)u e, + = p T 1
64 u X 1 X 2 Ruina con ipo fase R X 3 X 4 S 1 S 2 S 3 S 4 X 5 (u)= + e (T+ +)u e, + = p T 1 IIMAS, Teoría de Riesgo, Jornadas de Posgrado
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