CIRCUITOS ELÉCTRICOS II

Transcripción

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2 UNERSDAD TECNOLÓGCA DEL PERÚ icerrectorado de nvestigación CRCUTOS ELÉCTRCOS TNS Básicos NGENERÍA ELECTRÓNCA, NGENERÍA MECATRÓNCA TEXTOS DE NSTRUCCÓN BÁSCOS (TNS) / UTP Lima - Perú

3 CRCUTOS ELÉCTRCOS Desarrollo y Edición : icerrectorado de nvestigación Elaboración del TNS : ng. Fernando López A. ng. Mercedes Zambrano O. Diseño y Diagramación : Julia Saldaña Balandra Soporte académico : icerrectorado de nvestigación Producción : mprenta Grupo DAT Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.

4 RAZONAMENTO MATEMÁTCO El presente material de lectura contiene una compilación de artículos, de breves extractos de obras Circuitos Eléctricos publicadas lícitamente, acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. A., del Decreto Legislativo 8, Ley sobre Derechos de Autor. 3

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6 RAZONAMENTO MATEMÁTCO Presentación En el camino ascendente de la tecnología, alimentado en permanentes actos de reflexión científica, en espacios de pensamiento creativo, impulsado por la globalización de estos años, surge esta obra; congruente con las necesidades de formación profesional, en el ámbito de las ingenierías de: Electrónica, Mecatrónica y ramas afines. Se trata de un texto de instrucción, desarrollado con criterio didáctico, de naturaleza teórica-práctica para facilitar el aprendizaje del Curso de Circuitos Eléctricos ; con un contenido secuencial compatible con el texto de Circuitos Eléctricos, diseñado para alumnos del ciclo de la Carrera arriba acotada. La característica singular de estos textos establecido en función del sillabus del Curso, mencionado en líneas precedentes, lleva un énfasis de actualización, como reflejo de un acopio temático cuidadoso de la cantera bibliográfica más recomendada de Circuitos Eléctricos. El texto en mención ha sido compuesto por la ng. Mercedes Zambrano; de quien refleja la experiencia profesional y el denuedo académico, en el horizonte de mejora continua de calidad educativa; como constante de contribución profesoral a la preparación de textos de instrucción TNS. El sentido didáctico del texto, se plasma en capítulos,ordenados de la manera que sigue: En el CAPÍTULO, hacemos la introducción de los sistemas monofasicos de corriente alterna, indicamos la generación de energía eléctrica, la importancia del tratamiento de ondas senoidales y no senoidales, en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia, el uso practico de FASORES, con un estricto respeto a las LEYES DE KRCHOOFF, remarcando conceptos de impedancia, reactancia, admitancia, susceptancia, triangulo de impedancia, enfatizando quien adelanta o quien atraza, en circuitos inductivos,capacitivos o resistivos. E n el CAPÍTULO y, hacemos énfasis a la aplicación de los métodos de solución en forma fasorial, apoyandose del algebra topológica y de una calculadora científica que procese operaciones con complejos, en forma programable.(hp, TEXAS OYAGE, CASO, etc). 5

7 En el CAPÍTULO, damos el concepto de POTENCA COMPLEJA, su triangulo correspondiente, la analogía con el triangulo de impedancias, y la importancia del factor de potencia. Luego, hacemos aplicación de teoremas a lo circuitos en forma fasorial, con el cuidado de distinguir las fuentes independientes de las controladas, corrección del factor de potencia: una técnica que la industria lo aplica permanentemente. En el CAPÍTULO, desarrollamos el fenómeno de Resonancia eléctrica, su importancia en la electrónica y mecatrónica, pues se aprecia el concepto de ancho de banda, factor de calidad, selectividad, y su aplicación con filtros pasabanda, rechazo de banda, como una antesala al estudio de los filtros activos con opamp. En el CAPÍTULO, los sistemas polifásicos - trifásicos, marcan la importancia de la energía eléctrica que mueve la industria y el progreso de cada país en el mundo. Se hace énfasis a los diagramas fasoriales de voltajes y corrientes, de sistemas trifásicos balanceados y desbalanceados, cargas en estrella y en delta, su medición usando vatimetros electrodinámicos (ahora digitales), y la medición del factor de potencia. En el CAPÍTULO, hacemos circuitos acoplados magnéticamente, la importancia del núcleo magnético, factor de acoplo, reactancia mutua, puntos de polaridad instantánea, voltajes inducidos, trafos lineales e ideales, reflexiones de impedancias, hasta aplicarlo en los trafos trifásicos, con la ayuda de diagramas fasoriales y el cuidado del conexionado correspondiente. Al cerrar las líneas de esta presentación el agradecimiento nstitucional a la ng. Mercedes Zambrano e ng. Fernando López A., por el esfuerzo y delicada labor paciente en la composición del texto. ng. Lucio H. Huamán Ureta icerrectorado de nvestigación 6

8 RAZONAMENTO MATEMÁTCO Índice CAPÍTULO SSTEMAS MONOFASCOS DE CA Generación de la Corriente y voltaje eléctrico Magnitudes de la Corriente y oltaje eléctrico Medios Para Generar Tensión Alterna Ondas Eléctricas no Senoidales Números Complejos Ondas Eléctricas Senoidales Fasores Respuesta en AC de Elementos Pasivos Leyes de Kirchhoff Transformación Delta Estrella CAPÍTULO METODOS SMPLFCADOS DE SOLUCÓN Divisor de Tensión Fasorial Divisor de Corriente Fasorial Método de Transformación de Fuentes AC CAPÍTULO METODOS GENERAL DE SOLUCON DE REDES ELECTRCOS LNEALES Método de Corriente de Mallas Método de Tensiones de Nodos Supernodo Supermalla CAPÍTULO POTENCA MONFASCA Potencia Activa Potencia Reactiva Potencia Compleja Factor de Potencia Corrección del Factor de potencia Teorema de Thevenin Teorema de Norton

9 8. Teorema Superposición Teorema Máxima Transferencia de Potencia Problemas Resueltos CAPÍTULO RESONANCA ELECTRCA Resonancia Eléctrica serie Circuito Paralelo Resonante Circuito paralelo Resonante de dos Ramas Filtros Pasivos CAPÍTULO SSTEMAS TRFASCOS Generación de Sistemas Polifásicos Sistemas Bifásicos Sistemas Trifásicos Cargas Trifásicas Balanceadas y Desbalanceado Potencia Trifásica Compleja Medición de potencia Trifásica (Método de los dos atímetros) Factor de Potencia en sistemas Trifásicos Balanceados CAPÍTULO CRCUTOS ACOPLADOS MAGNETCAMENTE Autoinducción nductancia Mutua Transformador Lineal Transformador deal Transformadores: pruebas en acio y Corto Circuito Autotransformador Transformador Trifásico Problemas Resueltos BBLOGRAFÍA

10 RAZONAMENTO MATEMÁTCO Distribución Temática Clase N Tema Semana Horas Principios de Generación de Energía Eléctrica. Ondas eléctricas no senoidales. alor medio. alor eficaz, factor de forma. Propiedades fasoriales. Algebra fasorial. Suma, resta, multiplicación, división, potenciación. Transformaciones fasoriales. Parámetros eléctricos: R-L-C; mpedancia, Admitancia, Conductancia, Susceptancia, Reactancia. Leyes de Kirchhoff, conexiones de elementos en serie y paralelo. Transformación de conexiones delta y estrella. Métodos simplificados de divisores de tensión y de corriente. Transformación de fuentes de Tensión y de Corriente. Propiedades de elementos redundantes Método General de Solución de Redes Eléctricos lineales: Corriente de mallas y Potencial de nodos. Supermalla y Supernodo Potencia monofásica. Potencia activa, reactiva y aparente. Factor de potencia. Diagramas fasoriales Teoremas de Thevenin y Norton Teoremas de superposición. Teorema de la Máxima transferencia de Potencia Repaso de la Teoría con ejercicios y problemas EXAMEN PARCAL Resonancia, en serie y en paralelo. ariación de frecuencia. ariación de inductancia. ariación de capacitancia. Factor de calidad. Ancho de banda. Aumento de tensión por resonancia

11 Clase N Tema Semana Horas Generación de tensiones polifásicas. Empleo de los sistemas polifásicos. Secuencia de fases. Circuitos bifásicos. Circuitos trifásicos balanceados. Conexión estrella, conexión delta. Balance de potencia. Factor de potencia. Continuación de Circuitos trifásicos desbalanceados, factor de potencia Autoinducción. Coeficiente de acoplamiento. nductancia mutua. El transformador ideal. Circuitos equivalentes de transformadores monofásicos. Análisis y propiedades. Prueba de transformadores monofásicos en vació y en corto circuito. Conexiones de transformadores. Transformadores trifásicos. Características técnicas. Repaso de la Teoría con ejercicios y problemas de aplicación EXAMEN FNAL EXAMEN SUSTTUTORO

12 SSTEMA MONOFASCO DE CA Capítulo 1. GENERACÓN DE ENERGÍA ELÉCTRCA La electricidad se genera a partir de fuentes de energía, como: centrales hidroeléctricas donde se usa la fuerza mecánica de agua, o en centrales Termoeléctricas donde se produce electricidad a partir del carbón, petróleo y otros combustibles. También puede generarse a partir de la Energía Eólica, Solar y Biomásica entre otras. Centrales Hidroeléctricas? En las centrales hidroeléctricas el agua de un río, se hace bajar por grandes tuberías y túneles adquiriendo gran velocidad. Al llegar abajo, el agua hace girar unas turbinas conectadas a un generador produciendo la electricidad. Centrales Termoeléctricas? Las centrales termoeléctricas producen electricidad mediante turbinas movidas por vapor a presión, el cual es producido al calentar agua empleando diversos combustibles como carbón, gas natural o licuado, petróleo e incluso leña o carbón vegetal. Red de Transporte de Energía Están formadas por generadores eléctricos, transformadores, líneas de transmisión y líneas de distribución para transportar energía eléctrica hasta los hogares, colegios, industrias y otros lugares de empleo. Usualmente las más altas tensiones se usan en distancias más largas y mayores potencias. Para utilizar la energía eléctrica las tensiones se reducen a medida que se acerca a las instalaciones del usuario. Para ello se usan los transformadores eléctricos. 11

13 Corriente alterna: La corriente alterna es aquella que circula durante un tiempo en un sentido y después en sentido opuesto, volviéndose a repetir el mismo proceso en forma constante. Su polaridad se invierte periódicamente, haciendo que la corriente fluya alternativamente en una dirección y luego en la otra. Este tipo de corriente es la que nos llega a nuestras casas y sin ella no podríamos utilizar nuestros artefactos eléctricos y no tendríamos iluminación en nuestros hogares. También puede ser generada por un alternador o dinamo, la cual convierten energía mecánica en eléctrica. El mecanismo que lo constituye es un elemento giratorio llamado rotor, accionado por una turbina el cual al girar en el interior de un campo magnético (masa), induce en sus terminales de salida un determinado voltaje. A este tipo de corriente se le conoce como corriente alterna AC. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una onda senoidal, con lo que se consigue una transmisión más eficiente de la energía. 1

14 . MAGNTUDES DE LA CORRENTE Y OLTAJE ELECTRCO a. Onda: Perturbación en un medio que se propaga de un lugar a otro, transportando energía y cantidad de movimiento pero no transporta materia. b. Angulo de fase (φ ): Cada punto de una onda posee una fase definida que indica cuanto ha progresado o avanzado dicho punto a través del ciclo básico de la onda. c. Ciclo: se llama ciclo a toda forma de onda que completa un tiempo (t), es decir comienza en un punto de la forma de onda y termina el mismo punto para iniciar otro ciclo. d. Periodo: Se determina periodo al tiempo en segundos, que tarda en completarse un ciclo. Se denota por la letra T. 1 T = seg. f e. Frecuencia: Se denomina frecuencia al número de ciclos que se realizan en un segundo. 1 f = Hertz T f. Forma de onda Periódica. Se dice que es periódica cuando se repite continuamente, después del mismo intervalo. g. Fase: Es el ángulo inicial formado por la onda, antes de empezar a contar el tiempo. En el movimiento sinusoidal representa el desplazamiento del eje vertical respecto del inicio de la sinusoide. h. Pulsación ( ω ): La pulsación del movimiento sinusoidal equivale a la velocidad angular del movimiento circular. ω = π f rad/s 3. MEDOS PARA GENERAR TENSON Y CORRENTE ALTERNA 1. Generador: Es un dispositivo que convierte la energía química - mecánica en energía eléctrica. Cuando la espira gira, el flujo del campo magnético a través de la 13

15 espira cambia con el tiempo, y se produce una f.em. Los extremos de la espira se conectan a dos anillos que giran con la espira (a) (b) El flujo magnético es: φm = NBAcosθ Donde: B= densidad de campo magnético. N = Número de espiras que hay en la bobina. A = área Si Una espira que gira con velocidad angular constante (ω), Entonces tendremos: θ = ωt + δ Donde: δ = desfasaje φ m = NBAcos( ωt + δ ) Por la ley de Faraday, la f.em. alterna inducida será: dφ m = = NBAω sin( ωt + δ ) dt. Transformadores: Son dispositivos eléctricos utilizados para elevar o disminuir el voltaje y la intensidad de corriente alterna sin que haya pérdida de potencia. Consiste en dos bobinas arrolladas sobre un núcleo de hierro (N 1 vueltas en el primario bobina conectada a la fuente de potencia y N en el secundario). 14

16 El flujo que atraviesa cada espira en ambos arrollamientos es el mismo, luego la tensión que aparece en el secundario es dφ N dt 1 = 1 = N Comparando las dos ecuaciones: = N 1 1 Transformador Elevador N > N1 > 1 Transformador Reductor N < N1 < 1 Si colocamos una resistencia de carga en el secundario, aparecerá una corriente en fase con y aparecerá un flujo adicional proporcional a N. Como el flujo en el primario debe tener el mismo ritmo de variación al estar conectado a una fem externa, debe aparecer una corriente 1 el primario de forma que: Si no existen pérdidas, se debe cumplir que N dφ N dt = N 1 1 = ef 1ef ef Usos de transformadores. Transporte de energía eléctrica con pérdidas mínimas de energía por efecto Joule utilizando alto voltaje y baja corriente. 3. Alternadores. El alternador es una máquina destinada a transformar la energía mecánica en eléctrica, generando, mediante fenómenos de inducción, una corriente alterna. Un alternador consta de dos partes fundamentales, el inductor, que es el que crea el campo magnético y el inducido que es el conductor el cual es atravesado por las líneas de fuerza de dicho campo. 15

17 Disposición de elementos en un alternador simple Así, en el alternador mostrado, tenemos que el inductor está constituido por el rotor R, dotado de cuatro piezas magnéticas cuya polaridad se indica. Estas piezas pueden estar imantadas de forma permanente o ser electroimanes. El inducido está constituido por las cuatro bobinas a-b, c-d, e-f y g-h, arrolladas sobre piezas de hierro que se magnetizan bajo la acción de los imanes o electroimanes del inductor. Dado que el inductor está girando, el campo magnético que actúa sobre las cuatro piezas de hierro cambia de sentido cuando el rotor gira 90º, y su intensidad pasa de un máximo, cuando están las piezas enfrentadas como en la figura, a un mínimo cuando los polos N y S están equidistantes de las piezas de hierro. Son estas variaciones de sentido y de intensidad del campo magnético las que inducirán en las cuatro bobinas una diferencia de potencial que cambia de valor y de polaridad siguiendo el ritmo del campo. 16

18 4. ONDAS ELECTRCAS NO SENODALES a. Onda rectangular.- usado en circuitos digitales. b. Onda Triangular.- Se usa en circuitos de carga y descarga c. Diente de Sierra.- Usado en T como pulsos de sincronismo 17

19 d. Onda Rectificada.- Se implementa con diodos. e. Onda Completa. Se implementa con diodos. 1. alor máximo o valor pico de tensión y de corriente. Es el máximo valor que alcanza la forma de onda, ya sea positiva o negativa, desde el eje de referencia hasta el punto más alto de la cresta o el punto mas bajo del valle. Se denota por la letra p si es tensión o p si corriente.. alor pico pico de tensión y de corriente. (pp) Es el valor que va desde el máximo positivo (+) hasta el máximo negativo (-), es decir es el doble del valor pico (positivos y negativos son simétricos). pp = m ó pp = m 3. alor cuadrático medio (rms). Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendría una corriente continua que produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicarla sobre una misma resistencia. Para una señal sinusoidal, el valor eficaz de la tensión es:. 1 T rms = ef = v () t dt T 0 p rms = y del mismo modo para la corriente 18

20 rms la potencia eficaz resultará ser: = = ef p 1 Prms = Pef = ef. ef = = ( p p ) 4. alor Medio.-En una señal sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo, es decir los valores positivos se compensan con los negativos por ello su valor medio es nulo; entonces se dice valor medio de una tensión o corriente alterna es igual al semiciclo de todos los valores instantáneos de tensión o corriente medidos en un cierto intervalo de tiempo. En relación con los otros valores máximos de tensión o de corriente se tienen las siguientes igualdades: prom = p ó prom = 0.637m (en un semiciclo) p La potencia media suministrada al circuito formado por una resistencia, se obtiene sin factores, directamente de los valores eficaces. Así La potencia media será: = cos ωt; = cosωt max max 19

21 P = = cos ( ω t) Pmedia = (cos ( ωt)) max max max max P media = 1 max max = ef ef = ef R = ef R 5. alor instantáneo de tensión y de corriente.-la forma de onda esta formada por infinitos valores instantáneos que se presentan, sucesivamente, El valor instantáneo de tensión y de corriente es aquel que tiene la señal senoidal en cualquier instante de tiempo. 6. Factor de Cresta o Factor de amplitud.- Es la relación entre el valor máximo m y el valor eficaz ef de la onda senoidal v(t). m FC = 7. Factor forma.- Es la relación entre el valor eficaz y el valor medio de la onda senoidal v(t). ef FF = ef med Resumen alor eficaz Factor de forma Factor de cresta Transformada fasorial t+ T 1 ef = m cos ( ωt + φ) dt = t t m π F F = 1,11 = = m π F m = F = = = 1,41 A C m jφ = me = P ef cos( ωt+ φ) m 0

22 Ejemplo # 1. Calcular el valor promedio, valor rms, Factor forma y Factor cresta de la forma de onda mostrada. Solución. Para el intervalo 0 < t < 0.1 it ( ) = ta Entonces hallamos prom. 1 T prom = idt ( t) dt 10(1 0.5) T = = prom = Asi mismo ef será 5 A T 1 rms = i dt ( t) dt 100 (1 0t 100 t ) dt T = = t t rms = 100 t = Entonces tendremos: rms = = 5.77 A 0 1

23 Luego hallamos el factor forma F F ef 5.77 = = = prom Y el Factor amplitud será: F C m 10 = = = ef Ejemplo #. En la figura mostrada la onda sinusoidal recortada, está producida por un circuito electrónico, calcular el valor medio y el valor rms de la onda v(t). Solución: El valor de θ 1 se calcula de la manera siguiente: 60 = 100 sen θ 1 De ahí que: 1 60 θ1 = sen = rad. 100 θ = π + θ1 =.4981 rad. Como la onda recortada tiene un valor promedio matemático de cero, el valor medio eléctrico se calcula a partir del primer ciclo.

24 1 π { θ ω } ( ω θ ) 0.6 ( ω π ) ω ( ω ) 1 prom = 0 msen td t + md t + msen td t θ1 θ θ {[ ] [ ] [ ] } 1 θ cos 0.6 π ω ω cosω 0 θ θ = π + + = m prom t t t prom 1 El valor rms de la onda se puede calcular también al término del primer medio ciclo de la siguiente manera, duplicándolo. θ1 θ π { ( ω ) ( ω ) (0.6 ) ( ) ( ) ( ) 0 ω ω ω θ θ } = sen t d t + d t + sen t d t rms π m m m 1 θ1 θ π { ω ω 0 ω ω ω θ θ } m rms = sen td( t) d( t) + sen td( t) = 640 π 1 rms = 640 = NUMEROS COMPLEJOS ntroducción Al circular la corriente alterna por circuitos formados por resistencias, bobinas y condensadores, debido a efectos especiales que tienen lugar como consecuencia de este tipo de corriente y de la frecuencia. El comportamiento de estos componentes y por tanto de estos circuitos, es diferente que cuando son recorridos por corriente continua. Conocimientos Previos Teorema de Pitágoras: Cuando se trata de circuitos de una resistencia, bobina y un condensador se pueden resolver por medio del teorema de Pitágoras la cual dice. El cuadrado formado sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado formado por su catetos. 3

25 h = a + b ectores. Es un segmento con una punta de flecha en uno de sus extremos, y es nombrado vector (0B) o vector. Todo vector se caracteriza por. Magnitud o Modulo: Es la longitud del vector o segmento. (longitud 0-B). se representa así v. Dirección: Es la dirección de la recta sobre la que está representado el vector; la dirección puede ser 0 B ó B 0. Sentido: Es el sentido del vector que viene dado por la punta de la flecha. Según el grafico el sentido es 0 B. Origen o Punto de aplicación: es el lugar donde comienza el vector. Un vector se puede dar en función de sus coordenadas o descomponerse en ellas. Teniendo como: Abscisa del segmento 0a = cosφ Ordenada del segmento 0b= senφ Si de un vector nos dan sus componentes, podemos hallar el modulo por el teorema de Pitágoras o la trigonometría. Numero Complejo. Un número complejo representa un punto en un plano bidimensional, ese punto determina un radio vector trazado desde el origen a ese punto. El eje 4

26 horizontal se denomina real o eje de resistencias y el eje vertical es el imaginario o eje de reactancia. Toda unidad imaginaria se representa por i, en electrónica se utiliza la letra j. j 1 j 1 = = Existen varias formas para representar el número complejo: a) Forma compleja: Se expresa (a,b) cuyo significado ya conocemos. b) Forma binomica: Se expresa por Z = a+ jb donde a representa la parte real y b la parte imaginaria. c) Forma factorial o trigonométrica: en este caso se dan las componentes a y b en función del ángulo y de sus razones trigonométricas, cuyas componentes son. a= rcosφ b = rsenφ y el modulo Z = r(cos φ + senφ ) d) Forma Polar: todo numero complejo queda determinado si se conocen su modulo y su argumento o ángulo j Z = r φ = re φ Donde r es la magnitud de Z, y Ф es la fase de Z. De rectangular a polar tenemos: a r = a + b, tgφ = φ = tg b De Polar a rectangular 1 b a a = rcosφ Entonces Z se escribirá:, b = rsenφ Z = a + jb = r φ = r(cos φ + jsenφ) 5

27 Representación cartesiana de un número complejo: z =modulo de z =longitud de segmento 0P =longitud del vector 0P 0P = a + b Representación Polar de números complejos. Modulo ( r ): Es la distancia entre el origen y el punto P(a,b), su valor se calcula por Pitágoras. Argumento ( θ ): Es el ángulo que forma el segmento 0P con el eje horizontal, cuyo ángulo se expresa en radianes y viene dado por: θ = arc sen b, θ = arc cos a, θ = arctg b r r a 6

28 Algebra Fasorial. 1. Suma complejo: Para sumar dos o más números complejos se suman las partes reales y las imaginarias por separado. Dados los números complejos z = a + jb = r φ, z = a + jb = r φ Forma rectangular. z + z = ( a + jb) + ( a + jb ) = ( a + a ) + j( b + b ) Forma Polar. z + z = ( r φ) + ( r φ) 1 1 = ( r cosφ + r cos φ ) + ( r senφ + r senφ ) Resta complejo: La resta también se toman por separado la parte real y la imaginaria. Es más fácil hacerla en coordenadas rectangulares. z z = ( a a ) + j( b b ) Multiplicación complejo: Para multiplicar dos números complejos es más fácil en forma polar, las magnitudes se multiplican y los ángulos se suman. z. z = ( r φ )( r φ ) = r. r ( φ + φ )

29 Forma rectangular z. z = ( a + jb)( a + jb ) = ( aa + bb ) + j( ab + ab) División complejo: En forma polar se dividen los módulos y se restan los argumentos. z z 1 1 φ 1 z1 = = φ 1 φ z z φ z 5. Conjugada un complejo: Sea z a jb zφ = + = Su conjugada es. z* = a jb= z φ 8

30 6. Potenciación de un complejo: Su potencia será: Si: z = rφ n n jφ ( z ) = ( z φ ) = ( ze ) n n jφ n n ( z ) = z e = z φ. n 7. Raíz Cuadrada: Si: j z = re. φ Su raíz enésima será: 1 j n j n j n n z re φ φ = = r e z = r e φ.. ( )( ) n n n 8. Logaritmo: si : z = r. e jφ jφ ln z = ln re. = ln r+ ln e ln z = ln r+ jφ jφ 6. ONDAS ELECTRCAS SENODALES Es llamado también corriente alterna o sistema monofásico, Una función senoidal es una forma de tensión que se genera en todo el mundo y suministrada a casas, fabricas, laboratorios, etc. Una senoide es importante en el análisis de señales periódicas, análisis de circuitos y es fácil de manejar matemáticamente. 9

31 Donde: m = Tensión máxima T = Periodo (s) ω = πf (pulsación rad/s ) θ = Angulo de fase (grados) f = Frecuencia (Hz) Dos ondas sinusoidales se pueden comparar cuando operan a la misma frecuencia, no necesitan tener la misma amplitud. También para comparar es conveniente expresar ambas como seno o coseno con amplitudes positivas usando las siguientes identidades trigonométricas. sen( A ± B) = senoacosb ± cosasenb cos( A ± B) = cos Acos B m senasenb 30

32 En el grafico tenemos dos senoides diferentes, donde v adelanta a v 1 de Ф, o v 1 se retrasa respecto a v de Ф. Si: Ф 0 entonces v 1 y v están fuera de fase. Si: Ф = 0 entonces v 1 y v están en fase 7. FASORES El fasor es un vector rotando en el plano complejo, con una magnitud y una velocidad de rotación ω expresada en radianes/segundo (ω=fija). Tiene magnitud constante en un ángulo fijo desde el eje real positivo y representa un voltaje o corriente senoidal en el dominio de vector. Los fasores se utilizan en ingeniería para simplificar los cálculos con sinusoides. Permiten reducir un problema de ecuaciones diferenciales a uno algebraico. Transformación o Representación fasorial.- Se basa en la identidad de Euler. e ± jφ Donde la parte real es: j cosφ = Re( e φ ) = cosφ ± jsenφ La parte imaginaria es: senφ = m( e jφ ) 31

33 Si observamos el gráfico todo el plano complejo está rotando a una velocidad angular ω y v(t) que es la proyección del vector e jωt en el eje real en función del tiempo. Para transformación una función sinusoidal al plano complejo o dominio de la frecuencia primero expresamos en la forma de coseno vt () = m cos( ωt+ φ) de modo que la senoide se pueda describir como la parte real de un número j( t ) complejo. vt () Re( e ω + φ j t = ), después, si tomamos el factor tiempo ( ) nos m j t queda una senoide vt () = Re( e ω ) y si eliminamos el factor tiempo, transfórmanos la senoide del dominio del tiempo al dominio fasorial o dominio jφ de la frecuencia. = e = φ. m m e ω Es decir si: m =. ef Reemplazando tenemos tenemos: jφ m m ef ( cos( )) = e = φ = P ωt+ φ donde P= Transformación fasorial 3

34 Entonces la Transformación fasorial inversa será. jφ jφ jωt ( ) ( ) 1 P me efe e ef ωt = Re = cos( + φ ) Reemplazando ef por m tenemos: m cos( ωt+ φ) Transformación fasorial inversa: Nos permite volver del dominio fasorial al dominio del tiempo. Los fasores: = φ m, = m φ Se representan gráficamente en la siguiente figura. Cuadro transformación senoide fasor: Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia vt () = cos( ωt+ φ) = m φ m v( t) = sen( ω t + φ ) = φ 90º m i( t) = cos( ω t + θ ) = m θ m i( t) = sen( ω t + θ ) = θ 90º m m m 33

35 Si se suman dos senoides estos deben convertirse antes en el dominio fasorial y la suma debe determinarse mediante el algebra complejo, el resultado puede convertirse después en el dominio del tiempo. Ejemplo # 1 Si tenemos: En el dominio fasorial será: 1 v = 5 senωt, v = 10 sen( ωt+ 90º) 1 v1 = 50º v = 10 90º v = v + v = 5 + j10 = º = v θ T La transformada fasorial es útil ya que permite emplear algebra compleja en lugar de algebra sinusoidal. Relaciones de fase: El ángulo de fase entre dos formas de ondas de la misma frecuencia es la diferencia angular en cualquier instante (t). T T 34

36 Ejemplo #. Dibujar el diagrama fasorial y de impedancias, y determinar las constantes del circuito serie, suponiendo que contiene dos elementos. La tensión y corriente se expresan en voltios y amperios respectivamente. vt ( ) = 50 sen(000t 5º ) it ( ) = 8 sen(000t 5º ) Solución: Hacemos notar que ambas funciones tienen la misma frecuencia. Los fasores correspondientes a cada una de las ondas son: La impedancia será = 5º, = 5º A 5º 50 Z = = 30º = 5.4 j 3.1 Ω 5º que corresponde a una resistencia y un condensador conectados en serie, cuyos valores vienen dados por: Parte real es: R = 5.4 Ω, La parte imaginaria = X = C C 160μF ωc = (3.1)(000) = En la figura se muestra el diagrama fasorial y el diagrama de impedancias. Del diagrama fasorial se comprueba que el circuito es capacitivo ya que la tensión está retrasada respecto de la corriente. 35

37 Ejemplo # 3 En el circuito mostrado hallar la tensión en el capacitor v C (t), por el método fasorial. Solución: 1 1 X C = = = j1= BC = j1 jωc (4)(0.5) 1 G = = Y = G+ jb Y eq eq = j1 = 1 76º Luego hallamos la tensión en el condensador: = Yeq. C C = Y Reemplazando tenemos: 10 0º C = = º (176º) Y en el dominio del tiempo es: C eq v () t = ( )7.07cos( ωt 76º) 36

38 8. RESPUESTA EN AC DE ELEMENTOS PASOS ariables Eléctricas que se Aplican en Circuitos Serie: a. mpedancia (Z): En corriente alterna la oposición al paso de la corriente eléctrica en un circuito formado por resistencias, bobinas y condensadores, se llama impedancia (Z) dada por: Z v( t) m rms = = = = i( t) m rms cte. La impedancia se expresa también en forma fasorial Z=/ donde tanto como son fasores. En consecuencia la impedancia Z es también un fasor por lo que se puede expresar de la siguiente manera Z= R ±jx donde: R es la resistencia del sistema y X es la reactancia del sistema. La impedancia, resistencia y reactancia se mide en ohms (Ω) La impedancia también se puede expresarse en forma polar como: Z = R+ jx = Z φ Z = R + X φ = tg R= Z cosφ, X = Z senφ R 1 X b. Reactancia (X). la cantidad (X L X C ) recibe el nombre de reactancia del circuito y se representa por X. X = X X L Entonces la impedancia se puede escribir en términos de la reactancia del circuito en la forma C Z = R + X 37

39 Formas de reactancia: En una Resistencia es X = 0 En Una Bobina es X = ωl X = ωl90º = jωl= jx En un Condensador X = X = 90º = j = jx ωc ωc ωc Cuando X es positiva la impedancia es inductiva o de retraso porque la corriente se atrasa respecto a la tensión Z=R+ jx Cuando X es negativa la impedancia es capacitiva o de adelanto porque la corriente se adelanta respecto a la tensión Z=R jx ariables Eléctricas que se Aplican en Circuitos Paralelo c. Admitancia (Y). Ofrece facilidad al paso de la corriente. Es la inversa de la impedancia, medido en siemens(s) o mhos( ). la admitancia de un circuito es la razón entre la corriente y la tensión fasorial a través de él: m rms 1 Y = = = Z m la admitancia también puede expresarse en forma rectangular Y = G+ jb Donde: G es la Conductancia parte real de la admitancia G rms = 1 1 Y R = Z = B es la Susceptancia parte imaginaria de la admitancia. jb = R 1 jx La admitancia, conductancia y susceptancia se miden en siemens(s) G jb 1 + = R + jx 38

40 R jx R X G + jb = G =, B = R + X R + X R + X 8.1 DOMNO DEL TEMPO 1. CRCUTO RESSTO. Tenemos un circuito formado por una resistencia y alimentada por una fuente de tensión alterna senoidal. vt () = sen( ωt) m la intensidad de la corriente que se origina se deduce partir de la Ley de Ohm: vt () m sen( ωt) it () = = R R i( t) = sen( ω t) m si = m : m Entonces la diferencia de potencial en la resistencia será: vt () = Rsen( ωt) m Por tanto, cuando el circuito es resistivo puro, la corriente y la tensión están en fase. (Fig.1). φ = 0º desfase entre v(t) e i(t) R 39

41 Su impedancia.- Una resistencia presenta una impedancia que sólo tiene componente real, ya que su componente imaginaria es de valor cero. Tendremos entonces que la impedancia total del circuito será su valor nominal. Z = R+ jx donde su reactancia es X=0 entonces Z = R m Z = ó m φ = tg φ = 0º 1 X R. CRCUTO CON UN CONDENSADOR. Circuito formado por un condensador y alimentado por una fuente de q tensión alterna. vt () = sen m ( ωt) = C 40

42 Aplicando la ley de ohm tenemos vt () C = 0, si reemplazamos valores q tenemos: sen m ( ωt) = 0 q= Csen m ( ωt) C Derivando respecto al tiempo se encuentra que la corriente que circula por el condensador será: dq dsen ( m ωt) it () = = C = ( Cω) m cosωt, dt dt Reactancia capacitiva se define como: 1 1 si : X * C = Cω = Cω X m Reemplazando tenemos it () = cosωt ó X C m π it () = sen( ωt + ) X C m ef si : m = y ef = X C X C π i() t = m sen( ω t + ) m m También X = = = ω C X max ef max = ef = X X C m m m C C Como se observa la corriente está adelantada en 90º respecto a la tensión, es decir tenemos un desfase de π/ en los extremos del condensador. C C 41

43 la reactancia capacitiva depende de la frecuencia de la corriente en el circuito. Su impedancia: La impedancia que presenta un condensador sólo tiene componente imaginaria o reactiva, donde Xc es la reactancia capacitiva que se calcula así: Z = 0 jx C Donde. 1 1 Z = X C = = π f. C ω. C 3. CRCUTOS CON UNA BOBNA. El comportamiento básico de la bobina en corriente alterna se cumple di() t vt () = L dt 4

44 Si la tensión que se aplica en los extremos de la bobina es: vt () = sen m ωt entonces aplicando la ecuación de la bobina, tenemos di vt () = L = L para obtener la corriente en función del tiempo dt di reemplazamos sen m ω t= L separando variables e integrando tenemos dt 1 1 m it () = vt () m senω t ( cos ω t) L = L = ω L m m it () = cos ωt ( senωt π ) ωl ωl Reactancia inductiva o inductancia es m it () = ( senω t π ) X L m m si : m = ; X L = X Reemplazando tenemos: L it () = sen( ωt 90º) m m X L = ωl Como se observa ahora la intensidad está atrasada en 90º es decir, el efecto del inductor es desfasar la corriente (π/) respecto a la tensión en los extremos de la bobina. 43

45 La impedancia que presenta la bobina, y por ende el circuito, será: Z = 0 + jx L Z = X = π f. L= ωl L Siendo X L la reactancia inductiva de la bobina 4. CRCUTO R - C EN SERE. Si tenemos una corriente alterna. it () = msenωt 44

46 vt = +, entonces el Aplicando la ley de kirchoff tenemos que () R C voltaje v(t), que alimenta en los extremos será igual a la suma del voltaje en la resistencia y el voltaje en el condensador. Si sabemos que. = Ri() t y C q = reemplazando variables e integrando tenemos: C 1 vt () = Rit () + idt C 1 m v() t = Rmsen ω t+ msen t Rmsen t cos t C ω = ω + ωc ω R [ ] [ ] v( t) = R senω t X cosωt = Rsenωt X cosωt m C m m C R X C v() t = m Z senω t cosω t Z Z R X C si :cos φ = ; senφ = ; m = Zm Z Z [ φ ω φ ω ] [ ω φ ] v() t = Z cos. sen t sen.cos t = Z sen( t ) m Donde la tensión aplicada al circuito es: Su mpedancia es: vt () = sen( ωt φ) m m Z = R + X C 45

47 5. CRCUTO R - L EN SERE. Al igual que el condensador al aplicarle una tensión alterna al circuito, tendremos una corriente permanente que esta dada por: it () = senωt. m entonces el voltaje v(t) que alimenta en los extremos será igual a la suma vt = + si del voltaje en la resistencia y el voltaje en la bobina. () R L sabemos que: L di() t L dt di() t vt () = Rit () + L dt Reemplazando tenemos: = entonces [ ] vt () = R senω t+ L ωcos ωt = R senωt+ ( ωt ) cosωt m m m m [ ] v() t = R senωt + X cosωt = Rsenωt + X cosωt m L m m L R X L v( t) = Z m senωt + cosωt Z Z = Z sen t + sen t m [ cos φ. ω φ.cosω ] [ ω φ ] v( t) = Z m sen( t + ) Si : Zm = m Reemplazando tenemos: [ ω φ ] vt () = sen( t+ ) m 46

48 Esto indica que el voltaje esta adelantada Фº grados respecto a la X L corriente, y su ángulo de desfase respecto a v(t) es ϕ = arctg indicando R con ello que la tensión v(t) está adelantada en π/ respecto a i(t). Su impedancia es: Z = R + X L 6. CRCUTO R L - C SERE. Si aplicamos una tensión a los extremos del circuito entonces la corriente que circula por ella será la misma en todos los elementos it () = m senωt di 1 vt () = Rit () + L idt dt + C 1 v() t = Rmsenωt + L[ mωcosωt] + msenωt C m vt () = Rmsenωt+ ( ωl ) mωcosωt+ [ cosωt] ωc vt () = R senωt + X cosωt X cosωt m L m L C 47

49 vt () = Rsenω + X cos ωt ; si: X = X X m eq eq L C R X eq vt () = m senω+ cosωt Z Zeq Zeq Siendo: eq eq R cosφ = Zeq X eq senφ = Z eq Z = R + Z Reemplazando vt ( ) = Z. [ cos φ. senωt+ cos ωtsen. φ] si : = Z. ; m eq m eq m [ ] sen( ω t + φ) = cos φ. senωt + cos ωt. senφ vt () = sen( ωt+ φ) Su impedancia es: Z = R + ( X X ) eq L C Z = R + ωl = ωc ó 1 ef Si X L > X C es nductivo X L < X C es capacitivo X L = X C es resistivo las fases respecto a i son siempre las mismas: 0º para R, 90º para L y -90º para C. 7. CRCUTO R L EN PARALELO. ef 48

50 Si la tensión alterna aplicada es vt () = sen m ωt, se sabe que en un circuito en paralelo las tensiones en cada rama son iguales y las corrientes en cada rama son diferentes, entonces por ley de kirchoff la corriente total será: it () = ir + il sen m ωt 1 m m it () = + sen m ωt senωt ( cos ωt) R L = + R ωl m m 1 1 i() t = senωt cosωt = m senωt cosωt R XL R XL it () = ( Gsen. ωt B cos ωt) m G BL it () = Y m senωt cosωt Y Y = Y sen t sen t m L ( cos φ. ω φ.cosω ) Si: m = Ym i() t = msen( ωt φ ) Su Admitancia es: Y = G + B L G cosφ = YL BL senφ = Y L φ B tg G 1 L = 8. CRCUTO R C EN PARALELO. 49

51 vt = senωt Si aplicamos una tensión alterna () m Entonces por ley de kirchoff la corriente será: it ( ) = i + i...(1) R C m m ic = cos ωt, ir = senωt X R C Reemplazando en (1). m m it () = senωt+ cosωt R X 1 1 = m senωt + cos ωt R X C it () = ( Gsen. ωt + B.cos ωt) m G B L it () = Y m senωt+ cosωt Y Y C = my ( cos φ. senωt + senφ.cosωt) Si : = Y i( t) = sen( ωt + φ ) m m m Su Admitancia es: C Y = G + B C φ = tg 1 B G 9. CRCUTO RLC PARALELO. 50

52 Si se aplica una tensión vt () = sen m ωt por la ley de kirchhoff tendremos que la suma de la corriente de cada componente es igual: it i i i () = R + L + C m m m it ( ) = senωt cos ωt) + cosωt R ω L X it () = m senωt cosωt+ cosωt R X L X C ( ω ω ω ) it () = Gsen. t B.cos t+ B cos t m L C G BL BC it () = Y m senωt cosωt+ cosωt Y Y Y G BC BL it () = Y m senωt + cosωt Y Y Y Su Admitancia es: C Y = G + ( B B ) L C 8.. DOMNO DE LA FRECUENCA 51

53 1. CRCUTO RESSTO. r = m 0º r m m = 0º = 0º R Su mpedancia compleja r Z = R r Z = m m Diagrama fasorial. CRCUTO CON UN CAPACTOR. r 0º = r = ωc 1 j ω C r = ωc 90º 90º mpedancia del Capacitor Diagrama fasorial 1 Z = jxc = j ωc 5

54 3. CRCUTO CON UNA BOBNA. r = 0º 0º r 90º X = jωl = ωl r = 90º ωl mpedancia de la Bobina Diagrama fasorial Z = jx = jωc 4. CRCUTO R C EN SERE. ( 0 φ 90º ) L r 0º 0º = = r = r R jx Z φ Z φ r C = r Z φ 53

55 mpedancia del circuito RC Diagrama fasorial r Z = R + X φ C 5. CRCUTO R L EN SERE. ( 0 φ 90º ) r 0º 0º = = r = r R+ jx Z φ Z φ L r = φ mpedancia del Circuito RL Diagrama fasorial r Z = R + X φ L r Z = Z φ 54

56 6. CRCUTO R C EN PARALELO. = ( Y φ )( 0º ) = Y. φ Admitancia del circuito paralelo RC Diagrama fasorial r r Y = G + jb = Y φ C 7. CRCUTO R L EN PARALELO. = Y φ = ( Y φ )( 0º ) = Y. φ 55

57 Admitancia del circuito paralelo RL Diagrama fasorial Y = G jb = Y φ 9. LEYES DE KRCHHOFF 1. LEY DE TENSONES DE KRCHHOFF. La suma algebraica de las tensiones a lo largo de cualquier camino cerrado en un circuito cerrado es igual a cero. En corriente alterna trabajan en dos dominios. a. En el dominio del tiempo v () t + v () t + v () t +... v () t = b. En el dominio de la frecuencia. r r r r n = 0 n. LEY DE CORRENTES DE KRCHHOFF. La suma algebraica de todas las corrientes que inciden en un nudo es igual a cero. En corriente alterna trabajan en dos dominios. a. En el dominio del tiempo. i ( t) + i ( t) + i ( t) i ( t) = b. En el dominio de la frecuencia. n 56

58 r r r r n = 0 CRCUTOS ELÉCTRCOS mpedancia en serie: Las impedancias en serie se suman. Zeq = Z1+ Z Zn = 0 Por los elementos en serie pasa la misma corriente. r r r r ab = Z1 + Z Zn r r = Z + Z + + Z Z ab eq (... ) r = r ab 1 mpedancia en paralelo: La suma de las inversas de impedancias en paralelo es la inversa de la impedancia equivalente. r = = Z Z Z Z eq r ó 1 Yeq = Y1+ Y Y n n n 57

59 Los elementos en paralelo están en la misma tensión r r r r = n r r r r = Z Z Z Z eq TRANSFORMACÓN DELTA-ESTRELLA Y ESTRELLA- DELTA n 58

60 Z Z Z 1 3 = = = Delta-Estrella ZbZc Z + Z + Z a b c ZZ c a Z + Z + Z a b c ZaZb Z + Z + Z a b c Z Z Z a b c = = = Estrella-Delta Z Z + Z Z + Z Z Z Z Z + Z Z + Z Z Z Z Z + Z Z + Z Z Z Nota: Un circuito Delta o Estrella está equilibrado si las impedancias en las tres ramas son iguales entre si. Z = Δ 3Z Y ó Y Z Y Z Z Z Z ZΔ = 3 = y Z = Z + a Z + Δ b Zc Ejemplo # 1: En el circuito mostrado convertir el conjunto de condensadores conectados en delta en su equivalente de estrella y calcular el valor de la corriente. 59

61 Solución. Hallamos la impedancia equivalente en los condensadores Luego Z Z Z 1 3 Xeq = X1+ X + X3 = j0 j10 j10 = j40ω XX ( j0)( j10) X j40 j5 1 = = = Ω eq XX ( j0)( j10) X j40 j5 1 3 = = = Ω eq X X ( j10)( j10) X j40 j.5 3 = = = Ω eq El circuito equivalente será 60

62 Luego por ecuación de mallas hallamos la corriente. j1.51 j17.5 = 0 j (10 + j1.5) = 0 1 Despejando tendremos j1.5 0 j º = = = º A j1.5 j º j j1.5 Ejemplo # : Un capacitor tiene una reactancia de 80Ω a una frecuencia de 00Hz, calcular la capacitancia del capacitor. Además calcular la reactancia y susceptancia de un inductor de 0.1H a una frecuencia 1kHz.. Solución. En el capacitor su reactancia será: X C = 1 1 C 9.95μF π fc = π = En el nductor su reactancia será: X = π fl X = π = 68.3Ω L Y la susceptancia es. B L L 1 1 = = BL = mhos X 68.3 L Ejemplo # 3: En cada una de las formas de onda a y b mostrada. 1. Trazar el diagrama fasorial a cada una de las formas de onda.. Determinar la relación de fase entre el voltaje y la corriente. 3. Determinar una expresión para las ondas de voltaje y corriente, expresadas como una función de tiempo. 4. Presentarlas como cantidades polares complejas. 5. Calcular la impedancia en cada forma de onda. 61

63 (a) (b) Solución: Para la forma de onda (a): 1. Su diagrama fasorial es.. Si observamos la onda sinusoidal de voltaje comienza en θ = 0 y la corriente pasa a traves de cero y aumenta en dirección positiva, alcanzando el 80º, es decir se retrasa en 80º con respecto a. 3. En el diagrama fasorial correspondiente en el tiempo t = 0, la expresión que describen el voltaje y la corriente son: vt () = 100 sen( ωt) A it () = 10 sen( ωt 80º) A 4. En forma polar compleja, el voltaje y la corriente son. 100 = 0º = º 10 = 80º = º A 6

64 5. La magnitud de la impedancia es Usando los valores r.m.s. será. m 100 Z = = = 10 Ω 10 m Para la forma de onda (b) Z = = = 10 Ω Su diagrama fasorial es:. En este casoθ = 0, el fasor de voltaje ya ha girado a través de un ángulo de º + sen ( ) = 5º, así mismo, como la forma de onda de la 10 corriente alcanza cero en un ángulo de 0.54 radianes o 30º, a girado a través de un ángulo de 180º - 30º = 150º. Para cuando t = 0. vt () = 10 sen( ωt+ 5º) A it ( ) = 70 sen( ωt+ 150) A Por tanto, el voltaje adelanta a la corriente en = 75º, y se expresa así: = 10 5º = º A 70 = 150º = º A 63

65 Z El modulo de la impedancia será: m º = = = Ω ó Z = = º Ω º m Ejemplo # 4. En el circuito mostrado, utilizando el método fasorial, encontrar la respuesta de estado estable de la corriente total i(t) y construir el diagrama fasorial de tensiones. Solución: Primero hallamos la reactancia inductiva y capacitiva. 3 X = ωl= 100( ) = 10Ω X El circuito equivalente será. L C 1 1 = = = 1kΩ 6 ωc (100)(10 10 ) 64

66 X X = j10 j1k = 990Ω L C Z = 1 j990 = º Ω El voltaje efectivo será Entonces el fasor de Corriente será: ef 50 0º rms = = º º = = = Z º En el dominio del tiempo será: º A it ( ) = 0.05cos( ωt º ) A 65

67 METODOS SMPLFCADOS DE SOLUCÓN Capítulo De aquí en adelante analizaremos los circuitos ca en el dominio de la frecuencia por medio de fasores, pues resulta mucho mas sencillo que en el dominio del tiempo. 1. DSOR DE TENSÓN FASORAL. r r r Z r Z =, =, = Z Z Z Z Z Z Ejemplo # 1. En el circuito mostrado calcular la corriente y la tensión en cada elemento por el método de divisor de tensión. 67

68 Solución: Primero hallamos la impedancia equivalente del circuito. La tensión Total será. Zeq = Z1+ Z + Z3 = 10 + j0 j30 = 10 j10 Z = º Ω eq r = 1+ = º º = j35.36 = 50 45º La Corriente Total Será: r 50 45º = = = º = j3.536a Z º eq Por Divisor de Tensión tenemos: º R = 50 45º = = º = j º º 68

69 L C j0 (50 45º)(0 90º) = 50 45º = = º = º º j30 (50 45º)(30 90º) = 50 45º = = º = º º r = + + = j = j35.36 = + R L C 1 la tensión total será: Su Diagrama fasorial será. r = 50 45º 69

70 Ejemplo # : Dado el siguiente circuito, hallar = 100 0º 10 30º = (5 j º + j ) (100 0º)(10 30º) º = = (5 + j º ) º = º. DSOR DE CORRENTE FASORAL. Las impedancias en paralelo dividen la corriente total en la relación inversa de las impedancias (relación de las impedancias). 70

71 = Y = Y = Y eq 1 1 Caso Ramas: Z Z 1 1 =, = Z 1 + Z Z 1 + Z Caso 3 o mas Ramas: Y Y Y 1 3 n 1 =, =, 3 =,,,, n = Yeq Yeq Yeq Yeq Y Ejemplo # 3. En el circuito mostrado hallar la corriente en cada rama 71

72 Solución: Primero convertimos la mpedancia en admitancia. ZR = R = 0Ω G = 0.05mho r r r r r ZL = XL = j10 YL = j0.1 r r r r r Z = X = j5 Y = j0. C C C Y = 0.05 j0.1+ j0. = j0.1 = º Ω eq Luego por divisor de corriente hallamos la corriente en cada elemento. 1 1 r G 0.05 (6 30º)(0.05 0º ) = r = 630º = Y º Ω º Ω eq º = = º A º r YL j0.1 (6 30º)(0.1 90º) = = 630º = Y º Ω º eq º = = º A º r Y 0. (6 30º)(0. 90º ) C j = r = 630º = Y º Ω º Ω eq 1. 10º = = º A º T = = º º T = º 7

73 3. METODO DE TRANSFORMACÓN DE FUENTES AC. a) b) = + T 3 1 r r r r = + T

74 c) uur d) r = r Z = r. Z r Ejemplo # 4 Hallar la suma de las tensiones, expresados en voltios, cuyos valores instantáneos viene dados por. v 1 ( t ) = 35 sen ( ωt+ 45º ) v ( t ) = 100 sen ( ωt 30º ) Tomar como sentido de la suma: a) En primer lugar el sentido positivo de v 1 (t), b) segundo lugar el de v (t). 74

75 Solución: Primero transformamos las tensiones instantáneas en fasores. 35 v1( t) = 35 sen( ωt+ 45º ) 1 = 45º = º 100 v( t) = 100 sen( ωt 30º ) = 30º = º a) Tomando el sentido de v 1 (t) para el calculo de la suma se tiene. T = 1 = º º = ( j17.499) (61.36 j35.355) = j5.854 T T = º v ( t) = 68.6 sen( ωt º ) T v ( t) = 97 sen( ωt º ) T b) Tomando el sentido de v (t) para el calculo de la suma se tiene. ' T = 1 = º º ' = j5.854 = º T v ( t) = 97 sen( ωt 50.38º ) ' T 75

76 El diagrama fasorial será. 76

77 Capítulo MÉTODOS GENERAL DE SOLUCON DE REDES ELÉCTRCOS LNEALES Pasos para analizar circuitos de AC. Si está en el dominio del tiempo, transformar el circuito al dominio fasorial o al dominio de la frecuencia. Analizar el problema de la misma manera que en el análisis de circuitos cd. Transformar el fasor resultante al dominio del tiempo. 1. MÉTODOS DE LAS CORRENTES DE MALLAS. r = 0 r Lazo r r r Z = Ec. Matricial Sea el circuito en el dominio de la frecuencia, aplicando la ley de kirchhoff para las tensiones, se obtiene el sistema de ecuaciónes. Z 1 1+ Z ( 1 ) = 1 Z3 + Z 4( + 3) + Z ( 1) = 0 Z + Z ( + ) =

78 Z 11Z 1Z Z Z Z = Z 31Z 3Z 33 3 ( Z1+ Z) Z Z ( Z + Z + Z ) Z = Z4 ( Z4 Z5) + 3 mpedancia de entrada. Si tenemos un circuito con fuente única la impedancia de entrada es la relación entre la tensión aplicada y la intensidad de corriente que da lugar es decir: r Z Z = Δ ent, r = Δ r La impedancia de entrada de un circuito con elementos activos es en sus terminales de entrada, cuando todas sus fuentes de tensión ndependientes están cortocircuitado, eso si conservan su propia impedancia interna. Donde Δ Z, Δ rr son la impedancia de entrada tanto de un circuito pasivo como de un activo. mpedancia de transferencia Es la relación entre la tensión aplicada en una malla y la intensidad de la corriente que resulta en otra malla, anulando el resto de las fuentes. El doble subíndice r s nos indica que la fuente esta en la malla r y la intensidad a considerar es la que aparece en la malla ( s ). Donde Z transf, rs rr Δ = r Z = Δ s rs Δ rr es el determinante y adjunto de Z en Δ. rs Z 78

79 Ejemplo # 1 En el circuito mostrado hallar x usando el método de corrientes de malla. Solución: Si observamos la corriente 3, circula por la resistencia de 10Ω en sentido tal que x = 3 (10). Entonces hallamos el sistema de ecuación: 79

80 Malla (1) Malla () (7 + j3) + j5 + 5 = 10 0º 1 3 j5 + (1 + j3) ( j) = 5 30º 1 3 Malla (3) La ecuación matricial es: 5 ( j) + (17 j) = j3 j º j5 1+ j3 ( j) = 530º 5 ( j) 17 j 3 0 Resolviendo por determinantes j3 j5 100º j5 1+ j3 530º 5 + j º = = = º A 7+ j3 j º j5 1+ j3 + j 5 + j 17 j = (10) = º x 3. METODO DE TENSONES DE NODOS. La Ecuación matricial es: r r r Y = El procedimiento es igual que el anterior pero con admitancias, un circuito en el dominio de la frecuencia, con n nudos principales. Uno de 80