Estudios de Economía Aplicada Asociación de Economía Aplicada ISSN: ESPAÑA

Transcripción

1 Esdios de Economía Aplicada Asociación de Economía Aplicada ISSN: ESPAÑA 003 M.V. Fernández / J.G. Cabello / C. Sánchez Gonzalez EQUILIBRIO DINÁMICO A LARGO PLAZO EN UN MODELO DE ESPACIO DE ESTADOS BAJO CONTROLABILIDAD SIMÉTRICA Esdios de Economía Aplicada abril año/vol. número 00 Asociación de Economía Aplicada (ASEPELT) Madrid España pp. 09-

2 E STUDIOS DE ECONOMÍA APLICADA VOL. - I 003. PÁGS. 09- Eqilibrio dinámico a largo plazo en n modelo de espacio de esados bajo conrolabilidad simérica * FERNÁNDEZ M.V. * CABELLO J.G. y ** SÁNCHEZ C. * Deparameno de Maemáica Aplicada. ** Deparameno de Méodos Caniaivos. Faclad CC.EE. y Empresariales. Universidad de Granada. Camps de Carja. 807 Granada. España. Tlf: Fax: mvfm@gr.es RESUMEN En nmerosas ocasiones el comporamieno dinámico de na deerminada variable económica se ve inflenciado por la condca opimizadora de los agenes qe inervienen en la economía. Esa variable económica qe denominaremos variable de esado se percibe de manera disina por cada no de los agenes y en el proceso opimizador inherene a la oma de decisones da lgar a respesas diferenciadas para cada no de ellos. Esas respesas consiyen los érminos de conrol sobre la variable de esado y conforman el comporamieno fro de la misma. La respesa de los agenes depende no sólo de la percepción qe los mismos ienen sobre la variables de esado sino ambién de las expecaivas qe formlan sobre el comporamieno de los oros agenes qe ineraccionan en el sisema. En definiiva en la evolción emporal de la variable de esado inerviene no sólo el comporamieno inercial del sisema a largo plazo sino ambién las acaciones en qe se plasman las decisiones opimizadoras de los agenes siendo esas úlimas dependienes de s percepción del sisema y de las expecaivas qe formlan acerca del comporamieno opimizador de oros agenes. En el modelo qe se presena a coninación spondremos por simplicidad na única variable de esado y dos agenes cyo comporamieno es simérico por lo qe basará analizar el de no de ellos para generalizar los reslados para el oro. Uno de los ejemplos más comnes qe es posible analizar bajo esa ópica es el relaivo a la condca de dos oligopolisas. La variable de esado sería la canidad conjna lanzada por ambos al mercado en ano qe las variables de conrol serían las canidades prodcidas por cada no de ellos. Palabras clave: Conrol ópimo mliplicadores dinámicos de Lagrange programación dinámica. Clasificación del aríclo según el sisema del JEL: C6. Aríclo recibido el 6 de jnio de 00. Acepado el 5 de noviembre de 00.

3 0 M.V. Fernández J.G. Cabello y C. Sánchez. INTRODUCCIÓN Spongamos na ciera ecación de esado en la qe represena el esado en el momeno y dos agenes y qe observan esa variable de esado de manera disorsionada a ravés de z y de z respecivamene. z = hx v v ~ N(0 σv ) z = h x v v ~ N(0 σv ). donde v y v son perrbaciones aleaorias. Los agenes escogen na esraegia a segir para con esa realidad: i (variable de conrol) qe represena la esraegia del agene i en el momeno. Spongamos qe la ecación de esado es x = x w donde son consanes y w es la componene esocásica (o rido) de forma qe w ~ N(0σ w ). Spongamos además qe cada no de los agenes iene na fnción objeivo qe desea opimizar T Fi = 0 ( β) siendo β n facor de desceno y F i na fnción qe en cada momeno depende de la percepción de la realidad z i qe posee el agene i de s esraegia i y de la esraegia qe espera qe escoja el oro agene j y qe represenaremos por Ei( j ) i j = i j es decir F = F ( z E ( )) F = F ( z E ( )) El problema consise enonces en delimiar condiciones sobre las fnciones F i condiciones qe permian llevar a cabo n problema de maximización de la fnción objeivo para qe la esraegia escogida por cada no de los agenes sea en efeco la esraegia ópima. De esa forma se obienen como solciones del problema de maximización na scesión de variables de conrol { i} siendo i = Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

4 EQUILIBRIO DINÁMICO A LARGO PLAZO EN UN MODELO DE ESPACIOS DE ESTADOS... Nos pregnamos si podemos expresar la fnción objeivo dependiene sólo de las variables de esado (enendiendo como z i la variable de esado disorsionada) y de conrol respecivamene. Sponiendo qe exisa al menos na siación Q = ( z E ( ). Fi ( zi i Ei( j )) = 0 F F i i. ( Q) ( Q) exisen y son coninas zi i F Q i 3. ( ) 0 Ei( j ) i i i j en la cal: enonces gracias al Teorema de la Fnción Implícia podemos afirmar qe exise na única fnción conina y diferenciable f i en n enorno de Q al qe E ( ) = f ( z ). i j i i i Ese hecho iene el significado de qe el sjeo i para cada momeno no espera la misma esraegia del sjeo j. Nos ineresa expresar na variable como fnción de las oras dos con la finalidad de simplificar el problema de parida. Así pes asmiremos qe E ( ) = f ( z ) () E ( ) = f ( z ) () Obsérvese qe el problema común a los dos agenes de maximizar s fnción objeivo pede redcirse a n único problema dado qe exise na simería oal en el esdio de no y oro caso. Así pes en lo scesivo nos referiremos únicamene al problema analizado desde el pno de visa del primer agene. El problema inicial de opimización por pare del primer agene es el sigiene: T Maximizar F ( z E( )) siendo β > 0 {... 0 } 0 ( ) T β = sjeo a x = x w con w ~ N(0 σ ). w Sabemos qe la percepción de la realidad qe iene el agene es z hx v =. Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

5 M.V. Fernández J.G. Cabello y C. Sánchez Ese hecho y la ecación () permien escribir F = F ( hx v f ( z )) = F ( hx v f ( hx v )) = G ( x ) es decir hemos expresado F como la fnción G qe depende sólo de la variable de esado x y de la variable de conrol. Por ello el nevo programa de opimización es T Maximizar G ( x ) siendo β > 0 ( P) {... 0 } 0 ( ) T β = sjeo a x = x w con w ~ N(0 σw ). Así pes el principal reslado de ese epígrafe es el sigiene: TEOREMA.0.. Si G es na fnción cóncava y la fnción f al qe E ( ) = f ( z ) es na fnción derivable con coninidad enonces el problema (P) iene solción. De forma analíica la condición de concavidad spesa para la fnción G se radce en la verificación de las sigienes condiciones para odo insane :. Ambas Gi para i =. G. 0. i < ( ) G i Gi G i G i G x i i de donde se obiene qe ( ) ( i ) x i ( i ) Gi ( ) 3. > < < 0. Para deerminar las condiciones qe la fnción objeivo debe verificar a fin de qe exisa solción en el anerior problema de maximización procedemos a s resolción. Ese es n programa de opimización de na fnción de dos variables sjea a resricciones de igaldad por lo qe se reselve por el méodo de los mliplicadores (dinámicos) de Lagrange. Para ello en primer lgar se consrye la fnción Lagrangiana qe resla ser Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

6 EQUILIBRIO DINÁMICO A LARGO PLAZO EN UN MODELO DE ESPACIOS DE ESTADOS... 3 T λ() Lx ( λ( )) = G ( x ) ( x x w ) = 0 ( β) ( β) = 0... T. A coninación se calclan los pnos qe anlan simláneamene odas las derivadas parciales de la fnción Lagrangiana considerada ésa como fnción de las variables x i * * * y λ(). Es decir los pnos críicos condicionados son odos aqellos p = ( x ) ales * * qe ( x λ ( )) son solción del sisema de ecaciones para cada momeno = 0... T. () 0 L = λ() = 0 ( β) ( β) L = ( x x w ) 0 = λ() ( β) L = λ = x ( β) x ( β) A fin de simplificar la noación en lo scesivo nos referiremos a la resricción del problema como na fnción g. Es decir spondremos qe gx ( ) = x x w. Nóese qe de las dos primeras ecaciones pede exraerse n valor común para λ(). Sponiendo qe las consanes 0 se iene = λ() x β G = λ() β gx ( ) = 0 Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

7 4 M.V. Fernández J.G. Cabello y C. Sánchez lo qe permie asimismo relacionar con. De hecho es claro qe = es decir = G análogamene con respeco al segndo agene se obendría la relación (3) = G Según na de las condiciones de segndo orden para exremos condicionados se analiza el signo de la forma cadráica asociada a la mariz hessiana resringida a ciero sbespacio qe se especificará poseriormene. En ese senido se calclan las derivadas parciales de segndo orden de la fnción Lagrangiana para consrir la mariz hessiana. Así pes para cada pno críico condicionado p* ésa es la mariz (4) H G ( p*) G ( p*) ( ) = ( ) G ( p*) G ( p*) ( ) p* β y eniendo en cena el Teorema de Schwarz qe garaniza bajo cieras condiciones la igaldad de las derivadas parciales crzadas con lo cal la mariz H p* es simérica y por ello represena na forma cadráica cya expresión maricial G ( p*) G ( p*) ( ) y = ( yy ) ( β) G ( p*) G ( p*) y ( ) Qy ( y) Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

8 EQUILIBRIO DINÁMICO A LARGO PLAZO EN UN MODELO DE ESPACIOS DE ESTADOS... 5 y qe resringida a aqellos pnos (x) qe verifican la sigiene condición donde x represena la variable de esado y la variable de conrol: g g x ( p*) ( p*) = 0 siendo p* n pno críico condicionado. Un sencillo cálclo indica qe cada na de esas derivadas parciales son para calqier pno en pariclar para p* g ( p *) = g ( p*) = por lo qe el programa de opimización inicial se redce a deerminar el signo de la forma cadráica represenada por la mariz H p* y resringida al sbespacio de ecación = x (5) es decir esdiamos la forma cadráica resringida a aqellas siaciones en qe la variable de conrol es proporcional a la variable de esado x de acerdo con la solción obenida en (5) = x (6) Por ano la forma cadráica resringida objeo de nesro esdio es: G G G Qx ( x) = Q( x) = x x x ( β) ( ) ( ) qe pede expresarse como prodco maricial de la sigiene forma: ( ) ( ) = x ( β) G G ( ) Q x G = xq. ( ) * β G Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

9 6 M.V. Fernández J.G. Cabello y C. Sánchez Para qe se verifiqe Q (x)< 0 es necesario y sficiene qe cero es decir: * Q sea menor G * ( ) G G ( ) Q G = < 0. Observamos qe ese prodco maricial es na forma cadráica evalada en el pno y por ello basa qe sea Definida Negaiva para qe el problema de parida se peda resolver por lo qe se obienen las condiciones aneriores: G. < 0. ( ) i x G i Gi G i G i G x i i de donde se dedce ( ) ( i ) x i ( i ) Gi ( ). > < < 0. Así pes el ópimo de nesro problema en cada momeno para cada agene i es: * * * * ( x i ) = x x siendo i =.. CONCLUSIONES. La ecación de esado: x = x w es na ecación en diferencias cya resolción se obiene de forma recrsiva y se pede expresar: i 0 = i i i i= 0 x x [ w] (7) Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

10 EQUILIBRIO DINÁMICO A LARGO PLAZO EN UN MODELO DE ESPACIOS DE ESTADOS En cada momeno se verifica = y = (8) Dado qe agenes: i = x obendríamos las variables ópimas de conrol para ambos = x = x = x = x * * (9) y por ano = eniendo en cena (8) obenemos * * = * * G. (0) La expresión (9) represena las fnciones de reacción y qe en el ópimo esán ligadas mediane la relacion (0). 3. Finalmene la rayecoria ópima resla ser: x = x x x w * * * * * = x w. Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

11 8 M.V. Fernández J.G. Cabello y C. Sánchez Desde el pno de visa económico sponemos qe los valores de las variables de esado no se aleran noablemene por ello > 0. En la úlima expresión observamos qe la rayecoria ópima depende de la acción de cada agene. Teniendo en cena (7) y (9) podemos dar ora expresión de la rayecoria ópima qe es: * i * 0 = i i i= 0 x x [ x w] () Qeremos analizar el comporamieno de dicha rayecoria qe en ese caso es solción de na ecación en diferencias de primer orden con coeficienes consanes. Parimos del hecho de qe na solción de na ecación de diferencias es na scesión y nos ceñiremos sólo al esdio de la convergencia de dicha solción en los sigienes casos: es decir o bien 0< < < < < <. Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

12 EQUILIBRIO DINÁMICO A LARGO PLAZO EN UN MODELO DE ESPACIOS DE ESTADOS CASOS PARTICULARES 3. Fnción objeivo exponencial x Consideremos na fnción G ( x ) = e por lo qe nesro problema es siendo β el facor de desceno: Maximizar ( P) ( β) sjeo a x = x w con w ~ N(0 σw ). T x ( e ) {... 0 T } = 0 En ese caso la fnción Lagrangiana es: x ( ) T λ() Lx ( λ( )) = e ( x x w ) 0... T. = 0 ( β) = ( β) Teniendo en cena las ecaciones de primer orden x ( e ) L x = () 0 λ = x ( β) ( β) L x ( = e ) λ() = 0 ( β) ( β) L = gx ( ) = ( x x w ) 0 = λ() ( β) ( β) De las dos primeras ecaciones se obiene la sigiene igaldad β x β x λ() = xe = e De lo cal se dedce qe variable de esado para cada momeno. La mariz Hessiana es = x es decir la variable de conrol es proporcional a la ( ) x x e x 4x e H = β x ( ) x 4x e e Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

13 0 M.V. Fernández J.G. Cabello y C. Sánchez qe pariclarizada en los pnos = x es la mariz H p* x x e ( x ) 4 x e = β x x 4 xe e asociada a na forma cadráica definida negaiva qe resringiremos a los pnos (x) qe verifican la ecación ( *) g( p* ) g p x = 0 es decir x = Fnción objeivo cadráica Consideramos en ese ejemplo como fnción cóncava G ( x ) na forma cadráica definida negaiva cya expresión maricial es a a x G ( x ) = ( x ) a a siendo a < 0 a < 0 y a a > a. En ese caso el problema de opimización es: T a a x Maximizar ( x ) siendo β>0 {... 0 T-} = 0 a a ( β) sjeo a x = x w con w ~ N(0 σw ). La fnción Lagrangiana es: T λ() Lx ( λ( )) = G ( x ) ( x x w ) 0... T. = 0 ( β) = ( β) Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

14 EQUILIBRIO DINÁMICO A LARGO PLAZO EN UN MODELO DE ESPACIOS DE ESTADOS... Calclamos los pnos críicos condicionados es decir aqéllos qe anlan simláneamene odas las derivadas parciales de la fnción Lagrangiana considerada ésa como fnción de las variables x y λ(). Son los pnos p* = (x* * )ales qe (p* λ()) es solción del sisema de ecaciones para cada momeno = 0...T. L = ( ax ) ( ) 0 a λ = x ( β) ( β) L = ( ax a ) λ( ) = 0 ( β) ( β) L = ( x x w ) 0 = λ() ( β) Despejando λ() de las dos primeras ecaciones se obienen las sigienes desigaldades: β β λ() = ( ax a ) = ( ax a ) simplificando se llega a la sigiene expresión a a = a a x en la cal la variable de conrol se observa qe es proporcional a la variable de esado H = H donde H y H se peden expresar como el prodco maricial de na mariz fila y na mariz colmna; ambas marices fila nos recerdan salvo signos a las filas de la mariz asociada a la forma cadráica G H = ( a a) y H = ( aa). x BIBLIOGRAFÍA ANDERSON B.D.O. and MOORE J.B. (979 Opimal Filering Prenice-Hall Englewood Cliffs N.J. AZARIADIS C. (993) Ineremporal Macroeconomics Blackwell Pblishers UK and USA. Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I

15 M.V. Fernández J.G. Cabello y C. Sánchez BELLMAN R. (957) Dynamic Programming Princeon Universiy Press Princeon N.J. KALMAN R.E. (960) A new approach o linear filering and predicion problems Trans. ASME Ser. D.J. Basic Engrg SARGENTT. (987) Dynamic Macroeconomic Theory Harvard Universiy Press USA. SARGENTT. (987) Macroeconomic Theory Academic Press London. Esdios de Economía Aplicada 003: 09- Vol. -I