Tema 1 MOVIMENT ONDULATORI

Transcripción

1 FÍSC º BTXLLE Tema P. Les dades que ens proporciona l enunciat són: = 0-3 m; N = 440 Hz; T = /440 s; ω = 880 rad/s. Per a escriure l equació, usem la funció cosinus (en t = 0, és x = +): x = cos (ω t) = 0-3 cos (880πt) m; i derivant obtenim la velocitat: v =- 0,880 π sin (880πt) m/s P3. Per a contestar les preguntes, suposarem que la massa del ressort és menyspreable. a) Si es duplica la massa, com ω = πn = K m, N i ω disminueixen, T augmenta. D altra banda, vmáx = (vmáx = ω) i amáx (amáx = ω x) disminueixen. b) Si la freqüència es redueix a la meitat (i suposant amplitud constant) T es duplica, (ω = πn) i v máx (v máx = ω) es redueixen a la meitat i a máx (a máx = = ω x) es divideix per 4. P. a) Com a = -ω x = 6x, ω= 4 rad/s. Després: N = 4/л Hz= /л Hz, v máx =ω =8 4=3 m/s. b) Si utilitzem l equació. x = sen (ωt), en aquest cas és x = 8 sen (4t). Per a x = = 8 sen (4t ); 4t = arc sen 0, = 0,7 rad t = 0,063 s. Per a x = 4 = 8 sen (4t ); 4t = arc sen 0, = 0,4 rad; t = 0,3 s. P8. a) = 0 cm. Doncs el temps invertit és:t - t = 0,3-0,063 = 0,068 s. b) De l equació a màx = ω aïllem ω: ω = a màx = 0, =7,07 rad/s=л/t; T= л/7,07 = 0,89s c) L energia mecànica no depèn de la posició del punt oscil lant; doncs E MEC = Ec + Ep = Ec màx = / m v máx E MEC = / m (ω) = / m ( π/t) =/ 0,0 kg (0, m π/0,89 s) =, 0-3 J. P0. a) El valor màxim de l acceleració, segons la gràfica és a máx = 0 m/s, i el període T=0,s. Per tant: N = /T = / 0, = Hz, ω = πn = 0π rad/s. com a máx = 0 m/s = ω, aïllem = 0,0m: b) L'eq. del MS és x = cos(ωt), ja que segons la gràfica, en t = 0 s, a és negativa i de valor absolut màxim (o siga, x = +). Per tant, v = dx/dt = ω sen(ωt) Ec = / mv = / m ω sen (0πt) = = 4, sen (0πt) J. l representar la gràfica entre t = 0 s i t = T = 0, s, s obté, com sabem una paràbola com la representada en la fig.. del text.

2 FÍSC º BTXLLE P. a) L exemple més conegut d ona longitudinal és el so; en les ones sonores es propaga una variació de pressió, i esta ona necessita un mig material per a propagar-se, de manera que la seua velocitat és major en els sòlids que en l aire, ja que entre d altres magnituds la velocitat de propagació depèn de la densitat del medi. Les ones transversals més importants són les electromagnètiques (OEM), com la llum visible o els rajos X. Estes ones es propaguen amb la màxima velocitat en el buit. b) En les ones longitudinals, el moviment vibratori, o més general, la variació de la pertorbació o magnitud física que caracteritza a l ona (altura, pressió ) es produeix en la mateixa direcció que la propagació de la ona. l contrari, en les ones transversals, el moviment vibratori, o més general, la variació de la pertorbació o magnitud física que caracteritza a l ona (altura, pressió ) es produeix en direcció perpendicular a la propagació de l ona. P3. a) Utilitzem l equació λ= v T = v/n. Si es duplica el període, λ es duplica. b) La velocitat d'una ona en una corda depèn de les característiques de la corda (m/l o densitat lineal) i de la tensió; com esta no varia, tampoc variarà v. P4. a) La raó és que sen φ =sen ( π-φ). De l equació deduïm que k = m - ω= 4 rad/s; ϖ aleshores: v = = m/s K b) En l equació de la velocitat v = dx/dt = -0,4 cos (x-4t) se substitueixen els valors x = m i v = 0 m/s: 0 = -0,4 cos ( -4t) Però com la fase s expressa en radians: -4t = π/; t = 0,073s i en general sempre que es complisca que t = (0,073 + nt) s donada la periodicitat temporal del moviment ondulatori P. Comparant amb l equació: y(x, t) = sen (ωt - kx + φ 0 ) obtenim: a) = 0,00 m; ω = πn = 600π; N = 300 Hz; k = 6 π = π/λ; λ = /3 m; v = ω/k = 600π s - /6π m - = 00 m/s. b) v máx = ω = 0,00 m 600π s - = 9,4 m/s. π x ϕ λ c) Utilitzem la relació de proporcionalitat ϕ = ; x = = 0, 047m λ π π x ϕ λ P6. a) Utilitzem la relació de proporcionalitat ϕ = ; x = = 0, 0083m λ π b) L equació de l ona, d acord amb l enunciat és: y = cos (ωt -kx) i substituint ω = 0π rad/s, k = 40πm - : y = 8 cos (0,π - 40π 0,) mm = 6,47 mm. P7. a) Les característiques de l ona són: ω= πn = 0π rad/s; k = π/λ= 0π m; v = ω/k = 0π/ 0 π = m/s.

3 FÍSC º BTXLLE b) Com en t = 0 i x = 0 ha de ser Ψ = 0, prendrem la funció sinus i el signe positiu en (ωt ± kx) al desplaçar-se la pertorbació en el sentit negatiu de l eix X: Ψ = sen (0π t + 0 πx)] m. c) v máx = ω = 0,03 m 0π s - = 4,7 m/s; a máx = ω = 0,03 m (0π s - ) = 740, m/s. P9. a) De la gràfica deduïm que l amplitud és = m i que λ= 8 m; com que v p = 4 m/s el període serà: T = λ/v = 8/4 = s. Per tant els valors de ω i k són: ω = π/t = π/ = π rad/s; k = π/λ = π/8 = π/4 m -. Finalment, l equació de l ona és: y (x,t) = sen (ωt kx); i = sen (πt πx/4) m. b) v vib = dx/dt = π cos (πt πx/4) m/s. Per a x = 4 m, la velocitat de vibració és v vib = π cos (πt - π) m/s i el seu valor màxim: v máx = π m/s. P0. Com per a un front esfèric la intensitat decreix amb /r, la intensitat en és 3 = 9 vegades la intensitat en B. P. Com es tracta d un front d ones esfèriques (S = 4πr ) tenim: P 00w = = = 0,08 w/m 4π 4π( 0m) E P P 0/ P3. = = = = = 0,637 w/m S t S 4π 4π 0, l duplicar la distància, la intensitat es divideix per 4, o siga: 00 = 0,9 W/m. b) La intensitat decreix perquè la superfície del front de l ona augmenta amb r. c) ecordant que la potència és w, aïllem r de la equació general: P = = = 0,40m 4π 4π d) Com es mostra en el text, = cte. Per tant, s acompleix que Si substituïm valors: cte = = ; cte = 0cm 0cm = = cm 0cm = P4. Dades: x = 0 m, = 0,3 0. Prenent logaritmes neperians en l equació / 0 = e - βx i aïllant el coeficient d absorció obtenim: Ln(/ 0 ) = - ßx; ß = - Ln(/ 0 ) / x = 0,0 m - P. Tenint en compte les dades, l equació més còmoda és Ln (/ 0 ) = - ßx. Ln Operant, obtenim amb facilitat ß = - 0 = 0,693 cm - Si la grossària augmenta a 3 cm, la x intensitat final serà: = 0 e -βx.= = 0 e -0,693 3.= 0, 0 És a dir, s ha reduït el 87,%. 3

4 FÍSC º BTXLLE P6. Tenint en compte les dades (el coeficient és ß= 0,4 cm -, = 0 /4), l equació més còmoda és Ln (/ 0 ) = - ßx. Operant, obtenim amb facilitat x: x = Ln 0 β = 3,47 cm P7. Per a veure si és possible la refracció, calculem primer l angle límit per al so a l'incidir des de l aire a l aigua: sen ά L = v /v = 340/00 ; ά L = 3,º Per tant es produeix reflexió total perquè l angle de incidència (7º) és major que l angle límit aire-aigua per al so (3,º). Per geometria, deduïm que la desviació del feix és ά= 7º + 7º = 0º P8. Com λ = v /N, deduïm el valor de N:. N = v /λ = 0 /0, = 00 Hz. a) v = λ N = 0, 00 = 00 m/s. b) Com es propaga en un líquid, l ona és longitudinal. c) En efecte, com v > v, es produeix la reflexió total per a un angle de reflexió superior a l angle límit: άi L = arcsen (v /v ) = arcsen (0/00) =,º. P9. a) Llibre pag 38, 39 b) plicant la llei de la refracció (Snell) n senά = n senά o senά / senά = n / n = n, = v /v ïllant senά = 0,8; ά = arc sen 0,8 = 8,º En efecte, ha de ser ά > ά. La longitud d ona en el mig, és: λ = v T = v /N = 0 /0 = m. P30. causa de la relació entre la longitud d ona (diversos centenars de metres) i la grandària de l obstacle, les ones modulades en amplitud (M) es difracten a l'interaccionar amb grans edificis o muntanyes. l contrari, les ones de les emissores de FM (longitud d ona de l orde d' m) a penes es difracten a l'interaccionar amb els esmentats obstacles, pel que no els poden superar i contornejar; per això, per a ser captades han d arribar directament al receptor de ràdio, bé des de l antena emissora o a través d un repetidor de TV. P3. a) Segons les dades, λ/ = 60 cm, per tant λ = 60 cm = 0 cm =, m; v = λ/t =,0 /0, = 6 m/s. b) Com l interval de temps considerat és múltiple sencer de T ( t = s = 0 T s), la diferència de fase serà φ = π t rad, és a dir, les fases seran equivalents. P3. Comparant amb l equació general y(x, t) = cos (ωt-kx) = 0, cos (40 πt - 4 πx) obtenim: a) ω = πn = 40 π; N = 0 Hz; k = π/λ= 4 π ; λ = 0, m. b) v = ω /k = 40π /4 π = 0 m/s. c) Suposant que el punt x equidista dels dos focus, la pertorbació resultant serà la suma de les dos individuals, és a dir: y(x,t)total = 0, cos (40πt - 4πx) m = cos (40πt - 4πx) m d) El desfasament entre ambdós pertorbacions es calcula a partir de la diferència de distàncies d ambdós focus al punt on es produeix la interferència: 4

5 FÍSC º BTXLLE π π ϕ = x = ( 0, 0, ) = π rad λ 0, P33. En ambdós experiments la freqüència és la mateixa (no ha canviat la freqüència de vibració de l èmbol); però sí que canvia la rapidesa de propagació i amb això la longitud d ona. Com a N = v/λ = cte, tenim: v v 340 v = ; = ; v = 476 m/s nλ nλ 3 P34. Tenint en compte que cos ά = cos (-ά) i comparant amb l equació general y(x, t) = cos (kx -ωt) = cos (ωt - kx) obtenim: a) ω = πn = 00; N = 0/π Hz; k = π/λ = 0,; λ = 0π m. v = ω/k = 00 /0, = 00 m/s. b) Quan y = 0,3 cos (0,x - 00t) m interfereix amb la que es propaga en sentit contrari, y = 0,3 cos (0,x + 00t)m, es produeix una ona estacionària l equació de la qual és: y total = 0,3 cos(0,x - 00t) + 0,3 cos(0,x + 00t) = 0,6 cos (0,x) cos (-00t) m. P3. La longitud del tub equival a L= λ/4, la distància entre node i ventre consecutius; per tant: λ = 4 0,3 m =, m. Finalment, v = λ N =, 80 = 336 m/s. P36. a) La longitud de la corda equival a λ/ quan s emet el so fonamental; por tant: λ= 0,66 m =,3 m. b) v =λ N =,3 m 440 Hz = 80,8 m/s. P37. Desplaçament màxim: Cada punt de la corda realitza un MS l amplitud del qual ve donada per l equació: y(x,t) = 0,0 sen (4πx) cos(60πt). = 0,0 sen (4πx) Si x =, m, = y máx = 0,0 sen (4π,) m = 0,09 m. Si x = 0, m, y máx = 0,0 sen (4π 0,) m = 0 m. Si x = 0, m, y máx = 0,0 sen (4π 0) m = 0 m. Si x = 0, m, y máx = 0,0 sen (4π 0,) m = 0,0 m. Els resultats són coherents amb el valor de la longitud d ona: λ = π/k = π/4π = 0, m i per això l amplitud d oscil lació és zero per als punts x = λ / i x = λ. Per a x =, m, v máx = y max ω = 0,09 m 60π = 3,8 m/s. Per a x = 0, m, v máx = y max ω = 0 m 60π = 0. Per a x = 0, m, v máx = y max ω= 0 m 60π = 0. Per a x = 0, m, v máx = y max ω = 0,0 m 60π = 3,77 m/s. b) y (x,t) = 0,0 sen (60πt - 4πx) y (x,t) = 0,0 sen (60πt + 4πx) Sabent que B sen + sen B = cos sen B cos + cos B = cos cos + B + B

6 FÍSC º BTXLLE P44. Només és certa l afirmació c). P4. a) Quan el focus emissor (el dofí) s acosta a l observador (el detector del vaixell, en repòs), l equació que hem d usar és: v 4 00 N' = N = 0 = 0067Hz v vf 00 0 b) Quan el focus emissor (el dofí) s allunya del vaixell (observador en repòs), en l equació anterior devem canviar el signe de v F : v N' = N v + v F = = 9937Hz