Asignaturas antecedentes y subsecuentes Ec. Diferenciales Ordinarias I

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1 PROGRAMA DE ESTUDIOS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Área a la que pertenece: Área Sustantiva Profesional Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Créditos: 8 Clave: F0041 Asignaturas antecedentes y subsecuentes Ec. Diferenciales Ordinarias I PRESENTACIÓN Las ecuaciones diferenciales parciales constituyen el lenguaje mediante el cual se describen los fenómenos físicos y en muchos casos su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matemáticas relevantes. En general, este tipo de ecuaciones aparecen en la mecánica de los medios continuos, en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimientos ondulatorios así como también, en problemas geométricos. OBJETIVO GENERAL El alumno adquirirá el conocimiento, la técnica y destreza necesarias para identificar, solucionar e interpretar los resultados de aplicar las ecuaciones diferenciales parciales en diversos campos de las ciencias. CONTENIDO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Objetivo Identificar y solucionar ecuaciones diferenciales parciales de particular primer orden y distinguir entre un problema de valor inicial y uno con condiciones a la frontera 1.1 Conceptos básicos en ecuaciones diferenciales parciales. - Clasificará a las ecuaciones F0041_Ecuaciones diferenciales Parciales 1/6

2 1.1.1 Orden de la ecuación Linealidad y no linealidad Homogeneidad y no homogeneidad Tipos de solución Problemas de valor inicial Problemas de contorno. 1.2 Solución de ecuaciones entre derivadas parciales de primer orden Ecuaciones lineales Ecuaciones no lineales. diferenciales parciales de acuerdo a su orden, linealidad o no linealidad, homogeneidad o no homogeneidad. - Diferenciará entre un problema de valor inicial y un problema de contorno. - Solucionará ecuaciones diferenciales parciales de orden uno 2 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN DOS Objetivo El alumno conocerá y empleará técnicas para solucionar particular ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden y deducirá algunas ecuaciones clásicas de la física matemática. 2.1 Ecuaciones lineales y clasificación Ecuaciones de tipo elípticas Ecuaciones de tipo hiperbólicas Ecuaciones de tipo parabólicas Solución de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden (soluciones generales y soluciones particulares por separación de variables). 2.2 Algunas ecuaciones relevantes de la física matemática Ecuacion de continuidad Ecuación de difusión del calor Ecuación de la cuerda vibrante Ecuación de Laplace -Sabrá clasificar ecuaciones lineales de segundo orden. _Solucionará ecuaciones diferenciales parciales de orden dos de manera general y empleando separación de variables. - Conocerá que una aplicación importante de las ecuaciones diferenciales parciales es el modelado de diversos problemas físicos. F0041_Ecuaciones diferenciales Parciales 2/6

3 3 FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER. Objetivo El alumno sabrá representar una función mediante una serie particular infinita de senos y cosenos, identificará y solucionará problemas de Sturm-Liouville. 3.1 Funciones ortogonales Función no diferenciable por partes Función diferenciable por partes Producto interno de funciones Funciones ortogonales Conjunto ortogonal de funciones Representación de una función mediante una serie de funciones ortogonales Norma de una función Conjunto ortonormal de funciones. 3.2 Series de Fourier Coeficientes de Fourier Convergencia de una serie de Fourier Extensión periódica. 3.3 Series de Fourier de cosenos y senos Funciones pares e impares y sus propiedades Series de Fourier de funciones pares e impares. 3.4 Aplicaciones a problemas de valor inicial. 3.5 Problemas de Sturm-Liouville Valores propios y funciones propias Serie de Fourier generalizada utilizando las funciones propias del problema de Sturm-Liouville - Sabrá identificar las condiciones para establecer la ortogonalidad y ortonormalidad de un conjunto de funciones. - Empleará la representación en series de Fourier para una función. F0041_Ecuaciones diferenciales Parciales 3/6

4 4 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CONTORNO UTILIZANDO EL METODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES. Objetivo El alumno aplicará la representación de las series de Fourier en la particular solución de problemas de valores a la frontera relacionados con algunas ecuaciones de la física matemática. 4.1 Problemas de contorno para la ecuación a del calor Condiciones iniciales y de contorno Problemas de valores a la frontera para las constantes de separación Solución al problema de valor inicial Solución a problemas de contorno. 4.2 Problemas de contorno para la ecuación de Laplace Ecuación de difusión multidimensional y estado estable Ecuación de Laplace en un rectángulo con condiciones a la frontera Problema de valor a la frontera para la constante de separación Condición de frontera no homogénea Ecuación de Laplace en un círculo con condiciones a la frontera. 4.3 Problemas de contorno para la ecuación de onda La cuerda vibrante Ondas electromagnéticas Cuerdas vibratorias y música Ondas viajeras. Resolverá problemas de valores a la frontera utilizando los desarrollos de Fourier para una función para las ecuaciones diferenciales parciales siguientes: - Ecuación de difusión del calor. - Ecuación de Laplace. - Ecuación de onda F0041_Ecuaciones diferenciales Parciales 4/6

5 Sugerencias didácticas En la unidad 1 se sugiere que el profesor: Instruya gradualmente al alumno en la solución de ecuaciones diferenciales parciales de orden uno iniciando con el caso lineal. Solucionar diversos problemas clasificándolos como de valor inicial o de contorno. En la unidad 2 se sugiere que el profesor: Analice junto con sus estudiantes los distintos tipos de ecuaciones diferenciales de la física matemática. Muestre la técnica del método de separación de variables para la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Muestre con múltiples ejemplos que el análisis de diversos problemas clásicos de la física conduce a la necesidad de resolver ecuaciones diferenciales parciales. De ser posible utilice material audiovisual para reforzar la técnica expositiva En la unidad 3 se sugiere que el profesor: Introduzca los conceptos básicos necesarios para la comprensión de las series de Fourier y su posterior manejo. Utilice la consideración de que una función es la generalización de un vector para ampliar los conceptos de producto interno y norma al caso de funciones. En la unidad 4 se sugiere que el profesor Analice el problema de Fourier para la conducción de calor y derivar de allí la necesidad de expandir una función en una serie trigonométrica. Resuelva problemas que ilustren la utilidad de las series de Fourier. Estrategias de evaluación del aprendizaje Se sugiere se tomen en cuenta los siguientes puntos para evaluar el logro del objetivo de esta asignatura. El profesor podrá designar un porcentaje a cada uno de estos. - Examen escrito - Exposiciones orales - Tareas - Trabajo en equipo F0041_Ecuaciones diferenciales Parciales 5/6

6 Bibliografía Básica. 1. Edwards, C.H. y D.E. Penney. Ecuaciones Diferenciales Elementales. Prentice- Hall Hispanoamericana. México H. Weinberger. A First Course in Partial Differential Equations. John Wiley and Sons. N.Y E. Kreyszig. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Tomo II. Limusa. México Spiegel, R. Murria. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Perntice Hall. México Tijonov y A. Samarsky. Ecuaciones de la Fìsica Matemática. Tercera Edición. Editorial MIR. Moscù, Rusia Complementaria. 1. Boyce, W. E. and Diprima, R. C. Ecuaciones Diferenciales Elementales y Problemas con valores a la Frontera. Prentice-Hall. México Zill, D. G. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta Edición. Internacional Thompson Editores. México Ruel, V. Churchill. Operational Mathematics. Third Edition. Mc Graw Hill. 4. Simmons, G. F. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas. Mc Graw Hill México F0041_Ecuaciones diferenciales Parciales 6/6