CUBE - ACTIVIDADES. 1.- Sobre la película. 2.- Referencias presentes en la película. 3.- Actividad matemática.-códigos y criptografía

Transcripción

1 CUBE - ACTIVIDADES 1.- Sobre la película 1.- Qué te ha parecido la película? 2.- Qué aspectos relacionados con las matemáticas has encontrado? 3.- Qué te ha llamado más la atención? Cambiarias algo? Por qué? 4.- Con cuál de los personajes más te identificas? Analiza la personalidad y el proceder de cada uno de ellos y trata de determinar si su actitud ante la vida refleja de algún modo nuestra sociedad. 5.- La visión de la película es muy pesimista o crees que es realista? 2.- Referencias presentes en la película 1.- La mayor parte de las críticas de la película la emparientan con la obra de Franz Kafka. Averigua a qué se debe esta similitud recabando información sobre las obras y el pensamiento de este importante escritor. Conoces otras películas, novelas o expresiones artísticas relacionadas con Kafka? Crees que su idea de la vida y la sociedad está vigente en la actualidad? 2.- El argumento de Cube es parecido al de la novela El Señor de las moscas, de William Golding. Localiza este libro o la película del mismo título, y compárala con Cube. 3.- Otras referencias que aparecen en el film son: La teoría de la conspiración (seguro que te recuerda a una película de Mel Gibson y Julia Roberts). Crees que esta teoría es posible? Los números primos. Por qué son tan importantes? Trata de averiguar algo de su historia y de sus aplicaciones prácticas. El autismo. En que consiste? Son ciertas las facultades que se les suponen a los autistas? El cubo de Rubik. Los movimientos de las salas y la idea del cubo recuerdan a este conocido pasatiempo. Qué matemáticas subyacen en él? 3.- Actividad matemática.-códigos y criptografía En la película cada estancia del enorme cubo está etiquetada con un número de nueve dígitos separados en grupos de tres. Leaven, la joven estudiante de matemáticas, deduce que en estos números están incluidas algunas características de las salas: Primer Ciclo de Cine y Matemáticas de Gran Canaria 1

2 1.- Si tienen o no trampas mortales 2.- La posición relativa de cada una respecto al Cubo. 3.- Los movimientos que van describiendo Las diferentes placas que nos muestran la película tienen los siguientes números: Cuestiones 1.- En un principio Leaven supone que una habitación tiene trampa si alguno de los tres números que la identifica es un número primo. Cuáles de los números anteriores cumplen esta condición? 2.- Sin embargo, esa suposición se comprobó que era errónea, y que la trampa existía si alguno de los números era potencia de un primo. Qué salas de las descritas lo cumplen? Es ésta segunda hipótesis más general o más restrictiva que la anterior? Por qué? 3.- Para determinar la posición relativa de las habitaciones en el conjunto total, deben sumarse los dígitos de cada grupo entre sí. Por ejemplo, la sala daría las coordenadas (15, 11, 19). Obtén las coordenadas de cada sala y comprueba si en algún caso responden a estancias adyacentes. Contradicen los resultados el argumento de la película? 4.- Suponiendo que los movimientos de los cubos obedecieran a una ley fija, programada, los protagonistas necesitarán conocer en qué momento vuelven a la posición original con la esperanza de hallar la salida. En la película la pauta que siguen es la siguiente: tomemos como ejemplo la sala (es decir, la correspondiente a las coordenadas (18, 25, 14)). Se restan los dígitos del siguiente modo: = 1 ; 6 7 = 1 ; 7 5 = = 1 ; 9 8 = 1 ; 8 8 = = 1 ; 4 5 = 1 ; 5 5 = 0 De aquí resultan, tomándoles por columnas, los vectores de permutación ( 1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (2, 0, 0). Estos vectores nos indican las tres posibles posiciones para la habitación , que son: (18, 25, 14) + ( 1, 1, 1) = (17, 24, 15) (17, 24, 15) + ( 1, 1, 1) = (16, 25, 14) (16, 25, 14) + (2, 0, 0) = (18, 25, 14) Primer Ciclo de Cine y Matemáticas de Gran Canaria 2

3 Obsérvese que con este procedimiento, cada tres movimientos, siempre se vuelve a la posición de partida. Puedes explicar por qué? 5.- Según esto, conociendo la posición de la habitación actual y las de las adyacentes, se puede saber si estamos en posiciones consecutivas y en qué movimiento volvemos a la situación de partida. En la película, estando en el cubito de coordenadas (17, 25, 14), Leaven pide a sus compañeros que le indiquen los números de las salas contiguas, que son , y Corresponden estas codificaciones a posiciones consecutivas para alguna de sus permutaciones? (NOTA: en el montaje final de la película se descartaron algunas escenas). En nuestra vida cotidiana utilizamos con mucha frecuencia códigos numéricos o de letras que guardan algún tipo de información como sucede con los números de las habitaciones de la película. Gran parte de la información sobre personas que se guardan en las bases de datos de los ordenadores están codificadas. Analicemos dos ejemplos, el I. S. B. N. de los libros y el N. I. F. de las personas. En primer lugar debemos familiarizarnos con el concepto matemático en que se basan algunas codificaciones: las congruencias. Dos números, a y b, se dice que son congruentes módulo n, y se denota mediante a b (mod n), si a b es un múltiplo de n. Por ejemplo (mod 5) porque = 2 5. Observa que el resto de dividir 27 y 17 entre 5 es precisamente 2. Las congruencias son muy utilizadas en teoría de números porque los números congruentes suelen tener propiedades comunes. De este modo, para trabajar con números grandes como o , es habitual utilizar otros números congruentes con ellos más pequeños. 6.- Resuelve las siguientes cuestiones: i.- encontrar tres números a tales que a 23 (mod 7). ii.- Existe algún n para el que (mod n)? iii.- Trata de probar que si a b (mod n) y c d (mod n), entonces a+c b+d (mod n) y que ac bd (mod n). 7.- Los libros se codifican mediante los números del I. S. B. N. (International Standard Book Number). Observa el ISBN de la figura: * El primer grupo de dígitos indica el país (o el idioma). En España, por ejemplo, es el 84. * El segundo grupo de dígitos designa la editorial. * El tercer grupo es un número asignado al libro por la editorial. * El último carácter, el décimo, es un factor de comprobación. Si designamos el número completo por x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 el décimo dígito verifica la relación x 10 9 i= 1 ix i (mod 11) Comprueba si el ejemplo anterior corresponde de verdad a un I. S. B. N. e indica cuál de los siguientes es falso: a) b) c) Podrías calcular el número X que falta en el ISBN siguiente X ? Primer Ciclo de Cine y Matemáticas de Gran Canaria 3

4 Las librerías utilizan el I. S. B. N. para encargar los libros. Es más rápido y sencillo, con la ayuda del ordenador y el correo electrónico, transmitir un número que el título del libro, su autor, la editorial, el año de edición, etc. 8.- Prácticamente todos los productos que compramos hoy en día llevan un código de barras y un número. En la caja registradora, el código de barras se examina mediante un lector láser que envía un mensaje a un ordenador, donde se encuentran los precios de todos los productos, cuántos artículos como ese quedan, etc. El ordenador envía la información oportuna a la pantalla de la caja registradora y hace imprimir el recibo correspondiente. Los números del código de barras del artículo suelen seguir la siguiente estructura: * el código del país, 97, en el ejemplo de la página anterior. (Cada producto suele tener códigos diferentes). * Referencia del fabricante: * Número del producto: * Dígito de control: 0 Como puedes comprobar, parte del código de I. S. B. N. del libro del ejemplo está contenido en el código de barras. Para los códigos de barras, el dígito de control se calcula del siguiente modo: se suman las seis cifras que ocupan los lugares impares empezando por la izquierda; llamemos a este valor X. A continuación se suman las seis cifras de los puestos pares, Y. Se tiene que cumplir que X Y + dígito de control 0 (modulo n), donde el valor de n suele ser 8 o 6, aunque para cada tipo de producto puede haber un n diferente. Comprueba que en el ejemplo anterior n es 8, y realiza el cálculo para otros productos de diferente clase. 9.- También el cálculo de la letra del N. I. F. (Número de Identificación Fiscal) de cada D. N. I: obedece a un algoritmo y a una codificación. En este caso, se calcula el número del D. N. I. módulo 23 y al valor obtenido se le asigna una letra según la siguiente clave: 0 T; 1 R; 2 W; 3 A; 4 G; 5 M; 6 Y; 7 F; 8 P; 9 D; 10 X; 11 B; 12 N; 13 J; 14 Z; 15 S; 16 Q; 17 V; 18 H; 19 L; 20 C; 21 K; 22 E. Obtén la letra de tu D. N. I., y calcula tres N. I. F. distintos que tengan la C como letra del N. I. F Intenta resolver las siguientes cuestiones: a) Se han recibido los siguientes N. I. F. por correo electrónico. Son correctos o ha habido algún error en la trascripción Z y D? b) El N. I. F. no puede corregir un error a menos que se sepa en qué posición está el dígito equivocado. Prueba de ello es la siguiente cuestión: De un N. I. F. se desconoce el número de las decenas, X8. Se sabe que la letra es la T. Cuál es el dígito que falta? Puede haber algún otro error? Los códigos también se han empleado y se emplean en la transmisión de mensajes secretos. El cifrado de mensajes data de los tiempos más remotos, aunque es sobre todo a partir de la II Guerra Mundial cuando más se ha desarrollado. La ciencia que estudia la seguridad en las transmisiones para que determinadas informaciones no sean Primer Ciclo de Cine y Matemáticas de Gran Canaria 4

5 descubiertas ni descifradas por personas, empresas o instituciones que no se desea se llama criptografía. Algunos de los sistemas más complejos de codificación se basan en resultados matemáticos. Trata de averiguar algo más sobre la criptografía, su historia, los métodos tradicionales de codificación de mensajes, etc. En particular recaba información sobre el sistema RSA de clave pública, uno de los más utilizados en la actualidad, basado en la dificultad de factorizar números primos de gran tamaño. Aunque todo el mundo sabe cómo descifrarlo (clave pública), sólo los que conocen la factorización en producto de dos números primos gigantescos de otro número mucho mayor pueden descifrar los mensajes encriptados con este procedimiento. Primer Ciclo de Cine y Matemáticas de Gran Canaria 5