Operaciones con Matrices y vectores

Transcripción

1 Practica: Métodos iterativos para sistemas Operaciones con Matrices y vectores Definición de matriz Definición de vector Matriz por vector > a:=matrix(3,3,[,,3,,,,3,,]); > v:=[,,]; > w=evalm(a&*v); Inversa Producto de matrices Evaluación float > b:=matrix(3,3,[,,,,,,,,]); > b:=evalm(b^(-)); > c:=b&*b; > evalm(c); > evalf(b); #no funciona > bf:=evalf(evalm(b)); > > Producto por escalar Suma de matrices bf := b := > a:=matrix(3,3,[,,,,,,3,4,]); > c:=3*a; > evalm(c); 3 3 v := [,, ] w = [ 4, 6, 9] b := - c := - b &* b b c := 3 a Page

2 > b:=matrix(3,3,[,,,,,,,,]); b := > d:=a+b; d := a + b > evalm(a+b); Vectores como matrices columna > a:=matrix(3,3,[,,,,,,,,]); > v:=matrix(3,,[,,]); v := > w:=a&*v; w := a &* v > evalm(w); 4 > Page

3 Práctica Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones Dadas las matrices A = y los vectores 3 c = Ejercicio, B =..5 7., v = /5 /7 /8 /7 /4 /7 / Calcula de foma exacta y en forma de aproximación decimal (a) D = AB (b) A = A (c) H = A + B 3 3 (d) w = Bv + c (e) Si ( u () = v u (j+) = Bu (j) + c calcula una aproximación decimal de u (8). 3, (a) D = (b) A = (c) H = (d) w = (e) u (8) = Solución

4 Practica: Métodos iterativos para sistemas Ejercicio > a:=matrix(3,3,[,,3,,-,,,,-]); > b:=matrix(3,3,[-/5,/7,,/8,-/7,/4,,/7,-/]); b := > c:=[.,.5,7.]; c := [.,.5, 7. ] > v:=[,,3]; v := [,, 3] > d:=evalm(a&*b); d := > df:=evalf(evalm(d)); df := > a:=evalm(a^(-)); > af:=evalf(evalm(a)); af := > h:=/3*a+/3*b; h := + 3 a 3 b > hf:=evalf(evalm(h)); hf := > w:=evalm(b&*v+c); w := [ , , ] > u:=v; n:=7; for i from to n do u.(i+):=evalf(evalm(b&*u.i+c)); od; u := [,, 3] Page n := 7

5 > u := [ , , ] u := [ , , ] u3 := [ , , ] u4 := [ ,.84588, ] u5 := [ , , ] u6 := [ , , ] u7 := [ , , ] u8 := [ , , ] u9 := [ , , ] u := [ , , ] u := [ , , ] u := [ , , ] u3 := [ , , ] u4 := [ , , ] u5 := [ , , ] u6 := [ , , ] u7 := [ , , ] u8 := [ , , ] Page

6 Practica: Métodos iterativos para sistemas Libreria de álgebra lineal linalg > with(linalg); Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace [ BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion, concat, cond, copyinto, crossprod, curl, definite, delcols, delrows, det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects, entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselim, fibonacci, forwardsub, frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian, hilbert, htranspose, ihermite, indexfunc, innerprod, intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszero, jacobian, jordan, kernel, laplacian, leastsqrs, linsolve, matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, mulrow, multiply, norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals, smith, stack, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol, swaprow, sylvester, toeplitz, trace, transpose, vandermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian ] determinante, inversa > a:=matrix(,,[,,4,5]); 4 5 > a:=inverse(a); > d:=det(a); d := -3 > evalm(d*a); > b:=matrix(3,3,[,,x,,x,,,,]); x b := x > det(b); + x resolucion de sistemas lineales > a:=matrix(3,3,[,,,,-,,,3,3]); > b:=[,,]; b := [,, ] > s:=linsolve(a,b); - s :=,, > evalm(a&*s); [,, ] Función vectorial, jacobiano > f:=(x,y,z)->[x+y^,x*y-z,z^+y^]; f := ( x, y, z ) [ x+ y, xy z, z + y ] > f(,,3); [ 5, -, 3] > jf:=jacobian(f(x,y,z),[x,y,z]); Page

7 Sustitución en el jacobiano > v:=[,,3]; y jf := y x - y z v := [,, 3] > jfv:=subs({x=v[],y=v[],z=v[3]},evalm(jf)); > jfv := Page

8 Práctica Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones Ejercicio : Libreria linalg (a) Resuelve el sistema, calcula una aproximación decimal de la solución. (b) Define la función vectorial F x + y + z = x +5y z = 3 x 3y +4z =6 x y z = calcula la imágen del vector v = x 3 xz x xy + z x yz (c) Calcula el jacobiano de F y su valor en v. (d) Resuelve el sistema, calcula una aproximación decimal de la solución.. x +7y + z = 5x +5y z = 3 x 3y +4z =6 Solución (a) x = ,y = ,z = (b) F = 3 (c) J F = 3x z x y x z x z y, J F = (d) x = ,y = ,z =

9 Practica: Métodos iterativos para sistemas Ejercicio *********** (a) ********************* > with(linalg): a:=matrix(3,3,[,,,-,5,-,,-3,4]); b:=[,-3,6]; b := [, -3, 6 ] > s:=linsolve(a,b); s :=,, > sf:=evalf(evalm(s)); sf := [.37449, , ] ************ (b) ********************** > f:=(x,y,z)->[x^3-*x*z,x-*x*y+z^,x^-y*z]; f := ( x, y, z ) [ x 3 zx, x xy+ z, x yz] > f(,-,); [, 3, ] ************ (c) ********************** > jf:=jacobian(f(x,y,z),[x,y,z]); 3 x z x jf := y x z x z y > jfv:=subs({x=,y=-,z=},evalm(jf)); jfv := *********** (d) ************************* > a:=matrix(3,3,[,7,,-5,5,-,,-3,4]); b:=[-,-3,6]; s:=linsolve(a,b); sf:=evalf(evalm(s)); > b := [-, -3, 6 ] s :=,, sf := [.39464, , ] Page

10 Práctica Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones 3 Consideramos el sistema Ejercicio 3: Método iterativo lineal x + y + z = x +5y z = 3 x y +4z = (a) Define las matrices A y b de la forma matricial Ax = b (b) Define la matriz N correspondiente al método de jacobi (c) Calcula P = N A (d) Calcula M = N P (e) Calcula c = N b (f) Estudia la convergencia (g) Determina el número de iteraciones necesarias para obtener 6 decimales exactos, tomando x () = ~ (h) Calcula el valor aproximado (i) Calcula la solución exacta y verifica el resultado (j) Repite todos los pasos emplando ahora el método de Gauss-Seidel. (a) A = (c) P = (f) kmk = 5 5 4, b = Solución 3 (b) N = (d) M = <, el método es convergente 5 4 (e) c = (g) (.)j = j 8.747, necesitamos 9 iteraciones (h) Calculamos con 4 decimales x = , y = , z = (i) x = , y = , z = α x (9) =.7589 (j) x (9) =[ , , ]

11 Practica: Métodos iterativos para sistemas Ejercicio 3: Método iterativo lineal > with(linalg): Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace > a:=matrix(3,3,[,,,-,5,-,,-,4]); b:=[,-3,]; n:=matrix(3,3,[a[,],,,,a[,],,,,a[3,3]]); n:=inverse(n); p:=evalm(n-a); m:=evalm(n&*p); c:=evalm(n&*b); Convergencia > nm:=norm(m,infinity); nc:=norm(c,infinity); b := [, -3, ] n := n := p := m := 5 - c := ,, 5-5 nm := 5 3 nc := 5 M <, el método es convergente > ineq:=nm^j/(-nm)*nc<.5*^(-6); 3 ineq := j < > plot(ineq,j=5..,thickness=3); Page

12 j 8 9 gráficamente, j>8.7 > Digits:=4; a:=matrix(3,3,[,,,-,5,-,,-,4]); b:=[,-3,]; n:=matrix(3,3,[a[,],,,,a[,],,,,a[3,3]]); n:=inverse(n); p:=evalm(n-a); m:=evalm(n&*p); c:=evalm(n&*b); nmax:=8; x:=[,,]; for i from to nmax do x.(i+):=evalf(evalm(m&*x.i+c)); od; > Digits := b := [, -3, ] n := n := p := m := 5 - c := ,, 5 := nmax 8 Page - 5

13 x := [,, ] x := [., -.5, ] x := [ , , ] x3 := [.96, , ] x4 := [.979, , ] x5 := [ , , ] x6 := [ , , ] x7 := [ , , ] x8 := [ , , ] x9 := [ , , ] > s:=linsolve(a,b); s :=,, > sf:=evalf(evalm(s)); sf := [ , , ] > er9:=evalm(sf-x9); er9 := [ , , ] Método de Gauss-Seidel > Digits:=6; a:=matrix(3,3,[,,,-,5,-,,-,4]); b:=[,-3,]; n:=matrix(3,3,[a[,],,,a[,],a[,],,a[3,],a[3,],a[3,3]]); n:=inverse(n); p:=evalm(n-a); m:=evalm(n&*p); c:=evalm(n&*b); nmax:=8; x:=[,,]; for i from to nmax do x.(i+):=evalf(evalm(m&*x.i+c)); od; Digits := n := b := [, -3, ] n := p := m := c := ,, 5 6 Page 3

14 nmax := 8 x := [,, ] x := [., -.56, ] x := [ , , ] x3 := [ , , ] x4 := [ , , ] x5 := [ , , ] x6 := [ , , ] x7 := [ , , ] x8 := [ , , ] x9 := [ , , ] > er9:=evalm(sf-x9); > er9 := [-.3-3,.4-4,.6-5 ] Page 4

15 Práctica Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones 4 Ejercicio 4: Método Newton-Raphson Consideramos el sistema ( x + y =4 y =(x ) (a) Representa conjutamente las curvas y calcula una aproximación de los puntos de corte (b) Plantea el sistema como una ecación vectorial F(x) = (c) Define la función vectorial F(x) (d) Calcula el jacobiano (e) Escribe un programa que permita Ã! aplicar el método de Newton-Raphson,.8 toma como valor inicial x () =.7

16 Practica: Métodos iterativos para sistemas Ejercicio 4: Método de Newton-Raphson > with(plots): > eq:=x^+y^-4; eq:=y-(x-)^; eq := x + y 4 eq := y ( x ) > implicitplot({eq=,eq=},x=-..4,y=-..4); 4 3 y - x 3 - Solución de primer cuadrante x=.8, y=.7; > f:=unapply([eq,eq],x,y); f := ( x, y ) [ x + y 4, y ( x ) ] > with(linalg): > jf:=jacobian(f(x,y),[x,y]); x y jf := x + > x:=[.8,.7]; n:=3; for i from to n do `************`,i+,`*************`; jfx:=subs(x=x.i[],y=x.i[],evalm(jf)); x.(i+):=evalm(x.i-inverse(jfx)&*f(x.i[],x.i[])); od; x := [.8,.7 ] n := 3 ************,, ************* jfx := -.6 x := [ , ] jfx := ************,, ************* x := [ , ] jfx := ************, 3, ************* x3 := [ , ] Page

17 > jfx := ************, 4, ************* x4 := [ , ] Page