PROYECCION Y ESTUDIO DE UNA POBLACION. EL PAPEL DE LA MORTALIDAD

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1 PROYECCION Y ESTUDIO DE UNA POBLACION. EL PAPEL DE LA MORTALIDAD Ana de Vicene Merino Julio Hernández March Irene Albarrán Lozano Cruz Ramírez Pérez

2 2 INDICE Página PRESENTACION DE AUTORES... 3 INTRODUCCION: Incidencia de la Moralidad en las Proyecciones Financiero-Acuariales... 3 CAPITULO I: Una Proyección de la Moralidad 1. Presenación La proyección de la moralidad Un modelo maemáico Un caso prácico Fase I: Esudio de la moralidad presene y pasada en España Fase II: Hipóesis sobre el comporamieno fuuro de la moralidad Fase III: Aplicación de un modelo maemáico Fase IV: Elaboración de la abla de moralidad complea CAPITULO II: Evolución Hisórica de las Tablas de Moralidad 1. Presenación El modelo biomérico: hipóesis básicas y variables principales Leyes de moralidad Principales modelos: eponencial, de De Moivre, de Gomperz y de Makeham Modelos de Weibull, Pareo y oros La abla de supervivencia o de vida Funciones bioméricas Elemenos básicos de una abla esáica Evolución hisórica: de Ulpiano a las ablas dinámicas CAPITULO III: Las Tablas de Moralidad PERM/F2 1. Presenación Las ablas suizas Las venajas de una abla dinámica Daos de parida para la moralidad de base Tabla de moralidad de la población Deerminación del facor de selección Moralidad de base Proyección La abla para la nueva producción (PERM/F 2 P) ANEXOS Aneo 1: Cálculo de las asas de moralidad por grupos de edad en la abla de Aneo 2: Principales resulados para los hombres Aneo 3: Tasas de moralidad proyecadas - De Mujeres De Hombres BIBLIOGRAFIA Del capíulo I Del capíulo II Del capíulo III... 46

3 3 PRESENTACION DE AUTORES Ana de Vicene Merino es Caedráica de Economía Financiera y Acuarial de la UCM. Julio Hernández March es Profesor de Esadísica de la UCM. Irene Albarrán Lozano es Profesora Tiular de Esadísica Acuarial en la Universidad de Eremadura. Cruz Ramírez Pérez es Responsable de los Servicios Acuariales de La Suiza de Reaseguros España. INTRODUCCION: INCIDENCIA DE LA MORTALIDAD EN LAS PROYECCIONES FINANCIERO-ACTUARIALES Uno de los problemas fundamenales a considerar en la evolución de los sisemas de proección social en general, y de la Seguridad Social en paricular, es ver el manenimieno de su equilibrio financiero a medio y largo plazo para lo cual es necesario conocer cuál será su comporamieno fuuro. Con ese fin conviene efecuar previsiones sobre la evolución de odas las variables y los disinos aspecos (demográficos y económicos) de los sisemas. Varios son los procedimienos para realizar previsiones, bien a ravés de modelos economéricos o acuariales. Nosoros vamos a verlo a ravés de ésos úlimos basados en proyecciones demográficas y económicas. La uilización de proyecciones para esudiar la evolución de los fenómenos, si bien es la meodología propia de los sisemas financiados por reparo ambién permie oras aplicaciones: conocer la evolución de la variables demograficas relacionadas con la gesión de una carera de valores o con la realización de presupuesos plurianuales. A parir de ese planeamieno el Seminario de Población que se llevó a cabo el 1 de mayo del 21 en la Faculad de Ciencias Económicas y Empresariales de la UCM se cenró, básicamene, en la influencia de la moralidad en las proyecciones acuariales bajo deerminadas hipóesis de las variables como, por ejemplo, la fecundidad, la moralidad, el empleo, acividad ec. Las proyecciones elaboradas a parir de la información base se raan en érminos de aleaoriedad modelizando las disinas probabilidades que en algunos casos son conrasadas mediane ajuses esadísicos. Ese procedimieno se aplica a los disinos colecivos (ano al de acivos como al de pasivos) de un sisema de proección social que permiirá deerminar enre oros objeivos ese equilibrio financiero enre ingresos y gasos en un deerminado horizone emporal. Medir la incidencia de la moralidad en un colecivo requiere elaborar una abla de moralidad. En ese coneo, el iempo resula un elemeno deerminane. De una pare, la influencia que iene la moralidad sobre la población varía a lo largo del iempo. Eso lleva a la necesidad de esimar el comporamieno fuuro de dicho fenómeno demográfico, con objeo de anicipar sus repercusiones. De ora pare, con el ranscurso del iempo se han ido mejorando los insrumenos de valoración, merced al avance de la Ciencia Acuarial. A coninuación, en el capíulo I se esudia un procedimieno para proyecar la moralidad, y su aplicación a la población española en el periodo En el capíulo II se analiza el conenido, los fundamenos y la evolución hisórica de las ablas de moralidad. Finalmene, en el capíulo III se eplica el proceso de realización de las ablas PERM/F Cruz Ramírez Pérez formó pare del equipo de Swiss Re Life & Healh que paricipó en la elaboración de las mismas.

4 4 CAPITULO I: UNA PROYECCIÓN DE LA MORTALIDAD 1.- Presenación. Si el esado acual de una población esá en función de la evolución presene y pasada de los res procesos demográficos que la deerminan, a saber, fecundidad, moralidad y movimienos migraorios parece evidene que para conocer el volumen y la composición fuura de la misma debamos esimar el comporamieno fuuro de dichos procesos demográficos. Por oro lado, el esado de una población en un momeno dado presena una composición por seo y edad concrea que, a su vez, condiciona la fecundidad, la moralidad y la movilidad. Si bien seo y edad son los facores de mayor influencia en dichos procesos, hay oros como las caracerísicas socioeconómicas, culurales o biofísicas que ambién inciden en la demografía. Por odo lo anerior, proyecar una población eige esimar la inensidad, al menos por seo y edad, con la que los res procesos demográficos se van a dar en el fuuro. 2.- La Proyección de la Moralidad. En el caso de las defunciones, si la abla de moralidad es el insrumeno por ecelencia que nos permie esudiar los fallecimienos por seo y edad, proyecar la moralidad no es ora cosa que esimar una abla de moralidad en un periodo fuuro concreo. Para lograr ese objeivo se deben de cubrir las siguienes eapas: - Primero: Esudiar la eperiencia presene y pasada de la moralidad en la población de que se rae; - Segundo: Efecuar unas hipóesis sobre el comporamieno esperado de la variable en el fuuro. En esa segunda eapa resulará primordial comparar la moralidad de la población con la de oras de similares caracerísicas socioeconómicas y culurales que, en el momeno presene, haya superado la fase en la que pudiera enconrarse la población sobre la que efecuar la proyección; - Tercero: Aplicar un modelo maemáico que proyece alguno de los elemenos que conforman una abla de moralidad; - Cuaro: Complear la abla de moralidad, por seo y edad, con el reso de los elemenos que la componen. 3.- Un Modelo Maemáico. Corresponde al modelo eplicado por Ricard Génova (Génova, R. e al.;1997; omado, a su vez, de Génova, R. e al;1994). El modelo se basa en lo siguiene: 1.- El elemeno que se proyeca es la esperanza de vida al nacer de las mujeres hasa un máimo alcanzable en un fuuro eórico muy alejado del año horizone (úlimo año para el que se proyeca). 2.- Una función maemáica permie hallar los valores inermedios de las esperanzas de vida, enre el proporcionado por la úlima abla conocida y el máimo eórico, acorde con la evolución regisrada en el pasado.

5 5 3.- Se ajusa la esperanza de vida del año horizone enre las correspondienes a dos ablas ipo 2. Con ello se obiene un coeficiene con el que se van a calcular las asas específicas de moralidad, por grupos de edad, de la abla del año horizone por inerpolación lineal enre las de las ablas ipo. 4.- Se calculan las asas específicas de moralidad de las ablas de los años inermedios inerpolando linealmene enre las asas de la úlima abla conocida y la esimada en el año horizone. 5.- Para los hombres el cálculo es análogo una vez que se calcula la esperanza de vida máima, para lo que se oma la relación eisene enre las esperanzas de vida femeninas y masculinas en las ablas ipo. 4.- Un Caso Prácico. Pariendo de la úlima abla de moralidad conocida para la población española, la de 1996 (calculada con los daos del bienio ), he proyecado la moralidad para el periodo uilizando el modelo maemáico anerior. A parir de lo apunado en el primer epígrafe de esa eposición, el procedimieno consaría de las siguienes fases. Fase I: Esudio de la Moralidad Presene y Pasada en Nuesro País. La moralidad española ha eperimenado un descenso muy noable a lo largo del siglo XX. Valgan dos daos como boón de muesra: la moralidad infanil ha pasado de 186 por mil a principios de siglo (Fernández, J.A. y Leguina, J.,1991) a 5,66 por mil en el año 2 (Populaion Reference Bureau, 2) y la esperanza de vida al nacer de 34,8 años en 19 a 81,9 años para las mujeres y 74,7 para los hombres (I.N.E., 1999; pág.22). Ello ha siuado a España enre los países con menor moralidad del mundo; en concreo y con respeco a la úlima medida, sólo Francia en las mujeres (con 82 años de esperanza de vida), y Suecia e Ialia en los hombres (con 76,5 años y 74,9, respecivamene) superan a España denro del conjuno de países de la U.E. (I.N.E., 1999; pág.22). Ese proceso ha ido acompañado de una reducción de la fecundidad, especialmene inensa en el úlimo cuaro de siglo, lo que ha moivado una población envejecida con una pirámide de población que se ha esrechado en su base y ensanchado en su cima. Fase II: Hipóesis Sobre el Comporamieno Fuuro de la Moralidad. Esá generalmene acepado que mejorar ese nivel de moralidad no parece area fácil y que, en odo caso, se necesiará un periodo largo de iempo para conseguirlo. La comparación del caso español con algún oro país que se encuenre más avanzado, en lo que a la lucha por la vida se refiere, supone pensar que las ganancias de moralidad vendrán más por la reducción de la asa de moralidad infanil (3,5 por mil en Suecia en el año 2) que por la prolongación de la vida en su eapa final. 2 Una abla ipo es una abla modelo que no se corresponde con la moralidad de ninguna población real y que se forma a parir de la combinación de ablas de diversas poblaciones. Las ablas ipo se clasifican por niveles, según la moralidad. Niveles alos se corresponden con esperanzas de vida al nacer mayores.

6 6 De lo anerior se desprende que lo más razonable parece ser esablecer una hipóesis de una disminución lena de la moralidad a lo largo del próimo siglo, esableciendo una esperanza de vida femenina de 86 años en el año 211. Fase III: Aplicación de un Modelo Maemáico. Pasos en la aplicación del modelo en mujeres: 1) Como se acaba de indicar se fija una esperanza de vida de 86 años alcanzable en el año 211 alejado del año horizone, el ) A coninuación se calculan las esperanzas de vida de los años inermedios. Dichas esperanzas esarán enre la de la abla de moralidad del año 1996, que es la de parida, y la máima del año 211. Ello a parir de lo siguiene: 2.a) Se pare de las esperanzas de vida e de los años 197, 1975, 198, 1985, 199 y 1996: Cuadro 1. Mujeres: esperanza de vida al nacer observada en el pasado. e o Año observada , , , , , ,88 2.b) Se ransforman en logis a parir de una función logi recomendada por el Banco Mundial, que es la siguiene: e Logi( e) ln e e ma = min e (1) ma min donde para una e = 86 se ha fijado, mediane aneo, una e = 3 que según el auor del modelo es el valor que proporciona mejores resulados. Los valores ransformados aparecen en el cuadro 2. Cuadro 2. Mujeres: logi correspondienes a las esperanzas observadas Logi (e o ) Año observada observado ,6-1, ,21-1, ,61-1, ,69-2, ,49-2, ,88-2,5331 e o

7 7 2.c) A coninuación se consruye un modelo de regresión lineal en el que los logis aparecen como variable endógena (y) y los años como variable eógena (). Los resulados de la esimación son los siguienes: Cuadro 3. Mujeres: coeficienes de la reca de regresión Coeficienes no esandarizados Sig. Inervalo de confianza para B al 95% Modelo B Error íp. Límie inferior Límie superior 1 (Consane) a Variable dependiene: y E Cuadro 4. Mujeres: resumen del modelo. Modelo R R cuadrado Error íp. de la esimación E-2 a Variables predicoras: (Consane), La reca de regresión esimada queda: y ˆ = 83,568,4313* (2) i i a parir de la cual se calculan los logi esimados para los años 197 a 211 (ver columna D del cuadro 5). 2.d) Los logi esimados para cada uno de los años se ransforman en esperanzas de vida mediane la siguiene epresión (ver columna E del cuadro 5): e ma min min ( e e ) = e + (3) Logi( e ) (1+ ep ) La evolución de la serie de esperanzas observada y esimada (columnas B y E, respecivamene, del cuadro 5), para el periodo queda reflejada en el gráfico 1.

8 8 Gráfico 1. Mujeres: esperanza de vida observada y esimada en el periodo Ajuse de esperanzas de vida Esperanza de vida al nacer observada esimada inicial Año 2.e) En la serie esimada final se uilizan las esperanzas observadas para los años 197 a En el año 1996 la e observada es,544 años mayor que la esimada (81,88 frene a 81,83). La diferencia enre ambos se disribuye progresivamene en un periodo de 2 años, desapareciendo en el año 216 (ver columna F): - en 1996: e = 81,83 + (,544*1,) = 81,88 - en 21: e = 82,59 + (,544*,75) = 82,63 - en 26: e = 83,22 + (,544*,5) = 83,24 - en 211: e = 83,73 + (,544*,25) = 83,75 - en 216: e = 84,16 + (,544*,) = 84,16

9 9 Cuadro 5. Mujeres: logi y esperanzas esimadas. A B C D E F e o Logi (e o ) Logi (e o ) e o e o Año observada Observado Esimado esimada inicial esimada final ,6-1,4156-1, ,9 75, ,21-1,5518-1, ,7 76, ,61-1,8837-1, ,25 78, ,69-2,637-2,445 79,58 79, ,49-2,2152-2,261 8,71 8, ,88-2,5331-2, ,83 81, , ,59 82, ,952 83,22 83, , ,73 83, , ,16 84, , ,51 84, , ,79 84, ,284 85,2 85, , ,21 85, , ,36 85, , ,48 85, ,891 85,58 85, ,167 85,66 85, , ,73 85, ,538 85,78 85, , ,82 85, , ,86 85, , ,88 85, ,46 85,91 85, , ,93 85, , ,94 85, ,475 85,95 85,95 El gráfico 2 nos muesra la evolución de la esperanza de vida al nacer para el periodo , con daos observados, y para el periodo de proyección , con daos esimados. Gráfico 2. Mujeres: esperanza de vida e esimada final. Mujeres: Esperanza de vida al nacer Años Calendario

10 1 2.f) Por fin se calculan las esperanzas de vida para cada uno de los años inermedios de la serie, por medio de una inerpolación lineal enre las esperanzas de vida ajusadas de los años calculados. Por ejemplo, para el periodo el cálculo sería el siguiene: - en 22: e = 82,63 + ((83,24-82,63)*,2) = 82,75; - en 23: e = 82,63 + ((83,24-82,63)*,4) = 82,87; - en 24: e = 82,63 + ((83,24-82,63)*,6) = 83,; - en 25: e = 82,63 + ((83,24-82,63)*,8) = 83,12; Con lo que la serie complea final esimada de esperanzas de vida para el periodo de proyección queda como refleja el cuadro 6. Cuadro 6. Mujeres: serie esimada de esperanzas de vida para el periodo e o AÑO esimada anual AÑO esimada anual , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,44 e o 3) Una vez que se dispone de la serie de esperanzas se calculan las asas de moralidad por edad para el año 225. Eso se lleva a cabo mediane inerpolación lineal de las asas específicas de moralidad de dos ablas ipo, precisamene de aquellas que encierren la esperanza de vida del año horizone. En nuesro caso dicha esperanza de vida es 84,73 y se siúa enre los 82,5 años de la abla ipo de nivel 26 y los 85 años de la abla ipo de nivel 27. El coeficiene C de inerpolación que se va a uilizar es el siguiene: ,73 82,5 C = =,8933 (4) 85 82,5 El cálculo de la asa de moralidad en el grupo de a +4 años será: M ( ) = M niv27( )* C + ((1 C )* M niv26( ))

11 11 Por ejemplo, para = 1 la asa correspondiene será: M 225 (1) =,3*, (1,8933) *,8 =,353 Las asas así calculadas, para el año 225, se recogen en el cuadro 7. También se añaden las asas de moralidad del año de parida, Cuadro 7. Mujeres: asas de moralidad esimadas por grupos de edad en el año 225 y asas de moralidad del año TABLAS TIPO TABLA DEL TABLA DEL TABLA 26 TABLA 27 AÑO 225 AÑO 1996 Edad nm nm nm nm 4,5 2,84 2,9691 4,691 1,37,3,375,343 5,9,3,364,1497 1,8,3,353, ,2,11,1196,263 2,29,23,2364, ,37,3,375,453 3,44,34,357,699 35,61,45,4671,8124 4,96,7,7277 1, ,5 1,8 1,1248 1, ,38 1,9 1,9512 2, ,43 2,39 2,51 3, ,34 3,62 3,836 5, ,42 5,33 5,6598 8, ,26 9,78 1, , ,55 21,68 22, , ,15 47,9 49, , , , , , , , ,71 36,13 37, , ,2 488,43 489, ,519 e o 82, ,73 81,88 4) A coninuación se calculan las asas de moralidad específicas para el reso de los años de la proyección, es decir, desde el año 21 hasa el 224. De nuevo se efecúa, para cada año, una inerpolación lineal; esa vez enre las asas de la úlima abla conocida, la de 1996 (ver aneo 1), y las de la esimada en el año horizone, el 225. Como se puede observar en el cuadro 7 odos los grupos de edad, ecepo el [1;4], presenan mayor asa de moralidad en 1996 que en el 225. Es decir, odos los grupos de edad van a disminuir su moralidad en el periodo , menos el [1;4] que se queda prácicamene igual. Eso hay que inerprearlo como que, en 1996, la moralidad femenina en España en el ramo de edades [1;4] era eraordinariamene baja, en comparación con la de los resanes ramos. En efeco, la asa de moralidad del ciado ramo es de,343 siuándose muy cerca de la correspondiene de la abla ipo de nivel 27, que es,3 y que se ha omado como observación

12 12 más favorable en la inerpolación lineal que ha originado las asas de la abla del año 225 (ver cuadro 7). Sin embargo la moralidad del reso de los ramos, en 1996, se siúa enre las asas de las ablas ipo de nivel 25 y 26 (de 95 años en adelane, incluso por encima de las de nivel 25), indicando un peor comporamieno de la moralidad. Volviendo al cálculo de las asas específicas de moralidad, el coeficiene de las esperanzas de las ablas de 1996 y del 225. C se obiene a parir Por ejemplo, para el año 215: C ,8 81,88 = =,77 84,73 81,88 Para ese año las asas para el ramo de edad [; +4] se obendrán como sigue: M 215 ( ) = M 225 ( )* C Por ejemplo para = 1: M 215 (1) ((1 C 215 )* M 1996 ( )) =,353*,77+ (1,77)*,1524 =,623 El proceso se repeiría para odos los ramos de edad y para odos los años. El cuadro con las asas de moralidad para cada grupo de edad de odos los años se encuenra en el aneo 3. 5) Para los hombres el cálculo es análogo y lo único que cambia es la esperanza de vida máima. La abla ipo de nivel 27 iene una esperanza de vida al nacer de 85 años para las mujeres y de 78,98 para los hombres. Si la esperanza máima para las mujeres que se ha propueso ha sido 86 años, la respeciva masculina será: (86/85) * 78,98 = 79,91 años Los resulados principales para el caso de los hombres se recogen en el aneo 2. Fase IV: Elaboración de la Tabla de Moralidad Complea. La úlima fase de la proyección supone complear el reso de los elemenos que componen una abla de moralidad, en paricular la probabilidad de fallecimieno a cada edad, y la probabilidad perspeciva de paso o probabilidad de supervivencia en una población esacionaria (aquélla en la que el número de efecivos que enra y sale de la misma permanece consane en el iempo). Suponiendo la disribución uniforme de los fallecimienos, denro del inervalo de edad considerado, los principales elemenos de la abla y su formulación (Génova e al., 1997) serían: 6) Probabilidad de fallecimieno n q : n 7) Número de supervivienes l : q 2* n* n m = (5) 2 + ( n* m ) n l + n = l *(1 nq ) (6)

13 13 8) Población esacionaria n L : [.5*( l + l )] n L n* + n = (7) 9) Probabilidad perspeciva de paso n Z : n 4 Z Z Z L n + n = (8) n L L + L 4 1 = (9) 5* l L = (1) L+ 4L1 La abla complea proyecada para una año cualquiera, por ejemplo el 215, quedaría como se recoge en el cuadro 8. Cuadro 8. Mujeres: abla de moralidad proyecada en el año 215. Edad n nm nq l nl nz 1 3,3655, , ,367, , ,625, , ,623, , ,152, , ,2498, , ,341, , ,438, , ,5466, , ,825, , ,2168, , ,186, , ,752, , ,1739, , ,4125, , ,7, , ,654, , ,5784, , ,2925, , ,6592, , ,4968, , ,4954 1,

14 14 CAPITULO II: EVOLUCION HISTORICA DE LAS TABLAS DE MORTALIDAD 1. Presenación. Ofrecer una evolución hisórica de las ablas de moralidad y supervivencia implica parir, al menos, de la definición y el ámbio de aplicación de las ablas a las que se hace referencia. Senar las bases del fenómeno de esudio que se quiere modelizar (la vida humana) facilia el repaso hisórico al conocer los objeivos y la uilidad de esa herramiena clave en el coneo acuarial. El fundameno y razón de ser de la eisencia de las ablas de moralidad radica en la Ciencia Acuarial, más concreamene en la Biomería. El principal objeivo de esa ciencia es la modelización del fenómeno acuarial cuanificando la probabilidad de ocurrencia de un suceso (siniesro en el coneo de los seguros generales y fallecimieno en el de los seguros de vida) con el fin de valorar en érminos financieros las consecuencias económicas del mismo. La Esadísica Acuarial se encarga de deerminar las leyes de probabilidad que susenan los fenómenos acuariales y aparece asociada al raamieno de diversos aspecos enre los que desaca, con relación a los seguros de vida, la Biomería que engloba a la Teoría de la Supervivencia juno con la consrucción de ablas de supervivencia. Biomería como ciencia que esudia la supervivencia de los organismos vivos (en general, de los humanos aunque puede aplicarse asímismo a oras siuaciones) mediane la aplicación de méodos esadísicomaemáicos. El fundameno para la consrucción de las ablas de moralidad radica en el llamado modelo biomérico Los esudios de moralidad día ras día van adquiriendo mayor imporancia en los foros acuariales europeos e inernacionales preocupados por esablecer las endencias fuuras de la evolución de la moralidad mediane el esablecimieno de un modelo adecuado. Toda invesigación que enga como objeivo una proyección hacia el fuuro debe deenerse a analizar, y aprender de, el pasado. Reseñar los orígenes y la evolución de esos esudios supone el puno de parida indiscuible. Anes de cenrarnos en el repaso hisórico propiamene dicho, se comenan las hipóesis básicas y variables principales del modelo biomérico, las principales leyes de moralidad señalando su uilidad y, por úlimo, se deallan los elemenos básicos de una abla de moralidad esáica y cómo se consruye basándonos en las funciones bioméricas fundamenales. 2. El modelo Biomérico La modelización de la supervivencia humana inegra el denominado modelo biomérico, caracerizado por el iempo biomérico de los individuos (su edad), es decir, periodo ranscurrido desde el nacimieno de un individuo hasa el momeno acual. El iempo biomérico se disingue del iempo físico o de calendario (momeno en el que se hace una observación) y de la línea de la vida (inervalo de iempo del que se conoce el principio pero no el final) considerándose que el iempo físico es la suma del iempo biomérico y la línea de vida. El análisis de la Teoría de la Supervivencia se fundamena en la variable edad del individuo (iempo biomérico o inerno del individuo) e implica la formulación de unas hipóesis de parida: homogeneidad, independencia y esacionariedad.

15 15 Homogeneidad al suponer que odos los individuos objeo de esudio forman un grupo homogéneo respeco al fenómeno supervivencia, es decir, que el comporamieno esadísico de su edad de fallecimieno es idénico siendo, por ano, la única caracerísica relevane del colecivo la edad. Independencia respeco a que no eise ineracción o conagio enre los individuos lo que implica que la probabilidad de supervivencia de un individuo a una deerminada edad es independiene de la supervivencia de cualquier oro individuo del mismo grupo. Esa hipóesis se raduce en que las probabilidades, para la edad de fallecimieno de un individuo, no dependen de la edad de fallecimieno de oro individuo cualquiera. Además, las probabilidades de supervivencia de los individuos no dependen del iempo físico (fecha de nacimieno) sino, únicamene, del iempo biomérico (edad del individuo) debido a la hipóesis de Esacionariedad. Esa hipóesis se considera basane resriciva sin más que ener en cuena el hecho de que eisen numerosos facores, además de la edad, que influyen en la moralidad: caracerísicas biológicas, condiciones del enorno (modo y esilo de vida, nivel culural), elemenos congénios y facores eernos (avances médicos y saniarios). Puede considerase que la moralidad es un fenómeno deerminado por la edad ecepo en dos casos: la moralidad infanil (concenrada no en el primer año de vida sino en los primeros días) y la moralidad juvenil (sobre odo moivada por facores circunsanciales: accidenes, drogas, alcohol... que poco iene que ver con los facores biológicos). El seo es una variable fundamenal en el análisis demográfico. En odas las poblaciones se regisran diferencias según el seo pueso que, desde el primer día de vida se observa un mayor número de mueres en los niños que en las niñas. Así, la esperanza de vida al nacer es basane mayor en las mujeres que en los hombres. La moralidad varía con la edad, el seo y el iempo físico del calendario. El seo y la edad son las caracerísicas de mayor significado acuarial y que maniene una permanene inerrelación con el comporamieno de la población, por eso se disingue enre ablas de moralidad de hombres y de mujeres. El clima y la profesión ambién deben ser enidas en cuena. Principales probabilidades: función de supervivencia y ano insanáneo Los modelos bioméricos más imporanes se epresan en función de dos sucesos complemenarios: sobrevivir a una edad concrea o no hacerlo, siendo la variable biomérica básica por ecelencia la edad de fallecimieno de un recién nacido que se denoa como X. Ésa variane permie calcular disinas probabilidades: que un recién nacido fallezca enre las edades y +, que un recién nacido sobreviva a la edad o que una persona de edad fallezca enre las edades y +. En relación con las probabilidades más imporanes caben desacar dos: la función de supervivencia y el ano insanáneo de moralidad. La función de supervivencia S() proporciona para cada edad la probabilidad de que un recién nacido alcance con vida dicha edad. El ano insanáneo de moralidad (o fuerza de moralidad) es uno de los elemenos claves del esudio acuarial en seguros de vida. Considerando que la probabilidad de que una persona de edad fallezca enre las edades y es P ( < X / X > F ( ) F () )= 1 F ()

16 16 como X es una variable aleaoria coninua con función de densidad f(), y suponiendo que es una edad muy cercana a, esa probabilidad puede aproimarse por f ()( ). 1 F () El ano insanáneo de moralidad a la edad se represena por µ. Es mayor o igual a cero y se define como µ f () = 1 F () = f () S () Se pueden epresar P (probabilidad de supervivencia) y q (probabilidad de fallecimieno) en función del ano insanáneo µ en z (µ z ) sin más que inegrar en la epresión: Ln( S (z)) µ z =. z + µ z + + Ln( S (z)) µ dz= z dz z S (+ ) dz= Ln( S (+ ) ) Ln( S ()) = Ln = Ln( P) S () Así, las epresiones quedarían: + + µ zdz µ zdz P = e q = 1 e en P = e µ zdz 3. Las leyes de moralidad Las probabilidades de supervivencia S() siguen una función maemáica que genera un modelo. Eisen disinos modelos de comporamieno de las principales funciones bioméricas que se epresan en base a una forma funcional para la función de supervivencia, el ano insanáneo de moralidad o para las probabilidades de supervivencia o de fallecimieno y, a parir de ésas, sus implicaciones con el reso de probabilidades y funciones bioméricas. En las aplicaciones prácicas, muchas veces se uilizan combinaciones de esas leyes acepando diferenes modelos para disinos ramos de edades. Las probabilidades básicas de muere y supervivencia pueden calcularse fácilmene a parir de la ley de moralidad. Las leyes de moralidad son epresiones analíicas de la función de supervivencia que preenden modelizar, eóricamene, el comporamieno de la moralidad en función de la edad. Elegir el ipo de función que mejor se adape y represene adecuadamene la moralidad es el objeivo. La elección del ipo de función puede hacerse según los daos observados o esableciendo cieras hipóesis correspondienes a las caracerísicas propias de la función de supervivencia. Una consane a lo largo de la hisoria ha sido la búsqueda de una ley de moralidad que sea válida para cualquier población humana, es decir, enconrar la ley universal de moralidad que, probablemene, no eise. Sin embargo, para deerminadas poblaciones y cieros ramos de edad, es posible enconrar el ajuse a alguna ley eórica (lo más ípico es a la ley de Makeham).

17 17 A coninuación se comenarán, únicamene, las leyes que hisóricamene se han considerado las más imporanes, usuales y de aplicación sin preender realizar una eposición ehausiva sino ilusraiva. La modelización de las epresiones analíicas puede realizarse sobre la función de supervivencia o sobre oras funciones relacionadas como la probabilidad de fallecimieno o el ano insanáneo de moralidad. En la prácica, no se considera una única función para odas las edades sino que se consideran disinas funciones para cada edad, o bien funciones que se adapen únicamene a inervalos delimiados oporunamene como pueden ser el caso de las edades infaniles o las eremas Principales modelos: eponencial, de De Moivre, de Gomperz y de Makeham La ley eponencial supone que el ano insanáneo de moralidad es consane: = µ µ Inuiivamene es claro que la fuerza de moralidad debe aumenar con la edad. Eso implica la imposibilidad de ajusar una ley eponencial a una población real, salvo en períodos de iempo muy coros. Sin embargo, la simplicidad de esa ley, la facilidad de sus cálculos y su imporancia hisórica hacen que sea comenada en primer lugar. La fuerza de moralidad, como se ha mencionado, debe aumenar con la edad. La ley de De Moivre incorpora ese efeco mediane una fórmula maemáica sencilla siendo el ano insanáneo de moralidad: 1 µ = ω Siendo ω la edad límie, la fuerza de moralidad iende hacia infinio cuando la edad lo hace hacia la edad límie. LEY DE MOIVRE 1,9,8,7,6,5,4,3,2, La principal críica que se le hace a esa ley es a su hipóesis de parida: número de fallecimienos consane (igual para odas las edades) e independiene de la edad. La ley de Gomperz asume que cada individuo presena una resisencia a las enfermedades (y a fallecer por causas naurales) decreciene en función de la edad, por lo que la fuerza de

18 18 moralidad crece con la edad y su crecimieno relaivo que dicha fuerza de moralidad crece eponencialmene. Epresión: µ = Bc, B>, c> 1 µ µ es consane. Por ano, se deduce 16 LEY DE GOMPERTZ (B=1,5 c = 1,1 y 1,2) Se uiliza preferenemene para el raamieno de las edades eremas de las ablas. Poseriormene, Makeham enunció dos leyes de supervivencia. La primera ley considera al ano insanáneo de moralidad de esa ley añade simplemene una consane arbiraria, que represena la moralidad accidenal (azar) independiene de la edad, al ano insanáneo de Gomperz. Por ano, la muere de un individuo es consecuencia de dos causas coeisenes: el azar y una resisencia (cada vez más débil) a la muere conforme aumena la edad, es decir, que además de considerar la moralidad por causas naurales (igual que Gomperz) inroduce la moralidad accidenal del individuo, independiene de la edad. µ = A+ Bc, B>, c> 1, A> -B Esa ley esablece que el segundo sumando del ano insanáneo de moralidad coincide con el esablecido por Gomperz y recoge la moralidad por causas naurales (una inhabilidad creciene a resisir la desrucción) debidas a la edad. El primer sumando es independiene de la edad y recoge la moralidad accidenal (accidenes, inoicaciones, epidemias, eso es, facores eógenos al individuo) LEY DE MAKEHAM (B=1,5 A=1 c=1,1 y 1,2)

19 19 Esa ley presena buenos ajuses en edades inermedias (adulas), mienras que proporciona problemas en las edades eremas de la abla principalmene en las edades más jóvenes pueso que en las edades infaniles la moralidad es decreciene. Es considerada la ley más conocida y ampliamene uilizada para ajusar diversas ablas de supervivencia. La primera ley de Makeham iene problemas de ajuse para las edades más jóvenes, por lo que se formula la segunda más elásica y fundamenada en la anerior, añadiendo a la fuerza de moralidad oro sumando proporcional a la edad: µ = A + H + Bc, B y H >, c > 1, A > - B Con esas leyes (o leyes parecidas del "ipo Makeham") se obienen, a menudo, buenos ajuses en cieros ramos de edad Modelos de Weibull, Pareo y oros Eisen oras muchas leyes de moralidad como: la de Weibull que esablece la siguiene n epresión para el ano insanáneo µ = k, Pareo considera esa formulación: a µ =, Risser, las de Dormoy (primera, segunda y ercera) que considera una función + b eponencial no negaiva decreciene y convea respeco de la edad. La de Sang modifica la ley de Dormoy suponiendo un comporamieno de la función de supervivencia geomérico respeco de la edad inroduciendo, además, la eisencia de oro facor diferene. Lazarus modifica la primera ley de Makeham eniendo en cuena oro érmino para ampliar la uilidad hacia edades no necesariamene alas. La de Babbage supone una función de supervivencia polinomio de segundo grado. Se proponen miuras finias para obener una función de densidad que combine en disinas proporciones varias de las leyes de supervivencia clásicas donde la esimación de los parámeros con disinos méodos enre los que desaca el de máima verosimiliud apoyado en el algorimo E.M., la esimación bayesiana, ec La abla de supervivencia o de vida Una abla de supervivencia (de vida o de moralidad) coniene los elemenos básicos que permien calcular las probabilidades de muere y supervivencia en una población homogénea a parir de las cuales se llevan a cabo los cálculos acuariales. Es la serie cronológica (regisro esadísico) que epresa la reducción progresiva de un grupo inicial de individuos de la misma edad por efeco de los fallecimienos. Es el mejor insrumeno para conocer las condiciones de moralidad de una población. Por ano, miden la incidencia del fenómeno supervivencia/moralidad en la población que se esudia. Son muy uilizadas dia a dia por los acuarios en sus areas coidianas ano para el cálculo de primas, reservas maemáicas y de jubilación, bases écnicas de seguros y planes y fondos de pensiones como en deerminados rabajos financieros. La forma más raada para la presenación de las mismas en la lieraura (y eendida en el rabajo acuarial) ha sido la denominada forma abular. Ese modelo abular clásico uiliza valores eneros de para los que se calcula su correspondiene valor según S(). Eisen disinos ipos de ablas de moralidad. Pueden ser de generación (basadas en el esudio de cohores, como conjuno de individuos de una población que comparen la eperiencia de un mismo suceso origen, definidas por el suceso-origen nacimieno) o de momeno (un año concreo), abieras (si dejan que se incorporen individuos al grupo inicial, es decir, ése no es

20 2 cerrado) o cerradas. Además, según se consideren una o varias cuasas de salida del colecivo analizado se habla de ablas de único (salida sólo por fallecimieno) o múliples decremenos (considerándose ambién oros fenómenos adicionales al fallecimieno como puede ser la invalidez...). Es imporane diferenciar enre ablas de moralidad para la población general o las de asegurados. Se ha comprobado empíricamene que la moralidad de un grupo de personas que ha conraado un seguro es disina a la de oro grupo cualquiera debido, enre oras causas a que, si se raa de un seguro de muere las compañías eigen un eamen médico previo. En el caso de un seguro de vida-ahorro es el propio asegurado quien, por sí mismo, juzga su esado de salud. Eisen varios méodos esadísico-economéricos y acuariales para la esimación de la función de supervivencia. Tras un proceso de depuración y suavizado de los daos demográficos procedenes de los censos de población (INE) o de las esadísicas de población (Regisro Civil) se realiza la esimación de los parámeros de las leyes y sus poseriores ajuses uilizando: 1).- Mínimos cuadrados ordinarios o máima verosimiliud 2).- Polinomios orogonales 3).- Técnicas no paraméricas: conrases Chi cuadrado, Kolmogorov-Smirnov,... 4).- Méodo de King-Hardy o méodo de las sumas, siendo ése el único sisema propio (es decir, propiamene acuarial) que esima los parámeros de las leyes de moralidad siendo aplicable a las disinas leyes epuesas aneriormene. Una vez esimada la función de supervivencia, para la consrucción de una abla de vida se pare de la esimación de las funciones bioméricas que la componen para el inervalo de edad considerado ω, suponiendo como edad límie ω años, edad a la que la probabilidad de sobrevivir es nula. Una vez demosrado que la función de supervivencia uilizada es decreciene, se verifica que para el inervalo de edades [, ω) dicha función es posiiva (propiedad de la misma) Funciones bioméricas Generalmene el análisis de la supervivencia implica la definición de lo que se denomina "grupo cerrado" enendido, en ese coneo, como aquél cuya única fuene de variación es la muere de sus componenes. De esa manera, a parir de un número deerminado de individuos que forman el grupo no eise ningún ipo de enrada y, únicamene, una causa de salida: la muere. Las epresiones maemáicas de las variaciones que sufre el grupo en función de su iempo biomérico (edad de sus componenes) se denominan funciones bioméricas. Son, básicamene, cuaro: función l(), función de fallecimieno, función del ano de moralidad y función del ano de supervivencia. 1.- Función l() o l. Refleja el número de individuos procedenes del grupo inicial l que ienen eacamene la edad. Así, l es el número de personas que ienen la edad inicial de esudio (en el caso de recién nacidos la edad inicial será, lógicamene, la edad ). Es el primer valor de la función l y represena el número oal de individuos que forman el grupo. l es el número de personas que quedan del grupo con edad eacamene.

21 21 lw = es el úlimo valor y, como era de esperar, su valor es cero ya que nos hemos siuado en la edad límie donde, lógicamene, no ha de quedar vivo ningún individuo del grupo. Se obiene a parir de la función de supervivencia, S(), mediane la epresión: l = l S() Es una función decreciene, por ano, para cualquier edad +1 se cumple que l > l Función de moralidad o de fallecimieno d() o d. A parir de la función anerior se define ésa que recoge el número de personas que fallecen con edad y anes de cumplir la edad +1. Diferencia enre el número de individuos de edad y edad +1: Se cumple la siguiene relación: = d =l -l d + 1 Dadas las caracerísicas de la supervivencia, los individuos vivos en un momeno deerminado irán falleciendo en periodos poseriores. 3.- Función del ano de moralidad. La función del ano de moralidad del período de duración correspondiene a la edad recoge la probabilidad de ser afecado por el suceso fallecimieno enre la edad y +. Uilizando la función l, siguiendo la concepción frecuenisa y paricularizando para = 1, la probabilidad será: El numerador represena el número de fallecidos enre y +1 (casos favorables) y el denominador los individuos vivos con edad (casos posibles). Ese caso paricular de = 1 recoge la probabilidad de ser afecado por el suceso fallecimieno enre dos edades consecuivas. 4.- Función del ano de supervivencia + d d El ano de supervivencia del período de duración (correspondiene a la edad ) recoge la probabilidad de que el individuo de edad coninúe con vida al cumplir la edad +, siendo = 1. Siguiendo lo epueso en el caso anerior, la función es: l P Ese caso de = 1 recoge la probabilidad de coninuar vivo un año más. q = l l = l Una vez definida la función del ano de supervivencia, se puede escribir la siguiene epresión como suma de dos probabilidades asociadas a sucesos complemenarios: P = 1 q - l l + 1 = w-1 d l = w--1 = d l = 1 - l + + 1

22 Elemenos básicos Los elemenos que definen la abla de supervivencia esáica se presenan en forma de columnas coneniendo las dos primeras los daos necesarios para consruir el reso. *) 1ª columna: valores eneros,, que represenan la edad de los individuos. Comienza en (recién nacidos) y ermina en ω (edad límie). *) 2ª columna: valores l() o l, noación procedene del inglés life o living, que represenan el número de supervivienes enre un número inicial de personas prefijado a la edad =, dado por l. Se cumple que l l 1... l... l ω. *) 3ª columna: valores d() o d que represenan al número de personas que fallecen a la edad. Diferencia enre el número de sobrevivienes a las edades y + 1. *) 4ª columna: valores q que represenan la probabilidad que iene una persona de edad de fallecer denro del año, es decir, no alcanzar el año siguiene. más. *) 5ª columna: valores P. Probabilidad que iene una persona de edad de vivir un año De esa forma, y previa inroducción en la primera columna de la abla (columna "edad") de dicho inervalo, se realiza (en la segunda columna) la esimación del número de personas que ienen una deerminada edad (edad ), es decir, esimamos l a parir de la epresión: l = l S() El valor de será direcamene obenido a parir de los valores de la primera columna una vez esimada una función de supervivencia S() ajusada para un colecivo eórico formado por l personas. Direcamene, y a parir de l, se esima el reso de funciones bioméricas aendiendo a su definición. En la ercera columna se represena la función de fallecimieno, d, obenida a parir de la 2ª columna (l ) mediane la epresión: =l - l d + 1 deerminando el número de personas que fallecen enre la edad y la edad +1. A coninuación (columna 4) esimamos la función del ano de moralidad (probabilidad anual de fallecimieno) relacionando la columna 2 (l ) y la 3 (d ) mediane el cociene: q = d l y la función del ano de supervivencia (probabilidad anual de supervivencia) (columna 5) mediane la epresión: l P= l o bien, uilizando el suceso complemenario: P = 1 +1 Así, a ravés del proceso presenado se consruye una abla de supervivencia que permiirá al acuario disponer de la información necesaria en el momeno de elaborar un produco propio del mercado asegurador. q

23 23 La combinación de la información esadísico-probabilísica eraída de la abla y los érminos precisos para realizar el raamieno financiero necesario permiirán realizar lo que será una primera aproimación a la elaboración, por ejemplo, de una prima de seguros ( precio de un deerminado seguro ). La abla 1 presena el desarrollo numérico de una abla no real suponiendo: S() = ( ) / 2., el inervalo de edades enre [, 1] donde S() es posiiva, l = 1.. de personas y susiuyendo, l =1 6 [(2-2 2 )/2]=1-1 2 = X l() d() Q P 1.. 1,1, ,33, ,52, , , , , Tabla 1.- Ejemplo no real de abla de moralidad 5.- Evolución hisórica: de Ulpiano a las ablas dinámicas Una vez deallada la esrucura y los elemenos que componen una abla de vida o supervivencia, se ofrece un breve repaso por la hisoria de la Ciencia Acuarial como insrumeno imprescindible para la comprensión de las formas de seguro acuales. Se enfoca al ema que nos ocupa desde los orígenes del seguro (aproimadamene en el año 5. a.c.) hasa nuesros días con las ablas de moralidad más recienes: las dinámicas. Así mismo se señalan las aporaciones más relevanes relacionadas con el esudio acuarial de la supervivencia humana.

24 24 Ciencia Acuarial: Hisoria Anes J.C. Seguro: Babilonia, leyendas chinos/árabes Cód. Hammurabi, Grecia (ranspore mar), Roma (VIDA) Siglo III Ulpiano 1ª abla de renas Siglo XVII Chrisian Huygens (1657) De raiociniis in ludo Aede 1 er Teo impreso sobre Tª de la Probabilidad (esperanza) John Graun (1662) Observaions upon he Bill of Moraliy Génesis ablas Londres. Fundador de la Demografía Edmund Halley (1693) An esimae of he degres of he moraliy of mankind, drown from various ables of birhs and funerals a he ciy of Breslaw. 1ª abla Tabla 2. Repaso hisórico I Se considera que el seguro es el mecanismo para reducir la inceridumbre de una pare llamada asegurado por medio de la ransferencia de cieros riesgos a ora, asegurador, quien responde (al menos parcialmene) de las pérdidas económicas sufridas por el asegurado. Aunque en ocasiones se cian disinas leyendas sobre conocimienos chinos y árabes relaivas al nacimieno de esa insiución, se considera que el seguro nace en la anigua Babilonia (Oriene Medio) enorno al año 5. a.c.. Los mercaderes, comercianes y hombres de negocios sufrían disinos riesgos a causa de la acción de los piraas, bandidos, las inclemencias del iempo... Para garanizar las mercancías se desarrolló un conrao semejane al del seguro que cubría dichos riesgos a cambio del pago de unos ipos muy alos (la prima). En Grecia eisen vesigios de conraos de présamos, por ejemplo, en el caso de lo que hoy en día se conoce como seguro maríimo. Los capianes de los barcos para eviar las pérdidas económicas derivadas de los naufragios firmaban ese ipo de conraos por los que dichas pérdidas eran comparidas por odos los paricipanes del conrao, no sólo por el afecado (idea de reparo del riesgo). En el propio Código de Hammurabi (hacia el año 1.75 a.c.) aparece claramene la idea de compensación o resiución de pérdidas: idea esencial que genera el conrao de seguro.

25 25 En Roma aparece una de las mayores conribuciones al nacimieno y consolidación de los seguros: la organización de sociedades de enerramieno como forma rudimenaria de los acuales seguros de vida y enfermedad. Además, es en Roma donde se ubican los anecedenes más imporanes del seguro de vida en una norma por la que las viudas de los presaarios de unos deerminados conraos de présamos percibían una indemnización en forma de rena. En la ley Falcidia (año 4 a.c.) aparece, por primera vez, el concepo de anualidad. Las ablas de moralidad consiuyeron la base racional para endeudarse el esado que financiaba sus necesidades dinerarias mediane capiales omados a présamo que se devolvían en forma de renas vialicias variables como las operaciones oninas que llevaron incluso al asesinao de pensionisas. Se cian, a coninuación y con más dealle, varios auores cuyas conribuciones se consideran esenciales en el desarrollo de las ablas de moralidad. DOMITIUS ULPIANO (23 d.c.) Elaboró la conocida Tabla de Ulpiano, en la que aparecen reflejadas disinas edades asociadas a la esperanza de vida en años de cada una de ellas. Dicha abla ha sido la más uilizada a lo largo de la hisoria para calcular las anualidades de renas vialicias. Edades Esperanza de vida en años Edades Esperanza de vida en años La aparición de esa abla de renas se considera el nacimieno u origen de la Esadísica Acuarial. JOHN GRAUNT (1662 d.c.) En 1662, únicamene cinco años después de que Chrisian Huygens publicara el primer eo escrio sobre Teoría d la Probabilidad (De Raiociniis in Ludo Aede), John Graun publicó Observaions upon he Bills of Moraliy, rabajo poseriormene reconocido como el precursor de la Esadísica Demográfica, en el que se incluye la primera abla de moralidad rudimenaria relaiva a la población de Londres. Los regisros de moralidad a los que uvo acceso Graun indicaban la causa de la muere y el seo de los difunos pero no su edad. Por eso, regisró la proporción de personas que morían de enfermedades infaniles (los cuales serían presumiblemene niños), añadiendo la miad de las que morían de enfermedades como sarampión o varicela que afecan ano a niños como a adulos, concluyendo que 36 de cada 1 personas morían anes de los 6 años. El úlimo dao de la abla se lo proporcionó la hipóesis de que nadie sobrevivía más de 76 años. Graun no eplica cómo obuvo las filas inermedias pero Hacking (1995) considera la posible inerpolación efecuada enre los 6 y los 76 años siguiendo una ley eponencial omando como µ =.47 (ano insanáneo de moralidad consane). Así, la función de supervivencia definida -.47( - 6) por ese auor para las edades comprendidas enre 6 y 76 años es l = 64 e

26 26 La abla elaborada es la siguiene: l Debido a esa aporación, Graun es conocido como el fundador de la Demografía. EDMUND HALLEY (1693) El famoso asrónomo, maemáico y acuario inglés Edmund Halley quien calculó la órbia del comea que lleva su nombre, fue el primero en consruir en 1693 una abla de moralidad al y como hoy en día las conocemos. Se basó en las esadísicas moruorias (número de nacimienos y fallecimienos) de la ciudad alemana de Breslaw en un período de n años. Compuó el número de personas de edad comprendida enre y 1 año: d n, d, d, d, d,....d Lo mismo hizo para las personas comprendidas enre 1 y 2 años y así sucesivamene d, d, d, d, d,...d... d , d , d 3 3 1, d 1 4 3, d ,...d n 1 n 3... Poseriormene redujo los daos obenidos en n años a un valor por cada período simplemene efecuando una media ariméica d d = 1 + d 2 obeniendo así 3 + d d n n d, d1, d2,... dn. Como l d + d1 + d dn 1, l2, l3, l4,... ln l1 = l d, l2 = l1 d1 =, mediane unas simples recas obuvo l de la siguiene manera:,... El inconveniene que presena el planeamieno de ese auor es que supone la moralidad consane, hipóesis falsa debido al efeco de los progresos médicos, higiénicos..., el facor de los movimienos migraorios (el de máima imporancia) que influyen y modifican seriamene la moralidad. Los cálculos de Halley fueron, después de los de De Wi, uno de los inenos más empranos e imporanes en el senido de que han sido aplicados mucho más en la prácica. Ese siglo XVII se considera enormemene frucífero para la Esadísica Acuarial debido al desarrollo del cálculo de probabilidades y los avances en esa maeria efecuados por: Pascal, Ferma, Kepler, Galileo, Paccioli, Bernouilli, Bayes, Laplace, Markov y Kolmogorov, enre oros. Durane los siglos siguienes (XVIII y XIX principalmene) cabe mencionar las aporaciones efecuadas a los esudios de moralidad de Abraham De Moivre y los eminenes acuarios Gomperz y Makeham en el esablecimieno y formulación de las leyes de moralidad que llevan sus nombres ya comenadas en epígrafes aneriores. De Moivre en 1725 fue el primero en calcular una prima de seguros de vida, James Dobson, cincuena años después, no sólo calculaba primas para disinos ipos de seguros sino ambién