Teoría de la Computabilidad

Transcripción

1 Teoría de la Computabilidad Santiago Figueira Departamento de Computación, FCEyN, UBA Primer cuatrimestre

2 Contenido clase 0 - Repaso de la parte de Computabilidad de LyC: p. 3 clase 1 - Funciones Primitivas recursivas, iteración, esqueleto de funciones primitivas recursivas, recursión anidada en varias variables: p. 27 clase 2 - Halting problem, Reducibilidades one-one y many one, Teorema de Rice, Teorema de Isomorfismo de Myhill, cilindros: p. 49 clase 3 - Conjuntos 1-completos, conjuntos productivos y creativos: p. 66 clase 4 - Reducibilidad tt, cómputos con oráculo, principio del uso: p. 79 clase 5 - Teorema del Salto, Lema del Límite, grados Turing: p. 94 clase 6 - Jerarquía Aritmética, Teorema de Post, Conjuntos Σ n-completos: p. 109 clase 7 - Problema de Post, Conjuntos simples: p. 127 clase 8 - Conjuntos hipersimples, funciones computablemente mayoradas: p. 139 clase 9 - Conjuntos bajos, solución al problema de Post: p. 148 clase 10 (opcional) - Aleatoriedad y Computabilidad: p

3 Teoría de la Computabilidad Clase 0 Repaso de la parte de Computabilidad de LyC 3

4 Organización de la materia 3 puntos para Licenciatura en Computación, 3 puntos para Doctorado en Computación correlativa: LyC Lunes de 13 a 17 en aula 11 del pab. I Evaluación: seguramente un parcial y un trabajo final. 4

5 Bibliografía En orden de importancia Robert I. Soare, Recursively Enumberable Sets and Degrees: A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets (Perspectives in Mathematical Logic), Springer, Hartley Rogers, Theory of Recursive Functions and Effective Computability, The MIT Press, Piergiorgio Odifreddi, Classical Recursion Theory, Vol. 1 (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Vol. 125), North Holland, Piergiorgio Odifreddi, Classical Recursion Theory, Vol. 2 (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Vol. 143), North Holland, Martin Davis, Ron Sigal, Elaine Weyuker, Computability, Complexity and Languages, fundamentals of theoretical computer science, Elsevier,

6 Composición y recursión primitiva Definición Sea f : N k N y g 1,..., g k : N n N. h : N n N se obtiene a partir de f y g 1,..., g k por composición si h(x 1,..., x n ) = f (g 1 (x 1,..., x n ),..., g k (x 1,..., x n )) Definición h : N n+1 N se obtiene de g : N n+2 N y f : N n N por recursión primitiva si h(x 1,..., x n, 0) = f (x 1,..., x n ) h(x 1,..., x n, t + 1) = g(t, x 1,..., x n, h(x 1,..., x n, t)) 6

7 Funciones primitivas recursivas P 1 Funciones iniciales O(x) = 0 S(x) = x + 1 I n i (x 1,..., x n ) = x i para todo n 1 y i {1,..., n} Definición La clase P 1 de funciones primitivas recursivas es la clase de funciones más chica: conteniendo las funciones iniciales cerrada por composición cerrada por recursión primitiva 7

8 Ejemplos de funciones en P 1 funciones aritméticas básicas: suma, resta, producto, potencia conectivos booleanos:,, (verdadero se interpreta como 1 y falso como 0) predicados aritméticos básicos: =, definición por casos: si g 1,..., g m, h P 1 y p 1,..., p m P 1 son predicados mutuamente excluyentes entonces también está en P 1 la función g 1 ( x) si p 1 ( x). f ( x) = g m ( x) si p m ( x) h( x) si no sumatorias y productorias: si f P 1 entonces también están en P 1 las funciones y y g(y, x) = f (t, x) y h(y, x) = f (t, x) t=0 t=0 8

9 Ejemplos de funciones en P 1 cuantificadores acotados: si p P 1 es un predicado entonces también están en P 1 : ( t) y p(t, x) y ( t) y p(t, x) minimización acotada: si p P 1 es un predicado entonces también está en P 1 la función mínimo t y tal que si existe tal t p(t, x) es verdadero mín p(t, x) = t y y + 1 si no codificación y decodificación de k-uplas: x 1,..., x k π i (z) codificación y decodificación de secuencias: [x 1,..., x n ] z[i] 9

10 Recursión course-of-value Teorema P 1 está cerrada por recursión course-of-value en donde la definición de f ( x, y + 1) involucra no solo el último valor f ( x, y) sino también cualquier número (quizá todos) los valores (f ( x, z)) z y. Más formalmente, si definimos la función de historia ˆf ( x, y) = [f ( x, 0),..., f ( x, y)], tenemos que si g, h P 1 entonces también está en P 1 la función f definida como: f ( x, 0) = g( x) f ( x, y + 1) = h( x, y, ˆf ( x, y)) 10

11 Recursión simultánea Teorema P 1 está cerrada por recursión simultánea en donde un número finito de funciones f 1,..., f n se definen simultáneamente y la definición de f m ( x, y + 1) puede involucrar no solo f m ( x, y) sino también cualquier número (quizá todos) los valores (f i ( x, y)) 1 i n. 11

12 Funciones parciales Una función parcial es simplemente una función que puede indefinirse en algunos (quizá todos) sus argumentos. Una función parcial es total si se define para todos sus argumentos. Las funciones primitivas recursivas son totales. Solo trabajamos con funciones N k N. Notamos f ( x) cuando f está definida en x f ( x) cuando f está indefinida en x El dominio de una función es conjunto de argumentos en el que la función se define: dom f = { x : f ( x) }. Si f y g son funciones parciales, por f ( x) = g( x) nos referimos a [f ( x) g( x) ] [f ( x) g( x) f ( x) = g( x) ]. }{{}}{{} N N 12

13 Máquinas de Turing q Se compone de : una cinta dividida en celdas infinita en ambas direcciones cada celda contiene un símbolo de un alfabeto dado Σ. Σ L, R / Σ representa el blanco en una celda L y R son símbolos reservados (representarán acciones que puede realizar la cabeza) una cabeza lee y escribe un símbolo a la vez se mueve una posición a la izquierda o una posición a la derecha una tabla finita de instrucciones dice qué hacer en cada paso 13

14 Tabla de instrucciones Σ es el alfabeto. L, R / Σ, Σ. Q es el conjunto finito de estados A = Σ {L, R} es el conjunto de acciones un símbolo s Σ se interpreta como escribir s en la posición actual L se interpreta como mover la cabeza una posición hacia la izquierda R se interpreta como mover la cabeza una posición hacia la derecha Una tabla de instrucciones T es un subconjunto (finito) de La tupla se interpreta como Q Σ A Q (q, s, a, q ) T Si la máquina está en el estado q leyendo en la cinta el símbolo s, entonces realiza la acción a y pasa al estado q 14

15 Máquinas de Turing Una máquina de Turing es una tupla donde (Σ, Q, T, q 0, q f ) Σ (finito) es el conjunto símbolos (L, R / Σ, Σ) Q (finito) es el conjunto de estados tiene dos estados distinguidos: q 0 Q es el estado inicial q f Q es el estado final T Q Σ Σ {L, R} Q es la tabla de instrucciones va a ser finita porque Σ y Q lo son cuando no hay restricciones sobre T decimos que M es una máquina de Turing no determinísitca cuando no hay dos instrucciones en T que empiezan con las mismas primeras dos coordenadas, decimos que M es una máquina de Turing determinísitca Si no decimos nada, es una máquina de Turing determinística. 15

16 Representación de números y tuplas en la cinta Fijamos Σ = {, 1}. representaremos a los números naturales en unario (con palotes). el número x N se representa como x = }{{} x+1 representamos a las tuplas (x 1,..., x n ) como lista de (representaciones de) los x i separados por blanco la tupla (x1,..., x n ) se representa como x 1 x 2 x n 16

17 Funciones parciales computables Una función (parcial) f : N n N es parcial computable si existe una máquina de Turing determinística M = (Σ, Q, T, q 0, q f ) con Σ = {, 1} tal que cuando empieza en la configuración inicial... x 1 x 2... x n... (con los enteros x i representados en unario y nada más en la cinta de entrada salvo la representación de la entrada): si f (x 1,..., x n ) entonces siguiendo sus instrucciones en T llega a una configuración final de la forma... f (x 1,..., x n )... q f (quizá algo más en la cinta) si f (x 1,..., x n ) entonces nunca termina en el estado q f. Una función es computable si es parcial computable y total. 17 q 0

18 Enumeración de las máquinas de Turing Habiendo fijado Σ, q 0, q f, cada máquina de Turing puede ser identificada por su tabla de instrucciones. Una tabla de instrucciones es un conjunto finito de 4-uplas. Cada tabla de instrucciones (i.e. cada máquina) puede ser codificado de manera efectiva por un número. Definición M e es la máquina de Turing con tabla de instrucciones con código e. ϕ (n) e es la función parcial de n variables computada por la máquina M e. Abreviamos ϕ (1) = ϕ. Notación: ϕ e es la e-ésima función parcial computable e es el índice o código o número de Gödel de ϕ e. 18

19 Teoremas de Forma Normal y de Enumeración Teorema (Forma Normal) Existe un predicado T (e, x, t) y una función U(y) primitivos recursivos tal que ϕ e (x) = U(mín T (e, x, t)). t Teorema (Enumeración, existencia de máquina universal) Para cada n 1 hay una función parcial computable de n + 1 variables, ϕ (n+1) z n, tal que ϕ z (n+1) n (e, x 1,..., x n ) = ϕ (n) e (x 1,..., x n ). 19

20 Teorema del Parámetro (TP) Teorema Para cada m, n 1 existe una función primitiva recursiva 1-1 s m n de m + 1 variables tal que para todo y 1,..., y m, z 1,..., z n N, ϕ s m n (x,y 1,...,y m)(z 1,..., z n ) = ϕ x (y 1,..., y m, z 1,..., z n ). 20

21 Teorema de la Recursión (TR) Teorema Para cualquier función computable f existe un n N (llamado punto fijo de f ) tal que ϕ n = ϕ f (n). Teorema (Recursión con parámetros) Para cualquier función computable f : N 2 N existe una función computable n : N N tal que ϕ n(y) = ϕ f (n(y),y). Demostración. Definir d computable tal que { ϕ ϕ d(x,y) (z) = ϕx (x,y)(z) si ϕ x (x, y) si no Sea v tal que ϕ v (x, y) = f (d(x, y), y). Definir n(y) = d(v, y). ϕ n(y) = ϕ d(v,y) = ϕ ϕv (v,y) = ϕ f (d(v,y),y) = ϕ f (n(y),y). 21

22 Conjuntos, secuencias, cadenas Cuando hablamos de un conjunto de naturales A pensamos siempre en la función característica de ese conjunto. { 1 si x A A(x) = 0 si no Así, un conjunto puede ser computable o primitivo recursivo. A puede ser visto también como una secuencia infinita de 0s y 1s: A(0) A(1) A(2) A(3) A(4) A(5) {0, 1} Los primeros n bits de A (visto como tira de 0s y 1s) es A n = A(0) A(1)... A(n 1) Las cadenas finitas de 0s y 1s pueden ser vistas como conjuntos finitos. 22

23 Ejecución de a pasos Definición Notamos ϕ e,s (x) = y si x, y, e < s e y es la salida de la máquina con código e ejecutada por < s pasos. si tal y existe, decimos que ϕ e,s (x) converge (ϕ e,s (x) ). en caso contrario decimos que ϕ e,s (x) diverge (ϕ e,s (x) ). Teorema Los siguientes conjuntos son computables: { e, x, s : ϕ e,s (x) } { e, x, y, s : ϕ e,s (x) = y} 23

24 Conjuntos computablemente enumerables Definición Un conjunto A N es comptuablemente enumerable (c.e.) si A es el dominio de alguna función parcial computable. El e-ésimo conjunto c.e. se denota W e = dom ϕ e = {x : ϕ e (x) } = {x : ( t) T (e, x, t)} W e,s = dom ϕ e,s (por convención si x W e,s entonces x, e < s). Teorema A es computable sii A y A son c.e. Teorema Si f es parcial computable y A es c.e. entonces f 1 (A) es c.e. 24

25 Caracterizaciones de los conjuntos c.e. Teorema Si A, son equivalentes: 1. A es r.e. 2. A es el rango de una función primitiva recursiva 3. A es el rango de una función computable 4. A es el rango de una función parcial computable 25

26 Una función computable que no es primitiva recursiva Se pueden enumerar las funciones primitivas recursivas de 1 variable: ψ 1, ψ 2,... Teorema (Enumeración de funciones primitivas recursivas) Hay una función f computable de 2 variables tal que f (e, x) = ψ e (x). Analicemos g : N N definida como g(x) = f (x, x). claramente g es computable porque f lo es. supongamos que g P 1 entonces h(x) = g(x) + 1 = f (x, x) + 1 P1 existe un e tal que ψ e = h tenemos f (e, x) = h(x) = f (x, x) + 1 e está fijo pero x es variable instanciando x = e llegamos a un absurdo por qué esto no funciona para funciones parciales computables en vez de primitivas recursivas? 26

27 Teoría de la Computabilidad Clase 1 Funciones Primitivas recursivas, iteración, esqueleto de funciones primitivas recursivas, recursión anidada en varias variables 27

28 Composición y recursión primitiva Definición Sea f : N k N y g 1,..., g k : N n N. h : N n N se obtiene a partir de f y g 1,..., g k por composición si h(x 1,..., x n ) = f (g 1 (x 1,..., x n ),..., g k (x 1,..., x n )) Definición h : N n+1 N se obtiene de g : N n+2 N y f : N n N por recursión primitiva si h(x 1,..., x n, 0) = f (x 1,..., x n ) h(x 1,..., x n, t + 1) = g(t, x 1,..., x n, h(x 1,..., x n, t)) 28

29 Funciones primitivas recursivas P 1 Funciones iniciales O(x) = 0 S(x) = x + 1 I n i (x 1,..., x n ) = x i para todo n 1 y i {1,..., n} Definición La clase P 1 de funciones primitivas recursivas es la clase de funciones más chica: conteniendo las funciones iniciales cerrada por composición cerrada por recursión primitiva 29

30 Recursión anidada en una variable Definición f se define a partir de g 1,..., g n por recursión anidada en una variable si f ( x, 0) = g( x) f ( x, y) = h( x, y) donde h( x, y) es un término numérico construido por números naturales n las variables x e y las funciones g 1,..., g m el símbolo f los valores de f usados en la definición de f ( x, y) son de la forma f ( t, s) donde s tiene un valor numérico < y Teorema P 1 está cerrada por recursión anidada en una variable. 30

31 Caracterización alternativa de P 1 Definición Una función f se define por iteración a partir de t si f (x, n) = t (n) (x) donde t (n) denota el resultado de n aplicaciones sucesivas de t (por convención t (0) (x) = x). Teorema La clase de funciones primitivas recursivas es la clase más chica: conteniendo las funciones iniciales y funciones de codificación y decodificación de pares cerrada por composición cerrada por iteración 31

32 Caracterización alternativa de P 1 (demo) Sea C la clase más chica de funciones que satisfacen las condiciones del teorema. C P 1 Las funciones de codificación y decodificación son primitivas recursivas. La iteración f (x, n) = t (n) (x) es un caso especial de recursión primitiva: f (x, 0) = x f (x, n + 1) = t(f (x, n)) P 1 C Hay que ver que C es cerrada por recursión primitiva. Observar que C tiene cod./decod. de pares y composición, por lo tanto tiene cod./decod. de n-uplas para cualquier n fijo. Sean g, h C y sea f definida como f ( x, 0) = g( x) f ( x, y + 1) = h( x, y, f ( x, y)) Basta ver que esta función está en C: s( x, n) = x, n, f ( x, n) 32

33 La función s( x, 0) = x, 0, f ( x, 0) = x, 0, g( x) está en C porque g y están en C. Podemos transformar en s( x, n) = x, n, f ( x, n) }{{} z s( x, n + 1) = x, n + 1, f ( x, n + 1) = x, n + 1, h( x, n, f ( x, n) ) }{{} z con esta función, que también está en C: t( x, n, z) = x, n + 1, h( x, n, z). Como C está cerrada por iteración, está en C esta función: s( x, n) = t (n) (s( x, 0)). 33

34 La familia de funciones (h n ) n N Sea h 0 (x) = x + 1 y h n+1 (x) = h n (x) (x) Proposición x h n (x). Demostración. Por inducción en n. Para n = 0 es trivial. Para n + 1, suponer ( z) z h n (z). Es fácil probar por inducción en m que x h n (m) (x). En particular x h n (x) (x) = h n+1 (x). 34

35 Propiedades de (h n ) n N Proposición Si n m y x > 0 entonces h n (x) h m (x). Demostración. Basta probar ( x > 0) h n (x) h n+1 (x) = h n (x) (x). Basta probar h n (z) h n (m) (z) por inducción en m > 0. Para m = 1 es trivial. Para m + 1, h n (z) h n (m) (z) por HI h n (h n (m) (z)) por Proposición de pág. 34 = h n (m+1) (z) 35

36 Propiedades de (h n ) n N Proposición Si x y entonces h n (x) h n (y). Demostración. Por inducción en n. Para n = 0 es trivial. Para n + 1, h n+1 (x) = h n (x) (x) h n (y) (x) por Proposición de pág. 34 (y x veces) h n (y) (y) por HI (y veces) = h n+1 (y). 36

37 Propiedades de (h n ) n N Proposición h 1 (x) = 2x. Demostración. Basta probar h (m) 0 (x) = x + m por inducción en m. Para m = 0 es trivial. Para m + 1, h (m+1) 0 (x) = h 0 (h (m) 0 (x)) = h 0 (x + m) por HI = (x + m) + 1 porque h 0 (z) = z + 1 = x + (m + 1). 37

38 Propiedades de (h n ) n N Proposición h 2 (x) = x 2 x. Demostración. Basta probar h (m) 1 (x) = x 2 m por inducción en m. Para m = 0 es trivial. Para m + 1, h (m+1) 1 (x) = h 1 (h (m) 1 (x)) = h 1 (x 2 m ) por HI = (x 2 m ) 2 porque h 1 (z) = 2z = x 2 m+1 38

39 Todas las h n son primitivas recursivas Teorema Para cada n, h n es primitiva recursiva. Demostración. Obvio, pues la función sucesor está en P 1 y P 1 está cerrada por iteración. 39

40 Cada función primitiva recursiva es dominada por alguna h n Teorema Para cada f primitiva recursiva, hay un n tal que f ( x) h n ( x) para casi todo x. Demostración. Por inducción en la caracterización alternativa de P 1 (pág. 31). Veamos que: las funciones iniciales y las funciones de codificación y decodificación lo cumplen si h, g 1,..., g m lo cumplen, f ( x) = h(g 1 ( x),..., g m ( x)) también lo cumple si t lo cumple, f (x, y) = t (y) (x) también lo cumple. 40

41 Cada función primitiva recursiva es dominada por alguna h n Funciones iniciales, codificación y decodificación O(x) = 0 está dominada por h 0 S(x) = x + 1 está dominada por h 0 I n i (x 1,..., x n ) = x i está dominada por h 0 porque I n i (x 1,..., x n ) j x j h 0 j x j x, y = 2 x (y + 1) 1 está dominada por h 2 porque h 2 (x + y) = (x + y) 2 x+y 2 x (y + 1) 1 para casi todo x, y. π 1 (x), π 2 (x) x, dominadas por h 0 (x) 41

42 Cada función primitiva recursiva es dominada por alguna h n Composición Supongamos que f ( x) = h(g 1 ( x),..., g m ( x)) y por HI tenemos que para un n 2 suficientemente grande (usar Proposición de pág. 35), g i ( x) h n ( x) para casi todo x y h( y) h n ( y) para casi todo y. f ( x) = h(g 1 ( x),..., g m ( x)) h n ( 1 i m g i( x)) por HI sobre h h n ( 1 i m h n( x)) por HI sobre g i y Prop. pág. 36 = h n (m h n ( x)) h n (h 2 (h n ( x))) si m x y porque h 2 (z) = z 2 z h n (h n (h n ( x))) por n 2 y Props. págs. 35 y 36 = h n (3) ( x) h ( x) n ( x) si 3 x y Prop. pág. 34 = h n+1 ( x) 42

43 Cada función primitiva recursiva es dominada por alguna h n Iteración Supongamos que f (x, y) = t (y) (x) y por HI para algún n, t(x) h n (x) para casi todo x. f (x, y) = t (y) (x) n (x) por HI y veces y Prop. pág. 36 h n (x+y) (x + y) por Props. págs. 34 y 36 = h n+1 (x + y) h (y) 43

44 La función diagonal domina a cualquier primitiva recursiva Teorema La función diagonal d(x) = h x (x) domina toda función primitiva recursiva N N. Demostración. Sea f una función primitiva recursiva. Existe n tal que para casi todo x, f (x) h n (x) h x (x) si x > n y por Prop. de pág. 35 = d(x) Entonces para casi todo x, f (x) d(x). Corolario d no es primitiva recursiva. Demostración. Si lo fuera, d(x) + 1 también lo sería. Por teorema anterior, para casi todo x tenemos d(x) + 1 d(x). Absurdo. 44

45 Recursión anidada en n variables Sea lex el orden lexicográfico de N n. Definición f se define a partir de g 1,..., g n por recursión anidada en n variables si f ( x, 0) = g( x) ( 0 N n ) f ( x, y) = h( x, y) ( y N n, y 0) donde h( x, y) es un término numérico construido por números naturales las variables x e y las funciones g 1,..., g m el símbolo f los valores de f usados en la definición de f ( x, y) son de la forma f ( t, s) donde s N n tiene un valor numérico < lex y. 45

46 Funciones n-primitivas recursivas P n Definición La clase P n de funciones n-primitivas recursivas es la clase de funciones más chica: conteniendo las funciones iniciales cerrada por composición cerrada por recursión anidada en a lo sumo n variables 46

47 P 1 no está cerrado por recursión anidada en 2 variables Teorema P 1 P 2. Demostración. Las funciones (h n ) n N se pueden describir así: h 0 (x) = x + 1 h n (0) (x) = x h n (z+1) (x) = h n (h n (z) h n+1 (x) = h n (x) (x) Se pueden ver como una única función h(n, z, x) = h (z) n (x) (x)) definidas por recursión anidada en las variables n y z (pensar h n como h (1) n ): h(n, 0, x) = x h(n + 1, 1, x) = h(n, x, x) h(0, 1, x) = x + 1 h(n, z + 1, x) = h(n, 1, h(n, z, x)) Si h fuese primitiva recursiva, también lo sería d(x) = h x (x) = h(x, 1, x) y esto contradice el Teorema de pág

48 Jerarquía de funciones n-recursivas El resultado anterior se puede generalizar. Teorema Para todo n, P n P n+1. 48

49 Teoría de la Computabilidad Clase 2 Halting problem, Reducibilidades one-one y many one, Teorema de Rice, Teorema de Isomorfismo de Myhill, cilindros 49

50 K, el Halting Problem Definición K = {x : ϕ x (x) } = {x : x W x }. Teorema K es c.e. Demostración. g(x) = ϕ x (x) es una función parcial computable. K = dom g. Teorema K es no es computable. Demostración. Si K fuera computable, entonces esta función también lo sería: { ϕ x (x) + 1 si x K f (x) = 0 si no Pero f ϕ x para todo x. Absurdo. 50

51 K 0, otro Halting Problem Definición K 0 := { x, y : ϕ x (y) } Proposición K 0 es c.e. Demostración. g( x, y ) = ϕ x (y) es una función parcial computable. K 0 = dom g. Corolario K 0 es no es computable. Demostración. x K sii x, x K 0. Si K 0 fuera computable, también lo sería K. 51

52 Reducibilidades many-one y one-one La demostración del corolario anterior sugiere un método indirecto para demostrar resultados de indecidibilidad de nuevos conjuntos: reducir K a esos conjuntos. Definición A es many-one reducible a B (A m B) si hay una función computable f tal que x A sii f (x) B. A es one-one reducible a B (A 1 B) si A m B vía una función 1-1 (i.e. inyectiva) Informalmente, A m B si A es a lo sumo tan difícil como B. Conociendo B puedo computar A. Para todo x, haciendo una sola pregunta a B, decido si x A o x / A. La pregunta es: f (x) B? 52

53 Propiedades de 1 y m Proposición 1 y m son reflexivas y transitivas. Demostración. Ejercicio. Proposición 1. A 1 B A m B 2. A 1 B A 1 B 3. A m B A m B 4. Si A m B y B computable, entonces A es computable 5. Si A m B y B c.e., entonces A es c.e. Demostración 1,2,3. Ejercicio. 53

54 4. Si A m B y B computable, entonces A es computable: Supongamos que f es computable tal que x A sii f (x) B. Como B es computable, la función característica de A, definida como A(x) = B(f (x)) también lo es. 5. Si A m B y B c.e., entonces A es c.e.: Supongamos A m B vía f. Sea R computable tal que Entonces x B sii ( y) R(x, y). x A sii f (x) B sii ( y) computable {}}{ R(f (x), y). 54

55 Más propiedades de 1 y m Proposición 1. Existen A, B incomparables con respecto a m (A m B y B m A) 2. Existen A, B no computables e incomparables con respecto a m Demostración. 1. m N y N m. 2. Considerar K y K. K es c.e. pero K no es c.e. Por teorema anterior (5) K m K. Por teorema anterior (3) K m K. Corolario A m B A m B. Demostración. Tomar A = B = K. 55

56 Grados m y grados 1 Definición A m B si A m B y B m A A 1 B si A 1 B y B 1 A deg 1 (A) = {B : B 1 A} es el grado 1 de A deg m (A) = {B : B m A} es el grado m de A 56

57 Semiretículo superior (upper semilattice) Un semiretículo superior L = (L,, ) es un conjunto parcialmente ordenado tal que cada par de elementos tiene un least upper bound (lub). c L es un lub de a, b L si: a c b c si d L verifica a d y b d entonces c d Al lub de a y b también se lo llama supremo o join. Si a y b son elementos de L entonces a b denota el lub de a y b. 57

58 m forma un semiretículo superior Definición A B = {2x : x A} {2x + 1 : x B}. Proposición El orden de m forma un semiretículo superior sobre deg m. Es decir, cualesquiera dos grados m tienen un lub. Demostración. Veamos que deg m (A B) es el lub de deg m (A) y deg m (B) en el orden m. A m A B vía λx.2x B m A B vía λx.2x + 1 supongamos C tal que A m C vía f y B m C vía g. Entonces A B m C vía h definida como h(2x) = f (x) h(2x + 1) = g(x) 58

59 Más conjuntos indecidibles Teorema K 1 Tot := {x : ϕ x es una función total} Demostración. Definir la función parcial computable { 1 si x K g(x, y) = sino Por el Teorema del Parámetro, existe una función 1-1 computable f tal que ϕ f (x) (y) = g(x, y). x K ϕ f (x) = λy.1 f (x) Tot x / K ϕ f (x) = λy. f (x) / Tot Entonces x K sii f (x) Tot. 59

60 Teorema de Rice Definición A N es un conjunto de índices si para todo x, y, si x A y ϕ x = ϕ y entonces y A. Teorema (Rice) Si A es un conjunto de índices no trivial (i.e. A, N) entonces A no es computable. Demostración. Sea b tal que ( x) ϕ b (x). Supongamos que b A y probemos que K 1 A (del mismo modo, si b A entonces K 1 A). Como A, sea a A. Como A es un conjunto de índices, ϕ a ϕ b. Por el TR, sea f una función computable 1-1 tal que { ϕ a (y) si x K ϕ f (x) (y) = si no x K ϕ f (x) = ϕ a f (x) A x K ϕ f (x) = ϕ b f (x) A 60

61 Permutaciones computables Definición Una permutación computable es una función N N computable biyectiva. Una propiedad es computablemente invariante si es invariante bajo cualquier permutación computable. Ejemplos de propiedades computablemente invariantes: A es c.e. #A = n A es computable Ejemplos de propiedades no computablemente invariantes: 2 A A contiene solo números pares A es un conjunto de índices Definición A es computablemente isomorfo a B (A B) si hay una permutación computable p tal que A = p(b). Es decir, x A sii p(x) B. 61

62 Teorema de Isomorfismo de Myhill Teorema A B sii A 1 B. Demostración Trivial. Sea A 1 B vía f y B 1 A vía g. Definimos permutación computable h por etapas. h = s h s. h 0 =. Cada h s es finita, 1-1, y cumple x A sii h s (x) B para x dom h s Paso 1: f (0) = 2 h1 (0) = 2 Paso 2: g(0) = 1 h 1 2 (0) = 1 o sea h 2(1) = 0 Paso 3: h3 (1) ya está definido: h 3 (1) = h 2 (1) = 0 Paso 4: g(1) = 4 h 1 4 (1) = 4 Paso 5: f (2) = 1 f (4) = 3 h5 (2) = f h 1 1 f (1) = 3 62

63 Formalizamos la demostración de Supongamos definida h s y definamos h s+1 de esta manera: si s + 1 = 2x + 1, definir h s+1 (x). Si h s (x) está definido, no hacer nada. Si no, enumerar {f (x), f (hs 1 f (x)),..., f (hs 1 f ) n (x),... } hasta encontrar el primer y / rg h s. Definir h s+1 (x) = y. Observar que h s+1 es finita, 1-1 y x A sii y B. si s + 1 = 2x + 2, definir h 1 (x) de forma similar, cambiando f g hs hs 1 dom hs rg h s Vamos a clasificar conjuntos módulo permutaciones computable (lo mismo pasa en algebra: clasifica estructuras módulo isomorfismo). 63

64 Cilindros Definición A es un cilindro si A B N para algún B. Teorema 1. A 1 A N 2. A N m A (por lo tanto A m A N) 3. A es un cilindro sii ( B) [B m A B 1 A] 4. A m B sii A N 1 B N Demostración 1. Ejercicio. 2. Ejercicio. 64

65 3. A es un cilindro sii ( B) [B m A B 1 A]: Sea A C N y supongamos que B m A. Entonces B m C vía alguna función computable f. Sea g(x) = f (x), x. g es 1-1 x B sii g(x) C N Entonces B 1 C N 1 A. De 2 sabemos que A N m A. Por hipótesis, A N 1 A. De 1 sabemos A 1 A N. Luego A 1 A N. Por Teorema de Isomorfismo, A A N, de modo que A es un cilindro. 4. A m B sii A N 1 B N: Supongamos A m B. Entonces A N m A m B 1 B N. Luego A N m B N. Por 3 (y porque B N es trivialmente un cilindro), A N 1 B N. Supongamos que A N 1 B N. Tenemos A 1 A N 1 B N m B. 65

66 Teoría de la Computabilidad Clase 3 Conjuntos 1-completos, conjuntos productivos y creativos 66

67 Conjuntos 1-completos Definición Un conjunto c.e. A es r-completo (r {1, m}) si W e r A para todo e. Recordar Proposición K 0 es 1-completo. Demostración. x W e sii e, x K 0. K 0 := { x, y : ϕ x (y) }. Como K es c.e., tenemos K 1 K 0 (esto ya lo habíamos probado por otro lado antes). 67

68 K 1 K 0 Ya vimos K 1 K 0. Proposición K 0 1 K. Demostración. Misma idea que demostración de K 1 Tot funciona. Definir la función parcial computable { 1 si x K 0 g(x, z) = sino Por el Teorema del Parámetro, existe una función 1-1 computable f tal que ϕ f (x) (z) = g(x, z). x K 0 ϕ f (x) = λz.1 f (x) K x / K 0 ϕ f (x) = λz. f (x) / K Entonces x K 0 sii f (x) K. 68

69 K, K 0 y K 1 son 1-completos Definición K 1 := {x : W x }. Proposición K 1 K 1. Demostración. Ejercicio. Como K 1 es c.e. y K 0 es 1-completo, K 1 1 K 0. Ya habíamos visto K 1 K 0 y K 1 K 1. Entonces K 1 K 0 1 K 1 Corolario K, K 0 y K 1 son 1-completos. 69

70 Conjuntos productivos y creativos Una forma de ver que K no es c.e. es el hecho de que dado el índice de un conjunto W c.e. incluido en K uno puede obtener un número que está en K pero no en W : Definición W x K x K \ W x. Un conjunto P es productivo si existe una función parcial computable ψ, llamada función productiva para P, tal que ( x)[w x P [ψ(x) ψ(x) P \ W x ]]. Un conjunto C es creativo si es c.e. y C es productivo. Por ejemplo, K es creativo vía la identidad ψ(x) = x. Idea: un conjunto C es creativo si es efectivamente no computable: para cualquier candidato W x para C, ψ(x) es un contraejemplo efectivo. 70

71 Conjuntos productivos Proposición Cualquier conjunto productivo es productivo vía una función total. Demostración. Sea P productivo vía ψ. Por el TP, sea g computable tal que { 1 si ψ(x) ϕ x (y) ϕ g(x) (y) = si no Entonces W g(x) = { W x si ψ(x) si no Definir q(x) como ψ(x) o ψ(g(x)), la que converja primero. W x P ψ(x) W g(x) = W x P es productivo vía q q es total: ψ(x) q(x) ψ(x) Wg(x) = P ψ(g(x)) q(x) 71

72 Conjuntos productivos Proposición Cualquier conjunto productivo es productivo vía una función 1-1 total. Demostración Sea P productivo vía q total. Veamos cómo convertir q en p 1-1. Sea h computable tal que { 1 si ϕ x (y) y = q(x) ϕ h(x) (y) = si no Tenemos W h(x) = W x {q(x)}. Observar que W x P W h(x) P ( n) W h (n) (x) P y W h (n) (x) = W x {q(x), qh(x),..., qh (n 1) (x)} 72

73 Transformamos q total en p total y 1-1. Definimos p(0), p(1),... en ese orden. Definir p(0) = q(0). Para x > 0, computar p(x) así: enumerar {q(x), qh(x), qh (2) (x),... } hasta que ocurre alguno de estos dos casos: 1. algún qh (n) (x) / {p(0),..., p(x 1)}. Definir p(x) = qh (n) (x). supongamos W x P. Como W h (n) (x) P entonces p(x) = qh (n) (x) P \ W h (n) (x) P \ W x 2. existe m < n tal que qh (m) (x) = qh (n) (x) Veamos que Wx P: Supongamos W x P W x P (mismo argumento de arriba) ( k) qh (k) (x) P \ W h (k) (x) En particular, qh (n) (x) P \ W h (x). (n) Pero qh (m) (x) W h (n) (x) por definición. Absurdo. Entonces da lo mismo cómo definir p(x). Basta con que sea un número adecuado para que p no deje de ser 1-1. Por ejemplo, p(x) = mín{y : y / {p(0),..., p(x 1)}}. 73

74 Conjuntos Productivos Teorema Si P es productivo entonces 1. P no es c.e. 2. P contiene un conjunto c.e. infinito W 3. si P m A entonces A es productivo Demostración 1. Inmediato (ejercicio). 2. Sea P productivo vía p total y 1-1. Sea W n =. Por TP sea h 1-1 tal que W h(x) = W x {p(x)}. Definir W = {p(n), ph(n), ph (2) (n),... } W es c.e. W es infinito porque p y h son 1-1 W P porque P es productivo vía p (ver observación p. 72) 74

75 3. Sea P m A vía f. Sea P productivo vía p total. Sea g computable tal que { 0 si f (y) W x ϕ g(x) (y) = si no Tenemos W g(x) = f 1 (W x ) = {y : f (y) W x } Veamos que A es productivo vía fpg: W x A f 1 (W x ) f 1 (A) como x P f (x) A, entonces f 1 (A) P entonces Wg(x) P luego pg(x) P \ Wg(x) veamos que fpg(x) A \ Wx : pg(x) P fpg(x) A pg(x) / W g(x) fpg(x) / W x 75

76 Productivo implica 1 K Teorema Si P es productivo entonces K 1 P. Demostración. Sea P productivo vía p total y 1-1. Por TP definir f computable tal que { {p(x)} si y K W f (x,y) = si no Por TR con parámetros, existe una función computable n 1-1 tal que { {pn(y)} si y K W n(y) = W f (n(y),y) = si no y K W n(y) = {pn(y)} W n(y) P pn(y) P y K W n(y) = W n(y) P pn(y) P Entonces K 1 P vía λy.pn(y). 76

77 Creativo implica 1-completo Corolario Si C es creativo, entonces C es 1-completo. Demostración. C es c.e. y C es productivo. Entonces por teorema anterior K 1 C. Entonces K 1 C. Como K es 1-completo, C es 1-completo. 77

78 Equivalencias Corolario Los siguientes son equivalentes: 1. P es productivo 2. K 1 P 3. K m P Demostración. 1 2 sale de teorema de pág es trivial. 3 1 sale del hecho de que K es productivo y teorema de pág. 74. Corolario Los siguientes son equivalentes: 1. C es creativo 2. C es 1-completo 3. C es m-completo 78

79 Teoría de la Computabilidad Clase 4 Reducibilidad tt, cómputos con oráculo, principio del uso 79

80 Tablas de verdad Definición Una tabla de verdad k-aria es una función {0, 1} k {0, 1}. Un par x, α, x N k y α una tabla de verdad k-aria es una tt-condición Una tt-condición (x 1,..., x n ), α es satisfecha por A si α(a(x 1 ),..., A(x k )) = 1. Por ejemplo, α = (n, m), α es satisfecha por A sii n A y m A Las tablas de verdad son objetos finitos. Las tt-condiciones también. Suponemos una codificación de las tt-condiciones con N. 80

81 Reducibilidad tabla de verdad (truth table) Sabemos que K, K y K K están en clases m distintas. Pero intuitivamente son interreducibles. Definición A es truth table reducible a B (A tt B) si hay una función computable f tal que para todo x x A sii la tt-condición (codificada por) f (x) es satisfecha por B Por ejemplo, para todo A: A tt A vía la función f (x) que codifica la tt-condición x, α, donde α(0) = 1, α(1) = 0. A tt A A vía la función f (x) que codifica la tt-condición 2x + 1, α, donde α(0) = 0, α(1) = 1. A A tt A vía f (2x) = x, α, donde α(0) = 0, α(1) = 1; f (2x + 1) = x, α, donde α(0) = 1, α(1) = 0. 81

82 Propiedades de tt Definición A tt B si A tt B y B tt A. Definición Un conjunto c.e. A es tt-completo si W e tt A para todo e. Teorema 1. A m B A tt B 2. A tt A (por lo tanto A tt A) 3. tt forma un semiretículo superior 4. Si A tt B y B computable, entonces A es computable 5. Si A es computable entonces ( B) A tt B Demostración. Ejercicio. 82

83 tt tampoco alcanza Consideremos C = {x : ϕ x (x) y la tt-condición ϕ x (x) es satisfecha por K} Intuitivamente C es reducible a K, es decir pero... Proposición C tt K. C intuitivamente K, Demostración. Supongamos C tt K. Entonces C tt K vía ϕ e total. e C sii ϕ e (e) es satisfecho por K porque C tt K sii e C por definición de C 83

84 Máquinas de Turing una cinta dividida en celdas infinita en ambas direcciones cada celda contiene un símbolo de un alfabeto dado Σ. Σ L, R / Σ representa el blanco en una celda L y R son símbolos reservados (representarán acciones que puede realizar la cabeza) una cabeza lee y escribe un símbolo a la vez se mueve una posición a la izquierda o una posición a la derecha una tabla finita de instrucciones dice qué hacer en cada paso 84

85 Máquinas de Turing Una máquina de Turing (determinística) es una tupla donde (Σ, Q, δ, q 0, q f ) Σ (finito) es el conjunto símbolos (Fijamos Σ = {, 1}) Q (finito) es el conjunto de estados tiene dos estados distinguidos: q 0 Q es el estado inicial q f Q es el estado final δ : Q Σ Q Σ {R, L} es la tabla de instrucciones o programa va a ser finita porque Σ y Q lo son δ(q, s) = (q, s, d) se interpreta como Si la máquina está en el estado q leyendo en la cinta el símbolo s, entonces escribe s sobre s, se mueve hacia la izquierda si d = L o derecha si d = R, y pasa al estado q 85

86 Máquinas de Turing con oráculo Es una Máquina de Turing con una cinta adicional que es solo de lectura. la nueva cinta se llama cinta oracular (fijamos Σ = {, 0, 1}) la vieja cinta se llama cinta de trabajo y funciona igual que antes (fijamos Σ = {, 1}) La nueva tabla de instrucciones o programa de una máquina de Turing oracular es una función δ : Q Σ Σ Q Σ {R, L} δ(q, s, x) = (q, s, d) se interpreta como Si la máquina está en el estado q leyendo en la cinta el símbolo s y en la cinta oracular está el símbolo x, entonces escribe s sobre s en la cinta de trabajo, pasa al estado q y se mueve hacia la izquierda si d = L o derecha si d = R en ambas cintas 86

87 Enumeración de máquinas con oráculo Igual que antes, los programas se pueden enumerar: Φ e es el e-ésimo programa, o la e-ésima máquina de Turing oracular. Φ e necesita dos entradas una entrada finita x 1,..., x n para la cinta de trabajo una entrada posiblemente infinita A N para la cinta oracular Se suele escribir Φ A e (x 1,..., x n ) para referirse a la e-ésima máquina de Turing oracular con oráculo A y entrada x 1,..., x n. 87

88 Configuración inicial Se codifica la entrada x 1,..., x n como antes (sobre alfabeto Σ = {, 1}) el oráculo A como una lista de ceros y unos A(0), A(1), A(2)... (sobre alfabeto Σ = {, 0, 1}). Como siempre { 1 si n A A(n) = 0 si no La configuración inicial es esta:... x 1 x 2... x n... q 0... A(0) A(1) A(2) A(3)... (con los números x i representados en unario) 88

89 Cómputos relativos a oráculos Definición Una función parcial f es Turing computable en A (o A-computable), notado f T A, si existe un programa e tal que es decir: f (x 1,..., x n ) = Φ A e (x 1,..., x n ), si f (x 1,..., x n ) entonces Φ A e (x 1,..., x n ), partiendo de la configuración inicial y siguiendo sus instrucciones, llega a una configuración final de la forma... f (x 1,..., x n )... q f (quizá algo más en la cinta de trabajo; recordar que la cinta oracular es solo de lectura y se mueve a la par de la cinta de trabajo) si f (x 1,..., x n ) entonces Φ A e (x 1,..., x n ) nunca llega al estado final. 89

90 El uso En cualquier cómputo Φ A e (x 1,..., x n ) la máquina e solo mira una cantidad finta de elementos del oráculo. Sea y + 1 el máximo número de celdas no consultadas durante ese cómputo. Decimos que los elementos z y son usados en el cómputo. Definición Notamos Φ A e,s(x) = y para x, y, e < s, s > 0, si Φ A e (x) = y en < s pasos y usando solo números z < s del oráculo. Notamos Φ A e,s(x) para x, y, e < s, s > 0, si Φ A e,s(x) = y para algún y. El uso u(a, e, x, s) se define como 1+el máximo número usado u(a, e, x, s) = en el cómputo Φ A si Φ A e,s(x) e,s(x) 0 si no Para σ {0, 1}, notamos Φ σ e,s(x) = y, si Φ A e,s(x) = y para algún A σ, y solo elementos menores a σ son usados en este último cómputo. 90

91 Propiedades del uso Si Φ A e,s(x) = y entonces x, y, e < s y u(a, e, x, s) s Φ σ e,s(x) = y donde σ = A u(a, e, x, s) ( t s) [Φ A e,t(x) = y u(a, e, x, s) = u(a, e, x, t)] Habíamos definido u(a, e, x, s). Definición u(a, e, x) es u(a, e, x) = { u(a, e, x, s) si Φ A e,s(x) para algún s si no 91

92 El principio del uso (use principle) Teorema 1. Φ A e (x) = y ( s)( σ A) Φ σ e,s(x) = y 2. Φ σ e,s(x) = y ( t s)( τ σ) Φ τ e,t(x) = y 3. Φ σ e (x) = y ( A σ) Φ A e (x) = y Corolario Si Φ A e,s(x) = y y B u = A u entonces Φ B e,s(x) = y, donde u = u(a, e, x, s). 92

93 Propiedades de Φ A e y Φ σ e Teorema 1. { e, σ, x, s : Φ σ e,s(x) } es computable 2. { e, σ, x : Φ σ e (x) } es c.e. Teorema Son funciones parciales A-computables: 1. λe, s, x.φ A e,s(x) (esta no es total) { 1 si Φ A 2. λe, s, x. e,s(x) (esta es total) 0 si no 93

94 Teoría de la Computabilidad Clase 5 Teorema del Salto, Lema del Límite, grados Turing 94

95 Relativizaciones de resultados conocidos Teorema (Teorema del Parámetro Relativizado - TPR) Para cada m, n 1 existe una función primitiva recursiva 1-1 s m n de m + 1 variables tal que para todo A N y para todo y 1,..., y m, z 1,..., z n N, Φ A s m n (x,y 1,...,y m) (z 1,..., z n ) = Φ A x (y 1,..., y m, z 1,..., z n ) Teorema (Teorema de la Recursión Relativizado - TRR) Para cualquier función A-computable f : N 2 N existe una función computable n tal que Φ A n(y) = ΦA f (n(y),y). Es más, la definición de n no depende de A. Es decir, si f (x, y) = Φ A e (x, y) entonces n se puede definir uniformemente en e. 95

96 Conjuntos A-computables, A-c.e. y Σ A 1 Definición W A e = dom Φ A e W A e,s = dom Φ A e,s W σ e = dom Φ σ e W σ e,s = dom Φ σ e,s Definición B es computable en A (o A-computable), notado B T A, si B = Φ A e para algún e. notamos A T B cuando A T B y B T A notamos A <T B cuando A T B y B T A notamos degt (A) = {B : B T A} B es c.e. en A (o A-c.e. ) si B = We A para algún e B es de la forma Σ A 1 (abreviado B ΣA 1 ) cuando B = {x : ( y) R A (x, y)} para algún predicado A-computable R A. 96

97 Convención Definimos Φ A e,s de modo que Φ A e,s(x) x, e < s Si B es A-c.e., entonces B = dom Φ A e para algún e. Tenemos una A-enumeración natural de B. En general se la nota (B s ) s N y está definida como B s = dom Φ A e,s {0,..., s 1}. En realidad, B s abrevia una función A-computable b : N N tal que b(s) = codificación de B s usando N B s satisface para todo x, B(x) = ĺım s ( n)( s) B n = B s n B s (x) 97

98 Equivalencias entre A-c.e. y Σ A 1 Teorema Son equivalentes: 1. B es A-c.e. 2. B es Σ A 1 3. B = o B es el rango de alguna función A-computable Demostración 1 2 Sea B = dom Φ A e entonces B = {x : ( s) Φ A e,s(x) }. Recordar que { 1 si Φ A λe, s, x. e,s(x) 0 si no es A-computable. 98

99 2 3 Sea b B y sea B = {x : ( y) R A (x, y)}. Supongamos R A es (n + 1)-ario. Definimos la función A-computable { x si R A (x, y 1,..., y n ) f ( x, y 1,..., y n ) = b si no veamos que x B ( z) f (z) = x: x B ( y) R A (x, y) f ( x, y ) = x veamos que ( z) f (z) B: Sea z = x, y. R A (x, y) f (z) = b B R A (x, y) x B. Luego f (z) = f ( x, y ) = x B 3 1 Sea e tal que Φ A e (N) = B. Definir la función parcial { 0 si ( x, s) Φ A f (y) = e,s(x) = y si no f es parcial A-computable y dom f = B. 99

100 Relativizaciones de resultados anteriores Teorema Si B es A-computable entonces B también. Teorema Si B es A-computable entonces B es A-c.e. Teorema (Complementación) Si B y B son A-c.e. entonces B es A-computable. 100

101 El salto Recordar que Se pueden relativizar K = {x : ϕ x (x) } = {x : x W x } K 0 = { x, y : ϕ x (y) } K A = {x : Φ A x (x) } = {x : x W A x } K A 0 = { x, y : Φ A x (y) } Definición El salto (jump) de A, notado A, se define como A = K A = {x : Φ A x (x) } = {x : x W A x } A (n) es el n-esimo salto de A. Se define como A (0) = A y A (n+1) = (A (n) ). Observar que = K. Teorema K A 1 K A 0 101

102 El Teorema del Salto (TS) Teorema 1. A es A-c.e. 2. A T A 3. B es A-c.e. sii B 1 A 4. si A es B-c.e. y B T C entonces A es C-c.e. 5. B T A sii B 1 A 6. si B T A entonces B 1 A 7. A es B-c.e. sii A es B-c.e. 102

103 Demostración del Teorema del Salto 1. A es A-c.e.: La función parcial f (x) = Φ A x (x) es A-computable y dom f = A. Entonces A es A-c.e. 2. A T A: Supongamos que A es A-computable. Entonces A es A-c.e. Luego existe e tal que W A e = A = {x : x / W A x }. Entonces e We A sii e / We A. Absurdo. 3. B es A-c.e. sii B 1 A : Existe e tal que B = We A = dom Φ A e. Entonces x B sii Φ A e (x) sii x, e K0 A. Como λx. x, e es 1-1, entonces B 1 K0 A. Además, K 0 A 1 K A = A. Supongamos f computable tal que x B sii f (x) A. Entonces x B sii Φ A f (x)(f (x)). La función parcial λx.φ A f (x)(f (x)) es A-computable, entonces su dominio (que es B) es A-c.e. 103

104 Demostración del Teorema del Salto 4. si A es B-c.e. y B T C entonces A es C-c.e.: Por Teorema pág. 97, si A, A es el rango de una función f tal que f T B. Como B T C entonces f T C. Luego A es el rango de una función C-computable. 5. B T A sii B 1 A : Por TS1 B es B-c.e. Como B T A, por TS4, B es A-c.e. Por TS3, B 1 A. B, B 1 A (ejercicio). Por TS3 B y B son A-c.e. Por Teorema de Complementación (pág. 101), B T A. 6. si B T A entonces B 1 A : Directo de TS5. 7. A es B-c.e. sii A es B-c.e. Directo de TS4. 104

105 Lema del ĺımite Teorema Para toda función total f, f T A sii hay una función A-computable g de dos variables tal que f (x) = ĺım s g(x, s). Demostración Supongamos que f = Φ A e. Por TS1 A es A-c.e. Sea (A s) s N una enumeración A-computable de A. Definir: { Φ A s e,s(x) si Φ A s e,s(x) g(x, s) = 0 si no Claramente g T A. Sea t suficientemente grande tal que ( z t) [Φ A t z e,t (x) A t z = A z] Entonces para todo s t tenemos Φ A s z e,s (x) = Φ A s z e (x) = Φ A z e (x) = Φ A e (x) = f (x) Luego ĺım s g(x, s) = f (x). 105

106 Sup. f (x) = ĺım s g(x, s) para g A-computable. Definir A x = {s : ( t) [s t g(x, t) g(x, t + 1)]} A x es finito porque existe el ĺımite ĺım s g(x, s) s / A x ( t s) g(x, t) = g(x, t + 1) g(x, s) = f (x) B = { s, x : s A x } = {z : ( t) [π 1 (z) t g(π 2 (z), t) g(π 2 (z), t + 1)]} es claramente Σ A 1, luego A-c.e., luego B T A (TS). La siguiente función es B-computable: m(x) = mín{s : s / A x } = mín{s : s, x / B}. Entonces g(x, m(x)) = f (x). Como g T A T A y m T B T A entonces f A. 106

107 Grados Turing Recordar que deg T (A) = {B : A T A} Si a es un grado Turing, a = deg T (A ) para A a. Sabemos que a > T a a es c.e. en a Sea 0 (n) = deg T ( (n) ). Entonces tenemos una jerarquía de grados 0 < T 0 < T 0 < T

108 Ejemplos 0 = deg T ( ) = {B : B es computable} 0 = deg T ( ) = deg T (K) = deg T (K 0 ) = deg T (K 1 ) 0 = deg T ( ) = deg T (Tot) = deg T (Fin) 0 = deg T ( ) = deg T (Cof) = deg T (Rec) = deg T (Ext) donde Tot := {x : W x = N} = {x : Φ x es total} Fin := {x : W x es finito} Cof := {x : W x es cofinito} Rec := {x : W x es computable} Ext := {x : Φ x es extendible a una función total computable} 108

109 Teoría de la Computabilidad Clase 6 Jerarquía Aritmética, Teorema de Post, Conjuntos Σ n -completos 109

110 Conjuntos Σ n y Π n Definición Un conjunto B es Σ 0 o Π 0 sii B es computable Para n 1, un conjunto B es Σ n (notado B Σ n ) sii existe una relación computable R(x, y 1,..., y n ) tal que x B sii ( y 1 )( y 2 )( y 3 )... (Qy n ) }{{} n 1 alternancias donde Q = si n es par y Q = si n es impar. R(x, y 1,..., y n ) Para n 1, un conjunto B es Π n (notado B Π n ) sii existe una relación computable R(x, y 1,..., y n ) tal que x B sii ( y 1 )( y 2 )( y 3 )... (Qy n ) }{{} n 1 alternancias donde Q = si n es par y Q = si n es impar. R(x, y 1,..., y n ) B es n (notado B n ) sii B Σ n Π n. 110

111 Relaciones y fórmulas Σ n y Π n Definición Una relación R N k es Σ n (Π n ) si es Σ n (Π n ) el conjunto { r 1,..., r k : (r 1,..., r k ) R} Una fórmula ϕ(x 1,..., x n ) con variables libres x 1,..., x n es Σ n (Π n ) si es Σ n (Π n ) la relación Por ejemplo, {(a 1,..., a n ) : N = ϕ(a 1,..., a n )} R N 3 es Σ 2 si existe una relación R computable tal que (x, y, z) R sii ( u)( v) R (x, y, z, u, v). si R es computable, es Π 3 la siguiente fórmula: ( x)( y)( z) R(x, y, z, w) 111

112 Propiedades de Σ n y Π n Teorema 1. A Σ n A Π n 2. A Σ n (Π n ) ( m > n) A Σ m Π m 3. A, B Σ n (Π n ) A B, A B Σ n (Π n ) 4. R Σ n n > 0 A = {x : ( y) R(x, y)} A Σ n 4. R Π n n > 0 A = {x : ( y) R(x, y)} A Π n 5. B m A A Σ n (Π n ) B Σ n (Π n ) 6. Si R Σ n (Π n ) entonces están en Σ n (Π n ): A = { x, y : ( z < y) R(x, y, z)} B = { x, y : ( z < y) R(x, y, z)} 112

113 1. A Σ n A Π n : Si A = {x : ( y 1 )( y 2 )( x 3 )... R(x, y 1,..., y n )} entonces A = {x : ( y 1 )( y 2 )( y 3 )... R(x, y 1,..., y n )} 2. A Σ n (Π n ) ( m > n) A Σ m Π m : Observar que ( x 1 )( x 2 )( x 3 )... (Qx n ) R(x, x 1,..., x n ) sii ( x 0 )( x 1 )( x 2 )( x 3 )... (Qx n ) R(x, x 1,..., x n ) }{{} R (x,x 0,x 1,...,x n) sii ( x 1 )( x 2 )( x 3 )... (Qx n )( Qx n+1 ) R(x, x 1,..., x n ) }{{} R (x,x 1,...,x n,x n+1 ) donde Q = si Q = y viceversa. Lo mismo para fórmulas Π n. 113

114 3. A, B Σ n (Π n ) A B, A B Σ n (Π n ): Supongamos Entonces x A sii ( y 1 )( y 2 )... R(x, y) x B sii ( z 1 )( z 2 )... S(x, z) x A B sii ( y 1 )( y 2 )... R(x, y) ( z 1 )( z 2 )... S(x, z) sii sii ( y 1 )( z 1 )( y 2 )( z 2 )... R(x, y) S(x, z) ( u 1 )( u 2 )... R(x, π 1 (u 1 ), π 1 (u 2 ),... ) S(x, π 2 (u 1 ), π 2 (u 2 ),... ) El mismo truco para A B y para Π n. 114

115 4. R Σ n n > 0 A = {x : ( y) R(x, y)} A Σ n Supongamos Entonces (x, y) R sii ( z 1 )( z 2 )... R (x, y, z 1, z 2,... ). x A sii ( y) R(x, y) sii ( y)( z 1 )( z 2 )... R (x, y, z 1, z 2,... ) sii ( u)( z 2 )... R (x, π 1 (u), π 1 (u), z 2,... ) 4. R Π n n > 0 A = {x : ( y) R(x, y)} A Π n Análogo a B m A A Σ n (Π n ) B Σ n (Π n ) Sea A = {x : ( y 1 )( y 2 )... R(x, y)} y sea B m A via f. Entonces B = {x : ( y 1 )( y 2 )... R(f (x), y) } }{{} computable Lo mismo para el caso Π n. 115

116 6. Si R Σ n (Π n ) entonces están en Σ n (Π n ): A = { x, y : ( z < y) R(x, y, z)} B = { x, y : ( z < y) R(x, y, z)} Por inducción en n. Si n = 0, A y B son computables. Sea n > 0 y supongamos cierta la propiedad para todo < n. Supongamos R Σ n. Por 4, B Σ n. Existe S Π n 1 tal que Entonces R(x, y, z) sii ( u) S(x, y, z, u). x, y A sii ( z < y) R(x, y, z) sii ( z < y)( u) S(x, y, z, u) sii donde σ se interpreta como una y-upla. Por HI ( σ)( z < y) S(x, y, z, π z (σ)) { x, y, σ : ( z < y) S(x, y, z, π z (σ))} Π n 1. Entonces A Σ n. El caso R Π n es análogo. 116

117 Ejemplos Proposición Fin Σ 2. Demostración. x Fin sii W x es finito sii Proposición Cof Σ 3. Fin := {x : W x es finito} Cof := {x : W x es cofinito} ( s)( t) [t > s Demostración. x Cof sii W x es finito sii computable {}}{ W x,s = W x,t ] ( y)( z) [z > y z W x ] sii ( y)( z)( s) [z > y computable {}}{ z W x,s ] 117

118 Conjuntos Σ n y Π n -completos y Teorema de Post (TP) Definición Un conjunto A es Σ n -completo (Π n -completo) si A Σ n (Π n ) y B 1 A para todo B Σ n (Π n ). Teorema (Post) Para todo n 0: 1. B Σ n+1 sii B es c.e. en algún conjunto Π n sii B es c.e. en algún conjunto Σ n 2. (n) es Σ n -completo, para n > 0 3. B Σ n+1 sii B es c.e. en (n) 4. B n+1 sii B T (n) 118

119 1. B Σ n+1 sii B es c.e. en algún conjunto Π n sii B es c.e. en algún conjunto Σ n : Habíamos visto que B es C-c.e. sii B es C-c.e. (TS 7). El último sii sale de ahí. Veamos el primer sii : Sea B Σ n+1. Entonces existe R Π n tal que x B sii ( y) R(x, y) Entonces B es Σ R 1 y por lo tanto B es R-c.e. Supongamos que B es C-c.e. para C Π n. Entonces existe un e tal que x B sii x We C sii ( s)( σ) [σ C x We,s σ ] }{{} computable Basta ver que σ C es Σ n+1 σ C sii ( i < σ ) [σ(i) = C(i)] sii ( i < σ ) [[σ(i) = 1 i C] [σ(i) = 0 i / C]] }{{}}{{} Π n Σ n Sabemos Π n, Σ n Σ n+1 y que Σ n+1 Σ n+1 Σ n+1. Como el externo está acotado, C Σ n

120 2. (n) es Σ n -completo, para n > 0: Por inducción en n. Es claro que vale para n = 1. Supongamos (n) es Σ n -completo. B Σ n+1 sii B es c.e. en algún C Σ n por TP1 sii B es c.e. en (n) por HI, C 1 (n) sii B 1 (n+1) por TS3 3. B Σ n+1 sii B es c.e. en (n) : B Σ n+1 sii B es c.e. en algún conjunto Σ n por TP1 sii B es c.e. en (n) por TP2 4. B n+1 sii B T (n) : B n+1 sii B, B Σ n+1 sii B, B son c.e. en (n) por TP3 sii B T (n) 120

121 Jerarquía estricta Sabemos Π n, Σ n m<n Σ m Π m Π n, Σ n n Corolario Si n > 0 entonces n Π n, Σ n. Demostración. (n) Σ n. Supongamos que (n) n. Por TP4 (n) T (n 1) y esto contradice TS2. Entonces (n) Σ n \ n. Análogamente (n) Π n \ n. 121

122 Ejemplo Proposición Fin es Σ 2 -completo. Demostración. Ya vimos que Fin Σ 2. Sea A Σ 2 y veamos A 1 Fin. Por definición x A sii ( y)( z) R(x, y, z). Por el Teorema del Parámetro, existe f computable 1-1 tal que { 0 si ( y u) ( z) R(x, y, z) ϕ f (x) (u) = si no Tenemos si x A entonces existe y tal que no es cierto ( z) R(x, y, z). Luego, no es cierto ( y u) ( z) R(x, y, z) para u y. Entonces W f (x) es finito, o sea f (x) Fin. x A W f (x) = N f (x) / Fin 122