El Álgebra Lineal detrás de Google

Transcripción

1 I Congreso Nacional de Estudiantes de Matemática Corrientes, Julio 2012

2 Facultad de Matemáticas Universidad de Barcelona Licenciatura en Matemática Master en Matemática Avanzada Doctorado en Matemática Otros masters y doctorados Ingenieria Informática

3 Programa de Álgebra Lineal (Ingeniería Informática) Polinomios Números complejos Sistemas lineales de ecuaciones Matrices Espacios vectoriales Subespacios, transformaciones lineales, etc, etc, etc. Valores y vectores propios Diagonalización

4 Para qué nos hacen estudiar todo esto???

5 Álgebra Lineal en la Informática Programación gráfica Teoría de grafos (redes sociales,...) Elaboración eficiente de filtros Inteligencia artificial Visión por ordenador...

6 Todo esto lo verán después!

7 El álgebra lineal detrás de Google es una variación de la palabra googol, que es el número Es un buscador de internet Fue diseñado en 1998 por dos alumnos de doctorado en informática en Stanford: Sergei Brin y Lawrence Page Atiende alrededor de de consultas diarias, tiene más de empleados en todo el mundo

8 Una gran familia El campus de Google (Googleplex) se encuentra en Menlo Park, Sillicon Valley, California Ocupa casi metros cuadrados Reclutamento constante de jóvenes talentos en todo el mundo

9 Google s got Talent

10 Cómo se diseña un buscador de internet? Es un problema de ingeniería matemática: 1 un buen conocimiento del contexto 2 un modelo matemático que lo explique 3 una cuidadosa y eficiente implementación

11 Trabajo básico de un buscador de internet Censar las páginas de internet de acceso público Indexar los datos censados de acuerdo a su importancia con respecto a las palabras claves Ordenar estos datos de acuerdo a su importancia con respecto a las palabras claves

12 También se requiere resistencia a la manipulación!

13 El algoritmo PageRank Califica páginas indexadas de acuerdo a su importancia dentro de la red Marca registrada de Google Lleva su nombre debido a su inventor Larry Page

14 El modelo PageRank El universo de páginas de internet públicas es un gran grafo dirigido donde cada página web es un nodo hay una arista orientada entre páginas que citan a otras páginas

15 La importancia de una página web Es alta si la citan muchas páginas La citan páginas importantes

16 Postulado PageRank La importancia x j de la página P j es proporcional a la suma de las importancias de las páginas que enlazan con P j

17 El álgebra lineal entra en acción M es la matriz de adyacencia del grafo de las páginas de internet El postulado Pagerank implica M t x = λ x

18 Vectores y valores propios! M t x = λ x λ es la constante de proporcionalidad un valor propio de M t x = (x 1, x 2,..., x N ) es el vector de importancias de las páginas censadas un vector propio de M t (asociado a λ)

19 Todo muy bonito, pero... Por qué debería tener valores propios reales M t? Cual de ellos elijo? Por qué habría de haber vectores propios todos positivos? Algún tipo de unicidad???

20 Teorema 1 (Perron, 1907) Si M tiene todas sus coeficientes positivos, entonces existe un valor propio simple λ > 0 tal que M t x = λ x, con x > 0; este valor propio es mayor, en módulo, que todos los demás valores propios de la matriz; cualquier otro vector propio positivo de M t es un múltiplo escalar de x

21 Pero... Nuestra matriz M está MUY lejos de ser positiva Qué hacemos?

22 Teorema 2 (Frobenius, ) Supongamos que M tiene entradas no negativas y además es irreducible. Entonces existe un valor propio simple λ > 0 tal que M t x = λ x, con x > 0; este valor propio es mayor o igual, en módulo, que todos los demás valores propios de la matriz; cualquier otro vector propio positivo de M t es un múltiplo escalar de x

23 Matrices irreducibles Una matriz cuadrada se dice irreducible si no existe ninguna permutación de sus filas y columnas que la transforme en ( ) M11 A 12, 0 M 22 con M 11 y M 22 matrices cuadradas

24 Matrices irreducibles = grafos fuertemente conexos Si se trata de la matriz de incidencia de un grafo dirigido, ser irreducible significa que puedo ir desde cualquier nodo a otro por un camino (dirigido)

25 Es el grafo de internet fuertemente conexo? Ni siquiera es conexo!

26 Solución a la Google Matemática aplicada! Perturbamos la matriz M donde U = c M + (1 c)u M c es un parámetro entre 0 y 1 (c google 0, 85) 1 1 N N... 1 N. 1 N... 1 N... 1 N

27 Del existencialismo al Cálculo No se necesitan Polinomios característicos Cálculos de raíces Descomposición en subespacios invariantes Álgebra Lineal Numérica!

28 Método de las potencias (usado por Google) Si hay un único valor propio λ de módulo máximo entonces, consideremos la siguiente sucesión x 0 = cualquier vector de R N x n+1 = Entonces Mt x n M t x n con probabilidad 1 lim n x n = x M lim t x n n x n = λ

29 La misma idea para otros problemas Clasificación para las eliminatorias de la NBA Modelos de evolución probabilística Dinámica de poblaciones Modelos económicos

30 Googleπlogo El objetivo de Brin y Page era que al menos una de las diez primeras páginas que se muestren contenga información útil para el que consulta Tuvieron exito? En 2004 el valor de Google en el mercado era de alrededor de U$D El algoritmo PageRank fue patentado por la Universidad de Stanford, y Google tiene derechos exclusivos sobre esa patente. Stanford recibió acciones por esa patente que fueron vendidos en 2005 por U$D Desde febrero de 2011 Google utiliza combinadamente los algoritmos PageRank y Google Panda

31 Qué hemos aprendido hoy? Grafos y sus propiedades Teoría de Grafos Matrices con entradas positivas Matrices estocásticas Cálculo computacional de vectores y valores propios Álgebra Lineal Numérica Teoremas de Perron y Frobenius Análisis funcional PageRank y Panda Algoritmos de búsqueda

32 Para saber más El secreto de Google y el Álgebra Lineal, P. Fernández, Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. 30 (2004), The $25, 000, 000, 000 Eigenvector: The Linear Algebra behind Google, Kurt Bryan & Tanya Leise, Siam Review 48 (3), , 2006 Les Matemàtiques de Google: l algorisme PageRank, Joan Gimbert, Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, Vol 26, 1, 211, 29 55

33 Muchas gracias