ERRORES DE MEDICION Y EL USO DE VARIABLES INSTRUMENTALES
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- Antonio Sánchez Cárdenas
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1 Apnes de eoría Economérica I. Profesor: Viviana Fernández ERRORES DE MEDICION EL USO DE VARIABLES INSRUMENALES I Casos de Errores de Medición En esa sección analizaremos la exisencia de errores de medición en la variable dependiene y en el regresor, bajo el conexo del modelo lineal simple. Veremos qe el error de medición en la variable dependiene sólo casa na pérdida de eficiencia, maneniéndose la propiedad de insesgamieno de los esimadores. En conrase, el error de medición en el regresor iene consecencias mcho más serias, peso qe condce a esimadores inconsisenes.. Error de Medición en la Variable Dependiene Spongamos qe el modelo verdadero es: +,,..., ( donde E( 0, E(. (Por simplicidad, se asme n modelo sin consane. Spongamos qe sólo conamos con na medida imperfeca de : + v ( donde E(v 0, E( v, E( v 0. De ( y (: v + + v (3 + ξ donde ξ + v. Por lo ano, E(ξ 0, v E( ξ +.
2 Apnes de eoría Economérica I. Profesor: Viviana Fernández El esimador MICO de proveniene del modelo (3, ~ es insesgado pero menos eficiene qe aqel proveniene del modelo (, ˆ : ~ Var( n i + i v > n i i Var(ˆ (4. Error de Medición en el Regresor Spongamos qe el modelo verdadero es: + (5 donde E( 0, E(. Desafornadamene, sólo conamos con na medida imperfeca de (6 donde E( 0, E(, E( E( E( 0 Enonces: ( ω con ω : ˆ será sesgado porqe E( ω 0. Ello, porqe se viola no de los spesos claves del modelo lineal:
3 Apnes de eoría Economérica I. Profesor: Viviana Fernández 3 E( ω E( + ( E( E( + E( E( (7 Se pede demosrar qe aún cando el amaño de la mesra sea sficienemene grande (, ~ será sesgado. El sesgo esará dado por + x. Veamos por qé: ~ ( + ( ( Por propiedades de probabilidad límie, se iene qe: ~ p (E( + E( + E( + E( E( + E( + E( x x + + x (8 donde E( x (por simplicidad se asme qe E( 0 y, además, dados los spesos, E( E( E( 0.
4 Apnes de eoría Economérica I. Profesor: Viviana Fernández 4 De lo anerior, se dedce qe ~ esará sesgado hacia cero. Enre mayor sea la variabilidad del error de medida,, mayor será el sesgo. 3. Una Aplicación: Fnción de Consmo Se iene la sigiene observación sobre gaso efecivo en consmo (C, ingreso efecivo (, gaso medido en consmo (C e ingreso medido (, para na mesra de 0 familias. odas las cifras esán medidas en dólares, y corresponden a promedios semanales: Observación C I C I Se planea el sigiene modelo de consmo para las cifras efecivas: C i + I i + i donde E( i 0, E( i. En base a la información proporcionada, la fnción de consmo verdadera (esimada vendría dada por:
5 Apnes de eoría Economérica I. Profesor: Viviana Fernández 5 abla Fnción Consmo Verdadera Esimada Variable dependiene: C Número de observaciones: 0 Variable Coeficiene Error Esándar Esadígrafo Valor p Consane I R 0.99 Media variable dependiene R ajsado 0.9 Desv. es. variable dependiene error esándar regresión Esadígrafo F Esadígrafo Drbin-Wason.86 Valor p esadígrafo F Se sabe, además, qe C i C i i, I i I i + ω i, con i y ω i, errores de medición qe saisfacen lo sigiene: E( i 0, E( i ; E(ω i 0, E( ω i ω ; E( i ω i E( i ω i 0 E(I i i E(I i ω i E(I i i 0 a Spongamos qe sed observa el ingreso efecivo, I, pero sólo cena con el consmo medido, C. Con dicha información sed esima la sigiene fnción consmo: abla Fnción Consmo cando sólo I es Observable Variable dependiene: C Número de observaciones: 0 Variable Coeficiene Error Esándar Esadígrafo Valor p Consane I R Media variable dependiene R ajsado Desv. es. variable dependiene error esándar regresión.3693 Esadígrafo F Esadígrafo Drbin-Wason.8698 Valor p esadígrafo F Ese es el caso en qe los esimadores coninúan siendo insesgados y consisenes. (Las magnides de los coeficienes son prácicamene idénicas a las de la abla. El error de medición se refleja en mayores errores esándar.
6 Apnes de eoría Economérica I. Profesor: Viviana Fernández 6 b Spongamos qe sed observa el consmo efecivo, C, pero sólo cena con el ingreso medido, I. Con dicha información sed esima la sigiene fnción consmo: abla 3 Fnción Consmo cando sólo C es Observable Variable Dependiene: C Número de observaciones: 0 Variable Coeficiene Error Esándar Esadígrafo Valor p Consane I R 0.94 Media variable dependiene R ajsado Desv. es. variable dependiene error esándar regresión.69 Esadígrafo F Esadígrafo Drbin-Wason.84 Valor p esadígrafo F En ese caso, los esimadores son sesgados. Como vemos, las magnides de los coeficienes de la abla se alejan de aqellas reporadas en la abla, especialmene en lo qe concierne al érmino de la consane. III Variables Insrmenales 3. Concepos Básicos ' Spóngase el modelo +, donde plim 0. En ese escenario el esimador MICO es inconsisene. Se desea enconrar na mariz Z nxk de "insrmenos", qe saisfaga las sigienes condiciones: plim Q Z plim Q zx, zz, plim 0 (9 donde Q zx es na mariz de rango k y Q zz es na mariz posiiva definida. La condición (9 indica qe Z esá correlacionada con pero no con el error. El esimador de variables insrmenales ( se define como: ˆ ( Z ' (0 De la expresión (0 se iene:
7 Apnes de eoría Economérica I. Profesor: Viviana Fernández 7 De ello: ˆ ( Z ' ( ( + + ( ' ' plim( ˆ Z Z + plim plim La varianza (asinóica de ˆ viene dada por: AVar( ˆ E(ˆ plim(ˆ ( ˆ plim(ˆ ( ˆ ( ˆ E ( E( ' Z( Eso es, AVar( ˆ ( Z( (. Una Aplicación a la Exisencia de Error de Medición Spongamos qe sige la sigiene dinámica: ρ + η ( donde η es rido blanco. Sin embargo, no es observable. Lo qe se observa es na medida imperfeca: con E(η 0 (3 De ( y (3, se iene: ρ( + η ρ + η (ρ El modelo en érminos de y es: + ω ω
8 Apnes de eoría Economérica I. Profesor: Viviana Fernández 8 Propongamos como insrmeno : E( ρe( 0 E(ω ( ( 0 asmiendo qe E( 0. Enonces es na bena elección. De lo anerior,... Z con,...,. ˆ Var(ˆ Se iene qe ˆ es consisene: + ( ( ( ( ˆ ( ( ( ( + η ρ + + η ρ
9 Apnes de eoría Economérica I. Profesor: Viviana Fernández 9 p ρe( ρe( 3 es de Hipóesis para Deecar Errores de Medición Hasman propso el sigiene esadígrafo para deecar errores de medición: W ( ˆ Mico ˆ (Var( ˆ Var( ˆ Mico ( ˆ Mico ˆ d χ (k con ˆ ( Z( Var( ˆ, Var( ˆ Mico ˆ ( ' Bajo la hipóesis nla, NO exise error de medición. Por lo ano, ano el esimador de MICO como el de son consisenes, pero MICO es más eficiene. Bajo la hipóesis alernaiva, sólo el esimador de es consisene. Si W spera al valor críico de la chi-cadrado con k grados de liberad (la dimensión del vecor para n (% de confianza, se rechaza H 0 en favor de H. Noa: A fin de asegrar qe Var( ˆ Var( ˆ Mico sea na mariz posiiva ˆ ˆ ( ( definida, se iliza el mismo esimador de, ˆ. K
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