Tema 1. Movimiento ondulatorio

Transcripción

1 Tema. Movimieno ondlaorio.. Inrodcción. Ecación de ondas.3 Ondas armónicas Velocidad de fase de la onda.4 Sperposición de ondas Sperposición de ondas escalares de la misma frecencia Sperposición de ondas: ondas esacionarias. Sperposición de ondas escalares de la diferene frecencia. Velocidad del grpo de ondas..5 Ondas anarmónicas. Series de Forier Ondas no periódicas. Transformada de Forier.6 Ondas en res dimensiones..7 El efeco Doppler A. Apéndice. Represenación compleja de las ondas. Migel Anón Revilla Deparameno de Ópica EUO

2 .. Inrodcción Hay mchos fenómenos físicos, aparenemene my diferenes enre sí, qe peden describirse mediane la propagación de ondas. El vieno qe meve n campo de rigo deermina n movimieno colecivo en forma de onda qe se difnde a lo largo de oda s eensión. Podemos disingir aqí dos clases de movimieno, el de la propagación de la onda y el de cada na de las espigas, las cales ejecan movimienos de vaivén en orno a s posición de eqilibrio, pero no se rasladan. En el caso del golpe de na piedra sobre la sperficie ranqila del aga de n esanqe, se observa la propagación de ondas esféricas qe se agrandan palainamene. De nevo peden observarse dos movimienos, el de avance de peqeños ablamienos qe consiyen la onda y el movimieno de las paríclas de aga qe realian movimienos hacia arriba y hacia abajo en dirección perpendiclar al de la propagación de la onda. Se raa de na onda ransversal. Ese hecho se pede demosrar siando peqeños floadores en la sperficie del aga. Se observará s movimieno de vaivén pero no s desplaamieno en la dirección de avance de los ablamienos. El sonido es oro ejemplo de propagación de ondas. En efeco, si se prodce n súbio cambio de presión en el emisor, las paríclas de aire próimas se comprimen y se prodce n cambio de presión qe empja más aire. a s ve ese aire se comprime dando lgar a na presión adicional. El reslado es qe ese cambio de presión se propaga del emisor al recepor. También podríamos decir qe lo qe se propaga es n cambio de densidad. En ese caso, las paríclas de aire ejecan peqeños desplaamienos en orno a s posición de eqilibrio pero a lo largo de la dirección en la qe se propaga la onda. Se raa de na onda longidinal Cieramene, en odos los casos comenados se raa de movimieno de paríclas en orno a s posición de eqilibrio, pero lo qe se propaga no son las paríclas sino n ciero esado de perrbación de la maeria. De na manera genérica diremos qe na onda represena la propagación de n esado de perrbación de la maeria o del campo (elécrico, magnéico, graviaorio). En el caso de na onda en el aga, las paríclas de aga ejecan movimienos en orno a s posición de eqilibrio, pero no se rasladan. Lo qe se ransmie de n pno a oro es el esado de perrbación creado en n momeno dado y en n pno. En ese caso se raa de na onda ransversal ya qe la dirección de de la perrbación iene lgar perpendiclarmene a la dirección en la qe vibran las paríclas de aga. Como ya hemos dicho más arriba, las ondas del sonido son ondas longidinales. En ese caso n cambio brsco de presión o densidad en n pno hace qe las paríclas de aire se desplacen de s posición de

3 eqilibrio empjando a las conigas. De ese modo se propaga ese cambio de presión de n pno a oro del espacio y en la misma dirección en la qe vib ran las paríclas. Tano las ondas en el aga como las ondas de sonido son ondas mecánicas ya qe en úlima insancia represenan la propagación de esados de perrbación de la maeria y son prodcidas por movimienos de paríclas. De hecho, los qe se ransmie de n pno a oro es la energía mecánica de esas paríclas qe oscilan en orno a s posición de eqilibrio. Pero eisen ambién ondas de carácer elecromagnéico, ales como las ondas de radio, las ondas qe prodce n horno microondas o la propia l visible qe nos permie ver los objeos. En ese caso lo qe se propaga de n pno a oro del espacio es n esado de perrbación del campo elecromagnéico. Por ejemplo, si se hace oscilar cargas elécricas mediane corrienes alernas, en las proimidades se perrba el campo elécrico y magnéico. Esa perrbación se pede propagar en el vac ío en forma de ondas. Las ondas así generadas ienen longides de ondas de meros o cenímeros y se san en ransmisiones de radio y elevisión. Esas ondas son capadas por anenas Si hacemos oscilar a los elecrones de los áomos o moléclas, ambién se prodcen ondas elecromagnéicas, sólo qe en ese caso, s longid de onda será mcho menos, del orden de décimas de micra. De hecho, eise na gran variedad de ondas elecromagnéicas qe se diferencian por s longid de onda. En la figra se mesra el especro elecromagnéico. Denro de él eise na peqeña porción, enre 340 y 780 nm qe consiye el especro visible capa de prodcir esímlos visales en el ojo hmano.

4 . Ecación de ondas Sería ineresane obener algún ipo de ecación qe describiera el movimieno de esa perrbación, na ecación qe fera a la onda lo qe la ley de Newon es al movimieno de na parícla. Eso es lo qe haremos a coninación. Consideraremos el caso de na perrbación o plso qe se propaga sin deformarse al como se indica en la figra. La amplid del plso se define en odos los pnos del espacio y en cada insane de iempo. Podremos describirlo por na ciera fnción Ψ(, f(, Si el plso viaja drane n ciero iempo a na velocidad v y no cambia de forma al propagarse, se cmplirá qe la forma de la fnción Ψ() en el sisema en reposo, omará los mismos valores referidos al sisema qe se meve con el plso, eso es, donde Ψ(, f ( ') ' v Por lo ano, la fnción Ψ(,, represenará el movimieno de n plso qe no se deforma siempre qe s epresión fncional sea de la forma Ψ(, f ( v es decir, las variables y no enran en la fnción de calqier manera sino en la forma -v. El mismo argmeno se podría iliar para analiar la propagación de plsos en la dirección negaiva del eje X. Basa con cambiar el signo de la velocidad, con lo qe se obendría na fnción del ipo Ψ(, f ( + v Veamos eso con n ejemplo. Considérese q e en 0, el plso esá deerminado por la fnción Ψ(,0) 3e Si el plso se propaga a la velocidad v m/s sin deformarse, enonces, en oro insane se podrá epresar como se podrá epresar como Ψ(, 3e ( v ( 3e

5 En la figra se mesra el plso en odos los pnos del espacio y en diferenes insanes de iempo. Vamos a raar de enconrar na ecación diferencial de la fnción Ψ(,, cya solción enga la forma f(-v. Para ello, derivaremos dos veces la fnción Ψ(, respeco del espacio y respeco del iempo. Por ora pare, si derivamos respeco del iempo Comparando ambas epresiones, se llega a Toda fnción qe saisfaga esa ecación, represena la propagación de na perrbación qe se desplaa en el espacio a la velocidad v. Esa ecación represena la ecación diferencial de na onda. Ψ f f f f Ψ v f f Ψ ( ) Ψ v f f ( ) ( ), v, Ψ Ψ 0 s 3 s Ψ(,

6 .3 Ondas armónicas Un caso pariclarmene ineresane lo consiyen las solciones cya forma de la perrbación fnción Ψ(, es na fnción armónica. Por n lado ss propiedades maemáicas son sencillas y consiyen na primera aproimación a siaciones físicas reales. Por oro lado, como veremos más adelane, el eorema de Forier permie epresar fnciones más comp lejas como na sma de fnciones armónicas de diferenes frecencias por lo qe el esdio de ales fnciones se redce al de ss componenes elemenales. Consideremos qe en 0, la fnción f es na fnción sinsoidal, Ψ(,0) A cos k donde k es na consane cyo sig nificado especificaremos ensegida. Esa fnción caraceria el esado de perrbación de odos los pnos del espacio en el insane 0. En oro insane de iempo la onda vendrá dada por ( v ) Ψ(, A cos k Vamos a llevar a cabo dos represenaciones, na espacial y ora emporal, qe nos informarán de varios aspecos del movimieno ondlaorio armónico. Ψ(,0) A λ A La consane A indica el valor máimo qe pede alcanar la perrbación Ψ(, y se denomina amplid de la onda. Además, se pede apreciar qe eisen pnos del espacio qe se encenran en el mismo esado de perrbación, eso es con la misma amplid y la misma pendiene. En nesro caso los máimos ocrren cando k mπ m mπ La separación qe eise enre dos pnos consecivos qe se encenran en el mismo esado de perrbación recibe el nombre de longid de onda, λ o período espacial. λ π La consane k recibe el nombre de número de onda o frecencia espacial de la onda. k k

7 Podemos pregnarnos por la evolción emporal de n deerminado pno del espacio, por ejemplo por el pno 0. En esa caso, deberemos considerar la fnción Ψ(0,, eso es donde kvω. Ψ( 0, A cos kv A cosω Ψ( 0, Τ Anqe las dos gráficas se parecen, represenan dos aspecos my disinos del movimieno ondlaorio. En ese caso, la gráfica mesra el movimieno armónico simple qe esá ejecando el pno del origen. La separación emporal enre dos esados conigos de oscilación del pno eqivalenes se denomina periodo emporal de la onda, T. Pede verse qe en nesro caso T π ω La frecencia ν del movimieno ondlaorio viene dada por el número de oscilaciones por nidad de iempo qe ejeca el pno 0, es decir, ν T Usalmene ν se mide en Herios, mienras qe la frecencia anglar, ω se mide en radianes/segndo. ω π

8 .3. Velocidad de fase de la onda Dada la onda armónica Ψ(, A cos( k ω se denomina fase de la onda a la canidad Φ (, k ω Es evidene qe los pnos en los cales la fase vale lo mismo, se encenran en el mismo esado de perrbación. Las sperficies de fase consane represenan el perfil de la onda. Así por ejemplo, las cresas de las ondas qe se prodcen en el aga represenan el lgar geomérico donde la fase oma el mismo valor. Podemos pregnarnos por la velocidad con la qe se propagan esas sperficies de fase consane. Para ello, considérese la figra. En ella se ha represenado la fnción Ψ(, en diferenes insanes de iempo, 0, T/4, T/, 3T/ y T. 0 T T / / 4 3T 4T / 4 / 4 Podemos ver qe en 0, el primer pno qe alcana el máimo valor de la perrbación Ψ(, es el pno 0. Aqí la fase de la onda oma n valor φ(0,0)k0- ω 0 0, al qe cos 0. Un insane de iempo despés, T/4, el máimo de la perrbación se ha desplaado a oro pno de coordenada. En ese pno la fase ha de vale r lo mismo qe en el anerior. Por lo ano T k ω 4 La velocidad con la qe se desplaa la perrbación se pede calclar sin más qe dividir el espacio qe ha recorrido el máimo enre el iempo qe ha ardado en hacerlo, eso es v f T 4 0 ω k

9 Ese valor represena la velocidad con la qe se propagan las sperficies de fase consane por lo qe se denomina velocidad de fase de la onda. En nesro caso, la velocidad de fase coincide con la velocidad con la qe se propaga la onda. Ejemplo. Dada la onda armónica, calclar la frecencia anglar, la longid de onda, la amplid y la velocidad de fase. Las nidades esán dadas en el sisema inernacional. Se raa de na onda armónica qe se propaga en la dirección del eje X, ienen na amplid A0 m y iene na frecencia ω00 rad/s. Por ora pare, el número de onda, k es La velocidad de fase será ( 0 Ψ(, 0 cos 00 π π k 0 λ λ 0 ω 00 v 5 m k 0 m Ejemplo. Dar la epresión de na onda escalar de presión qe se propaga en la dirección posiiva del eje OX, iene na amplid de 5 Nw/m, na frecencia de 440 H y se propaga a na velocidad de 340 m/s. La epresión de la onda será de la forma Como ω 440 k.8 m v 340 Ψ(, se endrá A cos ( k ω (.8 Ψ(, 5cos 440

10 .4 Sperposición de ondas Unos de los fenómenos más ineresanes de las ondas es qe dos o más ondas peden sperponerse en na ciera región del espacio. En general, si se dan cieras condiciones, qe analiaremos ensegida, la sperposición de dos ondas se manifiesa en na redisribción espacial de la energía, eso es, en bandas brillanes y oscras denominadas franjas de inerferencia. En la figra se pede apreciar lo qe decimos: dos fenes coherenes emien ondas esféricas hacia delane. Eisen onas del espacio donde na cresa de na onda proveniene de na de las fenes se sperpone con n valle de na onda proveniene de la fene inferior. En el pno donde ocrre eso, la perrbación oal se cancela o es mínima. Eso se debe al carácer lineal de la ecación de onda. En efeco, sean dos ondas escalares Ψ (, y Ψ (,. Cada na de ellas debe saisfacer la ecación de onda, eso es Si smamos las dos ecaciones de arriba y enemos en cena las propiedades de las derivadas se llega ensegida a qe Por lo ano, la fnción Ψ(, Ψ (, +Ψ (, ambién saisface la ecación de onda, por lo qe la reslane de la sperposición será na onda. Vamos a hora a calclar en algnos casos sencillos el valor de la amplid de la onda reslane de la sperposición..4. Sperposición de ondas escalares de la misma frecencia Sean las dos ondas Ψ Ψ ( ), Ψ (, ) (, ) Ψ (, ) [ Ψ (, + Ψ (, ] [ Ψ (, ) + Ψ (, ] Ψ(, A cos Ψ(, A cos v v v ( k ω ( k ω + δ ) las cales corresponden a dos ondas monocromáica de la misma frecencia y diferene amplid qe viajan en la misma dirección. Obsérvese qe además difieren en la fase. Presenan n desfase dado por la canidad δ.

11 La onda reslane será ( ) ( ) Ψ (, Ψ (, + Ψ(, A cos k ω + A cos k ω + δ Desarrollando los cosenos se llega fácilmene a qe la perrbación reslane viene dada por [ A + A cosδ ] cos( k ω A senδ sen( k ω B cos( k ω + φ ) Ψ (, donde B anφ ( A + A cosδ ) + A sen δ Asenδ A + A cosδ A + A + A A cosδ, Se raa de na onda de la misma frecencia qe la dos ondas pero cya amplid reslane depende de las amplides de las ondas qe se sperponen y ambién de s fase relaiva, δ. Dependiendo de la diferencia de fase endremos diferenes siaciones qe se esqemaian a coninación: En ese caso las dos ondas esán en fase y la sperposición es consrciva: δ mπ B A + A + A A δ (m + ) π A A Ahora las dos ondas esán en oposición de fase, cresa frene a vienre, por lo qe la sperposición es desrciva: B A + A A A La amplid reslane es menor qe la sma de la amplides parciales. Si además de qe δ (m+)π, las amplides de las ondas son igales y por lo ano, la irradiancia es nla: δ (m + ) π I I B 0 Las dos ondas se sperponen desrcivamene.

12 .4. Sperposición de ondas: ondas esacionarias. Eisen mchas siaciones físicas en las qe se prodce la sperposición de ondas de la misma frecencia pero qe viajan en direcciones opesas. Por ejemplo, cando na onda se envía hacia n espejo. En el espacio comprendido enre la fene y el espejo iene lgar na sperposición enre las ondas qe van y las qe velven reflejadas por ese úlimo. Eisen mchos disposiivos ópicos, ales como los láseres, qe conienen cavidades formadas por dos espejos enfrenados. En s inerior la l viaja en ambos senidos a lo largo del eje de la cavidad, dando lgar a ondas esacionarias. Vamos a describir, mediane n ejemplo sencillo, en qe consisen. Para simplificar el cálclo, spongamos qe las ondas qe se sperponen ienen la misma amplid: Ψ (, Asen( k ω ) Ψ (, Asen( k + ω La sperposición vendrá dada por ( ) ( ) Ψ(, Ψ (, + Ψ(, Asen k ω + Asen k + ω Asenkcosω Esa es la ecación de na onda esacionaria. Al conrario de las ondas qe venimos comenando, el perfil de esa onda no se meve en el espacio. Por ejemplo eisen pnos donde la perrbación reslane siempre es nla para calqier insane de iempo. En efeco, la perrbación reslane es nla si λ senk 0 m m 0,,,... Esos pnos se conocen como nodos o pnos nodales. Enre medias de esos pnos, es decir en λ/4, 3λ/4, 5λ/4,..., la amplid iene na valor ±, y esos pnos se conocen como aninodos. λ Se pede ver qe los aninodos esán oscilando con el iempo a la frecencia ω, pero la onda no se desplaa. En n eperimeno donde se prodcen ondas esacionarias se pede sar la información de qe la disancia enre dos nodos consecivos represena la miad de la longid de onda de la radiación. De hecho fe así como Her midió por primera ve la longid de onda de las ondas elecromagnéicas de radio. La inensidad de las ondas es proporcional al cadrado de la amplid, por lo qe en el caso de las ondas esacionarias, se iene donde IM() represena el promedio emporal de la inensidad qe mediría n deecor. Esa epresión nos dice qe la inensidad es máima en los pnos donde es decir, la separación enre dos máimos de inensidad es igal a la miad de la longid de onda. λ 3λ I (, 4A sen kcos ω I ( ) 4A mπ senk m m k M λ sen k

13 Uiliando ese hecho podemos medir la velocidad de las ondas elecromagnéicas en casa mediane n horno microondas. En efeco, el horno prodce ondas elecromagnéicas mediane n circio elecrónico. La frecencia de esas ondas viene indicada en el horno y sele ser v 450 MH, por raones qe veremos más adelane. Denro del horno las ondas se reflejan en las paredes meálicas del mismo y la inerferencia forma n parón de ondas esacionarias. Si colocamos denro del horno (al qe habremos reirado la plaaforma giraoria) algún maerial qe se ablande con el calor, por ejemplo, lonchas de qeso, se qemarán apreciablemene las onas donde se prodcen los máimos de inensidad de esas ondas. En la figra se peden apreciar las onas más qemadas. La disancia enre esas onas será igal a la miad de la longid de onda de la radiación. En la foo se ve qe esa disancia es del orden de 6 cm. Por lo ano, la velocidad de las ondas será π λ ω ωλ v νλ v π ( ) (0 - ) m/ s

14 .4.3 Sperposición de ondas escalares de diferene frecencia. Velocidad del grpo de ondas. Consideraremos ahora n caso de enorme inerés en el qe las ondas qe inerfieren ienen frecencias diferenes anqe my próimas, es decir k k y ω ω. Como se pede ver en la gráfica adjna, las dos ondas coinciden en 0 pero al ener frecencias ligeramene diferenes, los máimos no velven a coincidir hasa más adelane; y enre medias se prodcen siaciones en las qe n máimo de na de las ondas coincide con n mínimo de la ora prodciendo n valor nlo en ese pno. Ψ (, ) A cos [k ω ] Ψ (, ) A cos [k ω ] Ψ (, ) + Ψ (, ) El reslado de la sperposición se mesra en la gráfica y represena na onda na onda qe no s monocromáica y cya amplid esá modlada. La velocidad de la onda será la velocidad con la qe se propaga la envolvene. Veremos esos eremos con n poco de cálclo. Es claro qe la sma de las dos ondas se podrá escribir como Ψ (, ) Ψ (, ) + Ψ (, ) A cos (k ω ) + (k ω ) cos (k ω ) (k ω ) Como k k y ω ω, se podrá escribir k + k k mienras qe k - k k, e igal para las frecencias, es decir, ω + ω ω y ω - ω ω. Con odo ello, la epresión para la onda reslane se podrá poner como k ω Ψ (, ) A cos cos (k ω ) La perrbación oal se pede inerprear como na onda viajera de frecencia media ω qe iene na amplid modlada o variable en el iempo A0(, dada por k ω A0 (, ) A cos

15 Vemos qe anqe cada na de las ondas componenes se meve con na velocidad de fase viω ι /ki, el conjno se desplaa como n odo a la velocidad con la qe se meve las cresas de la envolvene y qe se denomina velocidad de grpo. Esa velocidad viene dada como la velocidad con la qe se desplaan las sperficies de fase consane de la envolvene: ω dω V g k dk Si enemos en cena qe la velocidad de fase se relaciona con la frecencia como vω/k, la epresión anerior se pede escribir en fnción de la velocidad de fase como d v( k ) V g v+ k dk En general la velocidad de grpo no coincidirá con la velocidad de fase a menos qe el medio en el qe se propaga la onda sea no dispersivo, eso es qe la v no depend a de la frecencia. Comenaremos ese hecho con más dealle en el capílo 3 al hablar de la propagación de ondas lminosas en medios maeriales. Anes de erminar esa sección qeremos indicar qe la sperposición de dos ondas de frecencias my próimas jega n imporane papel en nmerosas aplicaciones. La raón esá en qe la sperposición permie medir la frecencia de la modlación qe es mcho más baja qe las frecencias de las ondas individales. En general, en n deecor se mide la irradiancia de la onda, la cal, es proporcional al cadrado de la amplid. En el caso de la sperposición de dos ondas de frecencias my próimas vienen dada por [ + cos ( k ω ) ] k ω A0 (, ) 4 A cos A es decir, la irradiancia oscila a Dww -w, qe se conoce como frecencia de baido. Esa frecencia pede ser varios órdenes de magnid más peqeña qe la frecencia de la onda poradora, y por ello, fácilmene medida. Veremos ese pno más adelane, al comenar el efeco Doppler.

16 .5 Ondas anarmónicas. Series de Forier El ejemplo anerior mesra na idea ineresane, a saber: se pede obener na onda no armónica a parir de la sma de dos ondas armónicas. Podríamos pensar qe al ve sea posible eender ese ejemplo y concebir la idea de qe la sma de na serie de fnciones armónicas con amplides y frecencias apropiadas nos permia sineiar calqier ipo de perrbación. Eso sería pariclarmene ineresane ya qe, de hecho, las ondas armónicas descrias aneriormene son idealiaciones qe no se corresponden con los hechos de la naralea. Sin embargo podríamos sar esas fnciones sencillas para describir siaciones más complejas. El Teorema de Forier nos facilia llevar a cabo esa operación. Por ejemplo, consideremos na fnción periódica, pero no armónica, como la qe se mesra en la figra f ( )... λ... Esa fnción almena podríamos aproimarla por na fnción seno. En efeco, esa fnción rigonomérica represena na aproimación a la fnción original y capa algnas de ss propiedades, por ejemplo el periodo espacial de la fnción, los valores máimos y mínimos, la modlación, ec. Pero cieramene no reprodce a la fnción, qe es mcho más abrpa. Sin embargo, podemos pensar qe si se le sma apropiadamene ora fnción armónica qe no modifiqe el máimo y qe reoqe los laerales al ve se mejore la aproimación. Obsérvese el reslado en la sigiene figra sen k + sen 3k 3 sen k + sen 3k + sen k Se pede apreciar claramene como la sma de ondas de frecencia creciene y amplid menor va mejorando el reslado.

17 La idea del eorema de Forier descansa en el hecho de qe bajo cieras condiciones my generales, qe epliciaremos más adelane, na fnción periódica de frecencia espacial kp/l donde l es el periodo espacial de la fnción, se pede epresar como na sma de fnciones elemenales armónicas, de frecencias múliplos de la frecencia fndamenal. En general, la sma es infinia, pero en la prácica, basa n número redcido de érminos para reprodcir con sficiene aproimación la fnción periódica: f ( ) Se pede demosrar qe al fnción se pede obener como f ( ) sen + sen 3 + sen 5 + sen Los érminos de la serie deerminan el conenido especral de la fnción f(), es decir, el conjno de fnciones armónicas de frecencias diferenes a parir del cal, se pede sineiar la fnción f(). El primer érmino iene na frecencia igal a la de la onda cadrada y consiye la frecencia fndamenal. El segndo érmino de la serie iene na frecencia qe es el riple qe la frecencia fndamenal y na amplid /3 de veces menor. El ercer érmino de la serie iene na frecencia qe es cinco veces la frecencia fndamenal y na amplid aún menor, lo cal es consisene con la idea de qe esas componenes de ala frecencia, al oscilar más rápidamene, reprodcen las variaciones brscas de la fnción f() pero se comprende qe s amplid debe ser peqeña.

18 Podemos ahora pregnarnos, cómo hemos elegido los érminos necesarios para elaborar la sínesis de la fnción. El eorema de Forier esablece la manera de hacerlo y lo presenaremos aqí sin demosración. Ese eorema esablece qe si f() es na fnción periódica de periodo λ al qe verifica las condiciones sigienes: f() es nivalada sobre s periodo, λ. f() iene n número finio de máimos y mínimos. f() iene n número finio de disconinidades.? f() d es finia sobre n periodo, enonces eise na serie de Forier qe converge a f() dada por A f ( ) 0 + A cos( mk) + B sen( mk) m m Donde las amplides Am y Bm de las fnciones armónicas vienen dadas por A m λ λ 0 f ( ) cos( mk ) d B m λ λ 0 f ( ) sen ( mk ) d

19 .5.a Ondas no periódicas. Transformada de Forier Si el periodo de la onda es my grande de al manera qe pdiera omarse como infinio, la onda dejaría de ser periódica y se redciría a n plso al como el qe se mesra en la figra f 0 En ese caso el especro de al onda en lgar de ser n especro discreo como ocrriera en el ejemplo anerior, se conviere en n especro conino. Ello responde a la idea de qe necesiamos mchos más componenes elemenales para sineiar an brsca variación espacial: la fnción es nla en casi odo el espacio ecepo en el inervalo [-a/, a/]. La sma infinia se conviere en na inegral sobre odos los posible s valores de k. Así, la fnción no periódica f() se pede epresar como f ( ) A ( k ) cos( k ) dk + B ( k ) sen ( k ) dk o bien 0 donde las amplides F(k) de las ondas armónicas ahora vienen dadas por 0 f ( ) F ( k )e i k dk F( k) f ( kd )e -i La fnción F(k) consiye el especro de frecencias espaciales qe permien sineiar a la fnción f() y se denomina ransformada de Forier de la fnción f(). Como ejemplo, calclaremos el especro de frecencias del plso cadrado del comieno. En efeco, según la epresión anerior, se iene a / / ( ) ( ) -i -i senka F k f e kd f k 0e d f0a a F(k) / ka /

20 .6 Ondas en el espacio My pocas veces el modelo de onda nidimensional qe acabamos de raar describe siaciones físicas reales. Por ejemplo, las ondas en na cerda peden describirse mediane ondas nidimensionales. Pero lo sal es qe la perrbación afece a mchos pnos del espacio ridimensional. Ello implica qe la magnid física qe se propaga sea na ciera fnción, Ψ(,y,;. En ese caso, la ecación de onda nidimensional obenida en la sección. se pede generaliar de la sigiene forma: Ψ (, y,, Ψ(, y,, Ψ(, y,, Ψ(, y,, + y En ese caso ambién se peden obener solciones armónicas en res dimensiones. Por ejemplo, podemos probar solciones del ipo Ψ donde k es n vecor cyo significado esableceremos ensegida. + Para empear, si esa es na solción de la ecación de onda, endrá qe saisfacerla para odo pno y en odo insane de iempo. Por lo ano se endrá qe cmplir qe Por oro lado, las sperficies de fase consane qe nos informan del perfil de la onda son planos perpendiclares al vecor k. En efeco esas sperficies vienen deerminadas por la condición Esa sperficie represena n plano en el qe el vecor k es perpendiclar al mismo. Por ello, esas ondas se denominan, ondas armónicas planas. rr (, y,, Acos( k r ω k + ky + k r k r ce ro r ω v k + kyy+ k ce k v En efeco, sea n pno de coordenadas r0. Los pnos de coordenadas r perenecerán al plano qe pasa por r0 y qe es perpendiclar al vecor k si se cmple qe el vecor r-r0 esán en el plano, y por lo ano saisfacen r r r k. ( r r0 ) 0 k + kyy + k ce r

21 En n insane dado, la perrbación en los diferenes pnos del espacio, esará caraceriada porqe s amplid oma el mismo valor a la ve en odos los pnos de n plano. Por ejemplo, en la figra se mesran caro planos en los qe la perrbación oma los valores Ψ(,y,; 0, Ψ(,y,; A, Ψ(3,y3,3; -A, Ψ(4,y4,4; 0. Vemos qe el valor de la amplid se repie, por lo qe la disancia enre el primer y caro plano consiye la longid de onda de esa onda plana qe se propaga en la dirección del vecor k. Esas sperficies plana se denominan sperficies o frenes de onda. Y0 YA Y-A Y0 k De la misma manera qe en na dimensión. La velocidad con la qe se propagan los frenes de onda planos en los qe la fase de la onda oma n valor consane, consiye la velocidad de fase de la onda. Así, si enemos la onda Ψ rr (, y,, Acos( k r ω las sperficies de fase consane en n insane de iempo dado saisfarán r r k ω ce Eisirán oros pnos del espacio Dr y oro insane de iempo en los qe la fase velva a omar el mismo valor, eso es, r r k r ( r + r ) ω( + ) ce k r ω 0 Por lo ano, la velocidad con qe se desplaan los frenes en la dirección de k es ω v k r r

22 .7 El efeco Doppler Para finaliar ese ema vamos a comenar el efeco Doppler por s inflencia en la l emiida por áomos y oras fenes de l en movimieno y por s imporancia merológica en la deerminación de velocidades, enre oras aplicaciones. Todos hemos observado ese efeco en las ondas de sonido en el andén de algna esación. Cando esamos en reposo y en ren se acerca a nosoros a gran velocidad, el sonido qe emie se va haciendo cada ve más agdo, eso es la frecencia qe deecamos amena, respeco de la frecencia de las ondas emiidas por el ren si ése esviera en reposo relaivo respeco de nosoros. Por el conrario, cando el ren se aleja el sonido qe percibimos es cada ve más grave. En el dibjo se mesra el efeco. La fene emie ondas a frecencia consane, eso es, las cresas abandonan la fene de ondas (sonido o l) a inervalos reglares de iempo T. Si la fene se aleja del observador de la iqierda a velocidad consane v, enonces drane el periodo de iempo comprendido enre cresas scesivas, la fene se habrá desplaado na disancia vt. Eso amena el iempo qe necesia na cresa en llegar al observador en na canidad vt/c, donde c es la velocidad con la qe se propagan las ondas en el espacio. Por lo ano, el iempo ranscrrido enre la llegada de la primera cresa y la sigiene será: vt T' T + c Teniendo en cena qe λct, la longid de onda qe medirá el observador de la iqierda será v λ' λ + c Un raonamieno análogo demosraría qe el observador de la derecha mediría na longid de onda más cora. Basa con cambiar el signo de la velocidad. En general, el cambio en la longid de onda se podrá poner v λ' λ ± c El efeco Doppler permie medir la velocidad a la qe se meve n objeo lminoso si podemos medir el corrimieno qe eperimena el especro de la radiación emiida por el mismo. Una aplicación ineresane del efeco Doppler es la deerminación de la velocidad de n objeo mediane la deección de la frecencia de baido enre la señal y la onda reflejada por el objeo en movimieno. Un ejemplo prácico es el

23 RADAR de ráfico. En efeco, considérese qe desde n coche de policía en reposo se envía na onda elecromagnéica de frecencia conocida, (ípicamene en el rango de la banda X de radiofrecencias, en orno a los 0 GH). Esa onda se refleja en n vehiclo en movimieno a na velocidad v. Debido al efeco Doppler, la frecencia de la onda qe llega al vehiclo vienen dada por v ν ' ν + c Por la misma raón, la frecencia de la onda reflejada por el vehíclo en movimieno cambia a v v v v v ν R ν ' + ν + + ν + + c c c c c Como v<<c, la epresión anerior se pede aproimar a v v ν R ν + ν R ν c c Por lo ano, si hacemos inerferir la señal de salida con la onda reflejada por el vehíclo, la sperposición de ambas dará lgar, como hemos viso en el aparado.4.3 a na onda modlada en amplid cya irradiancia oscila a la frecencia de baido νr ν. Asimismo el efeco Doppler permie medir velocidades de esrellas, galaias o qasares. En ese caso se compara el especro emiido por na esrella cercana en reposo relaivo respeco a nosoros, con el especro emiido por la esrella o galaia en movimieno. En la figra de abajo se mesra el especro de radiación emiido por na fene de l en el laboraorio. Las líneas emiidas por esa fene consiyen el especro de la mismas y esá asociado, como veremos más adelane a la emisión de en áomos o moléclas de la fene de radiación. Ss longides de onda se conocen con precisión. En la

24 misma figra se mesra el especro de la l emiida por na esrella. Sobre el especro conino aparecen nas líneas oscras casadas por la absorción de esas deerminadas radiaciones por elecos qímicos de la amósfera eerna de la esrella. Como se ve, cando se compara con las emisiones en el laboraorio, aparecen corrimienos de las líneas debidas al efeco Doppler. Como ejemplo, se mesra el corrimieno en las líneas del Hidrógeno de na galaia. En la figra de la derecha se pede observar el corrimieno hacia el rojo de las líneas especrales del Hidrógeno del especro emiido por la Galaia 8C , obenido recienemene con el elescopio William Hershel en la isla de la Palma. Es pecro eselar Magnesio Especro de la galaia Sodi o Oro ejemplo se mesra en la figra de la iqierda en la qe se pede observar el aspeco real de la deección de n especro emiido por na esrella cercana en reposo comparado con el especro emiido por na galaia en movimieno. Obsérvese el corrimieno eperimenado por las líneas de emisión del calcio, magnesio y sodio. Ese desplaamieno especral corresponde a na velocidad de recesión de.000 km/s Calcio Hbble, en llevó a cabo na medición sisemáica de los corrimienos especrales de na gran número de galaias, enconrando n desplaamieno hacia el rojo qe amenaba linealmene con la disancia enre nesra galaia y las

25 observadas, al como se mesra en la figra. Ese hecho eperimenal apoya feremene la idea de n niverso en epansión. De las gráficas se desprende qe las galaias más lejanas se alejan de nosoros más deprisa. De hecho enconró na dependencia lineal de la velocidad con la disancia V H0r siendo r la separación enre galaias y H0 la consane de Hbble cyo valor acal es H 67 km/s/mpc. Todo eso nos dice qe anaño odas las galaias han debido esar my jnas. Para ser más específicos, si s velocidad ha sido consane, enonces el iempo qe odo par de galaias ha necesiado para llegar a s siación acal será r r V H r 0 H 0 es decir, ha sido el mismo para odas ellas: en el pasado deben haber esado odas nidas en el mismo iempo!, hace aproimadamene millones de años.

26 .A Apéndice. Represenación compleja de las ondas. Hemos descrio los fenómenos ondlaorios mediane fnciones armónicas. En mchos casos, cnado hay qe realiar promedios y sperposiciones de mchas ondas, las fnciones armónicas peden hacer engorrosos los cálclos. Por eso se sele iliar la noación compleja. Por ello inrodciremos brevemene algnas propiedades de los números complejos y la manera en qe esos permien represenar na fnción armónica. Un número complejo iene la forma donde + iy i Las pares real e imaginaria de son e y donde, en ambas, e y, son números reales. Los números complejos se selen represenar en n diagrama como el de la figra y +iy r θ El número complejo se pede poner en érminos de las coordenadas polares (r, θ). En efeco, de la figra se iene Una relación my imporane para la represenación compleja es la fórmla de Eler, (qe se pede demosrar a parir de desarrollo de Taylor de las fnciones seno, coseno y eponencial) qe nos permie escribir el número complejo en la forma donde r represena el módlo, qe se denoa por y θ es el ánglo de fase donde ( θ isenθ ) + iy r cos + e i θ cosθ +isenθ + iy re anθ y + y iθ

27 Es úil ambién la inrodción de el complejo conjgado de n número complejo, qe se denoa con el símbolo *, y qe se obiene sin más qe cambiar i por i, eso es Con odo ello en mene, se peden demosrar las sigienes operaciones: Ahora ya podemos ver cómo los números complejos peden ser iliados para represenar ondas armónicas. En efeco, na onda del ipo se pede represenar mediane la fnción donde Re indica qe se oma la pare real del nmero complejo qe hay denro del corchee. iθ re iy ( ) ( ). θ θ θ θ θ θ θ θ + i i i i i i e e e e e e ( ) k A ω Ψ cos ), ( ( ) [ ] k i e A ω Ψ Re ), (