Introducción a la Representación en Variable de
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- Silvia Nieto Castilla
- hace 6 años
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1 ELC-3303 Teoría de Conrol Inrodcción a la Represenación en Variable de Esado Prof. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org hp:// Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
2 . Teoría de Conrol Moderna La endencia moderna en los sisemas de ingeniería es hacia na mayor complejidad debido principalmene a los reqerimienos de las areas complejas y la elevada precisión. Los sisemas complejos peden ener enradas y salidas múliples y peden variar en el iempo. Desde 960 se ha desarrollado la eoría de conrol moderna qe es n nevo enfoqe del análisis y diseño desisemas de conrol complejos. lj Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
3 . Teoría de Conrol Moderna Ese enfoqe nevo se basa en el concepo de esado. El concepo por sí mismo no es nevo. Ha eisido drane largo iempo en el campo de la dinámica clásica y en oros medios. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
4 . Teoría Convencional vs. Moderna La eoría de conrol moderna se aplica a sisemas con enradas y salidas múliples qe peden ser lineales o no lineales. Laeoría moderna es esencialmene n enfoqe fq en el dominio del iempo. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
5 . Teoría Convencional vs. Moderna La eoría convencional sólo se aplica a sisemas lineales con na enrada y na salida e invarianes con el iempo. La eoría de conrol convencional es n enfoqe complejo en el dominio de la frecencia. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
6 3. Esado El esado de n sisema dinámico es el conjno más peqeño de variables (denominadas variables de esado de modo qe el conocimieno de esas variables en 0 jno con el conocimieno de la enrada para 0 deermina por compleo el comporamieno del sisema para calqier iempo 0. El concepo de esado de ningún modo esá limiado a los sisemas físicos. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
7 4. Variable de Esado Las variables de esado de n sisema dinámico son las qe forman el conjno más peqeño de variables qe deerminan el esado del sisema dinámico. Si se necesian al menos n variables... n n para describir por compleo el comporamieno de n sisema dinámico (por lo cal na vez qe se proporciona la enrada para 0 yseespecifica el esado inicial en 0 el esado fro del sisema se deermina por compleo ales n variables son n conjno de variables de esado. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
8 4. Variable de Esado Las variables de esado no necesian ser canidades medibles observables físicamene. Las variables qe no represenan canidades físicas y aqellas qe no son medibles ni observables peden seleccionarse como variables de esado. La liberad al elegir las variables de esado es na venaja de los méodos de espacio de esados. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
9 4. Variable de Esado En la prácica es conveniene elegir canidades qe se midan con facilidad para las variables de esado si es posible debido a qe las leyes del conrol ópimo reqerirán la realimenación de odas las variables de esado con na ponderación conveniene. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
10 5. Vecor de Esado Si se necesian n variables de esado para describir por compleo el comporamieno de n sisema deerminado esas n variables de esado se consideran los n componenes de n vecor. Ese vecor se denomina vecor de esado. El vecor de esado deermina de manera única el esado del sisema ( para calqier iempo 0 na vez qe se obiene el esado en 0 y se especifica laenrada ( ( para 0. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
11 6. Espacio de Esados El espacio de n dimensiones cyos ejes de coordenadas esán formados por el eje el eje... eleje n se denomina espacio de esados. Calqier esado pede represenarse mediane n pno en el espacio de esados. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
12 7. Ecaciones de Esado En el análisis en el espacio de esados hay res ipos de variables involcrados en el modelado de sisemas dinámicos: Variables de enrada Variables de salida y Variables de esado. No es única la represenación de esado para n sisema deerminado ecepo en qe la canidad de variables ibl de esado d es igal para calqiera de las diferenes represenaciones en el espacio de esados del mismo sisema. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
13 7. Ecaciones de Esado Sponga qe n sisema de enradas y salidas múliples coniene n inegradores. También sponga qe eisen r enradas ( r ( y m salidas y ( y (... y m (. Definan salidas de los inegradores como variables de esado: l ( (.. n (. l n Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
14 7. Ecaciones de Esado A coninación el sisema se describe mediane: ( f ( & K K n r ( f ( & K K n r ( f ( & n n K K n r Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
15 7. Ecaciones de Esado Las salidas del sisema y y y m (mediane: ( ( ( ( g y g y r n r n K K K K ( ( g y r n K K ( ( g y r n m m K K Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008 Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado
16 7. Ecaciones de Esado Se definen: ( ( f r n K K ( ( ( ( ( ( f f r n r n K K f ( n ( f r n n K K ( ( y y ( ( g g r n r n K K K K ( ( ( ( ( y y y ( ( ( g g r n n r n K K g ( ( ( r Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008 Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado ( y m ( r
17 7. Ecaciones de Esado De al modo qe las ecaciones aneriores peden ser epresadas en na forma mas compaca por medio de: ( ( & f ( ( y g La primera es la ecación de esado y la segda es la ecación de la salida. Si las fnciones vecoriales f y/o g involcran eplíciamene el iempo el sisema se denomina sisema variane con el iempo. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
18 7. Ecaciones de Esado Si se linealizan las ecaciones alrededor del esado de operación se ienen las sigienes ecaciones de esado y de salida linealizadas: & ( A ( ( B ( ( y( C( ( D( ( endonde: d A( se denomina mariz de esado B( mariz i deenrada d C( mariz de salida D( mariz de ransmisión direca. Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
19 7. Ecaciones de Esado & ( A ( ( B ( ( y ( C( ( D( ( ( ( & ( d y( Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
20 7. Ecaciones de Esado Si las fnciones vecoriales f y g no involcran el iempo eplíciamene el sisema se denomina sisema invariane con el iempo. & ( A ( B ( y( C( D( Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
21 8. Ejemplo Considere el sisema mecánico de raslación. ( k m f y( Spone qe el sisema es lineal. l La ferza eerna ( es la enrada para el sisema y el desplazamieno y( de lamasaeslasalida. l lid Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
22 8. Ejemplo El desplazamieno y( se mide a parir de la posición de eqilibrio en asencia de na ferza eerna. Ese sisema iene na sola enrada y na sola salida. ' F r F r amorigador resore y' m&& y Fresore Famorig r r F enrada d ( Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
23 8. Ejemplo m && y by & ky Ese sisema es de segndo orden lo cal significa qe el sisema coniene dos inegradores. Se definen las variables de esado (y (como ( ( y ( y & ( Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
24 8. Ejemplo De al modo qe se logra: O & & m & m ( ky by& k b & m m m Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
25 8. Ejemplo La ecación de salida resla ser: En forma maricial: Y & & 0 k m 0 b m 0 m Y [ ] 0 Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
26 8. Ejemplo Observando la represenación esándar de las ecaciones de esado resla: Donde: & ( A( B( y ( C ( D ( A 0 k b m m 0 mm B [ 0] C D 0 Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
27 8. Ejemplo La represenación en diagramas de bloqe del sisema mecánico. m & b m y k m Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
28 9. Ejemplo Considere el sisema RLC serie: ( v i i ( v c ( R L C Se esablecen las ecaciones qe definen el comporamieno dl del sisema. i Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
29 9. Ejemplo La ecación de la malla resla ser: ( di v ( i L Ri d ( v ( La diferencia de poencial en el capacior esa relacionado con la corriene por: i ( C dvc d ( c Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
30 9. Ejemplo Se reagrpan las ecaciones paa despejar las respecivas derivadas; ( di v ( i L Ri d i ( C dvc d ( ( v ( c ( R R i( v ( v ( di d L L c L c ( dv c d C i( Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
31 9. Ejemplo Epresando las relaciones combinadas en noación maricial resla: ( di d dv c ( d C R L i i( R L L ( v ( v ( i& v c i R L R L i & v c 0 c 0 C L v i Inrodcción a Represenación en Espacio de Esado Dr. Francisco M. Gonzalez-Longa fglonga@ieee.org Copyrigh 008
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