PAC1 - Primera prova d'avaluació continuada

Transcripción

1 Fonaments de Computadors PAC1 - Primera prova d'avaluació continuada Presentació Aquesta PAC es focalitza en els sistemes bàsics de codificació de la informació. És molt important que es conegui com es representa la informació dins d'un computador abans d'introduir els circuits combinacionals i seqüencials. La PAC conté un conjunt de problemes relacionats amb els continguts del Mòdul 2. Competències - Saber com es representa la informació i, en particular, els nombres de forma digital: nombres naturals i enters, tant en signe i magnitud com en complement a 2. - Entendre els mecanismes de canvis de base en la representació de nombres. Objectius - Saber representar un mateix valor numèric en bases diferents (2,10,16). - Comprendre els conceptes de rang i precisió d un format de codificació de la informació numèrica en un computador, i també els conceptes de sobreeiximent i d error de representació. - Saber representar i operar nombres naturals en binari. - Saber representar i operar nombres enters en signe i magnitud en base 2. - Saber representar i operar nombres enters en complement a 2. - Saber representar i operar nombres fraccionaris en coma fixa. - Conèixer altres tipus de representacions per emmagatzemar informació en un computador. Recursos Els recursos que es recomana fer servir per aquesta PAC són els següents: Bàsics: El mòdul 2 dels materials. Complementaris: No utilitzeu la calculadora per resoldre les problemes ja que a l'examen no la podreu utilitzar. Criteris de valoració Raoneu la resposta a tots els exercicis. Les respostes sense justificació no rebran puntuació. La valoració està indicada a cadascun dels subapartats. 1 de 6

2 Format i data de lliurament Per a dubtes i aclariments sobre l enunciat, adreceu-vos al consultor responsable de la vostra aula. Cal lliurar la solució en un fitxer PDF fent servir una de les plantilles lliurades conjuntament amb aquest enunciat. S ha de lliurar a través de l aplicació de Lliurament i registre d AC de l apartat Avaluació de la vostra aula. La data límit de lliurament és l 1 d octubre (a les 24 hores). Descripció de la PAC a realitzar Solució de la PAC Exercici 1 [15%] Donat el nombre A = 509, que està representat en decimal, contesteu els següents apartats: a) [5%] Representeu el nombre A en binari. Per passar un nombre representat en decimal a un altre sistema de numeració posicional apliquem el mètode de la divisió entera, fent divisions successives per la base d'arribada. Que és 2, en aquest cas. 509 = = = = = = = = = La representació resultant és la seqüència de residus en ordre invers, que ve indicada per la fletxa vermella: 509(10 = (2 b) [5%] Representeu el nombre A en hexadecimal. Ho podem fer de 2 maneres. 2 de 6

3 La primera seria aplicar el mateix mètode que en l'apartat anterior; ara la base d'arribada és 16: 509 = = = Tenint en compte la notació que s'usa per als dígits hexadecimals, obtenim la representació resultant: 509(10 = 1FD(16 La segona manera de fer l'exercici ve facilitada pel fet que a l'apartat anterior hem trobat la representació d'a en base 2, de manera que ara podem fer el pas de base 2 a base 16. Com que 16 = 2 4, aquest canvi de base es fa agrupant els bits de 4 en 4, començant per la dreta, i substituint cada grup pel dígit hexadecimal corresponent F D c) [5%] Representeu aquest nombre A en la codificació binària de complement a 2 (Ca2) i amb 10 bits. Com que A és positiu, en Ca2 es representa igual que en signe i magnitud. El bit de més pes valdrà 0, i els altres 9 bits contindran la representació en base 2 del nombre. A l apartat a) hem trobat aquesta representació, que ha resultat ocupar justament 9 bits. Per tant, 509(10 = (Ca2 Exercici 2 [30%] Donat el nombre binari A = , contesteu els següents apartats: a) [10%] Considerant que representa un nombre enter en complement a 2 (Ca2), indiqueu quin és el valor d A en decimal. Com que el bit de més pes val 1, es tracta d'un número negatiu. Podem trobar la seva representació en decimal de dues maneres. Una seria aplicant el TFN, però donant signe negatiu al primer sumand: (Ca2 = = = -81(10 L'altra seria canviar el signe d'a, i aplicar el TFN per obtenir A. Per canviar el signe d'a substituïm els 0s per 1s i viceversa i sumem 1 al resultat: -A = = (Ca2 3 de 6

4 Apliquem el TFN a -A: (Ca2 = = = 81(10 Per tant, A = -81(10. b) [10%] Considerant que representa un nombre enter en signe i magnitud (SM2), indiqueu quin és el valor d A en decimal. El bit de signe (el de més pes) val 1, per tant A és un nombre negatiu. El seu valor absolut ve representat en base 2 per la resta de bits, als quals apliquem el TFN per trobar el seu valor en decimal: (2 = = = 47(10 Per tant, A = -47(10. c) [10%] Considerant que representa un nombre enter en excés a 128, indiqueu quin és el valor d A en decimal. Per trobar el valor en decimal d A hem de restar 128 a la codificació donada. 128 = 2 7 = (2 Fem la resta: = Per obtenir el resultat hem d'aplicar el TFN a aquest nombre binari, cosa que justament hem fet a l'apartat anterior. Per tant, A = 47(10. Exercici 3 [30%] Donat el nombre binari A = , contesteu els següent apartats: a) [15%] Suposant que A codifica un nombre enter en signe i magnitud (SM2), indiqueu si pot haver-hi un nombre B, també en signe i magnitud (SM2), tal que A+B sigui igual al nombre S = (SM2. En cas afirmatiu, indiqueu quin és aquest nombre B. Feu el raonament sense obtenir els valors d'a i S en decimal. El sistema de representació que estem usant té 7 bits per representar la magnitud, i per tant la magnitud pot tenir els valors [0, 2 7-1] = [0, 127]. Tant A com S són negatius, és a dir, són dintre l interval (o recta) [-127, -0]. Per tant, la distància entre ells dos, que és la magnitud (o valor absolut) de B = S - A, és un valor inferior o igual a 127. La magnitud de B, doncs, pot ser representada en aquest sistema. 4 de 6

5 Com que la magnitud d S és més gran que la d A (S és a l esquerra d A en la recta), B serà un número negatiu, i podem obtenir la seva magnitud restant S - A, que dóna Afegint-li el bit de signe, obtenim que B = (SM2. b) [15%] Suposant que A codifica un nombre enter en complement a 2 (Ca2), indiqueu si pot haver-hi un nombre binari B, també en complement a 2 (Ca2), tal que A-B sigui igual al nombre R = (Ca2. En cas afirmatiu, indiqueu quin és aquest nombre B. Feu el raonament sense obtenir els valors d'a i S en decimal. El sistema de representació en Ca2 que emprem té 8 bits, que permet representar els valors [-2 8-1, ] = [-128, 127]. La distància entre A i R, que és B = A R, podrà ser representada en aquest sistema si és a dintre de l interval [-128, 127]; cosa que no es complirà per valors qualssevol d A i R, ja que la distància entre ells pot arribar a ser de fins a 255. Calculem A R, sumant A i R canviat de signe: Hem sumat dos nombres negatius i dóna un nombre positiu, i per tant hi ha hagut sobreeiximent. És a dir, A-R no cap en la representació que emprem. Donat que A és negatiu i R és positiu, A-R ha de ser negatiu. Per tant, si A-R dóna sobreeiximent vol dir que A-R és menor que 128. Per tant, el seu valor absolut tampoc no es pot representar en Ca2 amb 8 bits. Per tant, no existeix el nombre B que estàvem buscant. També ho podíem haver deduït observant que R és el valor positiu més gran que es pot representar, perquè tots els seus bits excepte el de signe valen 1. És a dir, R = 127. Per tant, l únic valor d A (que és negatiu) pel qual la distància entre A i R és a dintre de l interval [-128, 127] és 1. Però la representació de 1 en Ca2 té tots els bits a 1, que no és el cas d A. Exercici 4 [25%] Considereu un format de signe i magnitud en coma fixa amb 1 bit pel signe, 4 bits per la part entera i 3 bits per la part fraccionària, i en el qual el mètode d aproximació que s aplica és el truncament. Donat el nombre A = , que representa un nombre fraccionari seguint el format esmentat anteriorment: a) [5%] Indiqueu quin és el valor d aquest nombre en decimal. El bit de signe és 1, per tant es tracta d un nombre negatiu. La part entera és 0011, que interpretada en base 2 (pel TFN) equival a = 3(10. La part fraccionària és 010, que interpretada en base 2 (pel TFN) és 2-2 = 0,25(10. Per tant, A = -3,25(10. 5 de 6

6 b) [10%] Calculeu el resultat de l operació A 2 3. Hi ha sobreeiximent en el càlcul d aquest resultat? Nota: No fa falta obtenir el valor en decimal. Multiplicar un nombre en coma fixa per una potència de 2 equival a desplaçar la coma a la dreta tantes vegades com indiqui la potència, mantenint invariable el signe. Podem escriure la magnitud del nombre A de la forma 0011,010(2. Així, A 2 3 = ,0(2. Aquest nombre té 5 bits significatius a la part entera, però el sistema de representació donat només disposa de 4 bits per a aquesta part. Per tant, hi ha sobreeiximent. c) [10%] Calculeu el resultat de l operació A/2 3. Hi ha sobreeiximent en el càlcul d aquest resultat? Nota: No fa falta obtenir el valor en decimal. Dividir un nombre en coma fixa per una potència de 2 equival a desplaçar la coma a l esquerra tantes vegades com indiqui la potència, mantenint invariable el signe. Com que A = 0011,010(2, A/2 3 = 0,011010(2. Aquest nombre té 5 bits significatius a la part fraccionària, i el sistema de representació donat només disposa de 3 bits per a aquesta part. Tanmateix, en una divisió per 2 k es considera que no es produeix sobreeiximent, sinó que s'aproxima el resultat de la divisió. En aquest exercici l'aproximació s'ha de fer per truncament, que consisteix a ignorar els bits que sobren. Així, la part fraccionària del resultat serà 011. Afegint-hi el bit de signe i la part entera, que val 0, obtenim que, en el format donat, A/2 3 = de 6