Bibliografía: Ogata. Ingeniería de Control Moderna (cap. 3)

Transcripción

1 OBJETIVOS. Linealización de modelos Reconocer n modelo lineal s ilidad prender a linealizar n modelo dinámico no lineal CONTENIDOS Linealidad / No linealidad Concepos No linealidades recenes en sisemas indsriales Linealización: Moivación; Concepo procedimieno Linealización de modelos de ODEs Procedimieno Ejemplos de linealización de modelos de sisemas ísicos 1 Bibliograía: Ogaa. Ingeniería de Conrol Moderna cap. 3

2 Recordaorio Modelo dinámico: Conjno de ecaciones e relacionan las variables de inerés del proceso permien reprodcir s comporamieno. Disinos modelos: o Modelos deallados para simlación o Modelos linealizados para diseño de conroladores T.3 Linealización 1314 SR

3 Linealidad / No linealidad Represenación de sisemas lineales / no lineales: Los sisemas lineales se represenan por ecaciones lineales pdiendo ser ano ecaciones esáicas como ecaciones dinámicas ODEs. Ejemplos: d d 3 Los sisemas no lineales se represenan por ecaciones no lineales pdiendo ser ano ecaciones esáicas como ecaciones dinámicas ODEs. Ejemplos: 3 1 d d d d 3 d d sin d d d d e sin T.3 Linealización 1314 SR

4 Linealidad / No linealidad La no linealidad del sisema implica e la aplicación de la misma señal en dos pnos de operación dierenes genera respesas dierenes. En la sigiene ransparencia se simla n sisema no-lineal al e le aplicamos dos enradas disinas. Se observa e 1. No se cmple la propiedad de adiividad: la sma de las salidas individales es disina ano en los aspecos dinámicos como esáicos a la salida e se obiene si se le aplica la señal de enrada sma de las anes consideradas.. No se cmple la propiedad de omogeneidad si nos ijamos en la relación enre las respesas 1 e ane las enradas x1 x. Como consecencia podemos decir e el sisema es NO LINEL. 4 T.3 Linealización 1314 SR

5 Linealidad / No linealidad X1 Y1 Y1Y X Y 5 X3X1X Y3

6 No linealidades ípicas en sisemas ísicos Relaciones maemáicas no lineales Ejemplo: La relación enre la poencia e cede na resisencia elécrica la inensidad e circla por ella es cadráica 6 T.3 Linealización 1314 SR

7 No linealidades ípicas en sisemas ísicos La salida de n componene pede sararse aniveles alos de na señal de enrada. Ejemplos: Un ampliicador elecrónico es lineal en n inervalo especíico pero presena na saración a alos volajes de enrada El posicionador elécrico de na válvla no pede abrirse más del 1% ni cerrarse menos del %. V vols aperra % 1 % V vols V vols 7 T.3 Linealización 1314 SR

8 No linealidades ípicas en sisemas ísicos Pede aber na zona mera rango de variaciones de enrada en las e el componene es insensible e aece a las señales de peeña magnid Ejemplo: Si n moor DC esá parado se necesia na ensión de alimenación no nla por encima de ciero mbral para e el moor spere la ricción esáica empiece a girar. 8 T.3 Linealización 1314 SR

9 No linealidades ípicas en sisemas ísicos Peden exisir sisemas con iséresis. Ejemplo: Helgo esáico en los engranajes enre moor carga. Sea X el desplazamieno de la pare inerior del engranaje moor e Y el desplazamieno de la pare sperior carga: mm 1. Cando empieza a moverse el engranaje moor en la dirección posiiva asa e no se a desplazado na disancia el engranaje de la carga no empieza a moverse a parir de ese momeno lo acen de orma conjna.. lgo similar scede cando los engranajes moor carga se esá moviendo simlaneamene acia la dereca el engranaje moor comienza a moverse en la dirección izierda. x mm Engranaje de la carga 9 Engranaje moor

10 Moivación Linealización La órmlación básica de la aomáica reiere de modelos maemáicos LINELES. Si el modelo del sisema es no-lineal basa con realizar na aproximación lineal del mismo d d d d α El rango de validez de esos modelos linealizados esá limiado al pno enorno al cal se linealizan pno de linealización. 1 T.3 Linealización 1314 SR

11 Linealización Técnica para calclar na aproximación lineal de na ecación no lineal en n pno dado. Salida : Pno de operación o linealización x x proximación lineal x x K x x 11 Enrada El modelo linealizado es válido en n enorno alrededor del pno de linealización. Cano más nos alejemos de ese pno peor será la aproximación. T.3 Linealización 1314 SR

12 Linealización: procedimieno Fndameno: Expansión en serie de Talor alrededor de n pno de operación x : x x d dx x x x x 1! d dx x x x x... 1 x x Si la variación x-x es peeña se peden despreciar los érminos de orden sperior. sí para linealizar x basa con aproximarla por los primeros dos érminos de la serie: d 13 dx x x 1443 x x x x x K Desviaciones peeñas de las variables con respeco a la condición de operación K x K x x

13 Ejemplo: Sea el modelo no lineal: Las variables a considerar a eecos de linealización son: La nción a linealizar es: Se escoge n pno de linealización e saisace el modelo es esacionario: Se linealiza la ecación: Linealización: aplicación a ODEs c b d d a d d e siendo ; c b c b a b c d d a b c a b c a Variables desviación

14 Linealización: aplicación a ODEs Procedimieno: Consideraremos para cada ecación las variables de enrada al modelo las variables dependienes o de salida odas ss derivadas con respeco al iempo como variables en el modelo a linealizar. Se escoge pno de linealización esacionario: de ese modo en el pno de linealización las derivadas de las variables de enrada de salida o dependienes son odas nlas. Se aplica el procedimieno explicado aneriormene. Reslado: Para cada ecación se obendrá na ecación dierencial lineal LODE expresada en érminos de las variables de desviación. 14 T.3 Linealización 1314 SR

15 Linealización de modelos de sisemas ísicos. Ejemplo del depósio Variables desviación Pno de linealización La nción a linealizar es: El valor de los coeicienes depende del pno de linealización Ecación Dierencial LINEL d d Se omie la dependencia de las variables con el iempo por simplicidad. Ej: & & & & 1 ; ; ; ; d d Enonces Como & & & & & & Desarrollo: 15

16 Linealización de modelos de sisemas ísicos. Ejemplo del depósio Consideraciones con respeco al pno de linealización Por simplicidad se escoge el pno de linealización de modo e saisace el modelo no lineal el sisema esá en esado esacionario Los valores de no son independienes 16 Si se escogen enonces Fisicamene signiica e en el pno de linealización la alra es consane s valor depende del cadal e esé enrando por la pare sperior la aperra de la válvla de exracción de aga.

17 Linealización de modelos de sisemas ísicos. Ejemplo del depósio Consideraciones con respeco a las condiciones iniciales El modelo obenido por linealización ss condiciones iniciales son: d d 17 Para e el modelo ormlado en base a incremenos variables de desviación presene condiciones iniciales nlas imporane para la Transormada de Laplace basa con elegir como condiciones iniciales de las variables absolas s valor en el pno de linealización Si Si Si T.3 Linealización 1314 SR...

18 Linealización de modelos de sisemas ísicos. Ejemplo del depósio d d d d 1 Cx B x x d d d d 1 1 [] Donde d d 1 1 ; : B C Cx B x x Las marices B depende del pno de linealización [ ] [ ] x Veamos como expresar el modelo obenido en la ormlación del espacio de esados. x son las variables de esado: son las variables de enrada: son las variables de salida : 18 T.3 Linealización 1314 SR

19 Linealización de modelos Ejemplo del péndlo 19 El modelo e resla de aplicar e el momeno de inercia por la aceleración anglar es igal al smaorio de pares aplicados es: d θ mgl J senθ d Ecación Dierencial NO LINEL Linealizar T θ es la señal de salida: ánglo girado T es la señal de enrada: par aplicado en la dirección θ J momeno de inercia del péndlo alrededor del pno de roación m masa g L longid son parámeros del modelo T.3 Linealización 1314 SR

20 Ejercicio para rabajo personal: Depósio con disposiivo caleacor El sisema de la igra iene por objeo calenar el líido conenido e sale en el depósio sando para ello n sisema de caleacción elécrica se manipla la ensión de alimenación V. l depósio le llega n cadal de líido variable a na emperara consane T i. Objeivo: Obener n modelo maemáico e relacione la emperara del líido conenido en el depósio T con el cadal elvolajev. Si el modelo es no lineal obener na descripción lineal. Sposiciones de modelado: 1. Temperara T niorme en el depósio. Temperara de enrada consane: T i ce 3. islamieno pereco: no a pérdidas 4. Densidad calor especíico consane 5. Volmen del líido conenido en el depósio consane: V d ce a Como la densidad es consane enonces m será consane. b demás o T i V R T o