SAT-Lab: LENGUAJE DE ANALISIS ESTRUCTURAL

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1 SAT-Lab: LENGUAJE DE ANALISIS ESTRUCTURAL José A. Inadi y Jan Carlos De la Llera RESUMEN: Convencidos del valor de la compación como herramiena complemenaria en la eapa de formación y el de la programación como componenene imprescindible en la formación de ingenieros, se ha desarrollado na herramiena de análisis esrcral con la visión de n lengaje abiero más qe de na herramiena compacional de prodcción convencional. SAT-Lab es n conjno de fnciones o lengaje para el análisis esrcral desarrollado en el ambiene de programación Malab. Es na herramiena my úil para el aprendizaje, la enseñanza y la invesigación de la esáica y dinámica de esrcras y sisemas mecánicos. Ese rabajo resme el alcance y principales caracerísicas de SAT-Lab a ravés de ejemplos de análisis de esrcras isosáicas, análisis lineal y no lineal esáico y dinámico de esrcras, y dinámica de sisemas coninos. INTRODUCCIÓN La complejidad de los problemas a los qe se enfrena n ingeniero en relación a infraesrcra civil, y la consideración de acciones provenienes de desasres narales o provocados por hmanos, hace qe mchas veces la única vía de esdio posible sea la simlación compacional. Eise en la acalidad n gran número de programas compacionales qe aydan a realizar esas simlaciones; sin embargo, se raa principalmene de programas de prodcción qe no ienen en cena las dificlades y limiaciones de las personas qe esán iniciándose en el campo, como los esdianes de ingeniería o ingenieros jóvenes. Por ora pare, los méodos nméricos y la simlación permien llevar a cabo na enseñanza a ravés de proyecos, lo qe fomena na visión sisémica y abre posibilidades de aprendizaje por indcción. En ese aríclo se describe na neva herramiena compacional, denominada SAT-Lab, qe esá formada por n conjno de fnciones o lengaje para el análisis esrcral compaible con el ambiene de programación Malab. Si bien pede ser ilizado en el ámbio profesional, SAT-Lab esá concebido principalmene como na herramiena de apoyo a la enseñanza y la invesigación. SAT-Lab pede ser ilizado en programas de pregrado y posgrado de Ingeniería Civil o Mecánica, en la enseñanza de maerias como esáica, resisencia de maeriales, análisis esrcral lineal y no lineal, y dinámica de esrcras. Gracias a s esrcra de programación modlar, SAT-Lab permie al sario incorporar ss propios desarrollos con facilidad. Eso es especialmene venajoso en s aplicación como herramiena de apoyo a la invesigación y en el aprendizaje de programación. Malab propiedad de Mahworks Inc. es n ambiene de programación ineracivo qe reselve, enre oros, problemas de análisis nmérico, álgebra maricial y simbólica, análisis de señales, e inegración de ecaciones diferenciales. Malab se iliza en docencia y en invesigación en ambienes niversiarios, fndamenalmene en escelas de ingeniería desde hace más de na década. Gracias a s esqema ineracivo y lengaje de programación simple, Malab permie na rápida programación de rinas fnciones por pare del sario para la solción de problemas específicos. De esa manera se han creado las denominadas cajas de herramienas oolboes, qe se definen como conjno de fnciones qe posibilian la solción de problemas de disinas disciplinas. SAT-Lab es na caja de herramienas para el análisis esáico y dinámico de sisemas esrcrales y mecánicos. De ese alcance deriva el acrónimo SAT qe represena las iniciales de Srcral Analysis Toolbo, el nombre en inglés de ese desarrollo. El sfijo Lab hace referencia a las posibilidades qe el lengaje brinda como laboraorio viral de análisis y simlación del comporamieno de modelos esrcrales reales. CARACTERÍSTICAS GENERALES DE SAT-LAB SAT-Lab nació en 99 bajo la denominación de INADEL como na herramiena para el análisis de esrcras civiles con aislamieno sísmico, esrcras con disipadores de energía y esrcras con comporamieno no lineal Deparameno de Aeronáica, F.C.E.F. y N., Universidad Nacional de Córdoba, Insio Universiario Aeronáico, Córdoba, Argenina. Deparameno de Ingeniería Civil, Ponificia Universidad Caólica de Chile, Saniago, Chile. REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 49

2 drane la invesigación docoral de los aores en la Universidad de California en Berkeley Inadi y De la Llera, 99. La primera versión del programa con fines académicos fe erminada en 995 bajo la denominación de MECANO. Desde enonces la herramiena ha sido ilizada como herramiena nmérica de apoyo en la enseñanza de crsos de análisis esrcral, dinámica de esrcras y diseño de sisemas de aislamieno sísmico y disipación de energía para la proección de esrcras dicados por los aores. A parir del so en areas de invesigación, SAT-Lab plasmó disinos ópicos qe han sido moivo de invesigación de los aores. SAT-Lab es el nombre de la primera versión comercial de esas herramienas qe esá disponible en s versión S en español desde comienzos de 3 Inadi y De la Llera, 3. Las fnciones de SAT-Lab permien realizar las sigienes areas: Análisis de esrcras esáicamene deerminadas Análisis esrcral por el méodo de los desplazamienos Análisis dinámico de esrcras lineales Análisis esáico de esrcras no-lineales Análisis dinámico de esrcras no-lineales Análisis dinámico de sisemas coninos En s versión acal SAT-Lab S, el programa esá pensado para el análisis de esrcras ridimensionales con elemenos de dos nodos, si bien el sario pede incorporar elemenos finios más generales. Las areas clásicas del análisis esrcral inclyen na serie de pasos como son la definición de nodos y coordenadas, definición de grados de liberad y resricciones, definición de elemenos con propiedades y conecividad, ensamble de marices de ecaciones de eqilibrio, rigidez, masa y amorigamieno, cálclo de desplazamienos, deformaciones, y esferzos en elemenos, y visalización de configraciones de la esrcra deformada. SAT-Lab ofrece na serie de fnciones qe facilian esas areas. A modo de ejemplo, se mesra a coninación el código en SAT-Lab del análisis esrcral de n reiclado plano de res nodos y res barras. Las fnciones en negria son fnciones de SAT-Lab. A coninación del símbolo %, se comena el significado del cálclo realizado en cada línea: E =.e4; G = E/.6; % Propiedades mecánicas en on/cm^ A = ; % Sección de las barras cm^ XYZ=[ ;3 ;5 5];% Coordenadas nodales cm DOFS =[ ; ; ]; % Grados de liberad EDICT.elname='elrss';% Diccionario de elemenos Barra elásica lineal EDICT.qalifier='lK'; PROPERTIES= [E A]; %Mariz de propiedades de elemenos ELEMENTS = [ ; 3 ;3 ];% Mariz de elemenos gpelemxyz,elements; hold; % Gráfico de elemenos gpdofsxyz, DOFS,ELEMENTS; % Gráfico de grados de liberad [K]=skcmXYZ,DOFS,ELEMENTS,PROPELEM,EDICT,'lK';%Ensamble de K NLOADS=[ - ]; % Carga verical de on en nodo [F]=ldnldfNLOADS,DOFS; % Ensamble cargas sobre grados de liberad [y]=sesolve K,P; % Solción del problema K y = F [NDISP]=sendisp y,dofs; % Desplazamienos nodales % Esferzos inernos Fe: cálclo y graficación [Fe,Ve,YLOCAL]=efmemfNDISP,XYZ,DOFS,ELEMENTS,PROPERTIES,EDICT,'lK'; gpmemfxyz,elements,fe,ylocal;% Visalización de Esferzos Inernos [R]=efspr XYZ,DOFS,Fe,YLOCAL; % Cálclo de reacciones gpsprxyz,elements,dofs,r; % Visalización de reacciones amp = ; % Facor de amplificación para gráfico DX = amp*ndisp:,;dy = amp*ndisp:,3; DZ = amp*ndisp:,4; % Visalización de configración deformada gpdefsxyz,dx,dy,dz,elements,viewpoin,adaa; La ilización de SAT-Lab spone qe el sario esá familiarizado con la eoría del análisis esrcral y el manejo de Malab. El debe seleccionar las herramienas a ilizar en la consrcción del modelo esrcral y s análisis mediane la creación de n archivo qe coniene na serie de comandos o acciones secenciales a ejecar como el ilsrado en el ejemplo. Si bien inicialmene eso pede sorprender al sario acosmbrado a programas envasados con poderosos pre- y pos-procesadores, esas caracerísicas feron creadas inencionalmene y reflejan na filosofía de 5 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

3 enseñanza qe pare de la premisa qe drane s aprendizaje, el almno debe comprender a fondo las insancias, variables y procedimienos sados en la modelación e inervenir en oda insancia del análisis esrcral. En SAT-Lab odas las variables ilizadas esán a la visa y acceso por pare del sario. Vale la pena remarcar qe esa herramiena, más qe na herramiena de prodcción es n conjno abiero de fnciones na librería cyo alcance y secencia de so son conrolados por el sario. Ese reconocerá la facilidad con la qe pede incorporar nevas conribciones al lengaje. ALCANCE DE LAS FUNCIONES DE SAT-LAB SAT-Lab ofrece rinas para la ejección de areas como: Definición de coordenadas nodales Definición de elemenos esrcrales Definición de grados de liberad, resricciones y desplazamienos esclavos Ensamble de marices de rigidez, masa, y amorigamieno Definición de cargas nodales y cargas en elemenos Consrcción de relaciones cinemáicas lineales Solción de problemas esáicos lineales con cargas y desplazamienos impesos. Solción de problemas esáicos no lineales por méodos ieraivos Inegración de ecaciones de movimieno y análisis de vibraciones lineales Inegración de ecaciones de movimieno de sisemas no lineales Cálclo de modos y frecencias narales de sisemas coninos Análisis en el dominio de la frecencia de sisemas lineales Modelos de amorigamieno lineal viscoelásico Modelos no lineales de disipación plasicidad, viscosidad Herramienas de visalización de modelos, esferzos y deformaciones En s versión acal, SAT-Lab consa de más de rescienas fnciones en dos módlos: i Análisis esrcral lineal Módlo LA y ii Análisis esrcral no-lineal Módlo NLA. A coninación se describe brevemene el alcance de las fnciones provisas con SAT-Lab y se ilsran las capacidades disponibles mediane ejemplos desarrollados con esa herramiena. Para mayor claridad se iliza lera ipo Corier para indicar n comando o variable en Malab o el nombre de na fnción de SAT-Lab nombrada en el eo. En ese rabajo se omiirá el código de programación para privilegiar la eposición de problemas qe peden abordarse. La consla de dealles de la programación, el lengaje, ejemplos, manales y oriales pede realizarse en el siio donde se encenran n conjno de ejemplos de inerés. ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS El análisis de esrcras esáicamene deerminadas consise en el cálclo de esferzos inernos en elemenos esrcrales y reacciones en apoyos para n parón de cargas esáicas aplicadas. En ese caso las condiciones de eqilibrio son sficienes para deerminar esos esferzos y por ende no se reqiere especificar las propiedades consiivas de los elemenos esrcrales. En la enseñanza de la esáica de esrcras resla frecene el so de méodos gráficos de eqilibrio nodal. Los efic ienes méodos compacionales direcos para la resolción de ecaciones lineales disponibles en Malab, brindan la posibilidad de analizar esrcras con n número significaivo de elemenos y sisemas esrcrales de relevancia ensamblando las ecaciones de eqilibrio nodal de manera aomáica. Ora aplicación imporane es el análisis de vinclación de na esrcra. La deección o verificación de hiperesaicidad o isosaicidad anes de realizar n análisis es n aspeco de imporancia. Las rinas inclidas en SAT-Lab permien realizar análisis esáico de esrcras consiidas por elemenos esrcrales de dos nodos y disinos ipos de vínclos o apoyos. Denominando f a los esferzos inernos independienes de los elemenos esrcrales, R a las reacciones de los apoyos, y P a las componenes en las seis direcciones ferza y momeno de las cargas eernas aplicadas en los nodos, las condiciones de eqilibrio esáico en esrcras consiidas por elemenos rígidos peden ser escrias como : f H =P R REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 5

4 donde H es la mariz qe define las condiciones de eqilibrio nodal y resla del ensamble de las conribciones al eqilibrio de los esferzos de los elemenos y de las reacciones de los apoyos. Dado el vecor de cargas nodales P, la solción de f y R consise en la solción de n problema algebraico lineal esándar. α Figra. Análisis esáico de n reiclado plano. Por ejemplo, consideremos el reiclado plano de la Fig.. El vecor de esferzos inernos f en ese caso coniene los esferzos aiales N i y el vecor R, las reacciones en apoyos R j. Las ecaciones de eqilibrio nodal peden epresarse como n sisema lineal de ecaciones algebraicas con N i y R j como incógnias. Por ejemplo, la primera ecación de eqilibrio, correspondiene a la dirección horizonal del nodo, pede epresarse como: < > R + Ncosa + N + P = donde P <> represena la carga eerna aplicada al nodo <> en la dirección. En el formao de la ecación, la ecación resla: N N... cosa 3 R R3... < > [......] R = P El vecor fila de esa úlima ecación es enonces la primera fila de la mariz H. El problema esáico qedará deerminado si la mariz H resla cadrada y con rango compleo. En esrcras ridimensionales con n número significaivo de elemenos, resla relaivamene complejo el análisis de isosaicidad por inspección visal. Para al efeco pede analizarse el rango de la mariz H consrida aomáicamene por las rinas de SAT-Lab. 5 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

5 Ejemplo de análisis esáico en SAT-Lab La figra a coninación mesra los esferzos reslanes en n pórico ridimensional emporado en la base de la colmna verical y con cargas pnales aplicadas en el pno más bajo de la viga oblica analizado en SAT-Lab. Figra : Diagramas de esferzos obenidos a parir del análisis esáico del pórico. ANÁLISIS ESTRUCTURAL POR EL MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS Los esferzos inernos f de n elemeno esrcral se relacionan con las deformaciones v del mismo a ravés de la relación consiiva. Las deformaciones de los elemenos a s vez peden ser epresadas como fnción de los grados de liberad de la esrcra. En modelos de cinemáica lineal, dicha relación pede epresarse mediane na mariz L v como La relación consiiva en n elemeno elásico lineal pede ser epresada como donde k i es la mariz de rigidez del elemeno. v = L v y 4 f i = k i v i 5 La mariz de rigidez del modelo esrcral se consrye mediane el ensamble de las marices de rigidez de los elemenos de la esrcra: N e T LikLy i i = Ky = F 6 i= donde, la mariz de rigidez K de la esrcra resla enonces igal a la sma de las conribciones de las rigideces de los elemenos y Ne Ne T e i i i l i= i= e K l es el apore del elemeno l a la mariz de rigidez de la esrcra. K = LkL = K 7 SAT-Lab incorpora varias fnciones para realizar el ensamble de la mariz de rigidez. Algnas de ésas se deallan en la Tabla. REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 53

6 Tabla : Fnciones para ensamble de la mariz de rigidez. Fnción Propósio skcm Ensamble de la mariz de rigidez skcm Ensamble de la mariz de rigidez en esrcras con desplazamienos nodales esclavos skcml Ensamble de mariz de rigidez mediane ransformaciones cinemáicas L. sconnc Consrcción de n modelo esrcral a parir de sbesrcras ssbkc Ensamble de la mariz de rigidez a parir de sbesrcras con grados de liberad condensados Una vez calclada la mariz de rigidez y obenido el vecor de cargas sobre los grados de liberad, la solción de las ecaciones de eqilibrio esáico pede ser realizada por los méodos indicados en la Tabla. Conocidos los desplazamienos en la condición de eqilibrio esáico, se calclan los desplazamienos nodales. Esos desplazamienos permien visalizar la esrcra deformada y calclar ano los esferzos inernos en los elemenos esrcrales como las reacciones en los apoyos. Tabla : Fnciones para la solción del problema K y =F y cálclo de desplazamienos nodales. Fnción sesolve sekc sesbs sendisp sendsb Propósio Solción del problema esáico con cargas en grados de liberad y/o desplazamienos impesos Condensación esáica de la mariz de rigidez a n conjno predefinido de grados de liberad Cálclo de desplazamienos nodales por el méodo de sbesrcración Cálclo de desplazamienos nodales a parir de los desplazamienos en los grados de liberad Cálclo de desplazamienos nodales ilizando sbesrcras SAT-Lab ofrece fnciones para la generación de las cargas nodales eernas, cargas de vano en elemenos, cálclo de cargas de emporamieno perfeco y ensamble del vecor de carga sobre los grados de liberad de la esrcra. No se deallan los nombres de las fnciones por brevedad. Para ilsrar el análisis de esrcras con cargas en los elemenos, se considera na carga graviaoria en el modelo de pene de la Figra 3. Los esferzos y las deformaciones de elemenos calcladas se grafican en dicha figra. En el recadro de la Figra 3, se mesra el diagrama de momenos flecores en la viga conina. El sario pede además analizar en na panalla adicional, el esferzo de inerés en n elemeno en pariclar. Figra 3: Deformada amplificada y diagramas de esferzos inernos del pene. 54 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

7 ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS LINEALES Modelos de sisemas MCK en segndo orden SAT-Lab permie analizar problemas de vibraciones de modelos lineales caracerizados por la ecación diferencial de segndo orden: M y + Cy + Ky = L w 8 con condiciones iniciales dadas. Para el análisis de vibraciones lineales en el dominio del iempo es posible ilizar análisis modal. Para deerminar las formas modales en esrcras con amorigamieno clásico se reselve el problema de valores propios en qe F es la mariz de formas modales, y w?f =?FO 9 O = diag? i es na mariz diagonal con el cadrado de las frecencias narales en s diagonal. SAT-Lab iene rinas para el cálclo ieraivo de los primeros o odos los modos de vibración de n modelo esrcral Fig. 4. En modelos con amorigamieno clásico, las N formas modales f n peden ser ilizadas en ese caso para desacoplar las ecaciones diferenciales mariciales del movimieno en N ecaciones escalares a ravés de la ransformación de coordenadas y = Φ q Las rinas del ema vibraciones lineales de SAT-Lab permien realizar análisis modal, inegración en el iempo de las ecaciones de movimieno, consrir marices de amorigamieno clásico y obener n conjno de vecores de Riz- Lanczos para redcir el orden del sisema. 8 7 ω = 8.6 ω = Y cm X cm X cm Figra 4: Modos de vibrar de n pórico calclado y graficados con SAT-Lab. El análisis en el dominio del iempo pede ambién realizarse en espacio de esado, rescribiendo la ecación diferencial en n conjno de ecaciones diferenciales de primer orden de la forma = A + Bw donde, A y B son las marices del sisema y de inflencia de la eciación, respecivamene, y se definen como I? = M K M C M Lw? = Esos modelos, disponibles en las rinas de SAT-Lab, son especialmene úiles para el análisis de modelos lineales con amorigamieno no clásico y modelos esrcrales lineales con modelos de amorigamieno viscoelásico. Por ejemplo, la fnción de ransferencia de la enrada wl a la salida y m es en noación en espacio de esado REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 55

8 H s = Dm,:sI A B:, l Em,l 3 ml + y se calcla como [H]=ssfA,B,D,E,s,m,l en SAT-Lab donde s es el vecor de valores complejos de la variable comp leja s Laplace para los qe se desea evalar la fnción de ransferencia. Análogamene la fnción de respesa en frecencia de la enrada wl a la salida y m es - Hj? = Dm,:j? IA - B:,l + E m,l 4 y se calcla como [H]=ssfrfA,B,C,D,ombar,m,l donde ombar es el vecor de frecencias para el qe se desea evalar la fnción respesa en frecencia. Análisis ilizando la ransformada rápida de Forier FFT La respesa de n sisema lineal pede calclarse a parir de la relación enrada-salida en el dominio de la frecencia, ilizando la ransformada rápida de Forier: Yj? = Hywj? W j? 5 donde H yw j? es la fnción de respesa en frecencia, W j? es la ransformada de Forier de la eciación de enrada, e Y j? es la ransformada de la respesa. Ese procedimieno de cálclo de la respesa de n sisema lineal se realiza en SAT-Lab mediane las fnciones faffmimo o faffsis o qe ilizan las fnciones ff e iff de Malab para la ransformada rápida de Forier y s inversa. Así, por ejemplo [y]=faffmimo'hyw',param,w,h calcla la respesa de n sisema lineal cya fnción de respesa en frecencia se especifica en la fnción Hyw.m definida por el sario para el problema específico, w es la señal discrea de enrada, y h es el iempo de mesreo de esa señal. Viscoelasicidad lineal Represenación en espacio de esado Para analizar esrcras con elemenos viscoelásicos SAT-Lab cena con na modelación en el dominio del iempo de la forma: T M y + Cy + Ky + L f = L w 6 donde M, C, y K son las marices de masa, amorigamieno y rigidez, respecivamene; y f es el vecor de ferzas en los elemenos lineales, eso es w z = A z + B Ly E Ly 7 z z + Cz f = z Las marices Az, Bz, Ez y Cz caracerizan el modelo del maerial viscoelásico; z es el vecor de esado de ese modelo; y L es la ransformación cinemáica enre los grados de liberad de la esrcra y las deformaciones v de los elemenos viscoelásicos z v = Ly 8 La represenación en espacio de esado de n conjno de elemenos viscoelásicos se obiene ilizando la fnción vess. Los elemenos viscoelásicos a ensamblar mediane esa fnción deben ener na esrcra como la sigiene: [az,bz,ez,cz]=veelempropqe a parir de n vecor de propiedades prop calcla las marices de la represenación z = azz + bzv + ezv f = czz 9 56 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

9 Por ejemplo, el elemeno viscoelásico vemawell define las marices az,bz,ez y cz para na cadena de elemenos de Mawell en paralelo caracerizados por disinos iempos de relajación Fig. 5. El sario pede definir alernaivamene oros modelos e incorporarlos al análisis. Figra 5: Modelo viscoelásico y ciclo de hiséresis bajo deformación sinsoidal. Las ecaciones de movimieno de na esrcra con disipadores viscoelásicos peden escribirse como na ecación de primer orden = A B w, con e e + w O A = M K EzL I M C BzL O T M L Cz A z O Bw = M Lw O donde T T T T e [y y z ] =. Esa represenación se obiene con la fnción [A,Bw]=ssmckabM,C,K,Lw,Az,Bz,Ez,Cz,L; Una vez calcladas las marices A y Bw, la respesa de la esrcra a na eciación arbiraria pede obenerse sando la fnción de inegración ssinegr de SAT-Lab qe inregra las ecaciones diferenciales de n sisema lineal en espacio de esado Inadi e al., 993; Inadi y De la Llera, 99. Represenación en el dominio de la frecencia El comporamieno de n disipador viscoelásico lineal pede represenarse en el dominio de la frecencia mediane el modlo elásico G j? o G sj? y el módlo de disipación G j? o G l j?, al qe la ferza y la deformación del disipador se relacionan como Fj? = G j? jg j? V j? s + La rigidez dinámica del disipador G j? = G s j? + jg j? para varios modelos viscoelásicos se calcla mediane la l fnción [G]=veelemfparam,ombar donde param son los parámeros qe caracerizan el modelo y ombar es el vecor de frecencias para el cal se desea calclar la rigidez dinámica Kw de n modelo esrcral compleo. Cando se iliza ese ipo de represenación, la respesa de la esrcra pede obenerse en el dominio de la frecencia con faffsiso o faffmimo. El ensamble en frecencia de la mariz de rigidez dinámica de n modelo esrcral se realiza con las fnciones css, css, y css4. ANÁLISIS NO LINEAL ESTÁTICO DE ESTRUCTURAS En cieras ocasiones el comporamieno mecánico de cieros elemenos esrcrales no pede ser represenado mediane elemenos elásicos lineales debido a consiivas no lineales en los maeriales o a efecos geoméricos qe reslan en relaciones cinemáicas no lineales. En esos casos, se ilizan modelos no lineales para analizar el comporamieno esrcral. En los modelos no lineales con cinemáica inerna no lineal o consiiva no lineal, las ecaciones de eqilibrio esáico adopan la forma l REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 57

10 F = K y + L T f donde K es la mariz de rigidez de los componenes lineales en la esrcra, y f es el vecor de esferzos en los elemenos no lineales cyas deformaciones son aún epresadas por la relación lineal v = L y 3 La relación consiiva qe permie epresar f = gv,z implica qe los esferzos inernos en el elemeno son na fnción de las deformaciones v del elemeno y de ss variables de esado z qe eisen sólo en casos de sisemas con memoria, como por ejemplo, en modelos elasoplásicos, viscoelásicos, enre oros. Consecenemene, la definición de n modelo con elemenos con consiivas no lineales y cinemáica lineal reqiere la definición de la mariz de ransformación L, y rinas donde se definen i las ferzas resisenes f en fnción de las deformaciones v y variables inernas z, ii las marices de rigidez angene del elemeno no lineal k i para s ensamblaje, y iii la evolción de las variables inernas z en fnción de los cambios en la deformación del elemeno no lineal. La mariz de rigidez angene de la esrcra para na configración de deformación pede epresarse como: Nen T = + i i i i= K K LkL 4 donde N en es el número de elemenos no lineales de la esrcra, K es la mariz de rigidez de los elemenos lineales de la esrcra y k i es la mariz de rigidez angene del i-ésimo elemeno no lineal. La solción de n problema esáico no lineal pede ser encarada por disinos méodos ieraivos de conrol de ferza o desplazamieno. En el caso de conrol de ferza se sa n proceso de corrección de errores de eqilibrio y aproimación scesiva de la relación consiiva mediane la mariz de rigidez angene de la esrcra. El méodo avanza ieraivamene hasa alcanzar la configración de eqilibrio ver Figra 6 Figra 6: Méodo de Newon Raphson. En SAT-Lab se ilizan disinas formlaciones para la solción de ese problema esáico, para consrir marices de relación cinemáica y na librería de elemenos para análisis esáico no-lineal. En los casos de cinemáica no lineal y consiivas lineales, el análisis esáico pede realizarse mediane na formlación incremenal similar a la ilizada para modelos no lineales con cinemáica lineal. Algnas de las fnciones disponibles en SAT-Lab para modelos elásicos con cinemáica no lineal inclyen barras elásicas en grandes desplazamienos engrss y esrcras de cables encable, encablei. Méodo incremenal pro Un méodo my simple de análisis esáico no lineal consise en la aplicación scesiva de incremenos de carga hasa complear la carga oal. En cada paso se reselve n sisema lineal con la mariz de rigidez angene del modelo. En ese procedimieno no eise ningún ipo de conrol de error, acmlándose en cada paso los errores aneriores reslanes de sponer consane la mariz de rigidez denro de cada inervalo de carga. La precisión depende eclsivamene del número de inervalos de carga. La Tabla 3 describa algnas de las fnciones disponibles. 58 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

11 Tabla 3: Solción de problemas esáicos no lineales. Fnción nsincf Propósio Solción de eqilibrio esáico de esrcras con elemenos no lineales de varias deformaciones por méodo incremenal e ierando en cada paso de carga con rigidez angene. nsincfv Idem para elemenos de na deformación. Méodos incremenales con corrección El méodo incremenal con corrección srge de la combinación de los dos aneriores. La carga se aplica en eapas y en cada paso se iera hasa lograr convergencia. SAT-Lab dispone de varias implemenaciones de ese procedimieno Tabla 4. Tabla 4: Méodos de análisis esáico incremenales con corrección. Fnción nsincfc nsincfci nsincfcb nsincfcbi Propósio Solción de eqilibrio esáico de esrcras con elemenos no lineales por méodo incremenal con corrección ierando con rigidez angene. Variane de nsincfc para problemas mal condicionados Variane de nsincfc con ciclo inerno de Broyden. Variane de nsincfc con ciclo inerno de Broyden para problemas mal condicionados. La b en la erminación de las fnciones indica qe para el ciclo correcor inerno se emplea el procedimieno de Broyden o qasi-newon qe no reqiere el ensamble de la mariz de rigidez angene en cada paso correcor; la i señala na ligera modificación del algorimo para raar proble mas mal condicionados. Méodo de relajación Como na alernaiva a los procedimienos planeados aneriormene se presena el méodo de relajación. Ese permie enconrar la posición de eqilibrio esáico resolviendo n sisema dinámico cya condición esacionaria es la solción del problema esáico original. La fnción ndsode de SAT-Lab implemena esa écnica. Para ilsrar ese méodo resla adecado presenar n ejemplo de aplicación. El modelo esrcral elegido consise simplemene en n cable sspendido de dos sopores bicados al mismo nivel. El mismo se modela con elemenos de cable elásico encable de igal longid. En cada no de los nodos inernos se aplica na ferza concenrada verical Figra 7. En ese ejemplo, varios de los valores propios de la mariz de rigidez angene son nlos. Esa circnsancia implica na seria dificlad para los méodos incremenales epesos con anerioridad, debido a qe no es posible resolver los sisemas lineales qe involcran a esa mariz en cada paso ieraivo. Esos problemas no reslan ales en el méodo de relajación porqe ése no reqiere la inversión de la mariz de rigidez angene. La solción obenida se mesra en la sigiene figra: REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 59

12 Z X Figra 7: Deformada del cable sspendido de dos sopores. Para conclir con ese ejemplo se grafica el desplazamieno verical del nodo cenral para apreciar la convergencia en el iempo de la solción a la posición de eqilibrio esáico Fig Convergencia a la posición de eqilibrio esáico 4 Desplazamieno verical del nodo cenral iempo Figra 8: Convergencia del desplazamieno verical del nodo cenral del cable. Análisis esáico con conrol de desplazamienos En cieras ocasiones, el problema esáico resla de imponer desplazamienos en cieros grados de liberad y cargas en oros. Ese ipo de análisis se realiza con la fnción nsincy. Para problemas mal condicionados se dispone de la fnción nsincyi, la qe se emplea de la misma manera. Por ejemplo, consideremos el análisis de n modelo de dos barras elásicas en grandes desplazamienos a parir de la configración inicial como el qe se ilsra en línea pneada en la Figra 9. Se desea calclar la deformación y cargas reqeridas para mover vericalmene hacia arriba el nodo cenral. 6 Esrcra en s posición original y deformada Figra 9: Análisis no lineal con conrol de desplazamienos de dos barras elásicas. 6 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

13 Con la aplicación de ese desplazamieno la esrcra pasa por dos posiciones en las qe la ferza resisene verical es nla. La primera ocrre cando las dos barras se alinean horizonalmene y la segnda cando la esrcra adopa la posición simérica a la original respeco a la horizonal. La crva complea ferza-desplazamieno se grafica en la Fig.. 6 Relación ferza-deformación 5 4 Ferza resisene Desplazamieno verical Figra : Relación ferza-deformación del modelo no lineal de las barras elásicas de Fig. 9 ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS NO LINEALES Los sisemas considerados Fig. qedan deerminados por la sigiene ecación de movimieno: T M y + Cy + Ky + L f = L w 5 w f= fly, Ly, z 6 donde M, C, y K son respecivamene las marices de masa, amorigamieno y rigidez de los elemenos lineales de la esrcra elemenos qe permanecen lineales drane la vibración; L es la mariz de ransformación cinemáica enre los grados de liberad y y las deformaciones de los elemenos no lineales; y f es el vecor de ferzas en los elemenos no lineales. El veco de ferzas f pede ser simplemene na fnción no lineal de la deformación y/o velocidad de deformación del elemeno por ejemplo n disipador viscoso no lineal enviscd, o n operador diferencial o inegral con variables inernas como en el caso de n elemeno elaso-plásico enepd o viscoelásico. SAT-Lab incorpora n conjno de modelos consivos no lineales frecenemene propesos para modelar disipadores de energía Inadi, 993a, Inadi, 993b. Como ejemplo de aplicación se mesran a coninación los dos primeros modos de vibración de na orre arriosrada a diferenes alras Fig.. Se realiza el análisis esáico no lineal del modelo con cables eensibles y lego se calcla la mariz de rigidez angene en posición de eqilibrio esáico para analizar las frecencias narales en peqeñas oscilaciones Barberis,. REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 6

14 m 3 v,f m f v m Y ü g Z X ü g Figra : Modelo con elemenos no lineales sjeo a eciación en s base. Figra : Modos de vibración de orre con cables. Para análisis dinámico de modelos esrcrales con cables en grandes desplazamienos se peden sar las fnciones de análisis dinámico no lineal. Por ejemplo, la fnción ndode reselve ano problemas parabólicos como hiperbólicos a ravés de la fnción ode5s de Malab. Oro ejemplo desarrollado con SAT-Lab sando elemenos no lineales se ilsra en la Fig. 3. Se modela el comporamieno de n pene con n macroelemeno friccional con ineracción verical qe permie caprar los efecos de las variaciones de carga aial en el comporamieno mecánico de n sisema de aislamieno denominado péndlo friccional Almazán e al., REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

15 Figra 3: Modelo esrcral y ciclo de hiséresis de n elemeno FPS. PLASTICIDAD CONCENTRADA Macro elemenos róla Los elemenos ipo róla de SAT-Lab han sido creados con el objeo de modelar el comporamieno de elemenos con consiiva no lineal elasoplásica y esrcras qe inclyen la ineracción plásica enre las disinas componenes de esferzos y deformaciones. El elemeno plano posee dos componenes de deformación, digamos la deformación aial y el giro, o bien, la deformación laeral y la orsión de n piso compleo. En el caso ridimensional se definen res componenes de deformación, por ejemplo aial y giro según dos ejes ineracción N M M yy, o bien, la ineracción de core y orqe en n piso V V y T. La disribción de esferzos y deformaciones a lo largo de ese ipo de elemenos es consane. Macroelemenos róla con elaso-plasicidad perfeca Esos elemenos se definen mediane na mariz de rigidez y na sperficie de flencia. Se asme qe la flencia del elemeno ocrre sobre la sperficie sigiendo na ley de fljo asociado, respeando las condiciones cinemáicas en vérices, arisas, y caras de dicha sperficie. Para el caso de esrcras, esas sperficies se definen ípicamene por las crvas de ineracción de esferzos inernos, por ejemplo, momeno flecor y esferzo aial. Sin embargo, las aplicaciones de ese elemeno son my variadas, y llegan inclso hasa la modelación simplificada de edificios De la Llera, ; Dides y De la Llera, 3. En comporamieno elásico, es decir para esferzos denro de la sperficie de flencia, el incremeno de ferzas del elemeno f debido a n incremeno oal de deformaciones v, compeso por na componene elásica v el y na plásica v p, se obiene mediane la rigidez elásica del macroelemeno k el, como f = k el v 7 Una vez qe el elemeno alcanza la sperficie de flencia, el incremeno de ferzas se evalúa asmiendo na regla de fljo asociado mediane la mariz de rigidez angene elasoplásica k ep, REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 63

16 el F F k k ep ep el m m? =? con m = - F F f k v k k T F el F k F F m T m el 8 donde FF represena la forma fncional de la crva de ineracción y F/F m represena el gradiene de la m-ésima cara de la sperficie. Las condiciones especiales en qe la respesa cae sobre vérices y arisas, se considera con especial cidado en el cálclo del incremeno de deformación plásica. Tabla 6: Elemenos con sperficie de ineracción simples. Fnción enepv enep3v Propósio Róla elaso-plásica perfeca con ineracción bidimensional Róla elaso-plásica perfeca con ineracción ridimensional Como aplicaciones, y para faciliar el so de esos elemenos el sario pede sar la fnción ailiar fbmpd, qe permie generar la crva de ineracción M N para na sección arbiraria de acero hormigón, y la fnción sspropg, qe genera la sperficie de ineracción de core y orqe de n piso de n edificio en res dimensiones V V y T. A modo de ejemplo se presena en la Fig. 5, la sperficie de ineracción de cores y orqe para la esrcra indicada en la Fig. 4 obenida con las fnciones de plasicidad concenrada de SAT-Lab. Y Y k=85 Fy=4 k=85 Fy=4 k=55 Fy=3 y e 5 C.M. C.S. X X k=85 Fy=4 k=85 Fy=4 k=55 Fy=3 θz 5 5 Figra 4: a Esrcra asimérica de n piso con y 3 planos resisenes en las direcciones X e Y, respecivamene; b Macroelemeno enep3v eqivalene. Sperficie USST: Ineracción V - Vy - T T [Kg cm] Vy [Kg] V [Kg] Figra 5: Sperficie de flencia V V y T SST. 64 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

17 Macroelemenos róla con fibras Esos elemenos se san para modelar n elemeno discreizado en n conjno de fibras nidimensionales ípicamene aiales, Fig. 6 de na ciera longid L f con consiiva σ-ε. La consiiva de la fibra pede ser arbiraria, sando calqiera de los elemenos no lineales disponibles en SAT-Lab, ese modelo permie modelar comporamienos my variados al nivel de la sección de n elemeno. Sección Z Fibra 'i' Ai, Ei yi Y E.N. X H X Fibra 'i' Y r H Figra 6: Discreización bidimensional de na sección monosimérica. r3 r Z r 4 Elemeno Fibra L f La definición de n macroelemeno róla bidimensional se presena en la Fig. 7a. En ese caso las fibras corresponden a dovelas de la sección. Como se observa, el elemeno posee dos grados de liberad aiales y dos roaciones en los eremos de la róla. La eensión del macroelemeno al caso ridimensional es direca mediane na discreización en ambas direcciones en el plano de la sección Fig. 7b. A diferencia del modelo de macroelemeno róla con comporamieno elaso-plásico perfeco, las rólas ipo fibra permien: i Una ransición gradal enre el rango elásico y plásico de la sección, ii considerar la ineracción enre los disinos esferzos, y iii evalar en forma sencilla los esferzos en el elemeno a parir de na inegración sobre la sección. Las ecaciones de eqilibrio aial y momeno flecor para la sección peden escribirse: N= s e da s e A A i i i i= M = s e zda s e za yy i i i i A i= zz i i i i A i= nf M = - s e yda - s e ya nf nf 9 SAT-Lab posee macroelemenos róla con fibras bi- y ri-dimensionales. El número de fibras y maeriales consiivos es arbirario; sin embargo, el coso compacional crece en forma ssancial con el ameno del número de fibras no-lineales. Anqe calqier elemeno de na deformación de la librería de SAT-Lab pede ser ilizado para definir las fibras, o bien el sario pede definir no específico para s aplicación, se inclyen como ejemplo en ese grpo de rinas consiivas, hormigón con y sin confinamieno modelo de Park Ken y acero con consiiva Menegoo Pino. Tabla 6: Macroelemenos róla con fibras disponibles en SAT-Lab. Fnción enfbv enfb3v Propósio Róla fibra bi-dimensional Róla fibra ridimensional REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 65

18 X Y Fibra j v X Z v Y v 3 v v Z v 4 L f Fibra j v 6 v 5 L f v 3 a enfbv Elemeno b Elemeno enfb3v Figra 7: Macroelemenos róla con fibras. Las fibras nidimensionales de hormigón y acero disponibles en SAT-Lab se deallan en la Tabla 7. Tabla 7: Macroelemenos róla con fibras disponibles en SAT-Lab. Fnción enrcpp enrcpp enmenpin enmenpinsh enbl Propósio Fibra de hormigón de Ken Park Fibra de hormigón de Ken Park con racción en el hormigón Fibra de acero Menegoo Pino Fibra de acero de Menegoo Pino con endrecimieno isorópico Fibra bilineal Se desaca el modelo de Ken y Park para elemeno nidimensional de hormigón, enrcpp. Ese modelo esá basado en la envolvene σ ε monoónica en compresión de na fibra de hormigón. En ese modelo se inclye el efeco del confinamieno del hormigón en la resisencia del elemeno debido al referzo ransversal. Para las fibras de acero se desaca na variane del formlado originalmene por Menegoo y Pino, y permie na ransición gradal enre la rigidez elásica inicial y la rigidez pos-flencia. Macroelemeno róla La generación de n macroelemeno róla en base a fibras reqiere de la discreización de la sección en grpos de fibras de maerial i i =..m, en qe cada fibra j j =..n i de maerial i iene área A j i y cenro de gravedad y j i,z j i. Como esa discreización es na area laboriosa, SAT-Lab posee fnciones para la discreización aomáica de secciones Fig. 8. La fnción fbdiscg discreiza en fibras calqier sección de acero hormigón armado definida por recánglos, mienras qe la fnción fbdisco para secciones circlares. 66 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

19 n n- y l z l a a-... l 3 Figra 8: Discreización de na sección recanglar previa al cálclo de la sperficie de ineracción del modelo. Z a+ Cenro de Gravedad de la sección Y X Macroelemenos para póricos Los macroelemenos róla presenados en la sección anerior se ilizan como sbelemenos en la consrcción de macroelemenos de ipo colmna y viga en dos y res dimensiones. En la Figra 9 se presena esqemáicamene el modelo de n elemeno en qe la plasicidad se concenra en ss eremos. Anqe a n coso compacional elevado, ese elemeno pede ser ilizado a s vez como sbelemeno para modelar plasicidad disribida en esrcras de póricos. Ese elemeno consa de res sbelemenos, dos rólas inelásicas en ss eremos, y n elemeno elásico de viga enre dichas rólas. Sobre los nodos I y J se definen grados de liberad eernos r H qe ineracúan con el reso de la esrcra. El modelo asme qe eisen ferzas eernas nlas acando sobre los dos nodos inernos definidos, y por lo ano los grados de liberad asociados a esos ndos r L, se conocen a parir de r H. Figra 9: Modelo de colmna para pórico espacial con rólas en eremos. Los macroelemenos róla son indeformables en core y ransmien ese desplazamieno eerno direcamene al elemeno elásico. A diferencia del elemeno colmna, se asme qe el elemeno viga es indeformable aialmene. REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 67

20 En la Tabla 8 se indican a coninación los seis macroelemenos qe posee SAT-Lab para la modelación de esrcras de póricos planos y ridimensionales. Las res úlimas colmnas de esa abla indican el número de grados de liberad eernos, inernos y oal qe posee cada elemeno. Tabla 8: Macroelemenos para póricos planos y espaciales. Fnción Propósio enphcd Colmna bidimensional con rólas enepv con dos deformaciones p.e. ineracción aial-momeno flecor enphbd enfbcd enfbbd enfbc3d enfbb3d Viga plana con rólas nidimensionales de na deformación p.e. momeno-crvara M p -φ Colmna bidimensional con rólas ipo fibra enfbv qe simlan la ineracción aial-momeno flecor Viga plana con rólas ipo fibra enfbv qe simlan la relación momeno-crvara M p -φ Colmna ridimensional con rólas ipo fibra enfb3v qe simlan la ineracción aial-momeno flecor Viga ridimensional con rólas ipo fibra enfb3v qe simlan la relación momeno-crvara M p -φ Las fnciones de plasicidad concenrada de SAT-Lab permien modelar enonces esrcras aporicadas de hormigón armado y acero, calclar sperficies de ineracción Fig. y realizar análisis esáico no lineal pshover analysis o dinámico paso a paso de esos modelos. Figra : Discreización nidireccional de sección de hormigón armado y sperficie de ineracción. ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS CONTINUOS El análisis de modos de sisemas coninos mediane écnicas de separación de variables se inclye mabién en SAT- Lab. Esas écnicas permien el cálclo de frecencias narales y modos de vibración de esrcras consiidas por elemenos coninos de dos nodos ipo barra aial o viga de sección consane. La ilización de ese ipo de fnciones reqiere la caja de Análisis Simbólico de Malab si se desean reslados analíicos. Como ejemplo de análisis modal, mediane separación de variables, consideremos dos barras aiales de sección consane emporadas en los eremos y nidas como se indica en la Figra. 68 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

21 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 69 Figra : Gráfico de dos barras aiales de sección consane. Las ecaciones de movimieno de las barras son las sigienes:,, = E ρ 3,, = E ρ 3 donde i ρ represena la densidad másica y i Ε el módlo elásico longidinal de cada barra. Las condiciones de conorno y compaibilidad de esa forma son las sigienes:,,,,,, l A E A E l l = = = = = = 3 El méodo de separación de variables propone:,, q q ϕ ϕ = = 33 Los fnciones de forma en cada elemeno correspondiene a n modo de vibración reslan enonces de la forma sin cos sin cos C C C C β β ϕ β β ϕ + = + = 34 La frecencia naral de vibración pede obenerse como ρ β ρ β ω E E = = 35 Como las consanes β i esán relacionadas a ravés de la frecencia naral, podemos epresar E E ρ ρ β β = 36 E, A, l l,, E, A, l l

22 Finalmene, el cálclo de los coeficienes C, de las formas modales y el coeficiene β? pede realizarse ilizando las condiciones de conorno. Lo qe condce al sigiene problema algebraico E sin A β cos β l E A β cos β l β l sin β l ρ cos E β l ρ E ρ sin E C β l ρ E C = ρ E C E A β ρ E C 37 La solción no rivial se obiene calclando los valores de β? qe anlan el deerminane de la mariz de coeficienes. ϕ en cada elemeno qe consiyen cada modo de vibración se obienen Las fnciones de forma ϕ y calclando los valores de C no nlos qe saisfacen la ecación lineal homogénea para cada valor de β? obenido. Esa écnica de armado de la mariz de condiciones de conorno para n sisema esrcral ridimensional con elemenos coninos elásicos se desarrolla con las fnciones disponibles en SAT-Lab Masevich,. Las fnciones permien además realizar análisis modal y análisis en el dominio de la frecencia de modelos coninos. La Tabla 9 describe los elemenos coninos disponibles. Tabla 9: Elemenos coninos disponiibles en SAT-Lab. Fnción csrss csbeam csshaf Propósio Condiciones de borde de barra ridimensional en vibración aial Condiciones de borde de viga reca ridimensional en vibración ransversal Condiciones de borde de barra ridimensional en vibración orsional COMENTARIOS FINALES Y FUTUROS DESARROLLOS SAT-Lab preende ser na conribción a la didácica en la ingeniería esrcral y mecánica, n lengaje qe irá incorporando diversos aspecos del análisis esrcral, la dinámica de esrcras y mecanismos, el comporamieno y el diseño esrcral; na herramiena en la cal el principal proagonisa es el sario, qien define el alcance de aplicación de la misma. SAT-Lab es el fro del ensiasmo qe los aores han manenido por la docencia y la invesigación, y n símbolo de la volnad de colaboración enre chilenos y argeninos. La primera versión comercial de ese prodco se ha prodcido en casellano en agradecimieno a las niversidades de origen de los aores. SAT-Lab ha sido y es acalmene ilizado por los aores en la enseñanza niversiaria de crsos de pre- y posgrado en las áreas de análisis y dinámica de esrcras, inclyendo sisemas de redcción de vibraciones, como herramiena de simlación y apoyo a la docencia. Los aores deben confesar qe el desarrollo de esa herramiena ha permiido disfrar de la enseñanza e invesigación realizada drane esos años, y reconocen en ella n mecanismo de aprendizaje permanene. SAT-Lab es n proyeco de largo plazo, por lo qe crecerá en alcance, calidad y aplicaciones bajo la dirección de los aores originales y con el valioso apore de esdianes, docenes, e invesigadores. SAT-Lab coninará inegrando disciplinas bajo la misma filosofía. En próimas versiones se incorporarán fnciones para el análisis mediane elemenos finios de problemas de mecánica de los sólidos y fljo de calor Vanella, 3, grandes desplazamienos y plasicidad Bzea, 3. Ora línea qe se incorporará en el mediano plazo son herramienas para el diseño de elemenos de acero y hormigón armado en la consrcción de esrcras civiles Dides y De la Llera, 3, como así ambién fnciones para la enseñanza de cinemáica de cerpos rígidos y macanismos. Agradecimienos Desde 995, nmerosos almnos han aprendido dinámica esrcral con SAT-Lab y la han ilizado para desarrollar s invesigación en esis de maesría y docorado. Además, algnos de ellos han brindado generosamene s esferzo en eapas de verificación, programación, edición de manales, y consrcción de ejemplos. Sin s apoyo, el lanzamieno de esa herramiena habría sido my difícil. En pariclar qeremos hacer epreso nesro agradecimieno a Marcos Barberis, Ariel Masevich, Griselda Jeandrevin, Jlio Pinoche, Rodrigo Oriz, Marice Dides, Crisóbal Binvigna, Oscar Bzea, Jan Pablo Cáceres, Daniel Hrado, Mario Alvarez y Thomas Fischer. Tres insiciones han apoyado drane la úlima eapa de ese desarrollo: la Ponificia Universidad Caólica de Chile, el Insio Universiario 7 REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL

23 Aeronáico de Córdoba y la Universidad Nacional de Córdoba, insiciones donde los aores rabajan como docenes en las disciplinas de análisis esrcral y dinámica de esrcras. REFERENCIAS Almazán, J.L, De la Llera, J.C. e Inadi, J.A., 998. "Modeling aspecs of srcres isolaed wih he fricional pendlm sysem", Earhqake Engineering and Srcral Dynamics, Vol. 7, Barberis, M.,. "Análisis Esrcral de Cables: Herramiena Compacional y Aplicaciones", Trabajo Final, Escela de Ingeniería Civil, Universidad Nacional de Córdoba, Argenina. Bzea, O., 3. "Análisis esáico de esrcras con grandes desplazamienos y consiivas no lineales ilizando elemenos finios", Ponificia Universidad Caólica de Chile, Faclad de Ingeniería, Tesis de Magiser. De la Llera, J.C. e Inadi, J. A., 995. "Evalaing he earhqake performance of base isolaed bildings sing recorded moions", Inernaional Pos-SMiRT Conference Seminar on Seismic Isolaion, Passive Energy Dissipaion and Acive Conrol of Vibraions of Srcres, Saniago, Chile. De la Llera J. C.,. "A macroelemen model for inelasic bilding analysis", Earhqake Engineering and Srcral Dynamics, Vol. 9, De la Llera, J.C., Inadi, J. A.y Lders, C., 998. SIRVE: Análisis y Diseño de Sisemas de Aislamieno Sísmico y Disipación de Energía, Ponificia Universidad Caólica de Chile, Saniago de Chile,Chile. Dides, M. y De la Llera J. C., 3. "A comparaive sdy of concenraed plasiciy models in dynamic analysis of bildings". Engineering Srcres enviado para pblicación. Inadi, J.A., Zambrano, A. y Kelly, J.M., 993. "On he analysis of srcres wih viscoelasic dampers, Repor No. UCB/EERC-93/6, Earhqake Engineering Research Cener, Universiy of California a Berkeley, California. Inadi, J.A., Nims, D.K. y Kelly, J.M., 993. "On he analysis of srcres wih energy dissipaing resrains", Repor No. UCB-EERC-93/3, Earhqake Engineering Research Cener, Universiy of California a Berkeley, California. Inadi, J. A. y De la Llera, J.C.,. Dynamic analysis of nonlinear srcres sing sae-space formlaion and pariioned inegraion schemes, UCB/EERC-9/8, Earhqake Engineering Research Cener, Universiy of California. Inadi, J. A. y De la Llera, J.C., 3. SAT-Lab v. S Manal de Usario y Manal de Referencia, Masevich, A.,. Desarrollo Compacional del Análisis Modal de Sisemas Coninos. Trabajo Final, Escela de Ingeniería Aeronáica, Universidad Nacional de Córdoba, Argenina. Vanella, M., 3. Herramienas Compacionales para la Mecánica de Sólidos y Transferencia de Calor basadas en el Méodo de Elemenos Finios. Trabajo Final, Escela de Ingeniería Mecánica, Universidad Nacional de Córdoba, Argenina. REV. INT. DE DESASTRES NATURALES, ACCIDENTES E INFRAESTRUCTURA CIVIL 7