y saque conclusiones. Cómo reconstruiría la secuencia original? p j log 2 j p j

Transcripción

1 Compresión de Imágenes Digitales Departamento de Computación, FCEyN, UBA Práctica 1: Entropía, Huffman, PSNR, Cuantización Nota: los ejercicios marcados con ( ) son para hacer SIN computadora. Los archivos, imágenes y señales necesarias se encuentran en la página web de la materia. Ej 1. ( ) Dada una secuencia de números enteros grandes que cumplen la propiedad que dos números consecutivos están a lo sumo una distancia d uno del otro (d pequeño): piense una forma de disminuir la cantidad de bits necesaria para representar la secuencia (y sin perder información!). Aplique en la secuencia: 81329, 81328, 81326, 81325, 81324, 81323, 81323, y saque conclusiones. Cómo reconstruiría la secuencia original? Ej 2. Entropía ( ) Se define la entropía de una fuente S como: H = ( ) 1 p j log 2 j p j donde p j es la probabilidad de que aparezca el símbolo s j S. Dadas las siguientes cadenas de caracteres: i) AAAAAAAAAA ii) AAABBBCCCDDD iii) AAAAABBBBB iv) AAAAAAAABB v) AAAAABBBCC vi) AAABBBCCDD a) Calcular el histograma y graficarlo. b) Calcular la entropía y ordenar las secuencias de menor a mayor en entropía. Qué observa? Qué relación encuentra con las probabilidades de los símbolos? Qué secuencia será la más compresible?

2 c) Calcular la entropía de la secuencia del ejercicio anterior: 81329, 81328, 81326, 81325, 81324, 81323, 81323, y compare con la entropía de la secuencia transformada utilizando la distancia d entre símbolos. Cómo resulta la longitud promedio se la secuencia antes y después? Ej 3. Huffman ( ) a) Cuántos bits por símbolo se necesitan para poder representar la siguiente secuencia: AACAABDBAAABAAABCDAA. Calcule su longitud en bits. b) Codificar con Huffman la secuencia anterior y responder: i) Con cuántos bits se codifica cada símbolo? ii) Cuál es la entropía? iii) Cuál es la longitud de la secuencia codificada? iv) Cuál es la tasa de compresión comparando con (a)? c) Decodificar la secuencia utilizando los códigos obtenidos en (b). Ej 4. Elegir una imagen de la galería de imágenes de la página web de la materia. a) Graficar su histograma, calcular su entropía y estimar el tamaño de la imagen comprimida si se aplica Huffman. b) Codificarla utilizando Huffman y comparar el tamaño obtenido con la estimación. Por qué no coinciden? Justificar. c) Calcular la tasa de compresión. Verificar que la decodificación devuelva exactamente el archivo original. Ej 5. ( ) La entropía de la frase basta de chachara chata es 2,95. a) Contestar sin hacer los cálculos cuánto espera comprimir la frase por Huffman. Estimar el resultado en cantidad total de bits. 2

3 b) Se opta por codificar la frase dada con el método de Huffman por sílabas (los espacios se agregan a la sílaba que los precede). Calcular: i) La longitud media del código, la entropía de la frase por sílabas, la longitud total de la frase comprimida y la tasa de compresión lograda (la frase original estaba en ASCII utilizando 7 bits por caracter). ii) Comparar con el punto a) y explicar los supuestos teóricos de cada modelo. Ej 6. MSE y normas de error El error e y el error cuadrático medio (Mean Square Error) se definen como: e k = f(x k ) f(x k ) MSE = 1 N e 2 k a) Evaluar y graficar la función f(x) = 2 + sen(x) en el intervalo [ π, π] en los N + 1 puntos x i = π + i 2π, i = 0,..., N N dado N = 256. b) Evaluar y graficar la función f que resulta de alterar en un 10 % el valor de f(x i ) para i = 10, 20, 30,..., 100. c) Aplicar las medidas de error e 1 ; e 2 ; e entre f y f. Graficar. Calcular el MSE: Ej 7. PSNR Sea PSNR la razón señal pico / ruido: (peak signal to noise ratio) ( ) (rango de la señal) 2 P SNR = 10 log 10 MSE donde rango de la señal = 255 para imágenes de 8 bits. a) Cargar la imagen amber.pgm en memoria, alterar en 20 % el valor de varios píxeles en toda la imagen y calcular el MSE y PSNR respecto de la imagen original. db 3

4 b) Aumentar la cantidad de píxeles alterados hasta notar que la imagen cambia visualmente. Graficar el PSNR en función de la cantidad de píxeles modificados. Qué es lo que mide el PSNR? c) De un ejemplo de un par imágenes para las cuales el PSNR alcance su valor mínimo. Cuál es el rango de valores sobre el cual se mueve? Ej 8. Se tiene una imagen A que es comprimida con pérdida por 2 métodos: 1 y 2. Llamamos A 1 y A 2 a las imágenes reconstruidas por el método 1 y 2 respectivamente. Sea M i = MSE(A, A i ) y P i = P SNR(A, A i ) con i = 1, 2. a) Si P 1 P 2 = k, probar que M 2 = 10 k/10 M 1. b) En base a lo anterior, si se quiere aumentar en 3 db el P SNR conseguido por algún método, en qué proporción (aproximadamente) habrá que reducir el MSE? Ej 9. Submuestreo 1. Dada una imagen A se la divide en cuadrados de 4 4 píxeles, y cada cuadrado se representa únicamente con el píxel superior izquierdo. Cuál es la tasa de compresión lograda? 2. En base a la imagen comprimida, obtener una nueva imagen B que tenga el mismo tamaño que A. Calcular el MSE y PSNR entre las imágenes A y B. Ej 10. Cuantización Cuantizar: Q(x) = x q Decuantizar: x Q(x) q i) Cuantizar una imagen con un cuantizador uniforme de paso q = 20. Calcular la tasa de compresión lograda. ii) Reconstruir la imagen cuantizada y calcular MSE y PSNR. iii) Para distintos valores de paso calcular la tase de compresión y graficar el PSNR en función del paso. Analice los resultados. 4

5 Ej 11. Lloyd Max ( ) Se tiene una señal en el intervalo [a, b], cuyos valores x j tienen frecuencias p j, y donde a = min(x j ) y b = max(x j ). Se realiza una partición inicial del intervalo [a, b] en L intervalos iguales, con límites d 0 = a... d L = b. Luego se calcula un representante nuevo dentro de cada intervalo por Lloyd Max, y con estos representantes se cuantiza la señal. a) Probar que el promedio de la señal así cuantizada es igual al promedio de la señal dada. b) Puede afirmar que el método de cuantización Lloyd Max no altera el promedio de la señal dada? Ej 12. Elegir una imagen. Comparar gráficamente el desempeño tasa de compresión versus calidad visual de Lloyd-Max variando el número de clases. Hacer lo mismo con un cuantizador uniforme, e incluirlo en el mismo gráfico. Sacar conclusiones. Se pueden generalizar? Ejercicios adicionales Ej 13. ( ) Se tienen N símbolos cuyas probabilidades son p 1,..., p N. Probar que la entropía H verifica: H log 2 (N). Sugerencia: usar que el logaritmo es una función cóncava. Ej 14. ( ) Se tienen valores en el rango (-0.5, 7.5), y se aplica un cuantizador Q(x) = 3 round(x/3) a) Escribir los intervalos de cuantización y sus representantes. b) Graficar en 4 gráficos diferentes y con la misma escala para los 2 ejes: i) Q(x) ii) x Q(x) iii) (x Q(x)) 2 iv) x Q(x) 5

6 c) Sacar conclusiones sobre un cuantizador que minimiza la norma 2 (o la norma 1) del error. d) Ahora se quiere cuantizar el siguiente conjunto de valores de entrada: S = {0, 1, 4.4, 4.4, 4.4, 6}. Calcular el MSE. Luego, aplicar un paso de Lloyd Max hallando nuevos representantes, y calcular nuevamente el M SE. Qué observa? 6