4 Programación lineal

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1 4 Programación lineal Página 07 Página 6 Resolución de inecuaciones lineales B x + y = 0 y = 3x C y x Ì y = 3 D 0 4x + 3y = 0 a) F (x, y) = 4x + 3y se hace mínima en (0, 3) y máxima en C (4, 6). x + y > 0 D b) y x = 6 x = 0 c) x + y Ì 6 B x = y 3x + 4y = 3 C 0x + y = 0 x + y Ì 0 Resolución de sistemas de inecuaciones x + y = 0 y x = F (x, y) = 0x + y alcanza el valor máximo en el punto D (0, 6). 3 a) Hay que hacer 0 tartas de manzana y ninguna de nata. b) El máximo se consigue en cualquiera de estos puntos: (0, 0), (, 4), (3, 6), (6, ) y (9, ) (la primera coordenada indica las tartas de nata que habría que hacer y la segunda, las tartas de manzana). c) Hay que hacer tartas de nata y 4 de manzana. Página 7 x + y = 0 x + y = 6 Hazlo tú. Obtenemos el máximo en el punto (3, ). El mínimo está en el punto (, 0). 3

2 Hazlo tú. Obtenemos el máximo en el punto d, n. El mínimo está en el punto (0, 0). 3 Hazlo tú. El valor mínimo se obtiene en los puntos (0, 6), (, ), (, 4), (3, 3), (4, ) y (, ). No hay máximo. La función x + y se puede hacer tan grande como se quiera en el recinto propuesto. Página 4 Hazlo tú. Para minimizar el coste, hay que comprar envases de tipo y de tipo B. El coste mensual mínimo será Página 9 Hazlo tú. Deben facturarse toneladas de M y toneladas de M. 6 Hazlo tú. Cualquier cantidad de manzanas entre 00 kg y 6 kg y de naranjas entre 0 kg y 00 kg que verifique la igualdad 0,x + 0,y = 00 conseguirá un beneficio máximo. Página El máximo se alcanza en (00, 0) y vale 900. a) El máximo de F (x, y) se alcanza en (0, ); y el mínimo, en (0, 3). b) El máximo de G (x, y) se alcanza en (0, ); y el mínimo, en (3, ). 3 El máximo se alcanza en el punto (0, 6) y vale El mínimo se alcanza en el punto (3, ) y vale. No tiene máximo, pues hay puntos en la región en los que F (x, y) toma valores tan grandes como queramos. Hay infinitos puntos que hacen mínima la función: todos los que están sobre el segmento de recta x + y = 0, con 0 x 0. El máximo se alcanza en el punto (0, 0). 6 No existe máximo ni mínimo. 7 El máximo se alcanza en el punto (6, 0). El máximo vale z = = 0. El sistema de inecuaciones que representa el recinto es: x 0, y 0 x + y x + 3y 4 x + y 6 Página 0 7 Hazlo tú. Se deben fabricar 40 botes para etiquetas y 0 botes para carteles para maximizar el beneficio. x + y = 0 y + x = 0 y = 4 y x + = 0 El beneficio máximo será de x + y = 0 Página El máximo se alcanza en (, ) y es F (, ) = 9. El máximo se alcanza en (4, 3) y es F (4, 3) = Hay que contratar mecánicos y 60 electricistas para obtener un beneficio máximo. 4 na debe comprar solo 00 kg de fertilizante para realizar un gasto mínimo. Este gasto será de F ( 00, 0) = 00. a) F (x, y) alcanza el máximo en el punto d, 4n. F (x, y) alcanza el mínimo en el punto (0, 0). b) G (x, y) alcanza el máximo en el punto (, ) y vale G (, ) =. G (x, y) alcanza el mínimo en el punto (0, 0) y vale G (0, 0) = 0. 9 a) Hay infinitos puntos que hacen máxima la función: todos los puntos del lado que une los vértices (0, 0) y (, ). b) La función alcanza el máximo en el punto (0, 3). 3

3 0 a) x 3 y x + y b) 3x + y 0 x 0 y 0 c) x + y 0 d) 3x + y 90 0 x, x 7, x y 0 x y+ 0 y x y 000 x 0 y 0 x 0 a) La función toma su valor máximo (dentro de los válidos) en (7, 4); y su valor mínimo en (3, ). b) La función toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el punto (7,; 6,); y su valor mínimo en (,;,). c) La función toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en (40, 0). No hay máximo en esta región pues H (x, y) se puede hacer tan grande como se quiera en el recinto propuesto. Página 3 3 a) 4 a) x + y = x = 900 y = x y = b) Para que el beneficio sea máximo, se deben invertir 900 en acciones de tipo y 600 en acciones de tipo B. El beneficio máximo anual es de. 0 x + y = d) La función no toma un valor máximo ni mínimo en esta región. La función I (x, y) se puede hacer tan grande y tan pequeña como se quiera en el recinto propuesto. 0 x + y = 0 a) Las soluciones posibles son los puntos señalados en la siguiente figura: b) La función toma su valor máximo (dentro de los válidos) en (7, 6), y su valor mínimo en (3, ). c) G (x, y) alcanza el máximo en: (4, ), (6, 3), (, 4), (0, ), (, 6), (4, 7), (6, ); y alcanza el mínimo en: (3, 9), (, 0), (7, ), (9, ), (, 3), (3, 4), (, ) y (7, 6). Las posibles combinaciones de especialidades que pueden hacer se corresponden con los puntos de coordenadas enteras dentro de este recinto, incluida la frontera. b) Sí se cumplirían los requisitos si decidieran elaborar 3 imperiales y 9 de lima. c) Han de fabricar 0 tartas imperiales y de lima. Debe invertir en acciones de tipo y en acciones de tipo B. 6 Ha de fabricar 0 joyas de cada uno de los dos tipos. 7 Debe confeccionar 0 trajes y vestidos. Han de fabricarse chaquetas y pantalones. 9 Se deben mezclar /3 kg de pienso P con /3 kg de pienso P. 0 a) Cualquier cantidad de papel entre 0 t y 3, t y de papel entre 0 t y 4, t que verifique la igualdad x + 4y = conseguirá un beneficio máximo. b) En este caso, el beneficio máximo se consigue elaborando solo 6, t de papel tipo. 33

4 a) Llamamos x al número de casas de tipo e y al número de casas de tipo B. x + y = 0 x = 3y El conjunto de soluciones son todos los puntos de la región de validez cuyas coordenadas son números naturales. Son los puntos de la cuadrícula que están dentro de la región siguiente: 0 0 y = 0 4 y = 3x y = El punto (0, ) no está en la región, luego no se podrían extraer en un día 0 camiones de hulla y de antracita. b) Hay que extraer 60 camiones de hulla y 0 de antracita para maximizar las ganancias. 3 El máximo beneficio es de 70, y se alcanza vendiendo 0 paquetes de tipo y paquetes de tipo B. 4 Se deben transportar vagones de coches y 9 vagones de motos para maximizar el ingreso. Este ingreso máximo será de = 960. El mínimo coste se alcanza contratando 4 autobuses y ningún microbús. El valor del coste mínimo es de El coste mínimo, , se obtiene cuando la factoría F funciona días y la F funciona 4 días. 7 Se deben comprar, para minimizar los costes globales, kg de y 4 kg de B. 4 a) Hay que fabricar 9 mesas clásicas y 4 mesas modernas. 0 b) Es superfluo el dato que nos indica que no pueden fabricarse más de 7 mesas entre clásicas y modernas. 6 9 Se deben destinar, para minimizar el tiempo dedicado al cuidado del cultivo, m a coles y nada a lechugas x = 4 x + y = 0 b) Se deben construir 4 casas de tipo y 4 casas de tipo B para maximizar beneficios. Página 4 a) Llamamos x al número de camiones de hulla e y al número de camiones de antracita. El conjunto de soluciones son todos los puntos de la región de validez siguiente cuyas coordenadas son números naturales: El diseño de producción que maximiza los ingresos es en el que se producen 0 millones de litros de crianza y 40 millones de litros de reserva. Página 3 a) Deben fabricarse 0 tartas de tipo T y 0 tartas de tipo T. b) El precio de una tarta del tipo T será de. 3 Para minimizar los gastos debe funcionar 40 semanas la planta P y 0 semanas la planta P. El coste es Debe adquirir 00 acciones de cada una de las dos sociedades. 34

5 34 El reparto de locomotoras debe efectuarse como se indica en la tabla: B C total N 0 0 S total utoevaluación 90x + 60y = 440 C(, ) x = x + y = 7 90x + 60y = 0 y = 6 (, 6) B(, 6) x + y = 0 x + y = 3 B(0, 0) C(3, 0) (0, 6) x + y = 3 x + y = 0 x = 0 E(0, ) x + y = 3 D(0, 3) x y = 0 0 y = 0 a) F (0, 3) = = 3 es máximo de F. F (0, 6) = 6 es el valor mínimo de F en el recinto. b) G (3, 0) = = 3 es máximo de G. G (x, y) toma el valor mínimo en cualquier punto del segmento E. c) H (0, ) = 0 = 4 es máximo de H. H (0, 0) = 0 0 = es el valor mínimo de H en el recinto. d) I (3, 0) = = es máximo de I. I (0, 6) = = es mínimo de I. F (x, y) toma el valor máximo en B (, 6): F (, 6) = = 0 F (x, y) toma el valor mínimo en (, 6): F (, 6) = = No tiene ni máximo ni mínimo. 4 El beneficio máximo, que es de euros, se obtiene en el punto (6, ). Es decir, para obtener el beneficio máximo será necesario fabricar 600 metros de cable del tipo y 00 metros de cable del tipo B. Para minimizar los gastos, debe tomar barritas de chocolate y 3 de cereales. 3