Introducción a la Identificación de sistemas dinámicos

Transcripción

1 ema Inrodcción a la Idenificación de sisemas dinámicos. La Idenificación como herramiena para la modelización de sisemas dinámicos El fncionamieno de los procesos indsriales ha cambiado drásicamene en las úlimas décadas. Ese cambio es debido principalmene a la evolción de la ecnología del ordenador. La aomaización de los procesos ha comporado n ameno de la prodcividad de algnos secores indsriales, obligando a la indsria a adaparse a las demandas de mercado y amenar s compeiividad [Backx, 993]. Para amenar la compeiividad ha sido necesario desarrollar nevas écnicas: méodos y herramienas qe permian maximizar la eficiencia de los procesos, desarrollando conroladores de gran calidad, y maximizar la flexibilidad de los procesos con el menor ajse de la maqina. Para ello es imprescindible conocer el comporamieno dinámico del proceso, principalmene de las pares críicas. En la acalidad, cada vez más, el rabajo de n ingeniero consise en la realización de modelos maemáicos de los procesos esdiados [Ljng 994]. Los modelos son ilizados en áreas an disinas como: bioingeniería, consrcción, economía, meeorología, procesos qímicos,... El campo de ilización de dichos modelos es my amplio, desacar aplicaciones como: conrol, spervisión, predicción, simlación, opimización,... A coninación comenamos n poco más las dos primeras ya qe las écnicas de idenificación y el diseño de conroladores han segido n camino paralelo y porqe la spervisión esá enlazada direcamene con oro crso del programa de docorado: diagnósico y deección de fallos. Según [Seborg, 994], las esraegias acales de diseño de conroladores peden clasificarse en dos grpos: conrol convencional y conrol avanzado. El conrol convencional consisene en el conrol: manal, PID, de relación, en cascada, en avance o reardo de fase. Según dicho aor el 9% de los conroladores de procesos indsriales son acalmene conroladores convencionales. Las esraegia s de conrol avanzado se sbdividen en res grpos: écnicas de conrol convencionales conrol desacoplado, conrol selecivo, conrol con compensación de reardo pro, écnicas de conrol basadas en modelos nméricos conrol predicivo, conrol adapaivo, conrol robso, conrol con modelo inerno y écnicas de conrol basadas en conocimieno sisemas experos, conrol neronal, conrol fzzy. ano para la ilización de écnicas de diseño convencionales como écnicas avanzadas y especialmene las basadas en modelos, es necesario n modelo nmérico preciso del proceso esdiado. Comenar ambién qe los procesos indsriales esán sjeos a severos reqerimienos de eficacia, disponibilidad y segridad. La complejidad de los mismos crece consanemene y eso hace necesario el desarrollo de herramienas aomáicas de ayda al operador hmano: los sisemas de spervisión. Enre las areas de ese ipo es necesario desacar las areas desinadas a la deección y diagnósico de fallos. Con na rápida deección de los fallos se pede eviar desde na pérdida de presaciones hasa n deerioro del sisema con consecencias qe peden ser caasróficas para el propio sisema e inclso para el personal de la plana. Los sisemas de deección de fallos se basan en la obención de sínomas, de señales indicadoras de fallos, y s análisis para indicar la posible exisencia y localización de dicho fallo. Uno de los méodos ilizados para ello es la comparación del proceso con n modelo de simlación, son los méodos denominados diagnosico basado en modelos como en [Iserman84], [Gerler98].

2 Principalmene, por las dos razones expesas aneriormene diseño de conroladores y méodos de deección de fallos, es necesario disponer de n modelo maemáico qe se ajse al comporamieno del sisema esdiado. El crso iene como objeivos: Conocer na meodologías de modelización denominada idenificación; dicha meodología pare de la información disponible de dichos sisemas o, con oras palabras, el análisis de las enradas, señal de exciación, y las salidas, respesa del sisema; Esdiar disinas herramienas para la idenificación de: o Modelos lineales, ilizando herramienas de análisis emporal y frecencial; o Modelos no lineales, ilizando redes neronales. El desarrollo de las écnicas de diseño de conroladores ilizando méodos nméricos y las écnicas de idenificación, se originaron simláneamene [Backx93]. El inició de las écnicas de idenificación, aplicadas a procesos con na enrada y na salida, ienen s origen a principios de los años 7 [Åsröm7]. o será hasa finales de la década de los 9 qe empiezan aplicarse a procesos indsriales [Ljng87; Södersröm89], algnas de ellas úiles para el esdio de sisemas múliple enrada múliple MIMO.. Esrcra y clasificación de los modelos.. Aspecos generales Se denomina idenificación a la écnica de consrir n modelo a parir de las variables medidas del proceso: enradas o variables de conrol, salidas o variables conroladas y, posiblemene, perrbaciones. En principio y con el objeivo de modelizar se peden proponer res formas disinas de ilizar los méodos de idenificación: - Hacer disinas aproximaciones para esrcrar el problema: seleccionar las señales de inerés, observar la dependencia enre ellas, esdiar el grado de linealidad del proceso,... - Consrir n modelo qe describa el comporamieno enre las enradas y las salidas, prescindiendo del comporamieno físico. Hay disinas formas de abordar el problema, según se consideren modelos no paraméricos o modelos paraméricos. - Uilizar los daos para deerminar los parámeros no conocidos del modelo físico obenido a base del esdio de propiedades y leyes físicas del proceso esdiado. En ese caso se habla de modelos ailor-made de los cales se debe esimar solamene los valores de los parámeros no conocidos. Para ello se recrre a ensayos de comporamieno o prebas físicas y/o a la ilización de écnicas de opimización. El crso propeso se cenra en las dos primeras. Oro aspeco a ener en cena será el ipo de modelo maemáico qe se preende idenificar. Hay varias formas de caalogar los modelos maemáicos [Ljng94]: deerminisas o esocásicos, dinámicos o esáicos, de parámeros disribidos o concenrados, lineales o no lineales, y de iempo conino o iempo discreo. Los ipos de modelos qe se preende analizar en ese crso serán: Deerminisas, ya qe se qiere esdiar la relación enre la enrada y la salida con na pare no modelizable o no conocida esocásica; Dinámicos, porqé el objeivo es conocer el comporamieno dinámico de n proceso; De parámeros concenrados, no se considera la variación en fnción del espacio; Lineales o no lineales, se hará mayor énfasis a las écnicas de idenificación de modelos lineales, comenado algnas écnicas para ser ilizadas en el caso de sisemas no lineales;

3 iempo conino o iempo discreo, se propone describir écnicas para la idenificación de modelos en iempo discreo y conino. Debemos dejar claros varios aspecos en cano a la consrcción de n modelo: a Un modelo se desarrolla siempre a parir de na serie de aproximaciones e hipóesis y, por lo ano, es na represenación parcial de la realidad; - Un modelo se consrye para na finalidad específica y debe ser formlado para qe sea úil a dicho fin; - Un modelo iene qe ser por necesidad n compromiso enre la simplicidad y la necesidad de recoger los aspecos esenciales del sisema en esdio... Esrcra del modelo Pariendo de la base de qe para modelizar n proceso necesiamos los daos observados, en el caso de n sisema dinámico con na enrada en el insane denominada como y na salida en el insane denominada como y los daos serán na colección finia de observaciones: Z {, y,, y,...,, y } El problema de los méodos de idenificación consise en enconrar relaciones maemáicas enre las secencias de enrada y las secencias de salida. O ambién, si definimos las observaciones de forma más general: {[ y, ]}; Z ϕ,... lo qe nos preocpa es como deerminar y+ a parir de ϕ+. En el caso de n sisema dinámico, ϕ conendría la información de las enradas y salidas aneriores a. El problema maemáico qe se formla es la consrcción de na fnción gˆ, ϕ al qe a parir de ella podamos deerminar y: yˆ gˆ, ϕ En general se bsca na fnción g qe sea paramerizable, es decir qe enga n número finio de parámeros. A esos parámeros se les denomina con θ. A oda la familia fnciones candidaas se las denomina esrcra del modelo, y en general esas fnciones se escriben como, θ, ϕ. Esa fnción permie calclar el valor y: y g, θ, ϕ La búsqeda de na bena fnción se realiza en érminos del parámero θ, y el cálclo del valor θˆ condce a: gˆ, ϕ g, θˆ, ϕ Por ejemplo en el caso de na esrcra de modelo simple como ARX de primer orden: y + ay b + b la correspondencia con la formlación general seria: θ a, b, b ϕ y,, g, θ, ϕ ay + b + b g 3

4 El ejemplo anerior mesra la formlación convencional de los sisemas de idenificación, en qe la esrcra del modelo se corresponde con na regresión lineal. En general, la esrcra del modelo podría ser calqiera, desde regresiones no lineales caso en qe g es no lineal respeco aθ, modelos ipo ailor-made, a redes neronales. ambién podrían inclirse modelos dinámicos Fzzy en el caso en qe se reemplazara ϕ y y por valores como el horno esá my caliene, el horno esá ibio, el aga esá hirviendo, Modelos paraméricos y no paraméricos La ilización de modelos como g, θ, ϕ indica qe esamos resringiéndonos a n conjno peqeño de modelos paramerizados respeco a θ. Un caso ineresane es cando se asme qe la correca represenación del sisema perenece a n gran número de sisemas y qe no peden paramerizarse con n número finio de parámeros. Un ejemplo seria el de la respesa implso en donde s modelo corresponde a n número infinio de coeficienes. Maemáicamene ese concepo se represena por: U d d d g, θ, ϕ en donde el vecor θ d coniene d parámeros. Por speso qe para cada conjno finio de daos Z se iene n d<. Esa siación se denomina no paramérica. Los modelos no paraméricos se presenan en el ema..3 Clasificación de los méodos de idenificación paramérica.3. Principio de la idenificación de sisemas Como se ha comenado en el aparado anerior, el principio de la idenificación de sisemas dinámicos se basa en bscar g,θ,ϕ de manera qe: y próximo a g,θ,ϕ Ese principio ambién inclye el caso en donde ϕ y y son valores no nméricos, en el caso en qe próximo se defina adecadamene. Si consideramos el caso nmérico se debe seleccionar θ θˆ al qe V θ y g, θ, ϕ se minimiza considerando algna norma, por ejemplo: ε ε ε, θ y g, θ, ϕ, siendo: Ese caso origina na familia de méodos de idenificación denominados méodos de predicción del error..3. Clasificación de los méodos de idenificación Son varios los crierios a parir de los cales clasificar los méodos de idenificación [Iserman8]. Podemos considerar en primer lgar nos aspecos prácicos: a error enre proceso y modelo; b algorimo ilizado; c secencia de evalación o procesada de las medidas. 4

5 a Evalando el error enre el modelo y el proceso se pede diferenciar enre ecación de error y error en la señal de salida. El primero se sele ilizar cando se dispone de n modelo con na fnción de pesos, y la segnda si se dispone de na fnción de ecaciones diferenciales y/o fnciones de ransferencia. Para ilsrar la diferencia enre ambas aproximaciones consideremos las sigienes esrcras de modelo: - esrcra ARX: y+ay- b - + b - + v b + bq - esrcra OE: y + v + f q donde y es la medida de la salida del sisema, es la medida de la enrada del sisema mienras qe v es el érmino perrbación rido, señal no conocida. Dependiendo de la esrcra del modelo, la esimación de la señal error será: - ecación del error, esrcra ARX, calclado por la expresión: ε y+ay- - b - + b - v donde ano el hisórico de las enradas como salidas inflyen en el cálclo del érmino error. - error en la salida, esrcra OE, calclado por: b + bq ε y + f q v en donde el error o resido solo esá afecado por el hisórico de las enradas. b Con respeco a los algorimos ilizados en los méodos de idenificación, se pede disingir enre algorimos recrsivos o algorimos no recrsivos. En el primer caso la esimación de los parámeros se realiza despés de cada nevo conjno de daos, ilizando el valor de los parámeros esimados con n conjno de daos como pno de parida para la esimación de los parámeros para el conjno de daos poserior. Con el algorimo no recrsivo se ilizan secencias eneras qe comprenden odos los daos almacenados para calclar en n solo paso el valor de los parámeros. c Con el hecho de disponer de n ordenador para realizar la idenificación del modelo, podemos disingir enre dos formas de acoplar el proceso con el ordenador, son las denominadas: operación on-line acoplamieno direco y operación off-line acoplamieno indireco. En el caso off-line se almacenan los daos adqiridos del proceso y poseriormene se ransfieren al ordenador para ser evalados y procesados. Ya qe ese ipo de idenificación se realiza sobre n conjno de daos, pede considerarse como n proceso en loe bach processing. Cando se rabaja en on-line los daos son direcamene procesados dando lgar a lo qe se denomina procesado en iempo real o bach processing cando los daos son evalados despés de realizarse n conjno de medidas. Las disinas formas de procesar los daos se describe en la figra.. 5

6 Figra.. Formas para el procesado de los méodos de idenificación [Isermann8] Los méodos de idenificación peden clasificarse ambién en fnción de los modelos obenidos, de esa forma podríamos diferenciar enre: écnicas de idenificación no paraméricas, obeniéndose modelos no paraméricos, y écnicas de idenificación paraméricas, qe condcen modelos paraméricos. Denro de las denominadas écnicas de idenificación no paraméricas podemos ciar como mas imporanes: Análisis de la respesa ransioria se basa en la obención de la respesa del sisema a n implso o a n escalón. Las señales de es a ilizar en ese caso son n implso o n escalón, respecivamene, y la salida regisrada da el modelo correspondiene. Análisis de correlación es n méodo del dominio emporal, úil para sisemas lineales y con señales coninas o discreas. Como reslado del mismo se obiene la fnción de correlación enre las variables de inerés y, como caso especial, na fnción de pesos. 3 écnicas frecenciales qe son ilizadas direcamene para esimar la respesa frecencial del sisema. Denro de las écnicas frecenciales podemos diferenciar enre el análisis de Forier y el análisis Especral. odas ellas son aplicables en el caso de considerar procesos lineales o linealizables. Para s ilización no se debe sponer ningún ipo de esrcra para el modelo y los reslados obenidos son de ipos gráfico los cales peden ser mas o menos fáciles de inerprear. En el caso de méodos de idenificación paraméricos, se debe ener en cena na ciera esrcra para el modelo. Los parámeros del modelo se calclan minimizando cieros crierios de error enre el modelo y el proceso. En general podemos disingir enre dos ipos de écnicas: écnicas frecenciales, las cales minimizan el error enre la respesa frecencial real del proceso y la respesa frecencial del modelo; écnicas emporales, las cales minimizan el error emporal, error de predicción o error de salida, enre el modelo y el proceso. Forman pare de ese grpo los méodos de idenificación paraméricos clásicos y con redes neronales los cales se expondrán exensamene en ese crso. Ambas peden ser ilizadas ano para la esimación de los parámeros de modelos coninos como discreos. 6

7 .3.3 Eapas a segir para la idenificación de n modelo En general, las eapas a segir para idenificar n modelo paramérico son: Diseño del experimeno de idenificación. En esa primera eapa es necesario decidir, enre oros aspecos: el ipo de señales de exciación, el mejor periodo para la adqisición de daos, la canidad de daos necesarios; Observación y mejora de la calidad de los daos caprados. Anes de ilizar los méodos de esimación de parámeros es necesario: observar y reparar los daos erróneos, filrar les alas frecencias, eliminar offses y endencias,...; Deerminación de la esrcra del modelo. En esa eapa es necesario definir el ipos de modelos a ilizar: coninos o discreos, ipos de rido, lineales o no lineales, regresiones, redes neronales,... Y es necesario adopar n procedimieno para deerminar el orden del modelo. Esimación de los parámeros. Eapa la mayoría de las veces my relacionada con la anerior, en ella se presena el problema de decidir el méodo o méodos de esimación de parámeros qe se va a ilizar para calclar el valor de los mismos. En general se pede escoger enre dos écnicas disinas: en el dominio emporal y en el dominio frecencial. Validación del modelo. Es la eapa en la qe debe pregnarse si el modelo idenificado es sficienemene represenaivo del proceso esdiado. En el se debe definir n crierio para evalar la calidad. Generalmene se dispone de varios modelos candidaos y debe escogerse no de ellos basándose en algún crierio. Acalmene hay mchos programas comerciales de ayda a ingeniero en las eapas de idenificación, concreamene en las eapas de esimación de parámeros y evalación de las propiedades del modelo esimado. Hay oras eapas qe dependen exclsivamene del sario [Ljng94]. En ese crso ilizaremos como herramiena de rabajo el programa Malab y concreamene la oobox de idenificación. Diseño del experimeno y adqisición de daos Es necesario filrar? Daos Observación y mejora de la calidad de los daos Daos Daos no úiles Deerminar la esrcra del modelo La esrcra del modelo no es correca Méodos de esimación para el ajse del modelo a los daos Modelo Validación del modelo Es el modelo sficienemene represenaivo? Figra.. Eapas para la idenificación de n proceso. Los recánglos son en general responsabilidad del ordenador y los ovalados son en general responsabilidad del sario. Si 7

8 .3.4 Relación enre modelos y méodos Para finalizar el ema de inrodcción podríamos remiirnos a [Isermann8] exponiendo de forma resmida la dependencia exisene enre la consrcción del modelo y s objeivo final o aplicación. abla.. Algnos ejemplos de la relación exisene enre el objeivo final del modelo aplicación y las especificaciones del proceso de idenificación. Objeivo final del modelo, aplicación ipos de modelos Reqerimienos de precisión del modelo Méodo de idenificación verificación de modelos eóricos lineal, iempo conino, media / ala off-line, respesa ransioria, no paramérico/ paramérico respesa frecencial, esimación paramérica Sinonía de conroladores lineal, medio off-line, no paramérico, respesa ransioria iempo conino Ayda al diseño de algorimos de conrol lineal, paramérico, medio esimación paramérica on-line / off line no paramérico iempo discreo Conrol adapaivo lineal, paramérico, medio esimación paramèrica on-line iempo discreo Spervisión y deección de fallos linal / no lineal, paramérico, alo esimación paramèrica on-line iempo conino 8

9 ema écnicas de idenificación no paraméricas. Inrodcción Como se ha comenado en la inrodcción, la idenificación es n méodo de consrcción de modelos basado en experimenos. El caso pariclar de n sisema lineal invariane en el iempo pede ser descrio por s fnción de ransferencia modelos paramèricos o por s correspondiene respesa implso o frecencial modelos no paraméricos. Se consideran modelos no paraméricos a aqellos en qe no es posible definir n vecor de parámeros finio para represenarlo. Esas écnicas, la mayoría de ellas más fáciles o direcas de aplicar o ilizar en n proceso real, aporan información my úil para afronar las decisiones qe debe omar el sario ane n problema de idenificación de n proceso, véase la figra.. Como ser expondrá en ese ema, ilizando previamene algnas de dichas écnicas, será posible: considerar nos daos válidos o no, diseñar adecadamene el experimeno y, ambién, conocer algnas de las caracerísicas de la esrcra del modelo. Son res las écnicas de indenificación no paraméricas presenadas, concreamene se evalúan las écnicas de análisis de la respesa ransioria, el análisis de correlación enre señales y las écnicas frecenciales. Previamene a la descripción de dichas écnicas aparado., se realiza na inrodcción de caracerísicas, propiedades y ipos de señales. Como aparado final, se describen herramienas para el diseño adecado del experimeno. Comenar finalmene qe hay méodos en la lierara [Shokens9] qe permien paramerizar n modelo a parir de los reslados obenidos con écnicas no paraméricas. Algnas de ellas se expondrán en le ema 3.. Inrodcción a las señales.. Caracerísicas generales de las señales. Definiciones Previo a describir los ipos de señales de exciación, es necesario definir algnas caracerísicas generales y propiedades de las señales. Se define como media, µ,. y covarianza, R, de na señal esacionaria deerminisa,, a: µ lim R τ lim donde es el número de daos y τ es n enero enre y. [ + τ µ ][ µ ]. 9

10 Al valor de la covarianza en τ se la denomina varianza, σ, y se caraceriza por ser na fnción par: R τ R τ La energía oal o RMS de na señal se calcla a parir de la ecación.. RMS Se define la ransformada de Forier discrea DF,U ω, de esa señal, como: U ω e para valores de ωπk/, k,...,. U ω se caraceriza por ser na fnción de periodo π, por lo ano: U ω+πu ω y si es real U -ωconju ω conj eqivale al conjgado complejo. La señal se pede represenar por la inversa de DF: jω U πk e k jπ k / El valor de U πk/ nos informa sobre el 'peso' qe origina la descomposición de la señal a la frecencia πk/ por los disinos valores de k. S valor absolo cadráico U πk/ es na medida de la conribción energéica de esa frecencia en la señal. La relación de Parseval: U π k / reafirma la inerpreación qe la energía de na señal pede descomponerse en la conribción energéica de las diferenes frecencias. La densidad especral, Sω, de na señal se define como la ransformada de Forier de la fnción covarianza: iτω S ω R τ e π τ.6 y por ser la covarianza na fnción par: S ω π R τ cos ωτ.7 τ Se pede esablecer na relación enre el especro y la ransformada de Forier discrea de na señal; esa viene dada per la ecación.8. S ω U ω.8 π En general, para realizar na bena idenificación de parámeros es necesario aplicar na señal de enrada frecencialmene rica. Para garanizar qe los algorimos de esimación converjan a na solción única, es necesario imponer nos reqerimienos mínimos en las

11 señales de es. Eso se denomina condiciones persisenemene exciadas persisen exciaion. Se dice qe na variable discrea es persisenemene exciada de orden n si exise el límie: y la mariz: R τ lim τ.9 A n R R R M n R R L L O R n M R. es definida posiiva [Åsröm7] y en consecencia inverible. De aqí se dedce qe la condición necesaria para realizar na esimación consisene de n modelo lineal de orden n es qe la señal de es sea persisenemene exciada de orden n. Ora definición de señal persisenemene exciada se encenra en [Södersröm89]. Una señal es persisenemene exciada p.e. de orden n si s densidad especral no es nla en n valores. Si es n escalón de amplid σ: R τ σ para odo τ y la mariz de R n es no singlar para n, por lo ano es na fnción p.e. de orden Si es n implso: R τ para odo τ y la mariz de R n, no es p.e... Propiedades de las señales periódicas Las señales de exciación peden ser periódicas o no periódicas, las caracerísicas de las primeras se describen a coninación. Si se considera qe es na señal deerminisa periódica con n periodo M, -M para odo, el valor medio µ y la fnción de covarianza R τ, definidos en., iene por expresión: M µ lim M. M R τ lim [ + τ µ ][ µ ] [ + τ µ ][ µ ] M para na señal periódica la fnción de covarianza vale: R M + τ R τ. La aniransformada de Forier discrea de na señal periódica pede ser escria, de acerdo con la ecación.4, como: M jπk / M A k e.3 M k siendo:

12 A k M j π k / M M e Si es na señal periódica y coniene mesras, con κm donde κ es el nmero de periodos, se dedce qe la conribción energéica a les disinas frecencias vale: U ω πk κ Ak, si ω, k, ± κ, ± κ, ± L, ± πk ω k, ± κ, ± κ, ±, ±, si, L.4 La fnción especral de señales periódicas discreas se pede evalar como n conjno de implsos Dirac de cada na de las frecencias presenes en la señal [Södersröm89]: M k S ω Ckδ ω π.5 M k donde C k es la mariz de coeficienes a deerminar en cada caso y peden ser calclados a parir de: M kγ π Ck α r γ con α e j M M..3 Descripción de algnas de las señales de exciación γ Hay disinos ipos de señales de enrada, por ejemplo la fnción implso, fnción escalón, rido blanco o coloreado, señales sinsoidales, rido binario psedo-random PRBS, ec. En ese aparado se van a comenar algnas de las caracerísicas y propiedades de dichas señales...3. Rido blanco y coloreado El rido blanco es na secencia de variables random niformemene disribidas de media cero y na varianza deerminada. Dado na señal e, e E{ e } e.6 var{ e } Re [ e e ] λ Se caraceriza porqe: / e e + τ cando La mariz.9 R nλ I n I n mariz idenidad de orden n, es por ano na mariz definida posiiva para odo n, indicando qe el rido blanco es na señal persisenemene exciada. El ancho de banda de n rido blanco es hipoéicamene infinio, cando se raa de na señal discrea el ancho de banda esa acoado por el nmero de mesras y el periodo de mesreo de dicha señal.3.

13 El rido blanco filrado se caraceriza por ener n ancho de banda finio. Se obiene filrando adecadamene el rido blanco. o siendo: + c c m -m e + d e d m e-m.7 Cq - Dq - e Cq - + c q c m q - Dq - + d q d m q - Definimos q - como el operador reardo, por lo ano q - -. A ese ipo de filro se le llama Ao- Regresivo de Media Móvil ARMA: si C i MA media móvil si D i AR ao- regresivo Los pasos a segir para diseñar n filro son:. definir el orden de los polinomios Cq - y Dq - ;. fijar el valor de los parámeros; 3. generar na secencia de variables Random; D q 4. calclar: e C q Para garanizar la esabilidad, las raíces del polinomio Cq - debe esar denro del círclo nidad. El ancho de banda de dicho señal será fnción del filro diseñado...3. Secencia binaria psedo-random PRBS Es na secencia de plsos recanglares, modlados en amplid, qe se caraceriza por ener dos valores, correspondienes a los niveles lógicos y, asignados generalmene a +V y V. Es na señal qe en s conenido frecencial, se aproxima a n rido blanco discreo. Se denomina psedo random por el hecho de qe la longid del plso es na variable random. Pede ser generada direcamene a parir de n rido blanco, por ejemplo: es persisenemene exciada en oda s longid. signrandn5,..3.3 Secencia binaria de longid máxima, MLBS. Es la señal binaria mas ampliamene ilizada. Se pede generar fácilmene ilizando el desplazamieno de regisros mediane na realimenación apropiada, en la abla. se mesra como generar n MLBS según el número de regisros. Un ejemplo de la generación de ese ipo de señales se mesre en la figra., [Södersröm89]. La MLBS es na señal periódica de longid: m M siendo m el número de regisros a desplazar, y de período: M MLBS.8.9 3

14 donde es el periodo del reloj qe desplaza los regisros. abla.. Generación de la PRBS [Landa9] úmero de regisros Longid de la secencia Bis smados,,3 3,4 3,5 5,6 4,7,8 5,9 7, CLK salida, MLBS xor Ver qe como mínimo no de los regisros debe ser disino a cero. La fnción de covarianza de esa señal, cando el periodo de mesreo es de s, y considerando el caso en qe s <, vale [Goodfrey8]: R s V τ V M Figra.. Generación de na señal MLBS de 4 regisros s <, ± M, ± M, L para los alros valores. La densidad especral calclada a parir de la ecación.6 iene por expresión V M V sin ω M + ω M + sin kπ M M kπ M M M + V S ω V cos ω d + cos ω d M M para k,,3,l. y la densidad especral discrea [Södersröm89], calclada con la fórmla.8 vale: donde k son los armónicos. S M V ω δ ω + M + δ ω π M k k M. 4

15 La frecencia de los armónicos qeda deerminada por i M: k f k.3 M y la poencia media del ancho de banda se da aproximadamene.443/ Hz [Evans9]. Por lo ano es posible, ajsando el valor de M y, cbrir apropiadamene el rango de frecencias del sisema. El especro de esa señal decrece con la frecencia. El diseño de esa señal pede realizarse de la sigiene manera: - se selecciona n valor de qe origine la máxima frecencia de inerés en el pno -3dB - con fijado, se ajsa M eniendo en cena dos aspecos, M m - y f min calclada a parir de la ecación.3 para k debe de esar siada en el rango de inerés 3- finalmene se selecciona el número de daos a adqirir en cada cambio de regisros, la frecencia de reconsrcción o de mesreo de la señal será de: número de daos por regisro/. Esa forma de diseño, origina señales con nas caracerísicas my cerradas: - conjnos.443/bw, donde BW represena el valor de la frecencia del proceso a -3dB - y M > s, el iempo de esabilización del proceso. En [Södersröm89] se demesra qe ese señal es persisenemene exciado de orden M Señales mlisinsoidales Esa consise en na sma arbiraria de cosenos de armónicos conexos [Evans9] F πf φ A cos + i i i i.4 siendo A i la amplid de cada armónico, F el número de armónicos, φ el vecor de fases y f la frecencia, el vecor i pede ser calqier secencia de valores eneros. Esa señal iene na gran venaja respeco a las señales binarias y es qe s poencia esá concenrada en n inervalo definido de frecencia. Son señales con n ancho de banda limiada. La hisoria emporal de na señal, pede medirse caniaivamene a parir del facor de cresa, CF, definido en.5 [Rees9]. Cando enemos procesos con rido, es necesario qe las señales engan n facor de cresa bajo, de esa forma se consige qe la señal de exciación enga la máxima energía con na amplid acoada. max CF rms.5 A escala comparaiva, diremos qe na señal sinsoidal pro iene n facor de cresa igal a.44, mienras qe en el caso de na señal binaria psedo aleaoria PRBS, CF. Respeco a las señales mlisinsoidals, el valor del facor de cresa depende de la fase de los armónicos. En el caso de considerar fases nlas, el facor de cresa de la señal es alo, CF >. 5

16 Per minimizar el CF de esos ipos de señales, de debe seleccionar cidadosamene la fase de cada no de los armónicos [Rees93]. Dos posibles méodos para el diseño de la fase son: A- El méodo propeso por Schroeder. La fase de cada armónico se deermina ilizando la formla: πk φ i.6 F donde φ i es la fase del armónico i de la señal, k es el nombre del componene, y F es el número oal de componenes del especro; los valores de i y k peden ser disinos si se exclye algno de los armónicos de la señal mlisinsoidal. B- El méodo propeso por Gillame, L8. Consise en minimizar el del CF, definido en ese caso por la expresión: l CF.7 l donde l es la norma de Chebyshev de y la norma l es el valor de RMS. Se iliza el méodo de Gass-ewon para minimizar el valor de la norma l. Ese méodo iene el inconveniene qe s cálclo es my largo. En el diseño de las señales mlisinsoidales se deben considerar dos aspecos. El primero es qe la señal diseñada debe concenrar oda la poencia en el ancho de banda del proceso esdiado. Y el segndo, es qe debe ener el sficiene número de armónicos para consegir minimizar el CF, cbrir el especro necesario y permiir la deección de errores en la modelización. Por oro lado, el hecho de incorporar mchos armónicos es perjdicial ja qe redce la energía de cada es de frecencia y, en consecencia, disminye la precisión de la respesa frecencial. La fnción de aocovarianza de na sma de sinsoides, R τ, es na fnción coseno.8, donde el valor de los pesos C i depende del valor de ω i πf i y de A, al como se demesra en [Södersröm89]. con: C C i r F τ Ci i i cos ω τ Ai si ωiτ π, π, 3π, L A sin φ si ω τ π, π, 3π, L i i i i.8 La densidad especral discrea para ω S i π, iene por expresión [Södersröm89]: F Ci ω δ ω ω + δ ω + ω i i i.9 6

17 A parir de la ecación.9 y en el inervalo de valores [ π, π ] se dedce [Södersröm89] qe ese ipos de señales son persisenemene exciados de orden: F si < ω, ωf < π F si ω o ωf π F si ω i ωf π.3.3 Análisis de la respesa ransioria Las señales es no periódicas ilizadas para evalar la respesa ransioria son: implsos de diferene amplid y de cora dración, fnción escalón y fnción rampa. Para seleccionar la señal es adecada, debe enerse en consideración: las propiedades de la señal, la posibilidad de la señal de ser generada y aplicada y el ipo de información qe se persige del proceso..3. Análisis de la respesa implso La meodología de idenificación denominada análisis de la respesa implso consise en aplicar como enrada al proceso na señal implso. La ecación general ilizada en la represenación de la fnción de ransferencia implso de n sisema es: y G q + v g k k + v en donde Gq - represena la fnción de ransferencia y gk la respesa implso. k.3 Cando ese sisema esá sjeo a na enrada implso definida por: α,.33, la salida es: yα g + v.34 El valor esimado de los coeficienes de la respesa implso se deermina a parir de: y g ˆ.35 α con n error de esimación de: v α. Los problemas qe se planean en el análisis de la respesa implso son: qeda resringido al esdio de sisemas esables, dificlades de generar na señal implso, problemas de sincronización enre la enrada y el mesreo, dificlades con la amplid de la señal, problemas cando hay saraciones y no linealidades, dificlades con las colas del implso debido a s larga dración y bajas amplides, gran sensibilidad al rido. 7

18 .3. Análisis de la respesa escalón Un complemeno de la respesa a n implso es la my conocida respesa a n escalón, qe ienen como venaja qe es más fácil de generar. La señal de es se describe como: α, >.36, Aplicada esa al sisema descrio en.3 se obiene qe la salida pede deerminarse mediane: y α g k + v.37 Pariendo de ella se pede esimar la respesa implso como: y y g ˆ.38 α siendo el error de esimación: [ v v ] α. En mchas aplicaciones prácicas la ilización de la ecación.38 da errores elevados. My a mendo es ineresane observar simplemene la respesa a n escalón. El modelo obenido se sa por ejemplo para el diseño de conroladores. Ese méodo permie de forma simple hacer na esimación de n modelo paramérico. Los méodos para la evalación de la respesa escalón se basan en n peqeño nombre de caracerísicas de la fnción respesa. Uno de los méodos más anigos y my conocidos es el inrodcido por Küpfmüller, el cal dado n sisema de primer orden con reardo expresado por la ecación diferencial: dy + y K τ.39 d o en forma de fnción de ransferencia: K sτ G s e.4 + s calcla el valor de los parámeros K, y τ analizando la respesa escalón de la forma indicada en la figra.. y k αk τ iempo Figra.. Evalación de la respesa a n escalón según Küpfmüller 8

19 Oro méodo, desarrollado por Srejc, realiza la esimación de los valores de los parámeros de n modelo de orden n con la misma consane de iempo y reardo: K e sτ G s.4 n + s y y y i g iempo τ i m Figra.3. Evalación de la respesa a n escalón según Srejc Las caracerísicas de la respesa escalón se mesran en la abla. y la consane de iempo se calcla mediane: τ n. Un méodo más complejo es el propeso por Schwarze el cal permie evalar las respesas escalón y rampa para diferenes esrcras de modelos. Más información al respeco se encenra en [Rake8]. abla.. Valores caracerísicos de la respesa escalón n g g i y i y m m g

20 .4 Análisis de correlación El análisis de correlación es n méodo basado en n análisis esadísico y iene como objeivo esimar la respesa implsional del proceso. Esa, se deermina a parir del análisis de correlación enre la señal de enrada y la señal de salida. Las señales es más ilizadas en ese ensayo son las secencias de rido blanco o, en la prácica, las PRBS..4. Definiciones previas La fnción de convariaza crzada enre dos variables, x y y se deermina: Cov R xy con τ,±,±,... { x, y } E{ x x y y } τ E { x x y + τ y } x x y + τ y.4 La fnción de ao correlación se deermina: Ry { y, y } Ry τ ρ y y, y.43 σ R ya qe: R σ Var{ y } y y y y La fnción de correlación crzada se calcla: R { x, y } ρ xy Rxy τ xy x, y σ σ.44 R R Definición: Se dice qe dos señales x y y no esán correlacionados son independienes con n 95% de confianza sí:.96 P ρxy τ R x Ry P R xy τ.95 x y x y.4. Análisis de correlación. Descripción El modelo ilizado en el análisis de correlación es la respesa implso o fnción de pesos definida en.3 o la fnción conina eqivalene. Si la enrada es na secencia casi esacionaria de media nla con: R τ E{ + τ }.46 y asmiendo qe se raa de n proceso esocásico esacionario, la relación eqivalene enre la fnción de covarianza crzada de la enrada con la salida y la fnción de ao covarianza de la enrada es:

21 { } { } { } + k y v E E k g y E R τ τ τ τ.47 A esa ecación de la denomina ecación de Wiener-Hopf. En el caso en qe la señal de enrada y las perrbaciones sean independienes: { } k k y k R k g E k g R τ τ τ.48 En la prácica, ya qe las señales de enrada y salida no son infinias, las fnciones de covarianza se esiman a parir de los daos de la sigiene forma: +,, ˆ τ τ τ τ max min y y y R, τ, ±, ±,... + τ τ τ R ˆ.49 En esas condiciones, el valor esimado de los pesos de la fnción gk pede ser deerminado solcionando la ecación.5 qe consise en n sisema lineal de dimensión finia. ˆ k y k R k g R τ τ.5 El problema qeda my simplificado en el caso en qe se ilicen señales de es especiales con fnciones de ao covarianza sencillas. Cando se iliza, por ejemplo, n rido blanco como señal de es, sabiendo qe ˆ τ R para τ >, la ecación.5 qeda redcida a: ˆ R y R g τ τ.5 siendo fácilmene calclable a parir de los daos experimenales. En el caso en qe la señal de exciación no sea n rido blanco, el cálclo de la ecación.5 no es rivial. A coninación se proponen dos méodos para resolverla:. Fnción de pesos rncada o respesa implsional finia FIR. En ese caso se considera qe la fnción implso es de orden finio: gk para k M. Para ser ilizado, es necesario qe M sea mayor qe la consane dominane del sisema. En ese caso na bena aproximación para solcionar la ecación.5 es: ˆ M k y k R k g R τ τ.5 Escribiendo esa ecación de forma desarrollada para τ,,..., M-, se obienen el sigiene conjno de ecaciones lineales: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ M g g g g R M R M R M R M R R R R M R R R R M R R R R M R R R R y y y y M L M O M M M L L L M.53

22 Las ecaciones aneriores peden ser aplicadas a más de M valores de τ dando lgar a n sisema de ecaciones lineales sobre deerminado.. Aplicando filros. Un segndo méodo propeso seria el de aplicar n filro para blanqear la señal de enrada. Cando ambas señales, enrada y salida, son filradas con el mismo filro Lq - yf L q y.54 F L q las señales filradas presenan la misma relación qe en la ecación.3 k y g k k + v.55 F El filro L debe ser seleccionado de al manera qe la señal de enrada F sea lo más parecida posible a n rido blanco. Pede calclarse considerando qe L es n filro AR ao regresivo: Aq - e, donde el polinomio AqLq pede calclarse ilizando el méodo de mínimos cadrados expeso en el capílo 3. El orden del polinomio A, na, sele esar comprendido enre 4 y 8. Se deermina la fnción implsional aplicando la ecación.5 de la forma: Ry g ˆ k R F FF Más dealles sobre el mismo se exponen en [Ljng94]. F k F.56 Las propiedades básicas del análisis de correlación son: Al igal qe en el análisis de la respesa ransioria, el análisis de correlación da na rápida información sobre la consane de iempo dominane del sisema y del reardo pro. o es necesario ningna enrada en especial. Dan como reslado na abla de daos o na gráfica qe no peden ser ilizados direcamene en simlación. Los reslados obenidos paren del hecho de qe la enrada es independiene de las perrbaciones y/o rido, eso limia el so de ese méodo a sisemas sin realimenación anillo abiero..5 écnicas frecenciales Los sisemas lineales peden ambién definirse a parir de la respesa frecencial Gjω. Mienras qe las respesas ransiorias y el análisis de correlación ienen por objeivo esimar la respesa implsional, las écnicas frecenciales ienen por objeivo la esimación direca de la respesa frecencial, el cómo a parir de ella se esiman los parámeros de la fnción de ransferencia se abordará en el ema 3. Las écnicas qe se presenan en ese aparadp son el análisis de Forier y el análisis especral.

23 .5. Análisis de la respesa frecencial El análisis de la respesa frecencial es n méodo simple para obener información acerca de n sisema lineal. Consise simplemene en describir como se compora el sisema cando esa someido a na enrada senoidal. Al aplicar na señal de enrada definida por: α sinω la respesa del sisema pede describirse como: donde φ ω arg G jω ω + φ + v ransiorio y G jω α sin ω Asmiendo qe se pede ignorar el ransiorio y considerar solo la respesa esacionaria, la salida del sisema pede ilizarse direcamene para deerminar Gjω. Observando simplemene la señal de enrada y de salida, se pede calclar la ganancia y el desfase enre ambas señales. La figra.4 mesra como evalar la respesa a na enrada senoidal.,y φ φ U Y y Figra.4. Evalación de la respesa sinsoidal. La ganancia y la fase se obienen: G jω Y Y φ ω π φ φ Cando el experimeno se repie con disinas frecencias perenecienes al ancho de banda del sisema, el reslado pede dibjarse en forma de diagrama de Bode. Las venajas de ese méodo son: Es fácil de ilizar y no se reqiere n procesado difícil de los daos. 3

24 o es necesario hacer ningna sposición sobre la esrcra del modelo, solo considerar qe se raa de n modelo lineal. Es fácil concenrar el esdio del proceso en n rango de frecencias deerminado. Los inconvenienes qe presena ese méodo son: Dan como reslado na abla de daos o n gráfico qe no pede ser ilizado direcamene en simlación. Son necesario largos periodos de prebas si se qiere evalar el valor de Gjω para n gran número de frecencias. Es my sensible al rido presene en el sisema y no da ningún valor medio esadísico. En la mojaría de las veces resla difícil deerminar el valor de desfase enre las señales. Para eviar el problema de las perrbaciones, se pede ilizar el denominado méodo de correlación para el análisis de la respesa frecencial. al como se mesra en la figra.5, consise en mliplicar la salida del sisema por na señal seno y na señal coseno de la misma frecencia qe la enrada del sisema y a coninación inegrar las señales obenidas considerando n inervalo específico de medida m : y ω s y ω c m m G jω y sinω d y cosω d La esimación de la amplid y de la fase se calcla mediane: α ˆ ys ω + yc m y φˆ ω arcan y c s m m ω + kπ ω G jω α cosφ ω G jω α sin φ ω ω α sin ω Proceso v y Generador de señales sin ω cos ω Figra.5. Análisis de la respesa frecencial con écnicas de correlación y S y C Para minimizar el efeco de las perrbaciones, la dración de las medidas m debe ser siempre n múliplo del periodo de la señal de es. En el mercado hay eqipos qe ilizan ese méodo para realizar el análisis frecencial. El principal inconveniene de ese méodo radica en el hecho de qe en la mayoría de procesos indsriales no es posible aplicar na señal senos como enrada en operación normal y, al igal qe el méodo anerior, reqiere 4

25 repeir los experimenos para mchas frecencias, hecho qe en mchos casos lo hace inviable..5. Análisis de Forier Se dice qe na señal,, es de energía finia sí: d < o k k <.63 Si la enrada iene energía finia, es posible deerminar la fnción de ransferencia frecencial ilizando la ransformada de Forier de las señales de enrada y salida: Y ω Y ω G iω U ω Giω.64 U ω En el caso de ener acceso a daos en n inervalo de iempo finio <<S, la ransformada de Forier de las señales se deermina mediane: Y S S jω jω S ω y e d, US ω e d.65 por lo ano, la esimación de la fnción de ransferencia empírica EFE se deermina con la ecación: Y G ˆ S jω U S S ω ω.66 En el caso en qe se disponga de daos mesreados: k, yk para k,...,, se pede ilizar para el cálclo de la ransformada de Forier discrea: Y S jω k jωk ω y k e y U S ω k e.67 k k siendo el periodo de mesreo y S/. Cando la frecencia iende por valor ωr π/, para r,...,-, y se ajsa a na poencia de dos, es posible ilizar la FF para esimar los valores de Y S ω y U S ω. El sigiene eorema nos permie evalar las propiedades de la EFE. eorema.: Considerando qe n sisema iene por expresión y g τ τ dτ + v.68 y asmiendo qe: c y τ g τ dτ cg se dedce qe [Ljng94] 5

26 c. cg VS ω G ˆ jω G jω + S.69 U S ω U S ω Para inerprear el reslado se deben hacer sposiciones respeco a la señal de enrada. Caso. Enrada periódica y S es n múliplo del período: - EFE esá definida per n número fijo de frecencias. - A esas frecencias la EFE converge al valor real y s varianza decrece en fnción de /. Caso. La enrada es na señal no periódica: - La EFE converge asinoicamene a la fnción de ransferencia cando se incremena el número de daos, a mayor S mayor número de frecencias evaladas. - La variancia de EFE no decrece al incremenar S, esa se maniene consane e igal a la relación señal/rido para cada frecencia. Enre las venajas e inconvenienes del análisis de Forier desacan: Es n méodo fácil e eficiene, especialmene cando se aplica la FF. Permie na bena esimación de Gjω cando la enrada es na señal periódica. Para señales no periódicas la fnción obenida es my flcane..5.3 Análisis especral El especro de na señal o periodograma, Φ ω, se pede inerprear como na media de s conenido frecencial y se define como: Las propiedades de los periodogramas son: Φ ω / Uω.7. Una señal pramene senoidal presena picos en ese diagrama.. Con oros ipos de señales el reslado obenido es my flcane. 3. Savizando visalmene los reslados obenidos pede obenerse, a parir de ese análisis, na idea del conenido frecencial de la señal. Dado na señal obenida de n proceso esocásico con na densidad especral Φ ω, el valor esimado de Φˆ será: Φ ˆ ω Φ ω + R.7 siendo R el ermino residal, responsable de las flcaciones. Ese érmino se caraceriza por ener n valor medio nlo y na variancia qe depende del ipo de señal y pede ender a cero a medida qe se amena. Como reslado de aplicar la ransformada de Forier al modelo represenado por: se obiene: ygq+v.7 YωGjωUω+Vω.73 6

27 Considerando qe las señales y v son independienes, al mliplicar la ecación.73 por el érmino Uω se obiene la ecación.74 con la cal es posible esimar la fnción frecencial.75. Y, al mismo iempo, como reslado de elevar al cadrado la ecación.73 se obiene la ecación.76 qe hace posible esimar el especro de la perrbación.77. Φ y ω G iω Φ ω La esimación de la fnción especral se realiza mediane:.74 Φˆ Gˆ iω Φˆ y ω ω.75 El análisis del especro de las perrbaciones se obiene: Φ ω G iω y Φˆ v ω Φˆ Φˆ y Φ ω + Φ Φˆ ω Φˆ ω y L L k ω v ω Φˆ ω k M ω Para aplicar la ecación.75, debe deerminarse en primer lgar el especro de la señal de enrada y el especro crzado enre las señales y y. Se ha viso en.7 qe el especro iene asociado n érmino residal, por lo ano para realizar na bena esimación de la fnción de ransferencia del sisema será necesario redcir ese érmino. En la bibliografía hay disinos méodos para redcir la variación o érmino resido del especro de na señal, aqí se describen dos de ellos por ser los ilizados en el programa MALAB.. Méodo de Welch pwelch de MALAB Consise en descomponer la señal en L segmenos de longid M siendo M na poencia de dos y con n ano por cieno de solapamieno, deerminar el especro de cada no de esos segmenos y hacer n promedio enre los reslados obenidos. Con ello se redce el facor R a cosa de redcir la resolción especral.. Mèode de Blackman-key.78 Ese méodo consise en redcir las flcaciones haciendo n promedio enre n nombre deerminado de frecencias vecinas. π Φˆ ω Wγ ω ξ ˆ Φ ξ dξ donde: W γ ω es na fnción venana cenrada y /γ describe la longid de la venana. π.79 Ora forma disina a la ecación.7 para calclar el especro de na señal consise en ilizar la fnción varianza: 7

28 Φˆ k Φ ω R k e γ kγ iωk Por lo ano la ecación.8 pede ser expresada ambién como: ω W k Rˆ k e γ iω k.8.8 Las eapas qe proponen Blackman-key para esimar el especro de na fnción son: a Definir el ipo de venana. En general para el análisis especral se sele ilizar la venana Hamming: ω γ k ½ +cosπk/γ k < γ ω γ k k γ b Deerminar la longid de la venana. Ese valor es n compromiso enre la resolción especral mayor γ menor resolción y la variancia a mayor γ mayor varianza. Cando se desean deerminar picos de resonancia son necesarios valores grandes de γ, comporando n ameno de la varianza. Cando se desea evalar n especro llano se ilizan valores peqeños de longid de venana. c Calclar R k para k,..., γ d Deerminar Φ $ ω a parir de la ecación.8. El especro crzado enre las señales de enrada y salida se deerminan a parir de: γ Φ ˆ ω Rˆ l W l e y lγ y γ ilω.8.6 Diseño de los experimenos Para ilizar debidamene los méodos de idenificación es necesario, siempre qe sea posible, diseñar adecadamene el experimeno. Para ello es necesario disponer de nos conocimienos básicos sobre el comporamieno del proceso, seleccionar las señales de enrada,... enre oras. Esa información pede obenerse realizando na serie de experimenos básicos y sencillos conocidos con el nombre de experimenos preliminares..6. Experimenos preliminares Los experimenos preliminares permien obener información básica del comporamieno del sisema. Se conocen con ese nombre los sigienes ipos de ensayos: a Los experimenos de fncionamieno libre free rn experimens consisen en analizar los daos correspondienes al fncionamieno normal del proceso. Por lo ano, no se reqiere ningna acivación específica de las enrada. Ese ipo de experimenos permie deerminar las caracerísicas de las perrbaciones qe afecan a la salida del proceso y el rido inherene en las señales capradas. b El experimeno en escalón saircase experimen es úil para observar el grado de linealidad del proceso esdiado. Consise en aplicar, a na de las enradas seleccionadas, n es con escalones scesivos, el inervalo de iempo de cada no de los cambios del escalón debe ser sficiene para esabilizar el sisema. El es de linealidad, en esado 8

29 esacionario, consise en: seleccionar de los daos de enrada y salida los pnos de eqilibrio, ajsar a los mismos n polinomio de segndo o ercer orden y 3 observar el valor de los érminos de mayor orden del polinomio ajsado; en el caso de qe esos érminos sean my significaivos implica qe el proceso iene n gran componene de no linealidad. Para eliminar dicha no linealidad, pede precompensarse los daos del proceso ilizando el modelo inverso del polinomio. En el caso de qe no sea posible aplicar na señal escalonada al proceso écnica no paramérica expesa en el aparado.3., por moivos écnicos o económicos, si qe se acepa habialmene la ilización de n escalón simple, en ese caso solo será posible esimar la consane de iempo más relevane del proceso esdiado. c Los experimenos con rido blanco whie noise experimen peden ser úiles para deerminar el ancho de banda y los reardos del proceso. Ese ipo de experimeno se caracerizan por exciar el proceso mediane n rido blanco. Con los daos reslanes de dicho experimeno pede realizarse el esdio especral y/o el análisis de correlación [Zh93], écnica ambién no paramérica descrias aneriormene. Oros ipos de señales a ilizar en la realización de dicho experimeno son señales con el ancho de banda limiado como la PRBS psedo random binary seqence o senoides múliples esas señales se describen en el próximo aparado. d Finalmene, se menciona la écnica de la respesa frecencial del proceso realimenado con n relé con hiséresis [Åsröm88]. Ese méodo consise en conecar el proceso de la forma indicada en la figra.6. Dando lgar, en la mayoría de los procesos, a na onda cadrada a la salida del relé y na onda aproximadamene sinsoidal a la salida del proceso. Esa écnica es my úil para deerminar las caracerísicas fndamenales del sisema en el caso en qe, por los moivos qe sea, no peda operarse en lazo abiero. y sp e Gs y Figra.6. Diagrama de bloqes de n proceso realimenado con relé Como reslado de descomponer en serie de Forier la señal de salida del relé y considerando solo el primer armónico, se obiene qe la ecación descripiva del relé con hiséresis es [Cook86]: - 4A h A Ay j πay A y y h.83 siendo, A la amplid del relé; A y la amplid de oscilación de la salida; y h la hiséresis del relé. Dado n proceso qe iene por fnción de Gs, las condiciones de oscilación se dan cando: A G iω.84 y 9

30 qe corresponde al caso en qe la fnción de ransferencia avalada en el campo frecencial, Gωj, inercepa con -/A y, figra.7. La ecación.84 se obiene a parir del reqerimieno qe na onda sinsoidal de frecencia ω se propaga a ravés del anillo realimenado con la misma amplid y fase. Imaginario - Real -/A y - Gωj Conocido el valor de A y, pede esimarse n pno de la respesa frecencial, qe coincida con la plsación de oscilación ω h. El módlo y la fase de ese pno se deerminan a parir de la ransformada de Forier de las señales: G iω h Figra.7. Diagrama de yqis. ωh ω Y K U h G i aan Y ωh arg ωh φh U ωh La información sobre la consane de iempo del proceso esdiado se obendrá considerando qe ss caracerísicas se ajsa a na deerminada fnción de ransferencia. La fnción de ransferencia ilizada por la mayoría de los aores es: h.85 G s k s + e Ls.86 siendo k la ganancia, la consane de iempo del proceso y L el reardo pro. Igalando las ecaciones.85 con el módlo y la fase de la fnción de ransferencia.86 se obienen dos ecaciones con res incógnias:, k y L. k Kh ω +.87 φ aan ω Lω h h h h La solción se alcanza realizando n segndo experimeno con n valor h, hiséresis del relé, disino. Procesando adecadamene las ecaciones aneriores, se obiene qe la 3

31 consane de iempo y la ganancia del sisema peden calclarse a parir de la ecación.88. k K K h h ω ω h h.6. Diseño y selección de las señales de enrada Las variables de salida del proceso selen qedar definidas al formlarse el problema de modelación, por ejemplo la variable a conrolar o a predecir simlar. o scede lo mismo con la variable de enrada, en general sele haber varias variables de enrada y por lo ano se planea el problema de seleccionar cal/es de ellas son las adecadas para consegir los objeivos propesos. Además del problema de la selección, hay oro aspeco a ener en cena consise en deerminar la amplid de la señal de exciación..6.. Selección de las señales de enrada A la hora de seleccionar cal o cales son las variables de enrada para el conrol o la predicción, hay algnas consideraciones qe deben enerse en cena: La selección de la enrada esa my inflenciada por la amplid y por como incide en el rango de la salida. En el caso de ener como objeivo el conrol, la variable de enrada debe ser maniplable. 3 La fnción de ransferencia salida/enrada debe ser lineal o linealizable las no linealidades peden ser compensadas por ejemplo sando n lazo cerrado sencillo. 4 Las enradas medidas pero no maniplables peden ilizarse como señales de enrada en el proceso de idenificación eso implica qe el número de enradas a ilizar en la idenificación podrá ser mayor qe en el conrol. 5 La ilización de la experiencia de los operadores de proceso y el conocimieno qe se enga sobre el mismo son esenciales para la elección de la enrada. Uno de los objeivos de los experimenos preliminares será el de aydar a la selección de la señal/es de enrada..6.. Diseño de las señales de enrada El diseño de las señales de enrada involcra dos aspecos: la deerminación de la amplid y la selección de la forma. En el caso de la deerminación de la amplid de la señal de es se debe ener en cena: K K h h.88 Debe esar resringida por el rango de variación permiido. Por razones de segridad y económicas, no es posible inrodcir grandes flcaciones en el proceso. En la prácica mchos procesos son no lineales y los modelos lineales son solo na aproximación. Una linealización de na dinámica no lineal será válida solo en na ciera región. Para esimar los parámeros de n modelo lineal, na amplid my grande en la señal de enrada no será úil. Pero, por oro lado, con na amplid mayor en la enrada se obiene na mejora en la precisión del modelo esimado, por ejemplo la precisión de n parámero en érminos esadísicos es inversamene proporcional a la energía de la enrada. Eso es lógico ya qe al amenar la relación señal/rido incremena y por lo ano las perrbaciones o 3

32 ridos ienen na inflencia menor. Un crierio sencillo para conocer cal debe ser la amplid mínima será el de bscar qe el efeco de la enrada respeco a la salida sea percepible visalmene. Oro aspeco qe no debemos despreciar, es qe la amplid de la señal de enrada esa my inflenciada por la frecencia de dicha señal, por lo ano la medida del facor de cresa, max max, min / rms es ambién imporane. Para na amplid dada, la energía de la enrada inp power es proporcional a /facor de cresa. El rango de frecencias conenido en la señal exciación es ambién n elemeno imporane a ener en cena. En fnción de las caracerísicas del proceso, como pede ser la consane de iempo, el rango de frecencias más adecadas pede deerminarse mediane:. f min π.89 5 < f max π π.6.3 Selección del período de mesreo y la dración del experimeno Para la idenificación de modelos en iempo discreo el periodo de mesreo deber ser seleccionado correcamene anes de empezar el experimeno, ya qe na vez almacenados los daos ese no pede ser modificado. Al operar con daos mesreados, es ineviable qe se pierda información sobre el proceso, por ello es necesario seleccionar la frecencia de mesreo para qe dichas pérdidas sean insignificanes. En la mayoría de los casos las mesras se adqieren a insanes eqidisanes de iempo. Para seleccionar el periodo se deben ener en cena las sigienes consideraciones: En mchos casos el periodo de mesreo viene definido por la aplicación final. Por ejemplo el insrmeno de conrol a ilizar, los insrmenos de medida, el ipo de algorimo de conrol,..., limian en mchos casos el periodo de mesreo. La pérdida de información debida al periodo se explica mejor en el dominio frecencial. Es bien conocido qe na señal sinsoidal con na frecencia mayor qe la miad de la frecencia de mesreo denominado frecencia de yqis no pede, al ser mesreda, disingirse de ora por debajo de ese periodo. Consecenemene, la pare del especro de la señal qe corresponde a alas frecencias será inerpreada como na conribción a bajas frecencias, denominado fenómeno alias. Eso ambién significa qe el especro de na señal mesreada será la sperposición de diferenes pares del especro inicial. La información acerca de las frecencias speriores a la frecencia de yqis se pierde en el mesreo. La disorsión prodcida por el efeco alias, pede ser redcida ilizando n filro anialias. El ancho de banda del filro deberá ser mcho menor qe la miad de la frecencia de mesreo. El diseño del filro depende del orden y de la frecencia de core. Una manera de deerminar la frecencia de core es aplicando la fórmla: f core f max + f s / - f max /. 3

33 Es prácico aplicar el mismo filro en las señales de salida y enrada. Al disminir el efeco alias, se incremena la relación señal/rido. Asmiendo qe la dración del experimeno es fija, pede ser úil aplicar n periodo de mesreo lo más alo posible, de esa manera se dispone de mas daos. Si el nmero oal de daos a adqirir qe es fijo, el periodo de mesreo no debe ser my grande ni my peqeño. El primer caso hace qe los daos conengan my poca información acerca de las dinámicas a ala frecencia y el segndo caso hace qe el rido endrá mcha inflencia. Una regla a aplicar pede ser enre 5 o my frecenemene alrededor de el iempo de esabilización del proceso. Es mchas veces peor seleccionar n periodo de mesreo demasiado grande qe demasiado peqeño. Conocida la f max del sisema, en [Ogaa87] se propone como fórmla para deerminar el periodo de mesreo: 8 f max f s f max. iempos de mesreo my peqeños peden provocar problemas prácicos: odos los polos esarán siados alrededor de en el plano z y el modelo deerminado pasará a ser nméricamene my sensible. En mchos casos el modelo reslane de n mesreo rápido, será de fase no mínima a pesar de qe el proceso conino sea de fase mínima, y en el caso de n proceso con reardo, ese, debe ser modelado con mchos daos de reardo casando dificlades, por ejemplo, en el diseño de conroladores. La dración del experimeno afeca ano en la precisión de los parámeros, el cal es inversamene proporcional a la dración del experimeno, como a la resolción especral. Una regla a ener en cena es qe la dración del experimeno debe ser mayor a 5 veces la mayor consane de iempo del sisema qe se desea idenificar. Oro aspeco a ener en cena es el rango de frecencias analizado, ese debería ser de dos o res décadas. Finalmene, la dración del experimeno debe ener en cena el cose de la realización del experimeno. Un aspeco imporane a considerar, cando se san señales periódicas, es qe la dración del experimeno debe cbrir n número compleo de periodos o secencias..6.4 Preraamieno de los daos Una vez se dispone de los daos es necesario realizar n raamieno previo de los mismos, anes de ser ilizados en los algorimos de idenificación. Hay disinas deficiencias en los daos adqiridos qe deben ser corregidos: Perrbaciones de alas frecencias en los daos; Ocasionales daos esprios y/o olvidados, Derivas, offse y perrbaciones a bajas frecencias, Los valores nméricos de las disinas señales no ienen el mismo orden de magnid, Presencia de iempos de ranspore o reardo imporanes. 33

34 Despés de adqirir los daos, lo qe debe hacerse es visalizarlos con el objeivo de inspeccionar y analizar si hay algún ipo de deficiencias en ellos. Segidamene con el objeivo de solcionar el problema, peden aplicarse algno de los raamienos comenados a coninación.. Perrbaciones a alas frecencias. Las perrbaciones a alas frecencias de los daos adqiridos indican qe el periodo de mesreo y/o el filro previo al mesreo no han sido convenienemene seleccionados. Si el periodo de mesreo es innecesariamene peqeño, los daos peden volverse a mesrear omando na mesra de cada x mesras de los daos iniciales. En ese caso, anes del nevo mesreo, debe aplicarse n filro anialias.. Daos esprios y olvidos. Los daos esprios y olvidos ienen na gran inflencia en el reslado de la esimación. Es por lo ano necesario eliminar los daos incorrecos e inserar daos en los iempos en qe ha habido errores de adqisición. Las eapas a segir para deerminar esos problemas son: Fijar, ilizando el conocimieno previo, n valor de la amplid de la señal qe no sea propia del sisema real; Calclar la desviación esándar de la señal; Inerpolar odas las mesras de la señal original qe engan na amplid sperior o inferior al rango fijado definido por los valores no posibles o como múliplo de la desviación esándar. Hay algorimos qe permien deecar los fallos en la adqisición de daos. De odas formas, se debe ser my prdene para no falsificar los daos originales. 3. Perrbaciones lenas offse, endencias, derivas. Ese ipo de perrbación es my frecene en los daos. Ellas selen ser debidas a casas exernas y en la mayoría de los casos se prefiere no inclirlas en el modelo. Hay, básicamene, dos formas de eliminar el problema: Eliminando las perrbaciones mediane n raamieno de los daos; Definiendo adecadamene el rido del modelo eniendo en cena las perrbaciones La primera aproximación implica ssraer direcamene las endencias y offse. En la prácica las écnicas qe se aplican para ello son: a Linealizando el modelo alrededor de n pno de eqilibrio, y: y yˆ y.9 ˆ, y siendo n pno de eqilibrio físico y ˆ, yˆ las señales medidas. b Parecido al caso anerior pero ssrayendo el valor medio de las variables medidas.. c El offse pede ser esimado de forma explícia exendiendo el modelo y ilizando las variables originales A q yˆ B q ˆ + α + v.9 donde α indica el offse. 34

35 En el caso de endencias o derivas na alernaiva a la ecación.9, es sbsiir el valor medio de las señales por na reca de pendiene definida por la endencia de las señales o na crva en el caso en qe la deriva no sea consane en el iempo. Una segnda aproximación es considerar α como pare del rido del modelo. En el caso más sencillo eso corresponde a diferenciar los daos.9 y lego ilizarlos en la idenificación, pero el modelo reslane de la ilización de esos nevos daos amplifica las alas frecencias, por ello no pede ser ilizado en mchas aplicaciones. y yˆ yˆ ˆ ˆ.9 4. Escalado de las variables. En los procesos indsriales no odas las variables de enrada y salida son de la misma magnid. Ese problema es imporane cando se evalúa la fnción de sisemas mlivariables. El problema pede ser eliminado corrigiendo adecadamene el offse y el escalado. 5. iempos de reardo. En mchos procesos indsriales, los iempos de reardo no son despreciables y es my imporane describir correcamene el reardo del proceso en el modelo. En los méodos de esimación de parámeros, el reardo es raado como n desplazamieno emporal de las enradas respeco a las salidas. Una de las señales es ilizada como referencia la ora es desplazada en el iempo para compensar el reardo. Usalmene, es la enrada la señal desplazada, por ejemplo en el caso de n reardo d: d q ˆ ˆ d.93 Uilizando la variable desplazada, el modelo pede ser esimado mediane los méodos esándar. Bibliografía adicional sobre el ema Bibliografía adicional sobre el ema [Åsröm7] K.J. Åsröm and P. Eykhoff. Sysem Idenificaion A Srvey. Aomaica, Vol. 7 pp Pergamon Press, 97. Grea Briain. [Evans9] D.C. Evans, D. Rees, D.L. Jones. Design of es signals for idenificaion of linear sysems wih nonlinear disorion. IEEE rans. on Insrmenaion and Measremen, 6, 6, p , 99. [Fasol8] K.H. Fasol, H.P. Jorgl. Principles of models bilding and idenificaion, Aomaica, 6, p.5-58, 98 [Godfrey8] K.R. Godfrey. Correlaion mehods. Aomaic, 6, p , 98 35

36 [Iserman8] R. Iserman. Pracical aspecs of process idenificaion, Aomaica, 6, p , 98 [Johansson93] R. Johansson. Sysem modeling and idenificaion. Prenice Hall, 993 [Landa9] I.D. Landa. Sysem idenificaion and conrol design, Prenice Hall, 99. [Ljng87] L.Ljng. Sysem idenificaion heory for he ser, Prenice Hall, 987. [Ljng94] L.Ljng and.glad. Modelling of dynamic sysem, Prenice Hall, 994. [Ogaa87]. K. Ogaa. Discree-ime Conrol Sysems. Prenice-Hall Inernaional Ediions, Unied Saes. [Södersröm89]. Södersröm, P. Soica. Sysem idenificaion, Prenice Hall, 989. [Rake8] H.Rake. Sep response and freqency response mehods, Academic Press, 994. [Zh93] Y. Zh,. Backx. Idenificaion of mlivariable indsrial processes for simlaion, diagnosis and conrol, Springer-Verlag,

37 ema écnicas de idenificación no paraméricas Ejercicios y problemas reselos Problema.. Se qiere diseñar na señal de exciación Random discrea de media 5, desviación esándar o varianza 4, con elemenos y periodo de mesreo de. segndos. Evalar ilizando como herramiena el programa Malab, la variación emporal y la densidad especral esimada. Calclar s energía oal o RMS Solción El programa Malab dispone de na fnción randn qe permie generar na secencia de números aleaorios de media cero y variancia. Por lo ano aplicando: >>5+*randn,; con es posible generar n vecor con filas y na colmna de media 5 y desviación esándar. La fnción specrm esima la densidad especral de la señal ilizando el méodo de Welch. >> P specrm la visalización del especro se realiza ilizando el comando specplo >>specplop,fs siendo Fs la frecencia de mesreo del señal. Observar qe la frecencia máxima es de: -/*Fs/, ya qe se evalúa en la región enre y π. La figra mesra la variación emporal y la densidad especral de la señal diseñada. Para la represenación emporal, generamos el vecor iempo como: >>:.:-*.; %variaciones de. >>%obención de las crvas >> sbplo,plo,,ile'variacion emporal', xlabel'iempo',ylabel'amplid' >> sbplo,specplop,/. Aplicando la ecación. se deermina la energía oal o RMS de la señal diseñada: >> sqrsm.^/

38 Problema.. Se qiere filrar la señal diseñada en el problema anerior de forma qe enga n ancho de banda de.5hz. Observar la variación emporal y especral de la neva señal. Solción El programa Malab dispone de na panalla gráfica para diseñar filros de disinas caracerísicas, fdaool. En nesro caso se preende diseñar n filro discreo IIR pasa bajos de orden. El méodo ilizado será berword. >> fdaool os aparece la panalla de diseño figra P., en la qe debemos seleccionar el méodo de diseño del filro, el orden, la frecencia de mesreo de la señal /. y la frecencia de core. Una vez definidos los parámeros podemos diseñar el filro, ver figra.

39 En file seleccionar expor, definiendo la mariz SOS y ganancia G. Obeniéndose: >> SOS SOS >> G G.393 La fnción de ransferencia del filro discreo es: > UMG*SOS:3 UM >> DESOS4:6 DE >> sysfum,de,. Señal filrada ransfer fncion:.393 z^ z z^ z Aplicación del filro diseñado a la señal deerminada en el problema anerior: >ffilerum,de,; >Pfspecrmf; >specplopf,/.; Especro de la señal filrada 3

40 Problema.3. Se qiere generar na señal MLBS con las sigienes caracerísicas: ancho de banda 6 Hz, con na frecencia mínima de. Hz, 4 mesras por cambio de regisro y periodos. Mosrar ano la variación emporal como frecencial. Solción. Deerminar. Ya qe la poencia media del ancho de banda se da aproximadamene en.443/, para qe esa esé siada a 6Hz el valor de debe ser:.443/ Ajse de M. Al ser f min., el valor de M debe esar próximo a 35. Según la abla. el M mas próximo a ese valor es cando en número de regisros es de 7 y por lo ano M 7. El valor de f min será de: f min /M* La frecencia de mesreo de la señal será de.74, ya qe se oman 4 mesras por cambio de regisro s /4.85. Se ha programado na fnción Malab de nombre sbina >> [,s,f,s]sbinan, fmax, sd,amp,periods,invre con enradas n número de regisros fmax frecencia máxima de inerés en el diseño de la señal sd nmero de mesras a adqirir por regisro amp amplid de la señal de enrada -a,a periods número de periodos de la señal de enrada invre señal con armónicos impares odd harmònic Como salidas de la fnción enemos: s f S vecor iempo señal obenida frecencia de la señal ransformada de Fories de la señal En nesro caso endremos por lo ano: >> [,s,f,s]sbina7, 6, 4,, Los reslados obenidos se mesran en la sigiene figra P.6 MLBS [ fmax: 6 Hz, regs: 7, samples/bi: 4, fnd:.743 Hz, fr: Hz, amp:. ].5 Amplide ime s [ 6 Samples ]. Specrm of above.5. Amplide.5 5f-3db Freqency Hz 4

41 Problema.4 Se preende diseñar 3 periodos de dos señales mlisinsoidal con las sigienes caracerísicas:.4 Hz de frecencia fndamenal, de 6 armónicos y na amplid de parar cada componene, na de ellas se diseñará ilizando na la frecencia random y la segnda ilizando el méodo de Schroeder. La frecencia de adqisición de daos será de 5 Hz. Se preende comparar las dos señales obenidas desde el campo emporal y frecencial. Solción Definimos las caracerísicas de las señales >>harm6; fnd.4; a; Fs5; period3; >>samplesrondfs/fnd; >>samplessamples*period; >>:/Fs:samples/Fs -/Fs; Considerando na fase random >>FI*pi*randharm,; >>zerossize; >>Fvfnd*:harm ; >>for i:harm >> +cos*pi*fvi*+fii*onessize; >>end >>plo, Para hacer el esdio especral de na señal con mas de n periodo, la frecencia qeda definida como: >>nlengh; >>ffnd/period*:period*harm'; >>Udaff,n; >>UdaUda:n/+; >>Uda:n/*Uda:n//n; >>% especro de la senyal de enrada >>GconjUda.*Uda; >>plof,g:period*harm+, ile'especro',xlabel'frecencia' 5 Respesa emporal.4 Especro iempo Frecencia Con n facor de cresa de

42 En el caso de ilizar el méodo de Schroeder, la fase se deermina: >>FIpi*:harm'.^/harm; >>zerossize; >>for i:harm >> +cos*pi*fvi*+fii*onessize; >>end >>plo, >>Udaff,n; >>UdaUda:n/+; >>Uda:n/*Uda:n//n; >>% especro de la senyal de enrada >>GconjUda.*Uda; >>plof,g:period*harm Con n facor de cresa de Problema.5. Se iene n sisema represenado por la fnción de ransferencia discrea con n periodo de mesreo de segndo: q +.5q y + v.5q +.7q a Comparar la respesa implsional del sisema en el caso en qe no haya rido, v, y en el caso en qe el rido sea coloreado con na fnción de ransferencia: siendo e n rido blanco de varianza.5. q +.q v.5q +.7q b Deerminar los valores de la respesa implsional en cada caso y calclar el error cadrado acomnado en presencia de rido. Solción a Para deerminar la respesa implsional del sisema ilizando el programa MALAB v5 y v6, se debe proceder de la sigiene forma: e 6

43 >> % simlamos el sisema con la insrcción dimplse considerando qe v >> % la evalación se realizará sobre 4 mesras >> yimpdimplse[.5],[ -.5.7],4; >> % simlamos la pare esocásica del sisema a na enrad randon >> esqr.5*randn4,; >> vdlsim[.],[.5.7],e; >> yvyimp+v; >> :4; Respesa implsional sin rido - y con rido --.5 >> plo,yimp,,yv, iempo b Los valores de la respesa implso yimp en el caso en qe no hay rido son na secencia de valores infinia: g [ ] esa secencia de valores se obiene dividiendo el nmerador por el denominador de la fnción de ransferencia. En el caso en qe si hay rido yv, la secencia qe se obiene es: g [ ] con n error cadrado acmlado de: > smyimp-yv.^/4.66 Problema.6 Se desea esimar la respesa implsional del sisema qe ienen por fnción de ransferencia: G s 4s 4 e + 4s + a parir de la respesa escalón del mismo. Comparar la respesa implsonal real con la respesa esimada. Solción Para poder esimar la respesa implsional del sisema a parir del sisema real se debe disponer de daos mesreados. Aplicando la fnción sep es posible simlar la respesa de n sisema conino a n escalón. s 7

44 >> %sisema sin reardo pro >> sysf,[4 4 ]; >> %aproximamos el reardo pro por n sisema de orden >> [nd,dd]pade,; >> sysfnd,dd; >> % realizamos el prodco de las dos fnciones de ransferencia >> sysseriessys,sys; >> %simlamos el sisema de forma conina y mesreamos cada segndo >> :.:; >> d:; >> ysepsys,; >> ydsepsys,d; >> sbplo,plo,y,d,yd, x,ile Respesa escalón, xlabel iempo >> % las eapas indicadas hasa ese pno podrían ser realizadas direcamene en >> SIMULIK >> %esimamos respesa implso con la ecación.38 >> gyd:-yd:; >> yiimplsesys,; >> sbplo,plo,yi,hold on,bard,g,., ile Respesa implsional,xlabel iempo >> axis[ 5.] Respesa escalón iempo Respesa implsional iempo Problema.7 Se desea ilizar el análisis de correlación para esimar la respesa implso del sisema descrio en el problema.5. Con el fin de realizar n esdio comparaivo de lo explicado en el ema se propone comparar la respesa implso real del sisema con la esimada en los sigienes casos: a Cando v y la señal de exciación es n rido blanco de amplid. b Cando v es n rido blanco, no correlacionado con la enrada, de variancia.3. La señal exciación es la misma qe en el caso anerior. Solción a y b En primer lgar se van a generar las señales de exciación y perrbación con las qe se va a simlar el sisema. Generaremos 5 daos con n mesreo de seg. >> :5 ; >> randn seed,5; 8

45 >> randnsize; >> randn seed,; >> esqr.3*randnsize; >> sbplo,,, plo,,,e,, ile Evolción emporal de y e Para evalar las señales diseñadas se hará n esdio de correlación y correlación crzada. La fnción de MALAB covf permie realizar ese esdio. RcovfZ,M; donde: Z es na mariz de *nz, generalmene Z[y ] o el conjno de señales a evalar; M es el valor máximo de reardo para el cal se qiere evalar la fnción de covariancia. R es la fnción de covariancia E z i *z j +k, k iene los valores de a M. >> Rcovf[e ],; >> sbplo,,3,plor,:, ile Aocorrelación de la señal e >> sbplo,,4,plor4,:, ile Aocorrelación de la señal >> sbplo,,,plor,:, ile Correlación crzada E e*+k Evolción emporal de y e Correlación crzada Aocorrelación de la señal e Aocorrelación de la señal Una vez generadas la señales y evaladas, procedemos a la simlación del sisema. >> ydlsim[.5],[.5.7],; >> yy+e; >> i:5; >> yimpdimplse[.5],[.5.7],i; Para esimación de la respesa implsional ilizaremos la fnción cra de MALAB, además de calclar la fnción implso indica con na confianza del 99% el inervalo de valores a parir de los cales dos señales peden ser consideradas no correlacionadas. [ir,r,cl] craz,m,na,plo; en donde: z [y ], mariz de daos M 5, número de reardos a evalar la fnción de covariancia na, orden del filre AR a aplicar para blanqear las enradas 9

46 plo o, plo visalización de los reslados obenidos; plo, dibja la fnción de ransferencia implso; y plo, dibja las covariancias y fnción implso. ir respesa implso esimada, irg R R:, reardos; R:, fnción de covariancia de la y; R:,3 fnción de covariancia de la ; R:,4 fnción de correlación crzada enre i y; cl nivel de confianza >> [IR,R,cl]cra[y ], 5,,; Covf for y Covf for Correlaion from o y 3 Implse response esimae Para comparar la respesa implsional esimada con la real, podemos aplicar el sigiene comando: >> ploi,ir,i,yimp,,ile Respesa implso comparación, real -- y esimada - En la gráfica obenida se observa qe la respesa implsional esimada se aproxima a la real en los primeros daos M<7, para valores mayores la diferencia es considerable. Oro aspeco a desacar es qe con la respesa implsional se observa na respesa ípica de n sisema de º orden.

47 .5 Respesa implso comparación, real-- y esimada En el caso b endremos: >> [IRn,Rn,cln]cra[y ], 5,,; Covf for y Covf for Correlaion from o y 3 Implse response esimae La comparación enre la respesa implso real y la esimada será: >> ploi,irn,i,yimp,,ile Respesa implso comparación, real -- y esimada -

48 .5 Respesa implso comparación, real -- y esimada La respesa obenida con rido es my similar a la obenida sin rido. Problema.8 Uilizando las écnicas frecenciales del análisis de Forier y el análisis especral deerminar la respesa frecencial del sisema descrio en el problema.5. Como señal de exciación ilizar na señal mlisinsoidal de caracerísicas: armónicos,. de frecencia fndamenal y 3 periodos. Como señal perrbación ilizar n rido blanco de variancia 5. Solción Archivo solp_8. Obsérvese qe la respesa frecencial se esima correcamene, como reslado de aplicar la fnción empírica EFE figra 5 como el análisis especral figra 6. La figra 7 mesra la respesa frecencial eórica, reslado de ilizar el comando dbode. oa: al ilizar en ese caso na señal periódica se ha ilizado direcamene la ransformada de Forier para la esimación de la fnción de ransferencia empírica respesa frecencial ano a parir del análisis frecencial como especral. En el caso en qe las señales ilizadas no sean periódicas, deben ilizarse direcamene los comandos spa y/o efe.

49 Ejercicios y problemas propesos E. Se qiere idenificar n modelo maemáico de n horno blar qe caliena el aire a parir de na resisencia elécrica. La enrada al proceso es la ensión sminisrada a la resisencia calefacora y la salida es la señal enviada por el sensor de emperara siado a la miad de ese horno. Como señal de exciación se ha ilizado na señal binaria. Las señales de enrada y salida se mesran en las sigienes figras: 8 enrada iempo salida iempo Se pide qe a la visa de los reslados se comenen los raamienos previos qe deberían realizarse anes de proceder a la idenificación del modelo. E.. Se desea idenificar el modelo discreo de n proceso. Pariendo de n ensayo preliminar se ha deerminado qe el inervalo de frecencias qe describen el proceso es: [f min, f max ] [.5, 4 ] Hz. Comenar: - A parir de qe ensayos preliminares es posible deerminar ese inervalo? - Cál es el periodo de adqisición de daos qe ilizarías para idenificar ese proceso? - Si es meneser filrar los daos con n filro anialias, qe frecencia de core escogerías para el diseño de ese filro? E.3- Ajsar por el méodo de Küpfmüller y Srejc n modelo qe se ajse a la respesa escalón del problema.6. Comparar los reslados del modelo deerminado con el modelo real. E.4.- Esimar la respesa implso del problema.7 pero en el caso en qe se disponga de na enrada coloreada. Uilizar para ello el comando cra seleccionando el orden adecado del filro, na, para blanqear la señal de enrada.. 3

50 E.5- Variar las caracerísicas de la señal de enrada frecencia fndamenal y número de armónicos y el nivel de rido del problema.8 y observar como se modifica la respesa frecencial del sisema. E.6- Se desea esimar la respesa frecencial de n sisema, para ello se ha exciado dicho sisema con na señal de enrada no periódico obeniéndose como reslado del mismo la señal y, ambas se encenran el fichero adjno E6.ma. Uilizar las fnciones de Malab efa y spa para esimar la fnción de ransferencia empírica a parir del análisis de Forier y del análisis especral, respecivamene. Comparar la respesa frecencial ilizando ambos méodos y variando la longid de la venana M o /γ, jsificar los reslados obenidos. Podríais indicar de qe ipo de sisema se raa?, cal es s ancho de banda?. E.7- Pariendo de los mismos daos del ejercicio anerior, E6.ma, esimar la respesa implso del sisema. A parir de los reslados de qe ipo de sisema se raa?. Jsificar la respesa. E.8- A parir de los daos de enrada y salida de n sisema, se ha esimado la fnción de ransferencia implso obeniéndose los reslados mosrados en la figra. Respesa implso esimada reards Indicar la información podemos obener a parir de ella. Jsificar la respesa. E.9- La fnción de ransferencia empírica obenida a parir del esdio especral de n sisema exciado mediane n rido blanco, se observa en la figra sigiene: AMPLIUDE PLO freqency rad/sec PHASE PLO - phase freqency rad/sec 4

51 Qe frecencia de mesreo escogeríais para dicho sisema? Jsificar la respesa. Indicar ambién de forma aproximada el ipo de sisema de qe se raa. E.-. La fnción de ao covarianza de la enrada y la covarianza crzada enre la enrada y la salida esán represenadas en las sigienes figras: Ifnció d ao-covariança. fnció de covariança creada lags Sabríais dedcir la fnción de ransferencia implso? lags 5

52 ema 3 Méodos de esimación paraméricos y selección del modelo 3. Inrodcción En ese ema nos dedicaremos al esdio de los méodos de esimación de parámeros en el dominio emporal y frecencial. Esos se basan en el speso de qe el sisema peda represenarse por na pare deerminisa o casal y na pare esocásica qe engloba las dinámicas no modelizables del sisema. En general se asme qe la pare esocásica pede ser represenada por na variable Gasiana. Los méodos de esimación en el dominio emporal qe se esdian, ienen la pariclaridad de qe a parir de ellos se esiman modelos discreos dominio-z. Consecenemene, en el caso de desearse n modelo conino dominio-s o ecación diferencial del sisema será necesario converir el modelo discreo a conino. Ello no presena problemas cando el sisema presena n manenedor de orden cero. Conrariamene, ilizando écnicas frecanciales podremos esimar modelos ano coninos como discreos. La comparación enre ambos modelos se mesra en la sigiene abla. abla 3.. Comparación de modelos de sisemas Méodos frecenciales Fnción de ransferencia en el dominio s y z Rido adiivo en la enrada y en la salida Modelo no paramérico del rido Reardo fraccional Sisemas SISO Méodos emporales Fnción de ransferencia en el dominio z Rido adiivo al modelo Modelo paramérico del rido Reardo es n múliplo enero de s Sisemas MISO Los méodos de esimación frecenciales ienen diferenes venajas y desvenajas con respeo a los méodos emporales. Los ingenieros mchas veces prefieren la descripción en el dominio frecencial por las sigienes razones [Kollár94]: Mienras qe la solción de na ecación diferencial necesia la convolción en el dominio del iempo, esa convolción se ssiye por na simple mliplicación en el dominio de la frecencia. A mendo es posible descomponer la señal / rido en diferenes bandas frecenciales. Con la selección adecada de los coeficienes de Forier en na banda de frecencias adecada, es posible redcir el número de daos. Es posible obener n modelo conino a parir de los daos. Peqeñas no linealidades peden ser fácilmene mensrables y deecables en el dominio de la frecencia. Por oro lado, rabajar en el dominio del iempo iene venajas [Ljng9]: Es más naral rabajar con señales en el dominio emporal. Son méodos menos sensibles al ipo de señal de exciación, los écnicas frecenciales presenan problemas cando esas no son periódicas. 3-

53 Cieras no linealidades son más fáciles de deecar, como es el caso de las saraciones. Peden ser ilizados de forma recrsiva. Permien medir direcamene los ransiorios del sisema. En general, la base de odos los méodos de esimación consise en minimizar nos residos ε, definiendo ε como la diferencia enre el valor deseado de la salida, y, y el valor de predicción, y$, qe es fnción del modelo esimado. La minimización se realiza generalmene ilizando n crierio cadráico. La meodología de cálclo a ilizar dependerá de la relación enre ε y los parámeros qe se qieren esimar. Cando la relación sea lineal se podrá ilizar n méodo de cálclo analíico, mienras qe en el caso de na relación no lineal, el méodo de cálclo a ilizar será ieraivo. Se debe decir qe los modelos esimados, ano en el dominio emporal como frecencial, serán modelos con dinámicas lineales. En la abla 3. se mesran más claramene esos concepos. abla 3.. Clarificación del érmino linealidad. DIÁMICA PROCESO ERROR lineal no-lineal respeco al coeficiene $a Lineal y'+ ay ε y' + ay $ ε y w w' + aw $ o-lineal 3 y'+ ay ε y w ε y' + ay $ 3 3 w' + aw $ 3. Los modelos y los méodos de esimación paraméricos discreos 3.. Esrcra de los modelos lineales discreos Los méodos de esimación paraméricos esán my relacionados con el modelo ilizado. La forma general de represenar la esrcra de n modelo discreo es, según [Ljng87]: y G q + H q e 3. Los errores de modelización se inclyen, a diferencia de oros méodos de esimación, en el érmino e. A ese érmino se le asocia na serie de variables Random independienes niformemene disribida de media nla rido blanco. Gq - i Hq - son filros de orden finio qe modelizan la pare deerminisa y la pare esocásica respecivamene. Una caracerísica diferencial de las disinas esrcras derivadas de la ecación general 3., es la forma de modelizar la pare esocásica o rido. Por ese moivo los modelos se han agrpado en dos bloqes: 3-

54 - Modelos en qe Hq - a Modelos de media ajsada, MA: y B q nk + e 3. donde: G q B q, nk represena el reardo pro del proceso y Bq - es n polinomio de grado nb qe iene la forma: nb B q b + b q + L + b q 3.3 Se les denomina ambién modelos de respesa implso finio FIR. ienen el inconveniene qe, para represenar el comporamieno de n proceso, es necesario gran número de coeficienes. b Modelos de error de salida, OE: nb B q y nk + e 3.4 F q B q en ese caso: G q q nk, y Fq - es n polinomio aoregresivo de orden nf: F q nf F q + f q + L + f q Modelos en qe Hq - c Modelos aoregresivos con variables exógenas, ARX: nf A q y B q nk + e 3.6 en ese modelo se considera qe la pare deerminisa y la pare esocásica ienen el mismo denominador: B q nk G q q A q 3.7 H q A q El polinomio Aq - es el polinomio aoregresivo de orden na: na A q + a q + L + a q 3.8 d Modelos aoregresivos de media móvil y variables exógenas, ARMAX: A q Al igal qe en c, G q i H q, ienen el mismo denominador: na y B q nk + C q e

55 B q G q q A q C q H q A q nk 3. y Cq - es n polinomio parecido a 3.8 de orden nc. e Oros modelos del ermino error son: nk A q y q B q + e D q 3. siendo Dq - n polinomio aoregresivo de orden nd. A ese modelo se le denomina ARARX. Un modelo más general es la esrcra ARARMAX: f Modelo Box-Jenkins, BJ: C q nk A q y q B q + e 3. D q B q C q nk y q + e 3.3 F q D q Una propiedad pariclar de esa esrcra es qe Gq - y Hq - no ienen parámeros comnes. - Resmen de los disinos ipos de modelos oda esa familia de modelos se pede represenar por el modelo general 3.4 esqemaizado en la figra 3.. B q C q nk A q y q + e 3.4 F q D q e C q D q q nk B q F q + + A q y Figra 3.. Esqema de bloqes del modelo general

56 Esa esrcra es my general, pero es úil para elaborar algorimos ya qe ss reslados cbren odos los casos especiales. La relación enre modelos y los casos pariclares se exponen en la abla 3.3. abla 3.3. Relación enre el modelo general y los casos especiales. Polinomios ilizados de 3.4 B AB ABC ABD ABCD BF BFCD ombre de la esrcra del modelo FIR ARX ARMAX ARARX ARARMAX OE BJ 3.. Objeivos de los méodos de esimación paraméricos Los méodos de esimación paraméricos ienen por objeivo esimar los parámeros de los polinomios: A, B, C, D y/o F según el modelo considerado, de forma qe el error de predicción sea mínimo. En el caso de la ecación general 3.4 el error de modelización o residos se deermina a parir de la ecación 3.5. D q B q nk ε y y$ A q y q 3.5 C q F q La ecación de los residos 3.5 se pede evalar considerando dos érminos: Modelización de la pare deerminisa. Se observa qe hay na relación lineal enre el error de predicción y los coeficienes de los polinomios A y B, mienras qe respeco a los coeficienes del polinomio F la relación es no lineal. Ese hecho compora qe, para esimar los parámeros del polinomio F, se debe ilizar n méodo de cálclo ieraivo, mienras qe si solo es necesario esimar los parámeros de los polinomios A y B, los méodos de cálclo a ilizar son analíicos y, por ano, más sencillos. Modelización de la pare esocásica. Los errores de modelización ε no son conocidos y la relación qe hay enre los coeficienes y los residos no es lineal. Consecenemene, se deben esimar los valores de ε al mismo iempo qe los valores de los parámeros de los polinomios. En ese caso, por lo ano, los méodos de cálclo serán ieraivos. 3.3 Méodo de esimación por mínimos cadrados LS 3.3. Descripción del méodo de mínimos cadrados El méodo LS esima modelos de esrcra ARX 3.6. Esos modelos se peden represenar por la ecación: 3-5

57 y ϕ θ + v 3.6 siendo: y es el valor de la salida en el insane, ϕ es el vecor regresor o información, y θ es el vecor de parámeros. [ L L ] [ a L a b L b ] ϕ y y na nk nb nk θ na nb 3.7 El problema a resolver consise en esimar el vecor de parámeros, $ θ, pariendo de las observaciones realizadas: y, ϕ,...,y,ϕ. De la ecación 3.6 se dedcen n conjno de ecaciones lineales: y ϕ θ $ y ϕ θ $ M y ϕ θ $ 3.8 qe peden ser escrias en forma maricial según: Y Φ θ $ 3.9 siendo: Y n vecor de dimensión, [ ] d/, Φ [ ϕ ϕ L ϕ ]. El error de modelización o resido se define como: Y y y L y ; y Φ na mariz de dimensión con εε...ε. ε Y Φ θ $ 3. La esimación por mínimos cadrados LS, consise en minimizar la fnción resido, V θ $, definida por la ecación 3.. V θ ˆ ε ε ε ε 3. Ssiyendo la ecación 3. en 3., se obiene qe la fnción a minimizar es: La derivada de la fnción 3. respeco a los parámeros debe ser nla. Dedciéndose qe el valor de los parámeros qe minimiza V θ $ es: [ Y Y Y Φθ θ Φ Y + θ Φ Φθ ] miṋ V θ V θˆ 3. θ $θ Φ Φ Φ Y 3.3 La ecación anerior se pede escribir como n prodco de smas finias: 3-6

58 θ$ ϕ ϕ ϕ y 3.4 de la cal, conocido el orden del modelo: na, nb y nk, es fácilmene calclable el valor de ss parámeros. Se debe ener en cena qe la ecación planeada iene solción si la mariz Φ Φ es definida posiiva o, eqivalenemene sí el rango Φ n. En caso conrario la ecación iene infinias solciones. El reqisio necesario para garanizar na solción única de la ecación 3.3 es qe la señal de exciación sea persisenemene exciada de orden mayor qe d [Södersröm89] Propiedades del méodo LS Las propiedades esadísicas de ese méodo demesran qe dadas nos daos qe saisfacen la ecación 3.5 y ϕ θ + e 3.5 donde θ es el vecor de parámeros verdadero y asmiendo qe e es n rido blanco de media cero y variancia λ : i $ θ converge a θ cando iende a infinio ii la variable Random θ $ θ iii media cero y covariancia P LS n esimador de λ es: al y como se demesra en [Södersröm89]. se compora como na disribción normal de P LS λ$ $λ φ φ V θ$ d Resalar como principal venaja de ese méodo qe la conversión a n mínimo global esá garanizada y no exisen mínimos locales. Y como inconveniene resalar qe sí la perrbación v no es n rido blanco y la relación señal úil/señal rido es imporane, la conversión al valor real de θ no esá garanizada. Ese hecho limia s ilización como méodo general de esimación Solción de LS ilizando la ecación normal La esimación de los parámeros por el méodo LS se realiza a parir de la ecación 3.4, conocida con el nombre de ecación normal. $θ Φ Φ Φ Y 3-7

59 Resalar como venaja qe la resolción direca de esa ecación es sencilla y qe los cálclos algebraicos a realizar son sencillos. Presena el inconveniene qe la mariz Φ Φ pede esar mal condicionada, pariclarmene si es de gran dimensión, lo cal compora errores nméricos imporanes en la resolción de la ecación 3.3. Es por ese moivo qe diferenes invesigadores han presenado alernaivas para resolver esa ecación, na de ellas es por rianglación oronormal Solción de LS por rianglación oronormal La rianglación oronormal o ransformación QR es na de les alernaivas nméricas desarrolladas para resolver la ecación lineal 3.9 y eviar los errores generados por el mal acondicionamieno de la mariz Φ Φ [Ljng87]. Consise en mliplicar el sisema de ecaciones original 4.9 por na mariz oronormal Q: QΦθ QY 3.8 En esas condiciones, la norma de la fnción error no de ve afecada por la ransformación aplicada, ya qe si Q es oronormal: QQ I, por ano: Y Φθ Y Φθ Y Φθ QY QΦθ Q Y Φθ Y Φθ Q Q Y Φθ El objeivo es bscar na mariz oronormal Q al qe: R QΦ donde R es na mariz cadrada de dimensión d/d rianglar por encima. La ecación 3.3 se pede escribir como: Φ Q R 3.3 A la ecación 3.3 se la denomina facorización QR de Φ. Una posible forma de consrir la mariz Q es ilizando la ransformación de Hoseholder [Ljng87]. En esas condiciones, el segndo érmino de la ecación 3.8, QY, se pede descomponer en dos marices: QY L M 3.33 y consecenemene calclar la fnción pérdida 3. como: 3-8

60 R L V $ θ Q θ$ QY θ$ Rθ$ L M Φ M + Es fácil ver qe V θ $ se minimiza por θ cando: 3.34 R $θ L 3.35 y se obiene qe el mínimo de la fnción pérdida vale: minv θ M M M θ$ 3.36 Como venajas de esa meodología de cálclo mencionar: - el sisema lineal 3.35 esá mejor condicionado qe la ecación 3.3 y por ano es nméricamene sperior - la fnción pérdida se calcla sin la necesidad de esimar el valor de ss parámeros. Como inconvenienes desacar qe reqiere el doble de cálclo qe el méodo direco. 3.4 Méodo de mínimos cadrados generalizado GLS El méodo de mínimos cadrados presena como principal inconveniene la no-convergencia del algorimo cando el rido presene en el proceso no es blanco. Una posible forma de solcionar el problema es ilizando el méodo de mínimos cadrados generalizado el cal es na exensión del méodo LS [Åsröm 7], [Zh93]. Al considerar n modelo de ipo: A q y B q nk + H q e 3.37 Sí la fnción de ransferencia discrea del rido, Hq -, es conocida, el modelo pede ransformarse de la forma: ~ A q y B q ~ nk + e 3.38 donde: ~ y y G q ~ G q Con esas nevas señales filradas de la enrada y la salida, el problema podría ser reselo aplicando el méodo clásico de LS. Por lo ano el méodo GLS pede inerprearse como n problema de esimación de LS aplicando como crierio la generalización del error. El problema qe se planea en la ilización de ese méodo es qe la fnción de ransferencia Hq - no es conocida. Para solcionar ese problema se reqiere n proceso ieraivo en caro eapas el cal consise en: 3-9

61 Con el méodo LS, hacer na primera esimación de los polinomios Aq - y Bq - : A q y B q nk + v 3.39 Analizar el resido, ε, y deerminar por ejemplo n modelo AR para aproximar Hq -. En ese caso se iene n modelo denominado ARARX 3.. G q D q 3.4 D q ε e La esimación de Dq - reqiere ora vez la ilización del méodo LS 3 Filrar blanqear la enrada y la salida sando el modelo obenido en la eapa : ~ y D q y ~ D q Hacer na neva esimación por mínimos cadrados ilizando los señales filrados. Ese proceso debe repeirse, a parir de la eapa, anas veces como sea necesario hasa consegir la convergencia. La convergencia del méodo se evalúa comprobando qe los residos definidos obenidos sean blancos. Para ello pede ilizarse el es de ao correlación. Para ilizarse ese méodo deben definirse ano el orden de la pare deerminisa como el orden de la pare esocásica. Para simplificar el problema, la mayoría de las veces se considera qe son del mismo orden. 3.5 Méodo de la variable insrmeno 3.5. Descripción del méodo de la variable insrmeno El méodo de la variable insrmeno IV iene como objeivo aprovechar las venajas del méodo LS y sperar ss limiaciones. iene el inconveniene qe para s ilización es necesario definir na neva variable llamada insrmeno. El planeamieno de ese méodo es my sencillo. Consise en mliplicar la ecación 3.5 por n vecor insrmeno z z y z ϕ θ + z v 3.4 qe se debe caracerizar por ser independiene del rido v, pero dependiene de la enrada y la salida del sisema. Esa propiedad permie planear el sigiene sisema de ecaciones lineales: [ ] z ε z y ϕ θ $

62 El vecor de parámeros qe minimiza la fnción pérdida 3. vale, en ese caso: $θ donde Z es na mariz de la misma dimensión qe Φ. Para qe $ θ converja a θ es necesario qe la variable insrmeno enga como propiedades: En oras palabras, es necesario qe la variable insrmeno sea feremene dependiene del vecor regresión, ϕ, pero sea independiene del rido. Ese méodo, al igal qe LS, presena el inconveniene de qe la mariz Z Φ pede esar mal condicionada cando s dimensión es grande. Por ese moivo pede ilizarse la rianglación oronormal para calclar el valor de los parámeros. Si se considera n modelo con na esrcra ARMAX, na forma de garanizar las condiciones 3.45 es considerando n vecor insrmeno definido por: donde L es n filro lineal y x se genera a parir del sisema lineal: El problema consise en deerminar el filro, L, y el modelo lineal, q - y Mq -. Una forma sencilla seria: Aplicar LS Uilizar el modelo esimado como polinomios y M, y deerminar x con Considerando L, definir z según 3.46 y esimar el vecor de parámeros a parir de la ecación Méodo IV ópimo propeso por Ljng El méodo de la variable insrmeno ópimo propeso por Ljng [Ljng87], ambién denominado variable insrmeno en caro eapas, genera el insrmeno, z, y el filro, L, esimando al mismo iempo la fnción de ransferencia de la pare deerminisa y esocásica. Ese cálclo se realiza en caro eapas:. Considera la esrcra del modelo como n modelo ARX: Z Φ Z Y 3.44 z ϕ z v sea singlar [ ] 3.45 z L q x x L x na L nb 3.46 q x M q 3.47 y$ / θ ϕ θ $

63 y se iliza LS para esimar θ. A los parámeros esimados se les denomina θ $. A parir de los parámeros se obiene la fnción de ransferencia 3.49, donde los sbíndices indican las ieraciones realizadas. $ $ B q G q $ 3.49 A q Con la fnción de ransferencia esimada y considerando L, se genera el vecor insrmeno, z, según se ha descrio en 4.46; x G$ q [ K K ] z x x na nb La ecación 3.44 permie esimar n nevo valor para los parámeros, y obener la correspondiene fnción de ransferencia, G $. 3 Los nevos polinomios, $ A B$ i, obenidos de la fnción de ransferencia G $, sirven para esimar la pare esocásica del proceso: 3.5 $ $ $ v A y B 3.5 Considerando qe el rido se compora como n modelo ao regresivo AR de orden d, se esima, con el méodo LS, el filro L $ q : $ $ L q v e De la misma forma qe en 3.5, se calcla de nevo x pero considerando la fnción de ransferencia G $. El vecor insrmeno ópimo viene dado por [ ] z L$ q x K x na K nb 3.53 Ese nevo insrmeno jno con los filros sirven para esimar el valor final de los parámeros: ϕ $ θ z ϕf z y F $, $ L q ϕ y L q y F F 3.54 Las propiedades esadísicas de ese méodo demesran qe la variable Random θ $ θ iende a na disribción ormal de media cero y variancia P IV : 3-

64 P z z IV $ λ λ$ F ϕf θ $ [ y ] Solción de la esimación IV por rianglación orogonal Al igal qe LS se genera na mariz orogonal Q qe se debe caracerizar porqé el prodco QZ sea rianglar por encima. Con esa propiedad la ecación 3.44 será: Z Y QZ QΦ θ $ 3.56 Al descomponer la mariz Q en: Q Q Q donde Q es na mariz cadrada /. Pede definirse na mariz cadrada y rianglar por encima Z Q Z. Si se define la mariz Φ Q Φ y ya qe Q Z, la ecación 3.56 qeda ransformada en: En 4.58 se demesra qe Z es la raíz cadrada de Z Z y por ano, la ecación 4.56 se pede escribir como: El error de modelización vendrá dado en ese caso por el prodco Q Y y la fnción pérdida qeda definida como: minv θ QY QY Q Y 3.6 θ$ Z Y [ ] Z Φ $ θ Z Z QZ QZ Z Z + Q Z Q Z Z Z Q Y Φ θ $ 3.59 Cabe resalar como venaja de esa meodología de cálclo dos aspecos: qe el sisema lineal 3.59 esá mejor condicionado qe la ecación 3.44 y por ano es nméricamene sperior y qe la fnción pérdida se calcla sin la necesidad de esimar el valor de ss parámeros. Como inconvenienes debe desacase qe reqiere el doble de cálclo qe el méodo direco y complica mcho el méodo IV ópimo Méodo de la máxima probabilidad El méodo de la máxima probabilidad ML es no de los méodos más generales para la esimación de parámeros. La idea básica consise en consrir na fnción, denominada fnción de probabilidad, qe relacione los daos con los parámeros no conocidos. La esimación consise en deerminar el valor de los parámeros cyo valor maximice la fnción. La fnción de probabilidad consise básicamene en la fnción de densidad de probabilidad de 3-3

65 las observaciones. La esimación de la máxima probabilidad significa qe se selecciona el valor de los parámeros qe coinciden más probablemene con las observaciones. Spongamos qe las observaciones esán represenadas por n vecor de variables Random Y[y, y,..., y n ] y indicamos la fnción de densidad de probabilidad como: fθ; y, y,..., y n f y θ; Y 3.6 La fnción de probabilidad de los valores observados pede expresarse como: La esimación sé obiene como: Lθf y θ;y 3.6 max L θ L θˆ 3.63 θˆ El principio de máxima probabilidad es simple y se pede demosrar qe converge asinoicamene cando y la esimación es eficiene variancia mínima[södersrom89]. Si consideramos n modelo genérico dado por la ecación 3.6 y considerando qe v es na señal Gasiana, con na disribción normal y de elemenos, concreamene de media E[v] y covariancia E[vv ]C v conocida. La fnción de probabilidad de esa señal viene dada por la expresión: En la cal al considerar el modelo 3.6 se obiene: / [ de C ] exp v C v f v π v v 3.64 / [ π de C ] exp [ Y Φθ ] C [ Y Φθ ] f v v v 3.65 En la prácica la fnción evalada es: [ π ] [ Φθ ] C de C Y [ Y Φθ] log L θ log v v 3.66 Por lo ano evalando el máximo de esa fnción se esimará el valor de los parámeros θ. En el caso en qe el rido corresponda a n rido blanco con na mariz de covariancia C v σ I, es fácil demosrar qe la maximización de la fnción de máxima probabilidad 3.66 es eqivalene a minimizar la fnción pérdida: V θ [ Y Φθ ] [ Y Φθ ] σ log L θ + consan 3.67 Sí σ no es conocido, la maximización de la ecación 3.66 con respeco a los parámeros y σ debe realizarse separadamene. Para maximizar la ecación 3.66 se debe recrrir a méodos de cálclo nmérico, como el méodo de ewon-raphson. 3-4

66 Consideremos el caso de n sisema ARMAX 3.9 donde el rido se spone qe iene na disribción normal y na mariz de covariancia conocida. En ese caso la fnción del logarimo de probabilidad será: donde: ε y ϕ θˆ, θ [ a a, b,..., b, c,..., c ],..., n m [ π de C ] ε C ε log L θ log v v 3.68 p [ y,..., y n,,..., m, v,..., v ] ϕ p El problema en ese caso es qe v-,..., v-p no son conocidos. Por lo ano, en esas circnsancias, la solción solo es posible haciendo solciones aproximadas méodo ieraivo para consegir a cada paso na mejor esimación de la mariz de covariancia y de los parámeros. Para más dealles [Johansson93] y [Åsröm8]. 3.6 Méodo de predicción de error 3.6. Formlación general del méodo de predicción de error El méodo de predicción de error se basa de predecir el valor de la salida, y, en fnción de los daos de enrada y salida al mismo y de n modelo esimado, de al manera qe se minimice el error exisene enre la variable predicha y s valor real. Considerando la expresión lineal general de n sisema como en 3.6 y despreciando el érmino rido, la predicción de la salida en el insane se obiene: y a y L a y n + b + L + b m ϕ θˆ 3.69 ˆ n m aqí la ecación del resido definida por la ecación 3.5: ε y yˆ ; θ 3.7 pede ser inerpreada como n error de predicción donde la predicción a n paso y ˆ ; θ se basa en odas los daos disponibles hasa el insane - y el vecor de parámeros del modelo θ. Para la formalización del méodo se inrodce la sigiene esrcra general del modelo: y G q ; θ + H q ; θ v 3.7 Asmiendo qe G;θ, eqivale a decir qe el modelo iene como mínimo n reardo pro de na mesra enre enrada y salida. La forma general de expresar n predicor consise en: yˆ ; θ L q ; θ y + L q ; θ

67 la cal es na fnción de los daos aneriores, -, solo sí los filros de predicción ienen como resricción: L ;θ y L ;θ. Hay varias formas de escribir el modelo 3.7 y deerminar el predicor. Una vez definido el modelo y el predicor, se calclan los errores de predicción a parir de la ecación 3.7. La esimación de los parámeros, θˆ, se calcla de al forma qe los errores de predicción sean peqeños. El principio básico de ese méodo se ilsra en la figra 3.. v PROCESO + + y Predicor parámeros θ Minimización de ε - + ε Figra 3.. Esqema del méodo de error de predicción Para definir el méodo de predicción de error el sario debe realizar las sigienes elecciones: Elegir la esrcra del modelo. Eso concierne a la paramerización de Gq;θ y Hq;θ en 3.7 como na fnción de θ. Por razones algorimicas, la fnción de ransferencia se facoriza en polinomios en el nmerador y en el denominador. En el conexo de la idenificación, al como se ha descrio en el aparado 3..., hay disinos modelos de paramerización: OEM, BJM,... Elegir el predicor. Eso concierne a los filros, L q;θ y L q;θ en la ecación 3.7, na vez el modelo ha sido especificado. Esos filros peden ser seleccionados de disinas formas. La forma más ilizada es opimal mean sqare predicor. Eso significa qe los filros son seleccionados de manera qe bajo nas condiciones dadas del modelo los errores de predicción ienen la menor variancia posible. En el caso del modelo general considerado en 3.7, el predicor ópimo seria: [ H q ; θ ] y + H q ; θ G q ; θ y θ El error de predicción se deermina de forma similar: 3.73 ε y y θ y [ H q ; θ ] y + H q ; θ G q ; θ Elegir el crierio. Ese se refiere a elegir na fnción qe origine n valor escalar de odos los errores de predicción ε,θ,..., ε,θ. Ese crierio será minimizado con respeco a θ 3-6

68 de manera qe se realice la mejor predicción. En el caso de na salida el crierio fnción error pede definirse como na sma de cadrados del error de predicción, mienras qe en el caso de sisemas mli-variables como na proyección escalar de la mariz de covariancia V θ h ε ; θ ε ; θ 3.75 donde h es na fnción de valor escalar y, generalmene, consise en la raza de los pesos de la mariz de covariaza o s deerminane. El análisis del méodo de predicción de error mesra qe la fnción perdida converge a n mínimo y la esimación es consisene cando se saisfacen las sigienes condiciones: Los daos {,y} son del proceso en esado esacionario. La enrada es persisenemene exciada. La Hessiana V θ es no singlar al menos alrededor del pno mínimo de Vθ. Los filros Gq - ; θ y Hq - ; θ son fnciones diferenciables del vecor de parámeros θ. En mchos casos el mínimo de Vθ no pede ser hallado de forma analíica. En esos casos la minimización debe realizarse ilizando na rina de cálclo nmérico. El méodo más salmene ilizado es el algorimo de ewon-raphson: ˆ k θˆ k k [ V '' θˆ ] V ' θ k + k θˆ α ˆ k 3.76 Aqí θ indica la ieración k del cálclo nmérico. La secencia de escalares α k se iliza para conrolar la longid del paso. Esricamene en el caso del algorimo ewon-rapson α k, de odas formas en la prácica mchas veces es necesario ilizar n paso variable para asegrar la convergencia del méodo. 3.7 Méodos recrsivos para la esimación de parámeros En los méodos de idenificación recrsivos, la esimación de los parámeros se calcla recrsivamene en iempo. Eso significa qe la esimación θˆ se calcla como na modificación de la esimación θ ˆ ilizando las nevas medidas de y y. Los méodos recrsivos para la esimación de parámeros han sido desarrollados para aplicaciones de la idenificación en iempo real y s major campo de aplicación son sisema de conrol adapaivos y diagnosico de fallos. Ello es debido a qe esas aplicaciones reqieren qe las acciones y evalaciones ilizadas ilicen el modelo mas acalizado del sisema. Los méodos de idenificación recrsivos ienen las sigienes caracerísicas generales: Los modelos esimados con esos méodos se adapan fácilmene a los sisemas varianes en el iempo. Ellos permien qe el modelo siga los cambios de parámeros del sisema o cambios debidos a condiciones de operación en el caso de sisemas no lineales. 3-7

69 Los reqerimienos de memoria son redcidos y no amenan en el iempo, debido a qe no se almacenan odos los daos. Ellos se han derivado de na aproximación de los méodos no recrsivos descrios aneriormene Méodo de mínimos cadrados recrsivo Para dedcir el méodo de mínimos cadrados recrsivo RLS se pare de la ecación 3.4 θ ˆ ϕ k ϕ k ϕ k y k 3.77 k k Para calclar esa expresión de forma recrsiva se inrodce como neva noación: P k ϕ k ϕ k 3.78 Esa sma pede descomponerse en el valor de P y el valor de P-: P P +ϕ k ϕ k 3.79 Con ese cambio de variables, los parámeros peden esimarse ilizando: θˆ P P ϕ k y k + ϕ y k [ P θˆ + ϕ y ] 3.8 Por lo ano el méodo de mínimos cadrados recrsivos adopa la forma: [ y ϕ k ˆ ] θ ˆ θˆ + P ϕ k θ 3.8 donde el úlimo valor pede ser inerpreado como el error de predicción, mienras qe el facor de corrección Pϕ pede ser considerado como n peso o facor de ganancia deerminado como el error de predicción modifica los elemenos del vecor de parámeros esimado. El hecho de calclar P en la ecación 3.79 reqiere inverir na mariz a cada paso de A + BCD A A B DA B + C DA y ieración. Uilizando el lema [ ] [ ] considerando A P, B D y C se obiene na expresión más eficiene: donde P P + Kϕ k P 3.8 [ + ϕ k P ϕ ] K P ϕ /

70 qe da como reslado na ganancia. La expresión de mínimos cadrados recrsivos qeda por ano: [ y ϕ k ˆ ] θ ˆ θˆ + K θ Valor inicial Los algorimos recrsivos reqieren aproximar el valor inicial del vecor de parámeros y de la mariz P. Si es posible realizar na primera esimación del vecor de los parámeros por ejemplo ilizando LS norecrsivo los la mariz P debe reflejar la confianza de los parámeros esimados. En el caso en qe P sea peqeño K será peqeño para los disinos y los parámeros esimados no variaran mcho del valor inicial. Mienras qe, si P es grande la esimación de los parámeros variará rápidamene del valor inicial. En asencia de información previa para realizar na primera esimación de los parámeros, se acosmbra a considerar: θ ˆ y P κi, donde κ es n número grande Facor de oblido Mchas aplicaciones peden considerarse como sisemas de parámeros variables. En ellos se reqiere qe los parámeros de modelo esimado se vayan adapando en fnción de los cambios del sisema. Ineresa en esos casos conrolar el cómo las medidas anigas o las recienes afecan sobre la esimación de los parámeros o cómo de rápido son olvidadas las medidas aneriores o anigas. Un méodo ilizado en esos casos es el facor de olvido λ qe proporciona n decrecimieno exponencial de los pesos. La fnción pérdida a minimizar adopa la expresión: V k θ λ ε k 3.85 donde el valor recomendado de λ es n valor comprendido enre.9 y.995. Por lo ano el algorimo de mínimos cadrados recrsivos con facor de olvido es: k + K [ y ϕ k ˆ ] ϕ /[ λ + ϕ k P ϕ ] [ P + Kϕ k P ]/ λ θ ˆ θˆ θ 3.86 K P 3.87 P 4.88 Para λ coincide con el méodo de mínimos cadrados común Algorimos de esimación de parámeros recrsivos En la bibliografía hay disinos algorimos de esimación de parámeros recrsivos, odos ellos permien esimar el valor de los parámeros del sisema en iempo real. Una forma nificada de represenarlos es mediane las expresiones: 3-9

71 θ ˆ θˆ + K ε 3.89 K µ P ϕ 3.9 ε y ψ P ϕ 3.9 En la sigiene abla se observan los valores de los parámeros, vecor de daos y vecor de corrección para el caso de los méodos: mínimos cadrados RLS, méodo de la variable insrmeno recrdivo RIV y el méodo de la máxima probabilidad recrsivo RML. En el caso de inclirse el facor de olvido es necesario realizar las sigienes modificaciones: Reemplazar el del denominador de µ por λ. Dividir P ambién por λ. En Iserman 99 se realiza na comparación enre esos res méodos con respeco a las caracerísicas del esimador, s convergencia y el esferzo compacional. Las propiedades de esos res méodos se resmen a coninación: RLS: Aplicable cando la relación rido/señal es peqeña. Esferzo compacional peqeño. RIV: iene nas benas presaciones. Para acelerar la convergencia inicial se recomienda empezar con RLS. Esferzo compacional mayor qe RLS. RML: Alas presaciones del esimador. Lena convergencia en la eapa inicial. Se esiman los parámeros del rido, pero la convergencia es lena. El esferzo compacional es mayor qe en los oros dos. Méodo RLS RIV RML θˆ [ aˆ L aˆ bˆ L ] [ aˆ L aˆ bˆ L ] ψ [ y n bˆm L y n [ L m ] [ y n bˆm L y n [ L m ] cˆ aˆ y L aˆ L cˆ bˆ L bˆ n ] p L ε Lε y m L m p ] n µ + ψ P ψ + ψ P ϕ + ψ P ϕ P I [ K ψ ] P I [ K ψ ] P I [ K ψ ] P ϕ ψ ' ' [ η L η n [ y L y n L m ] ' ' L m ' ' ε Lε p ] 3-

72 3.8 Méodos de esimación paraméricos frecenciales El objeivo de los méodos de idenificación en el dominio frecencial es el mismo qe en el dominio emporal: idenificar n sisema lineal a parir de los daos. La principal diferencia enre ambos radica en el dominio de rabajo. De odas formas los dos méodos son complemenarios y, en algnos casos, ambos peden ilizarse para solcionar el mismo problema. Analizamos a coninación, en qe condiciones ambos méodos idenifican el mismo sisema. El modelo general ilizado en la idenificación en el dominio de la frecencia de n sisema lineal se mesra en la figra 5.. El sisema se represena por s fnción de ransferencia HΩ, donde Ω s jω en el dominio de Laplace, o Ω z - exp-jω s en el dominio z, respecivamene, y H es na forma racional, evenalmene con n érmino reardo d 3.9. y U HΩ Y + Y m + U m Figra 3.. Modelo general ilizado en la idenificación de sisemas en el dominio frecencial. H Ω e jω d b a Ω Ω + b Ω + a Ω + L+ b + L+ a nn nd Ω Ω nn nd 3.9 La señal de exciación iene na amplid compleja U k a la frecencia anglar ω k y la respesa del sisema es Y k HΩ k U k. L amplid compleja de las señales de enrada y salida medidas esan conaminada con rido y y, respecivamene, hecho qe incorporadar n error en las variables del modelo. Para la solción propesa, se asme qe el rido iene como caracerísicas qe: es Gasiano es independiene de las señales de enrada y salida no hay correlación enre las mesras de las diferenes frecencias Las medidas se realizan a disinas frecencias ω k, k...f, las amplides de las enradas y salidas son U mk y Y mk, respecivamene. Los parámeros no conocidos de la fnción de ransferencia se indican con el vecor P. Con odo ello las ecaciones básicas son: Y k HΩ k,pu k, k,,...,f 3.93 Y mk HΩ k,pu mk - k + yk, k,,...,f

73 Asmiendo qe el rido en las amplides complejas es Gasiana y no correlacionado, y qe el rido de la enrada y la salida no esán ampoco correlacionados, s fnción de densidad probabilísica pede escribirse como: p, y Π k Π k πσ πσ k k Rk + exp σ k exp k σ k k Ik F Π k F Π k πσ πσ yk yk Ryk + exp σ yk yk exp σ yk yk Iyk 3.95 donde Rk, Ik, Ryk y Iyk se corresponde con las pares real y imaginaria del rido en las señales de enrada y salida. es el conjgado complejo de, σ k y σ yk son las correspondienes desviaciones esándar, y y indican los vecores formados por k y yk en las disinas frecencias. Sbsiyendo en 3.95 la variable rido por k U mk -U k y yk Y mk -Y k, y haciendo el logarimo y asmiendo qe σ y σ y son conocidas, la fnción de máxima probabilidad es: ln L U, Y, P con F k F U U U U Y Y Y Y mk k σ mk k k k mk k σ mk k k 3.96 La maximización de la ecación 3.95 se consige minimizando la ecación 3.96 sjeo a la resricción C LS L U, Y, P F k F U U U U Y Y Y Y mk k σ mk k k + k mk k σ mk k k 3.97 La resricción 3.93 pede sbsiirse en 3.97 para eliminar Y k. Como reslado se obiene n problema de mínimos cadrados con pesos no lineales. En general pero no se esá ineresado en U k, por lo ano la mejor forma de minimizar la ecación 3.96 con la resricción 3.93 es ilizar la écnica de mliplicadores de Lagrange para eliminarlos a ambos U k y Y k. En ese caso la expresión a minimizar consise en: C P F k e jω kd σ yk Ω D Ω k k, P U, P mk + σ D Ω k k Ω, P Y k, P mk 3.98 donde Ω,P y DΩ,P son el nmerador y el denominador de la fnción de ransferencia, respecivamene. La chi-cadrada acosmbra a ser la fnción de cose más ilizada en la resolción del méodo de esimación de máxima probabilidad para daos Gasianos. Para consegir qe la fnción de cose 3.98 ienda a na disribción chi-cadrada se formlan disinas alernaivas, na de ellas es la expresada en la ecación 3.99 donde los pesos, W, han de ser igales a las variaciones de los érminos de los valores absolos bscados. 3-

74 C WLS F jωkd P Wfk e U mk Ωk, P Ymk D Ωk, P k 3.99 La minimización de esá fnción se consige de forma qe: jω d e k U mk Ω, P Y D Ω, P k mk k 3. El érmino resido será: ε k jω e k du Ω, P Y D Ω, P mk k mk k La variancia de ese resido será igal a: var { ε } k σ Ω, P + σ k k yk D Ω k, P sí k y yk son independienes. Haciendo W k /var{ε k }, se obiene qe la fnción de cose 3.99 consise en la esimación de n sisema lineal, denominado ELiS Esimaor for Linear Sysems. Para minimizar la ecación 3.98 respeco a los parámeros P, deben ilizarse écnicas no lineales con resricciones y para ser ilizada, el sario debe aporar el valor inicial del reardo pro. En el caso en qe k y yk no sean independienes por disinas razones: - el sisema esá en lazo cerrado. - o hay rido en la señal de enrada la fnción cose a considerar es: con: y C P F k σ yk e D Ω CD yk jωkd k k, P Ω c k + σ yk e, P U k jω k mk Ω d D Ω k, P k, P Y mk real Ω, P D Ω, P k {, }.5E{ } c.5 cov, k yk k k { CD } yk k Selección y validación de la esrcra del modelo A demás de los méodos de esimación de los parámeros, oro aspeco my imporane es el de bscar la esrcra apropiada para el modelo por ejemplo ver abla 3.3. Para ello es necesario enender los méodos de esimación o idenificación y conocer el sisema qe se desea idenificar. Cando la esrcra del modelo ha sido deerminada, los méodos de esimación proporcionan n modelo pariclar de dicha esrcra. Una vez idenificado el modelo ora cesión a planearse es si el modelo idenificado es sficienemene beno, para ello se recrre a las écnicas de validación. Obsérvese qe no siempre será posible definir na esrcra del modelo, idenificar los valores de los parámeros y validar de forma independiene, sino al conrario las res eapas esán my inerrelacionadas. 3-3

75 3.9. Selección de la esrcra del modelo. Aspecos generales La selección de la esrcra del modelo iene n considerable efeco sobre la calidad del modelo reslane y el cose de compación. La calidad del modelo pede, por ejemplo evalarse por el crierio del error cadráico. La mejor esrcra del modelo es n compromiso enre flexibilidad y ahorro. Enendiendo por flexibilidad qe la esrcra del modelo iene capacidad para describir diferenes sisemas y na forma de obenerlo es ilizando mchos parámeros. Por oro lado, el ahorro reqiere la ilización de pocos parámeros. Para empezar a solcionar n problema de idenificación, cabe considerar res aspecos imporanes: * ipos de conjnos de modelos * Dimensión del conjno de modelos o selección del orden de los modelos * Méodos de idenificación La selección del ipo denro de n conjno de modelos implica bscar enre diferenes clases de modelos como enre modelos no lineares o lineares o enre modelos de enrada-salida, caja negra o paramerizado físicamene, y oros. La búsqeda de qe ipo de modelo ilizar es n poco sbjeivo y involcra mchos facores qe son independienes del conjno de daos. La búsqeda es habialmene n compromiso enre diferenes facores, como calidad del modelo y esferzo de modelado. Para obener nos benos reslados con pocos parámeros, sele ilizarse el conocimieno previo del proceso y algo de inición. La información previa es my úil en el caso de modelos en iempo conino. La forma de evalar ε,θ y s minimización inflye mcho en el esferzo de programación y el iempo de cálclo. Modelos sofisicados selen ilizarse solo en el caso de qe no pedan ser validados los modelos sencillos. Las regresiones lineales son los modelos más simples y los qe la minimización del crierio es robsa. Cando se realiza na ransformación no lineal de los daos pede ser ambién evalado con el ajse de n modelo lineal. La selección del orden del modelo implica la selección del número de parámeros de na deerminada clase de modelos. Ese paso reqiere salmene algna evalación del conjno de daos, de odas formas el conocimieno preliminar qe se iene del proceso my a mendo permie dedcir n rango de ordenes del modelo a considerar. La selección del méodo de idenificación depende enormemene de la clase de modelo seleccionado. Como se ha viso en aparados aneriores, n sisema lineal pede represenarse de diferenes formas, por s respesa ransioria o frecencial o modelo paramérico. Evidenemene podemos ransformar nas en las oras, pero esas ransformaciones esán my mal condicionadas en el senido de qe peqeños errores en na represenación peden originar mcho error en ora. La conclsión es clara, la búsqeda del méodo esá ínimamene relacionada con el objeivo de la idenificación Análisis preeliminareis de los daos para la selección de la esrcra del modelo Cieros ess o evalaciones de los daos permien dedcir na posible esrcra del modelo, algnos de ellos han sido descrios en el ema. Esas écnicas no condcen a la 3-4

76 deerminación complea del modelo del sisema. En el caso de méodos paraméricos, el problema se redce a la selección del orden del modelo. La evalación del análisis especral esimado proporciona información sobre el rango de frecencias de inerés del proceso y el nivel de rido, por lo ano no ayda a diseñar correcamene la señal de enrada y los filros. La esimación no paramérica de la fnción de ransferencia G ˆ jω proporciona información sobre los picos de resonancia y el reardo de fase. odo ello da na orienación sobre el orden reqerido par na adecada descripción de las dinámicas del sisema o la zona de inerés. Evalar el rango de la mariz de covarianza es n ben méodo para esimar el orden del sisema. Spóngase qe el sisema correco se describe mediane: y + a y + L + an y n b + L+ bn n + v siendo n el verdadero orden del sisema. Si omamos n modelo de orden s, el vecor de daos es: [ y y L y s s ] ϕ L Considerando primero el caso en qe v, enemos qe la mariz de covarianza R ϕϕ ϕ ϕ será no singlar para s n en el caso qe {} sea persisenemene exciada y singlar para s n+. En el caso de rido la mariz de convarianza pede ser ilizada siempre qe la relación señal-rido no sea my grande, sí es el caso pede ilizarse la fórmla: Rˆ ϕϕ R ϕϕ σ R v donde σ R v es la esimación de la inflencia del rido del proceso en la mariz de covarianza. Una mejor alernaiva, cando la inflencia de v no es despreciable, es la de ilizar oro vecor de correlación, por ejemplo en el caso en qe {v} y {} no esén correlados sisema en lazo abiero podemos ilizar ζ [,, L, s] y por ano la mariz de convarianza es Rˆ ϕζ E es no singlar para s n y singlar para s n+. [ ϕ ζ ] 3 El méodo de correlación es oro méodo qe permie obener información acerca de qe variables inclir en la esrcra del modelo. Esa variable podría ser y-n-. La cesión qe permie resolver es si na neva variable conribye de algna forma en explicar la variable de salida y. Ello pede realizarse mediane la correlación enre la neva variable y la salida. De odas formas para descarar las posibles relaciones enre ellas, y para consegir esrcras de poca complejidad, la correlación debería realizarse enra 3-5

77 ella y los residos obenidos como reslado de considerar n primer modelo ε, θˆ y yˆ θˆ. Ello se conoce con el nombre de correlación parcial Crierios para la comparación de la esrcra de los modelos Una aproximación naral para deerminar la esrcra del modelo es simplemene esar diferenes esrcras y comparar el reslado enre ellas. Los méodos de ess más comúnmene ilizados son: * es de la fnción error o pérdida * es de cancelación de polos y ceros * es del resido es de la fnción error o pérdida El méodo más simple es mirar sencillamene la fnción pérdida V θˆ direcamene vinclada con el orden del modelo. Cando incremena el orden la fnción pérdida decrece hasa qe se maniene consane o cambia lenamene. Oros méodos se basan en es esadísicos de la fnción pérdida o en la evalación de diferenes crierios qe iene encena la complejidad del modelo. Un méodo esadísico para evalar si la fnción pérdida disminye significaivamene cando incremena el orden del modelo es el F-es. Ese es se basa en la independencia esadísica de θ V y V θ V θ donde los sbíndices indicap modelos con n núero de parámeros p y p respecivamene. Para esar si la redcción de la fnción es significaiva cando el número de parámeros amena de p a p se iliza: V θ V θ p V θ p p Esa canidad iene na disribción F[p - p, - p ], enonces para n sficiene número de mesras, se cmple qe: > F α [p - p, - p ] enonces se cmple la hipóesis qe la redcción de la fnción pérdida es significaiva con el ameno del número de parámeros y por ano el nevo parámero es acepado con n nivel de confianza de -α. En la prácica, el nivel de confianza iene n rango de. a.. El crierio de análisis de complejidad pede realizarse simplemene adicionado a la fnción pérdida n érmino exra qe penalice la complejidad del modelo. En ese caso se selecciona el mejor modelo qe minimice el crierio. El crierio de información de Akaike AIC disminye con la fnción pérdida y amena con el número de parámeros, se define como: AIC p log V θ + p siendo: V θ ε, θ Se ha observado qe ese crierio pede sobre esimar el orden del modelo. 3-6

78 Oro crierio propeso por Akaike es final predicion error crierion FPE : + p FPE p V θ p Se ha observado qe ese crierio iende a sbesimar el modelo del sisema. Una propiedad araciva ano del crierio de AIC como FPE es qe el orden del modelo se deermina como reslado de valor mínimo del crierio y no es necesario evalarlo en fnción de nos niveles de confianza como es el caso del méodo esadísico es de cancelación de polos-ceros Si se considera qe el orden del modelo es s y es sperior al orden del proceso real n, originan pares de polos-ceros my próximos qe peden ser cancelados. Ese fenómeno pede ilizarse para esar el orden del modelo, calclando las raíces de los polinomios los cales Aq y Bq a parir de diferenes órdenes s es de resido Reslado de comparar la salida con la predicción del modelo: ε, θˆ y yˆ, θˆ represena na forma de represenar las diferencias enre las variables observadas y el comporamieno del modelo esimado. En general los residos deben ser blancos o aproximadamene blancos y no correlados con la enrada, si el modelo es na bena represenación del sisema. De lo conrario, indicaría qe o bien el modelo a la idenificación no es complea. La simple represenación de los residos respeco a los valores ajsados; al qe la represenación no revela ningna dependencia clara. Oro diagrama úil es el hisograma de los residos, amplides, el cal revela si la disribción difiere de na disribción normal. Oros ess úiles son los esdiados en el ema, es esadísico de ao correlación de los residos ε, es de cross-correlación enre los residos y las enradas, Validación del modelo La pregna crcial na vez idenificado n modelo es sé ese modelo es sficienemene beno para los objeivos considerados. La validación permie comprobar sí el modelo idenificado represena el comporamieno real, eniendo en cena las limiaciones de los méodos de idenificación y los objeivos finales. El problema planeado iene disinos aspecos:. El modelo, saisface sficienemene bien los daos observados?. Es el modelo sficienemene beno para los reqerimienos propesos? 3. Describe el modelo al sisema real? 3-7

79 El méodo para responder esas cesiones es confronar el modelo con más información como conocimienos a priori, daos experimenales y experiencia sobre el sisema real. Peso qe el so más naral de la idenificación consise en confronar el modelo con los daos, las écnicas de idenificación ienden a cenrarse en la pregna. Mienras qe la pregna 3, prescindiendo de los problemas de es, es filosóficamene imposible de conesar, la pregna es n reqerimieno prácico imporane. Evalar si el problema qe moivo la area de modelización pede ser solcionado sando el modelo obenido, pede considerarse como la preba más imporane de validación del modelo. Por ejemplo, si n reglador basado en el modelo saisface los reqerimienos de conrol, enonces el modelo será valido, independienemene de la forma qe enga. o obsane, a mendo es imposible, cososo o peligros probar odos los posible modelos con el so qe se ha previso. Por ello, la confianza en el modelo debe verificarse de oras maneras. Los dos méodos principales son: la verificación de las asnciones a priori y la verificación del comporamieno de la enradasalida Verificaion of a priori assmpions Las prebas de sí las asnciones a priori de los méodos de idenificación son cieros pede realizarse como: * Linealización: Comparación del modelo obenido a parir de diferenes amplides de la enrada. Comparación de modelos con fnciones ransiorias medidas en ambas direcciones. * Varianza emporal. Comparación del modelo con los diferenes conjnos de daos. * Residos: Son los residos esadísicamene independienes ao correlación, con media cero?, Son independienes de la señal de enrada correlación crzada con respeco la señal de enrada? * Medias, endencias de la salida. Comparación del modelo con y sin eliminación de las endencias. * Señal de enrada: Pede ser medida sin rido? Es persisenemene exciada?. * Mariz de covarianza de los parámeros esimados: la varianza y covarianza decremena con el incremeno de número de mesras? Verificación del comporamieno de las enradas-salidas Un jicio final del modelo idenificado se obiene comparando el comporamieno modelo medido y predicho de la enrada-salida. Eso pede realizarse como: * Comparación de la variable medida y y la señal de salida calclada y ˆ, θˆ : - con la enrada ilizada en la idenificación, - con oras señales de enrada como escalones o implses. * Comparación de la fnción de correlación crzada basada en las señales medidas y las del modelo. Ora manera es validación crzada, eso significa la verificación del modelo idenificado con oro conjno de medidas. La comparación enre los daos observados y la salida modelo se mesra generalmene mirando las anomalías del modelo no deecadas previamene. La validación crzada se considera la mejor manera de validar el modelo y la única preba verdadera para s aplicabilidad general. 3-8

80 Bibliografía adicional sobre el ema [Åsröm 7] K. J. Asrom, P. Eykhoff. Sysem Idenificaion A srvey. Aomaica,7, p. 3-6, 97 [Åsröm8].K. J. Asrom, Maximm likelihood and predicion error mehods. Aomaica,6, p , 98 [Bohlin94] Bohlin,.: Ineracive sysem idenificaion: prospecs and pifalls, Springer Verlag, 99. [Brdys94]Brdys, M. A. -Malinowski, K. : Comper aided conrol sysem design, World Scienific, 994. [Evans9]Evans, D. C. -Rees, D. -Jones, D. L.: Design of es signals for idenificaion of linear sysems wih nonlinear disorion, IEEE rans. on Insrmenaion and Measremen,.4, 6, p , 99. [Fasol8]Fasol, K. H. -Jorgl, H. P. : Principles of model bilding and idenificaion, Aomaica, 6, p. 5-58, 98. [Godfrey8]Godfrey. K. R.: Correlaion mehods, Aomaica, 6:, p , 98. [Godfrey86]Godfrey, K. -Jones, P.: Signal processing for conrol, Springer-Verlag, 986. [Gsavsson7]Gsavsson, I: Comparison of differen mehods for idenificaion of indsrial processes, Aomaica, 6, p. 7-4, 97 [Iserman8] R.. Iserman. Prancial aspecs of process idenificaion, Aomaica,6, p , 98 [Johansson93] R. Johansson. Sysem modeling and idenificaion. Prenice Hall, 993 [Kollás93] I. Kollár On Frecency Domain Idenificaion of Linear Sysema IEEE rans. on Insrmenaion and Measremen, Vol. 4 o, pp. -6, Feb [Landa9]Landa, I. D. : Sysem idenificaion and conrol design, Prenice Hall, 99 [Ljng87] L.Ljng. Sysem idenificaion heory for he ser, Prenice Hall, 987. [Pinlon9] R. Pinelon, P. Gillame, Y. Rolai and F. Verbeys, Idenificaion of Linear Sysems Capred in a Feedback Loop IEEE rans. on Insrmenaion and Measremen, Vol. 4, o 6, pp , Dec 99. [Södersröm89]. Södersröm, P. Soica. Sysem idenificaion, Prenice Hall, 989. [Zh93] Y. Zh. backx. Idenificaion of mlivariable idsrial process for simlaion, diagnosis and conrol. Springer-Verlag,

81 [Waler97]Waler, E Pronzao, L. Idenificaion of Parameric Models from Experimenal Daa. Masson Grea Briain,

82 ema 3 Méodos de esimación paraméricos y selección del modelo Ejercicios y problemas reselos Problema 3.. Considerar qe na esación depradora de agas residales pede modelizarse por la expresión discrea: y aˆ * y bˆ * y se qiere deerminar el valor de ss parámeros. Por ese moivo se ha diseñado n experimeno y se han obenido los reslados de la abla, siendo el periodo de adqisición de daos de segndos.. iempo Enrada Salida A parir de los daos y ilizando el méodo de mínimos cadrados, esimar el valor de los parámeros sin ilizar los 4 daos úlimos. Uilizar los 4 úlimos daos para validar el modelo esimado y deerminar la variancia del error de predicción. Solción En fnción de los daos de qe se dispone, definimos el vecor ϕ como: [ y ] ϕ por lo ano la mariz información iene la expresión: Aplicando la fórmla 3.3, y siendo

83 - Φ Y[ ] Se esima el valor de los parámeros como: aˆ bˆ.333 y Para validar el modelo se procede: yˆ *y+.33*.8668 * *. -.6 yˆ *y4+.33* * * yˆ *y6+.33* * *.95.8 yˆ *y8+.33* * * Calclamos el error: ε ε ε ε La variación del resido será de V ε Problema 3.. Se ha simlado el sisema represenado por la ecación discrea: y.5 * y +.7 * y +.5 * + v Se desean comparar disinos méodos de esimación de parámeros: mínimos cadrados, variable insrmeno y méodo de predicción de error ilizando para ello disinas esrcras de represenación del sisema. Se ha exciado el sisema con na señal binaria y con el objeivo de evalar la robsez de los méodos de idenificación respeco a las caracerísicas del rido se han realizado dos experimenos: a ve; b ve-e-+.e-; siendo e n rido blanco con na varianza de. Solción La simlación y el resido de predicción obenido al aplicar los disinos méodos de esimación se visalizan al ejecar los programas de Malab probrema3a.m y problema3b.m para el caso a y b respecivamene. En la abla se mesran los reslados obenidos.

84 Caso a Parámero RLS IV4 OE PEM-ARX PEM-ARMAX Al ser la relación señal rido/señal enrada peqeña se observa qe odos los méodos ienden al valor real de los parámeros, si el número de mesras a evalar fera mayor, mayor seria la convergencia os animo a qe lo probéis. Del análisis del rido, observar las disinas figras qe aparecen, el componene resido no es blanco en la mayoría de los casos, se aproxima, mienras qe hay independencia emporal enre el resido y la enrada, ese análisis nos permie validar nesro modelo. Caso b Parámero RLS IV4 OE PEM-ARX PEM-ARMAX Se observa qe los méodos en los cales se prespone n modelo ARX no hay convergencia de los parámeros, mienras qe en los oros casos sí. Los residos obenidos son parecidos al caso a. Problema 3.3. Se desea esimar el valor de los parámeros del sisema anerior pero ilizando los méodos recrsivos. Los reslados se han obenido considerando en odos los casos n facor de olvido. Solción La solción se presena en el fichero problema33a y problema33b. Se pide qe se comparen los reslados obenidos. Son igales qe en el problema 3.3? Problema 3.4. Se desea modelizar n sisema de ranspore de flidos reglado por na válvla. Con ese objeivo se ha procedido a exciar la válvla con na señal y se ha adqirido la lecra del sensor de fljo qe circla por el bo, y. Los reslados obenidos se mesran en la sigiene abla. Se desea a parir de los daos de dicha abla idenificar el reardo pro del sisema, sabiendo qe se compora como n sisema de primer orden. Uilizaremos para ello el crierio del es de la fnción error y nos reservaremos las 4 úlimas mesras para la validación. 3

85 iempo Enrada Salida Solción El vecor información, ϕ, de n sisema de primer orden viene definido por: [ y nk ] ϕ θ. a b siendo los parámeros a esimar: [ ] En primer lgar, anes de ilizar los daos de la abla para esimar los parámeros del modelo, debemos observar si hay algna lecra incorreca. En nesro caso, enemos como lecra incorreca la correspondiene a 8, sbsiiremos dicho valor por la inerpolación: y8y7+y9/ 76.9 Como el reardo no es conocido, vamos a deerminarlo en ese caso de forma ieraiva. Spongamos qe nk, se describe la mariz información como: Φ El vecor Y qeda definido como: Y[ ] Se esima el valor de los parámeros como: aˆ y bˆ.775 Para validar el modelo se procede: yˆ.946 *y+.775*

86 yˆ.946 *y+.775* yˆ *y+.775* yˆ *y3+.775* Calclamos el error: ε y- yˆ ε.3 ε ε4.5 La variación del resido será de 4 V ε Repeimos los cálclos por diferenes valores de nk, se obiene la sigiene abla. nk a b V Se observa qe el error mínimo se obiene para nk 4. En el caso en qe la esrcra del modelo no sea ciera, el méodo de mínimos cadrados converge a n valor de los parámeros qe pede reslar n modelo inesable caso nk 3 y nk 5. Problema 3.5. Se ha simlado el sisema represenado por la ecación discrea igal al problema 3.: y.5 * y +.7 * y +.5 * + v Se desean observar como varían los crierios de idenificación en fnción del orden o esrcra del modelo propeso. Comparar disinos méodos de esimación de parámeros: mínimos cadrados, variable insrmeno y méodo de predicción de error ilizando disinas esrcras para represenar el sisema y calclar el valor de los crierios FPE y Akaike. Observar ambién la posición de los polos y ceros de cada esrcra. Para ello se dispone de na señal es, ilizando na enrada binaria. Se realizan dos experimenos: c ve; d ve-e-+.e-; siendo e n rido blanco con na variancia de. Solción La simlación, el resido, la bicación de los polos y ceros y el valor de los dos crierios propesos, reslado de aplicar los disinos méodos de esimación se visalizan al ejecarse el programa de Malab probrema36a. 5

87 Obsérvese qe el valor de los crierios va disminyendo a medida qe se incremena el orden del sisema, habiendo n cambio sbsancial cando la esrcra coincide con la esrcra del sisema. A medida qe se amena el orden, aparecen polos y ceros my próximos cancelables. Ello indica qe para deerminar la esrcra del modelo se deben ener en cena varios facores y la solción no es rivial. Podéis observar los reslados en el caso en qe el rido sea colorado, caso b. oa: fala poder realizar n problema en el campo frecencial pero no dispongo de la oobox de Malab de idenificación frecencial compaible con Malab6.5. Espero poder aporaros n problema anes de finalizar el crso. Ejercicios y problemas propesos E3.- Probar cales son los valores esimado de los parámeros del problema 3., cando se iliza como vecor insrmeno: z[ ] y se aplica la ecación E3.- omando como modelo simlado correspondiene al problema 3. caso a, evalar como se compora el méodo RLS por disinos facores de olvido. Por ejemplo enre.9 y. E3.3- El programa malab propone en el caso de méodos recrsivos disinos méodos: facor de olvido, filro de Kalman, gradiene normalizado y gradiene no normalizado. Seriáis capaces de deerminar cal es la diferencia enre dichos algorimos?. Realizar para ello n: >ype rarx y comparar los algorimos propesos. E3.4- Los méodos de esimación esdiados peden ambién aplicarse al caso de sisemas mlivariables. Se propone para ello el sigiene ejercicio: - Se han adqirido mesras de n sisema real con dos enradas y y na salida, obeniéndose la mariz de daos dada en el fichero E34.ma. La esrcra del sisema es de segndo orden con respeco a la variable i de primer orden con respeco a la variable. Uilizando las disinas herramienas comenadas en el ema, deerminar el modelo qe mejor se ajse a los daos reales. E3.5- Los daos del fichero E35.ma, se han obenido ras exciar n sisema real, enrada y y salida. Se desea deerminar el mejor modelo para represene el comporamieno de ese sisema. Para ello, ilizar los méodos no paraméricos para definir la esrcra aproximada del modelo, y na vez definida, ilizando ya méodos paraméricos, deerminar la mejor esrcra para el sisema. E3.6- Resolver el mismo problema anerior pero ilizando como sopore la ool gráfica de idenificación de sisemas iden. 6

88 EMA 4 LOS MÉODOS DE ESIMACIÓ Y LAS REDES EUROALES 4. El modelo: redes neronales arificiales La eoría de modelado de sisemas dinámicos visa hasa el momeno se ha cenrado en écnicas lineales. Para ellas exisen, como se ha viso, algorimos y meodologías con n respaldo eórico sficienemene demosrado y acepado. Ese ema raa el modelado de sisemas dinámicos no lineales. Aqí ocrre odo lo conrario, exisen mchos méodos y pocos de ellos ienen n respaldo maemáico qe jsifiqe s so indiscriminado. Sin embargo, exisen prebas e indicios qe permien sponer qe cieros ipos de modelos peden ser adecados para cieros ipos de sisemas y oros servirán para sisemas diferenes. Las redes neronales forman na familia grande de modelos de sisemas no lineales. ienen n relaivo respaldo formal y han reslado efecivas en nmerosos casos prácicos. 4.. Fndamenos de las redes neronales Las redes neronales arificiales Arificial eral eworks, A son mecanismos de procesado de la información inspirados en las redes de neronas biológicas. S fncionamieno, explicado en nmerosos exos véase para na inrodcción [Fa-94] o [Herz-9], se basa en operaciones sencillas realizadas en paralelo por n gran número de céllas elemenales, las neronas. Una red neronal es n sisema formado por elemenos sencillos de cálclo, las neronas, conecadas enre sí mediane pesos para formar na red más compleja. La fnción de esa red viene deerminada por el parón de conexión, qe es s arqiecra, y por los valores de los pesos. Una nerona ambién se las llama nodos o nidades es n elemeno de proceso, ver figra 4., qe oma n número d de enradas, las mliplica por n peso cada na, las

89 sma y el reslado de odo ello es el argmeno de na fnción escalar qe prodce la salida correspondiene a esa nerona. Esa fnción se llama fnción de acivación. ϕ ϕ ϕ d w w. w d y i Figra 4.: represenación de na nerona Una nerona prodce asociaciones, en general no lineales, de R d sobre R. d y f w ϕ 4. i i j Las enradas a na nerona, Φ {ϕ, ϕ,... ϕ d}, peden ser exernas a la red o peden corresponder a las salidas de oras neronas. Una de ellas, ϕ, sele esar fija al valor de, el bias. Los pesos, w i,j, son los parámeros calclados drane el proceso de aprendizaje y oman valores de la reca real. i, j j.5 binaria.5 lineal sigmoidal.5 an. hiper Figra 4.: fnción de acivacion binaria: fx sgnx, lineal: fx x, sigmoidal: fx + e -x -, y angene hiperbólica: fx - e -x + e -x - La fnción de acivación, f i, pede ener calqier forma, sin embargo, es habial ilizar fnciones qe permian discriminar enre enradas mayores y menores qe n valor dado. En los inicios se ilizaron fnciones de acivación binarias disconinas

90 por ano pero prono se adoparon oras, como la angene hiperbólica qe además de ser discriminanes ienen oras propiedades deseables. La figra 4. presena las caro fnciones de acivación más sales. Las redes neronales se caracerizan por dos aspecos: la forma en qe las neronas esán conecadas enre sí y los algorimos qe se ilizan para calclar los pesos de la red. Esos dos emas se raan a coninación. 4.. Arqiecras neronales básicas Las neronas peden combinarse en na red de diferenes maneras, anqe generalmene se habla de disribción por capas. Una capa layer en inglés es n conjno de neronas semejanes igal número y ipos de enradas, igal fnción de acivación qe peden ser raadas como na enidad con senido propio, pes ienen el mismo comporamieno y fnción compacional denro de la red. Por ejemplo, hay redes neronales, las redes de Hopfield, qe consan de na sola capa en la qe odas las neronas esán conecadas enre sí; exisen oras redes qe ienen na capa donde se prodce na clasificación de las caracerísicas de enrada y ora capa de compeición por represenar la clase ganadora, ec. Segramene la forma más habial de organizar las neronas y capas en na red es la qe se denomina perceprón mlicapa MLP, MliLayer Percepron. En el MLP hay na capa de enrada, na capa de salida y cero o más capas inermedias, qe generalmene se llaman capas oclas, de forma qe cada nidad de na capa recibe como enradas odas las salidas de las neronas de la capa anerior, hasa llegar a las enradas exernas. En la figra 4.3 se pede ver n ejemplo de n MLP. ϕ y ϕ Figra 4.3: n perceprón mlicapa con na capa ocla y dos enradas La expresión qe permie calclar la salida de n perceprón mlicapa como el de la figra 4.3 sólo pede expresarse compacamene recrriendo a la noación maricial W F W Φ Y F 4. donde los speríndices esán para indicar la capa qe corresponde a cada símbolo, F es n vecor de fnciones de acivación, W es na mariz de pesos y bias, y Φ es el vecor de enradas exernas.

91 El fncionamieno de esa red neronal es sencillo. Dado n parón de enradas, Φ {ϕ, ϕ,... ϕ d}, se obiene la salida correspondiene Y {y,..., y m } ilizando la expresión 4.. El vecor de parámeros, en ese caso, ya ha sido fijado a n valor concreo qe deermina el comporamieno de la red. Cando na red fnciona de ese modo se dice qe esá en fase de reconocimieno. El oro modo de fncionamieno es el qe permie modificar el vecor de parámeros, o lo qe es lo mismo, el comporamieno de la red. Cando na red neronal se halla en ese oro modo de fncionamieno se dice qe esá en fase de aprendizaje. La esrcra de la figra 4.3 es de propagación hacia adelane feedforward. Es decir, los cálclos se propagan desde las enradas hacia la salida. Sin embargo, ambién exisen oros ipos de esrcra en los qe la propagación va además hacia arás, o sea, propagando los cálclos ambién desde la salida hacia la enrada. A ese ipo de redes se las denomina recrsivas recrren, en inglés. En el conexo del modelado de sisemas dinámicos, de hecho, es basane habial enconrar ese ipo de redes pes ellas mismas peden represenar n sisema dinámico sin oras maniplaciones nméricas. Por ejemplo, la red de la figra 4.4 corresponde a n sisema de primer orden de na enrada y na salida..8 Y z X z z.9 xk.9.8 yk Figra 4.4: red neronal recrsiva qe se compora como n sisema de primer orden El fncionamieno de na red recrsiva pede ser conino o discreo en el iempo, anqe es más habial y sencillo el discreo. Para calclar la salida hay qe ener en cena qe cada conexión hacia arás represena n reardo emporal de na mesra. De esa manera, la secencia Φk {{}, {}, {}, {}, {}, {}, {}} de enrada correspondería a na salida y {,,,,.8,.5,.68}. Exise na serie de cesiones imporanes qe deberían enerse en cena anes de raar el ema del aprendizaje en las redes neronales, qe son: Qé ipos de asociaciones se peden realizar con na red neronal? Cánas capas debería ener na red y canas neronas en cada capa? Qé fnciones de acivación son las más adecadas para cada aplicación?

92 La primera cesión fe respondida en los años 9 por diversos invesigadores de forma independiene. Los reslados a ese respeco paren de los rabajos de Kolmogorov pblicados en 957, de carácer general en la disciplina de Aproximación de Fnciones. Recienemene han sido refinados por diversos aores Hech-ielsen, Krková, Hornik, Io, Cybenko, ec. y adapados al campo de la aproximación de fnciones basada en redes neronales. El reslado general más ineresane formlado independienemene en [Cyb-89] y [Hor-89] es qe las redes neronales de res capas con fnciones de acivación sigmoidales en la capa ocla son aproximadores niversales. Las neronas de la capa de salida deben ener fnción de acivación lineal. Lo qe no se llegó a especificar es el número de neronas qe debe ener la capa ocla. Ese ema se ha raado en diversos rabajos llegando siempre a reslados poco conclyenes o demasiado difíciles de aplicar en la prácica. Con odo ello, la primera pregna ha qedado resla, la ercera ambién y la segnda no. Los reslados aneriores peden dar a enender qe no hay necesidad de ilizar más de na capa ocla y/o mezclar fnciones de acivación diferenes de las mencionadas. De hecho, eso no es del odo ciero porqe pede sceder qe la precisión o la facilidad de aprendizaje amene ilizando arqiecras más sofisicadas. En pariclar, cando en la fnción qe se desea aprender, la complejidad de la relación enre enradas y salidas es ala se pede mejorar la precisión en la aproximación con arqiecras más complejas. Sin embargo, dado qe la implemenación, el aprendizaje y el análisis de la red reslane peden complicarse es habial ilizar sólo na capa ocla con neronas sigmoidales o angenes hiperbólicas Algorimos de aprendizaje El aprendizaje es el proceso por el cal na red neronal obiene los parámeros qe mejor realizan la asociación enre enradas y salidas deseada. Ese es n proceso de esimación paramérica convencional. Exisen en la lierara de las A res formas diferenes de enrenar redes neronales: aprendizaje spervisado, aprendizaje por referzo y aprendizaje no spervisado. Cada na de ellas, por el orden qe se mencionan, reqiere más información del mndo exerior para poderse llevar a cabo. En el aprendizaje no spervisado no exise na respesa previsa a cada enrada de la red, por ello ampoco exise información acerca del error qe ésa comee. Los daos qe se enregan a na red neronal para qe aprenda siempre llevan consigo información qe pede ser ilizada por n algorimo especialmene diseñado para ello. Por ejemplo, el aprendizaje no spervisado pede fácilmene enconrar las froneras en conjnos de daos níidamene separados qe han de ser clasificados. Para ello es necesario inclir en la red algorimos adecados de adapación de los pesos, pes no exisen pisas exernas qe la pedan giar. De hecho, en ese ipo de aprendizaje el algorimo es el qe

93 deermina el ipo de comporamieno de la red. En oros ipos de aprendizaje, la relación enre los daos de enrada y salida pede hacer qe la red se compore como n clasificador o como n aproximador de fnciones, por poner dos posibilidades. El aprendizaje por referzo iene ss raíces en las eoría condcisa de aprendizaje. En él exise información acerca del error qe se comee, pero es incomplea o imprecisa. Un ejemplo ípico es el de aqellos algorimos qe aprenden sólo con la información del signo del error. El aprendizaje spervisado iliza oda la información del error de qe se peda disponer. De algna forma lo qe se preende es forzar na salida pariclar en la red como respesa a na deerminada enrada. El problema del aprendizaje spervisado pare de n conjno qe coniene pares de enradas y salidas deseadas. Ese conjno pede corresponder a na secencia emporal de daos o a na fnción pramene esáica qe se desea aprender. Z {[, y ] ; K} El aprendizaje consise en enconrar el conjno de parámeros, θ, al qe la red neronal prodzca la asociación deseada para cada valor de enrada. Eso pede expresarse de diferenes maneras pero la más sal, por ener cieras propiedades úiles, es mediane na medida cadráica del error de aproximación V θ, Z y yˆ, θ ε, θ 4.3 de manera qe la finalidad del aprendizaje consise en obener n vecor θ qe minimice la expresión V θ, Z. Ese problema ha sido raado desde anes qe aparecieran las redes neronales por las comnidades esadísica y maemáica y ha sido caracerizado como n problema de opimización de mínimos cadrados no lineal ordinario. Para él exisen diversos algorimos con ss venajas e inconvenienes. Algnos de los algorimos más conocidos son: el méodo de gradiene, el méodo de ewon, el méodo de Gass-ewon, el méodo psedo-ewon, el méodo de Levenberg-Marqard, ec. Además, en general, esos algorimos feron concebidos para rabajar con odo el conjno de daos de enrada-salida y en las A es más habial rabajar de forma incremenal o ambién on-line. Por esa razón exisen versiones recrsivas en las qe la red realiza n paso de aprendizaje con cada dao qe se le presena, en vez de esperar a enerlos odos para hacerlo.

94 Ese ema, qe como se ve es básicamene n problema de esimación paramérica convencional, será poco considerado aqí, pes ya se raó en el ema 3. Uilizaremos los algorimos de aprendizaje como na herramiena qe nos permie deerminar el conjno ópimo o más adecado de pesos de la red neronal. o se hará especial hincapié en si al o cal algorimo permie n aprendizaje más rápido o no. Sin embargo, debe qedar claro qe ése es n aspeco de gran inerés y qe las aplicaciones reales reqieren na ciera preocpación por él. 4. El proceso de idenificación Exisen nmerosos méodos de idenificación pero, en general, odos sigen nas paas comnes: preprocesado de los dados, selección del modelo, minimización del error de aproximación y validación del modelo. El proceso de idenificación consa de los sigienes componenes: Los daos: son pares de vecores de enrada y salida Z {[ y, ϕ ]; K} donde y corresponde a las salidas en el insane, qe se spone discreo, y ϕ a las enradas o regresores del modelo. El modelo: es na fnción qe esima las salidas a parir de las enradas y de la información emporal qe almacena, yˆ gˆ, ϕ. Los parámeros: el modelo es na fnción descria a parir de n número finio de parámeros, θ, de forma qe na expresión más correca del modelo es g, θ, ϕ. La medida del error: el error, ε, θ y g, θ, ϕ, permie ponderar la bondad de n modelo y s medida se realiza a ravés de na norma, qe sele ser la cadráica: V θ y g, θ, ϕ V θ ε, θ El algorimo de minimización del error, qe pede omar formas my diversas: direca, ieraiva, herísica, analíica, esocásica, ec. En el caso de idenificación de sisemas no lineales se selen ilizar algorimos ieraivos o recrsivos qe, de forma genérica, se peden expresar según θ θ + µ R ψ ε El escalar µ es el amaño del paso, R - es na mariz definida posiiva qe permie modificar el crierio de búsqeda cando R I se sige el gradiene y ψ corresponde a la derivada de g respeco a los parámeros, θ.

95 Las redes neronales, a pesar de srgir a parir de moivaciones diferenes de las de la idenificación de sisemas dinámicos, represenan n conjno de modelos qe encaja adecadamene en la meodología genérica descria aneriormene. Son modelos paraméricos qe, basándose en na medida del error y en n algorimo para minimizarlo, aproximan na fnción no lineal con errores arbirariamene peqeños. El hecho ineresane es qe las redes neronales consiyen na esrcra de modelado con venajas sobre oras como las expansiones de polinomios oras esrcras no lineales ipo caja negra, por ejemplo. Las venajas más obvias son qe na misma esrcra comprende diferenes modelos y qe, compacionalmene, ienen n cose my razonable. Pero ienen dos venajas más, remarcadas en [Ljng-9], menos evidenes y qizás más aracivas. La gran mayoría de los sisemas qe no se encenra en la prácica ienen n comporamieno asinóico consane. Ese comporamieno se aproxima, en oros ipos de modelos por ejemplo, las expansiones de polinomios, a ferza de añadir parámeros qe manengan las salidas limiadas para enradas grandes. En las A eso se da de forma inrínseca, debido al comporamieno de las fnciones sigmoidales, y así el número de parámeros es más redcido. La ora caracerísica qe les confiere n inerés especial, sobre odo en problemas mal condicionados, es la redndancia paramérica. De forma iniiva, eso qiere decir qe el número de parámeros eficienes de la red es mcho menor qe el número real de parámeros. De esa manera, no es an imporane como en oros modelos pasar n exhasivo proceso de validación para eliminar aqellos parámeros poco inflyenes. Las redes neronales, como esrcra de modelos de sisemas dinámicos, ienen desvenajas sobre oras esrcras. Las más evidenes son: se raa de modelos ipo caja negra, es decir, modelos qe realizan la asociación de enradas y salidas correcamene pero no nos permien saber cómo lo hacen ni porqé la realización es correca; y no es posible incorporar información previa disponible del proceso a modelar, cosa qe podría simplificar y mejorar el modelo.

96 Realización de experimenos Selección de la esrcra del modelo Esimación de los parámeros del modelo Validación del modelo Figra 4.5: diagrama del proceso de idenificación Con odo ello, el proceso de modelado e idenificación con A sige los pasos clásicos, deallados en la figra 4.5, con algnos maices qe se comenan segidamene. En el paso correspondiene a la realización de experimenos y recolección de daos no se repeirá odo lo comenado en el ema, qe resla aqí de igal imporancia. Sin embargo, cabe ener en cena qe el conjno de daos recogido ha de dividirse en res sbconjnos: los daos de aprendizaje, los de reconocimieno y los de validación. Z {[, y ] ; K } Z A Z R Z V Esa consideración, qe no debería planear mayores problemas, es imporane pes la fase de aprendizaje se sele evalar ilizando daos qe no se han ilizado previamene, el conjno de reconocimieno, y la fase de validación conviene hacerla ambién con daos frescos. El paso correspondiene a la selección de la esrcra del modelo será raado con dealle en el sigiene aparado. an solo se comenará aqí, para poder hacer n paralelismo enre lo viso aneriormene y el modelado con A qe, si la fnción de acivación de las neronas es lineal, es perfecamene posible generar los modelos visos en el ema 3.

97 y -... y -... y - n y - n y - d y - d d - m - d - m z - ε z - ε - k ε + y Figra 4.6: modelo ARX izq. y modelo ARMAX der., en s versión neronal Por ejemplo, la figra 4.6 mesra dos redes neronales de na sola nerona con fnción de acivación lineal. La primera corresponde a n modelo ARX AoRegressive wih exogenos inp en la qe el vecor de regresores es ϕ [ y Ky n, d, K, d m ] y el vecor de parámeros es θ [ a, K, an, b, K, b m ] qe son los pesos de la red; la segnda corresponde a n modelo ARMAX AoRegressive Moving Average wih exogenos inp en la qe el vecor de regresores es ϕ [ y, K, y n, d, K, d m, ε, θ, K, ε k, θ] y el vecor de parámeros es θ [, K, an, b, K, bm, c, K a, c ] k. Si se qisiera generar el modelo neronal correspondiene habría qe seleccionar el orden de los polinomios Aq -, Bq - y Cq - y realizar el aprendizaje de la A sobre los daos disponibles. Criosamene, esos modelos sólo ienen na nerona, cosa qe reafirma qe el poder de las A esá en los pesos, más qe en las neronas. La validación de los modelos neronales no difiere de la visa en el ema Selección del modelo adecado En esa sección se presenaran na serie de modelos como na exensión naral de los modelos lineales visos en emas aneriores. Como se ha podido comprobar en la sección previa, los modelos lineales ienen na conraparida neronal my obvia. Será de ella de donde aparecerá la exensión no lineal qe se propone con las A. En bsca de na familia de esrcras adecada para la idenificación de sisemas no lineales es basane naral pensar en perceprones mlicapa con fnciones de

98 acivación no lineal, dadas ss propiedades aproximadoras. Seleccionando de esa forma la familia de modelos, el problema de escoger el modelo adecado se redce a: seleccionar el conjno enradas de la red los regresores del modelo seleccionar la esrcra inerna de la red La posra más habial a la hora de escoger el conjno de regresores es la de reilizar los regresores de modelos lineales, qe resla en las sigienes venajas: es na exensión naral de esrcras de modelos ya conocidas; la arqiecra inerna de la red pede expandirse gradalmene si se reqiere más flexibilidad para modelar relaciones más complejas; las decisiones qe el sario ha de omar acerca de la esrcra son razonablemene manejables; y, finalmene, resla adecado para el diseño de sisemas de conrol. De esa manera, el modelo lineal más general es y G q + H q e 4.4 en el qe G y H son fnciones de ransferencia en el operador q -, e es na señal de rido independiene de las enradas qe pede caracerizarse mediane algna fnción de densidad de probabilidad, e y y son la enrada y salida del modelo, respecivamene. El objeivo de la idenificación es obener esimaciones adecadas de las fnciones de ransferencia G y H. El crierio para decidir qé son y qé no son esimaciones adecadas esará basado en la capacidad del modelo de prodcir predicciones a n paso con errores de varianza peqeña. Se pede verificar qe, para el sisema lineal genérico de la ecación 4.4, la predicción a n paso de menor varianza es yˆ H q G q + H q y 4.5 qe es ora manera de represenar n modelo. A parir de ahora se denoará la predicción a n paso de la ecación 4.5 mediane y ˆ θ, en la qe se ha hecho explícia la dependencia del modelo del conjno de parámeros y se ha eliminado, por cesiones de conveniencia noacional, el condicionamieno a. Conviene fijarse qe en el caso lineal y ˆ θ pede reescribirse de na forma más compaca yˆ θ ϕ θ 4.6 donde ϕ es el vecor de regresores enradas aneriores, salidas aneriores y/o oras señales derivadas de ellas y θ es el vecor de parámeros del modelo, qe es lo mismo qe los pesos de la red neronal.

99 Una condición imporane para qe los modelos generados sean adecados es la condición de esabilidad del predicor, qe se da cando los parámeros, θ, son ales qe: H - q -, θ G q -, θ es asinóicamene esable H - q -, θ es asinóicamene esable G, θ, H, θ La úlima de las condiciones asegra qe las predicciones dependen sólo de enradas pasadas G, θ y medidas de la salida aneriores H, θ Esrcra FIR y ARX El ipo de modelo más simple corresponde a seleccionar en la ecación 4.4, y, θ θ q H q B q q G d en cyo caso el predicor viene dado por ˆ θ ϕ θ q B q y d en el qe el vecor de regresores es [ ] m d d,, K ϕ. 4.7 Eso corresponde a n modelo FIR Finie Implse Response en qe, como se pede ver, la predicción sólo depende de las enradas en insanes de iempo aneriores. La exensión no lineal de ese modelo conviere la predicción en, ˆ θ ϕ θ g y dejando el vecor de regresores igal qe en la ecación 4.7. Para na esrcra de modelo ARX en la qe la predicción se calcla mediane ˆ θ ϕ θ y q A q B q y d + y el vecor de regresores incorpora ahora las salidas aneriores [ ] m d d n,,,,, K K ϕ

100 La exensión no lineal de ese modelo conviere la predicción en, ˆ θ ϕ θ g y, qe es igal qe para la familia FIR, y deja el vecor de regresores ambién inaco. Figra 4.7: modelos FIR izq. y ARX der. Los predicores para esas dos familias esrcrales son siempre esables, igal qe para el caso lineal, porqe la relación enre los regresores y la salida del predicor es pramene algebraica. Esa observación resla de pariclar imporancia en el caso no lineal, pes aqí la esabilidad se conviere en n ema especialmene complicado de demosrar. Esas esrcras de modelos no lineales, en pariclar la esrcra ARX ver figra 4.7, sele ser basane adecada cando el sisema a modelar es deerminisa o el nivel de rido es poco significaivo Esrcra ARMAX Si en la ecación 4.4 se selecciona, y, q A q C q H q A q B q q G d θ θ el modelo reslane es el ARMAX, en cyo caso el predicor viene dado por, ˆ θ ϕ θ ε θ q C y q A q B q y q C q A q C q B q y d d y el vecor de regresores es [ ] k m d d n y y,,,,,,,,,, θ ε θ ε ϕ K K K. 4.8

101 Debido a la presencia del polinomio C el predicor ahora iene polos y pede ser inesable. Para eviarlo conviene comprobar qe odos los polos esán denro del círclo niario. El hecho de qe haya polos esá ligado a qe los regresores dependen de los parámeros del modelo, cosa qe hace qe el problema de esimación paramérica sea más complicado. Figra 4.8: modelo ARXMAX evamene, la exensión no lineal de ese modelo conviere la predicción en yˆ θ g ϕ, θ, dejando el vecor de regresores como en la ecación 4.8. La figra 4.8 mesra la red neronal para la esrcra ARMAX y se pede ver qe es igal a la de la figra 4.6 sbsiyendo la nerona lineal por n perceprón mlicapa con fnciones de acivación no lineales. Una red neronal como la de la figra 4.8 es na red con conexiones hacia arás, y por ano recrsiva. Al raarse de n modelo no lineal esdiar s esabilidad pede ser complicado y por regla general no se hace. Lo más habial es considerar s régimen de rabajo y esdiar la esabilidad de forma local en él.

102 4.3.3 Esrcra OE Si en la ecación 4.4 se selecciona, y, θ θ q H q F q B q q G d el modelo reslane es el OE, en cyo caso el predicor viene dado por ˆ ˆ θ ϕ θ θ y q F q B q q F q B q y d d + y el vecor de regresores es [ ] m d d r y y,,,, ˆ,,, ˆ K K θ θ ϕ. 4.9 Figra 4.9: modelo OE evamene, para qe el predicor sea esable los polos de F endrán qe esar denro del círclo niario y odas las consideraciones apnadas para la familia ARMAX serán válidas aqí. La figra 4.9 mesra la red neronal correspondiene a esa esrcra.