M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello

Transcripción

1 Solución de armaduras con matriz de rigidez M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello

2 Definición Armadura Cercha Celosía Es una estructura plana constituida por un conjunto de barras articuladas en forma triangulada que permite la rigidez de la estructura, cuyo sistema de carga esta integrado por fuerzas concentradas que actúan en las articulaciones, también llamadas nodos y que se ubican en el mismo plano de a armadura. En estas condiciones las barras de una armadura solo resistencias fuerzas axiales (normales). Reticulados

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4 Definición Al suponer que las cargas actúan en los nodos, al momento de hacer la bajada de cargas, el peso de cada una de las barras de la armadura, debe repartirse, por mitad, en cada uno de sus nodos extremos. Igualmente, al considerar que las barras están articuladas, la soldadura o los remaches deben ubicarse lo mas cercanos al nodo a fin de evitar que se presenten fuerzas internas que provoquen momentos flexionantes.

5 Definición

6 Nodo, unión o articulación

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8 Definicion Tipos de barras: a) Cuerda Superior: es el conjunto de barras que conforman la parte mas elevada de la estructura. Para solicitaciones de tipo gravitacional, normalmente, son piezas que trabajan a compresión. b) Cuerda Inferior: es el conjunto de barras que forman la parte mas baja de la estructura. Para solicitaciones gravitacionales generalmente trabajan a tensión. c) Montantes: denominados así a las barras verticales de una armadura. d) Diagonales: son las piezas que, como su nombre lo indica, tienen posición inclinada.

9 "Cometer errores es humano, pero para estropear realmente las cosas necesitas un ordenador El hundimiento del Hartford Coliseum (978) -- Paul Ehrlich Coste: 7 millones de dólares, más otros millones en daños a la economía local. Desastre: Sólo unas horas después de que miles de aficionados al hockey abandonaran el Hartford Coliseum, la estructura de acero de su techo se desplomaba debido al peso de la nieve. Causa: El desarrollador del software de diseño asistido (CAD) utilizado para diseñar el coliseo asumió incorrectamente que los soportes de acero del techo sólo debían aguantar la compresión de la propia estructura. Sin embargo, cuando uno de estos soportes se dobló debido al peso de la nieve, inició una reacción en cadena que hizo caer a las demás secciones del techo como si se tratara de piezas de dominó.

10 Paso : establecer la matriz de rigidez para cada miembro N x N y F x F y y Y x K = AE L λ x λ x λ y λ x λ x λ y λ x λ y λ y λ x λ y λ y λ x λ x λ y λ x λ x λ y λ x λ y λ y λ x λ y λ y N x N y F x F y F(x F, y F ) Øy Øx Donde: λ x = Cos x = X F X N L = X F X N X F X N + Y F Y N N(x N, y N ) X λ y = Cos y = Y F Y N L = Y F Y N X F X N + Y F Y N

11 Paso : establecer la matriz de rigidez para cada miembro (Ejemplo) λ x = Cos x = X F X N L = = 3 5 Y λ y = Cos y = Y F Y N L = = 4 5 F(3,4) Entonces: N x N y F x F y N(,) X K = AE L 9/5 /5 9/5 /5 /5 6/5 /5 6/5 9/5 /5 9/5 /5 /5 6/5 /5 6/5 N x N y F x F y

12 Paso : Ensamblar la matriz de rigidez global y 3 mts mts 3 (3,4) (,) (3,) Ton λ x λ x λ y λ x λ x λ y K = AE λ x λ y λ y λ x λ y λ y L λ x λ x λ y λ x λ x λ y λ x λ y λ y λ x λ y λ y x Miembro : Longitud 3 mts Miembro : Longitud 5 mts K = AE K = AE λ x = 3 3 = λ y = /3 /3 /3 /3 λ x = 3 5 = λ y = 4 5 = = /5 /5 /5 6/5 9/5 /5 /5 6/5 9/5 /5 /5 6/5 9/5 /5 /5 6/5 5 6

13 Paso : Ensamblar la matriz de rigidez global K = AE /3 /3 /3 / K Global = AE Entonces: K + K = K Global /375 /5 /3 /5 6/5 /3 /3 9/5 /5 /5 6/5 9/5 /5 /5 6/5 9/5 /5 /5 6/ K = AE /5 /5 /5 6/5 9/5 /5 /5 6/5 9/5 /5 /5 6/5 9/5 /5 /5 6/

14 Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez Q k Q u = K K K K D u D k Q k, D k = Se refiere a las cargas y los desplazamientos externos conocidos (Know); las cargas aquí sobre la armadura como parte del problema y los desplazamientos se especifican generalmente como iguales a cero debido a las restricciones de los apoyos. Q u, D u = Se refiere a las cargas y los desplazamientos externos Desconocidos (Unknow); las cargas representan a las reacciones en este caso y los desplazamientos en las nudos sin restricciones. Q k = k D u + K D k Q u = k D u + K D k Frecuentemente D k = ; ya que en los apoyos restringen los desplazamientos (Según sea el tipo de apoyo) Q k = k D u D u = (k ) - Q k Lo que a su vez Permitirá calcular Qu, Que son los esfuerzos tension Y compresión de cada barra Q u = k D u

15 Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez Q k Q u = K K K K D u D k Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 = AE 5/375 /5 /3 /5 6/5 /3 /3 9/5 /5 /5 6/5 9/5 /5 /5 6/5 9/5 /5 /5 6/5 D D

16 Paso 3.: Calculo de desplazamientos en nodos libres Q k = k D u 5 = AE D 6 D 5 5 Se propone resolver por método Gauss - Jordan 5/375 5/5 /5 6/5 (/9)D = - D = -9 (5/375)D + (5/5)D = (5/375) D + (5/5)(-9) = (5/375) D -8/5 = (5/375) D = 8/5 D = 9/ Efectuar (-9/38)F +F 5/375 5/5 /9 Ya que se tiene una matriz escalonada, procedemos A realizar una sustitución regresiva Por tanto los desplazamientos desconocidos en El nodo son: D u = AE 9/ 9

17 Paso 3.: Calculo de reacciones Q u = k D u + K D k Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 = AE /3 9/5 /5 /5 6/5 AE 9/ 9 + Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 = (AE) AE /3 9/ + 9 9/ + 9 9/5 9/ + /5 9 /5 9/ + 6/5 9 = 3/ 3/ Reacciones en los apoyos Q 3 3/ Q 4 = Q 5 3/ Q 6

18 Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros Usamos: q = AE L λ x λ y λ x λ y D Nx D Ny D Fx D Fy Miembro : λx = λy = L = 3 q = AE 3 AE 9/ 9 = AE 3AE ((-)(9/)+()(-9)+()()+()()) q = (/3)(-9/) = -3/ = -.5 TON (compresión)

19 Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros Miembro : λx = 3/5 λy = 4/5 L = 5 q = AE 5 3/5 4/5 3/5 4/5 AE 9/ 9 = AE 5AE ((-3/5)(9/)+(-4/5)(-9)+(3/5)()+(4/5)()) q = (/5)(5/) = 5/ =.5 TON (tensión)

20 Solución Final Ton 3/ Ton 4. MTS 9/AE -9/AE 3/ Ton 3. MTS Ton