CURSO: MECÁNICA DE SÓLIDOS II UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

Transcripción

1 UNIVERSIDD NCION DE CO CUTD DE INGENIERÍ EÉCTRIC Y EECTRÓNIC ESCUE ROESION DE INGENIERÍ EÉCTRIC CURSO: MECÁNIC DE SÓIDOS II ROESOR: ING. JORGE. MONTÑO ISI

2 CURSO DE MECÁNIC DE SÓIDOS II CÍTUO 3: CRG XI Medidor de carga axial e implosión para atas de 3 iezas

3 CÍTUO 3: CRG XI 3.1 RINCIIO DE SINT-VENNT Establece que la deformación y el esfuerzo localizados que ocurren dentro de las regiones de aplicación de la carga o en los soportes tienden a emparejarse a una distancia suficientemente alejada de esas regiones. 3.2 DEORMCIÓN EÁSTIC DE UN MIEMBRO CRGDO XIMENTE El desplazamiento de un miembro cargado axialmente se determina relacionando la carga aplicada al esfuerzo usando y relacionando el desplazamiento a la deformación σ =/ unitaria usando ε = dδ/dx. inalmente esas dos ecuaciones se combinan usando la ley de Hooke, σ = E ε, que da la ecuación: ( X ) dx 0 E ( X )

4 Consideremos la barra mostrada en la figura, que tiene una sección transversal que varía gradualmente a lo largo de su longitud. a barra está sometida a cargas concentradas en sus extremos y a una carga externa variable distribuida a lo largo de su longitud. ara determinar el desplazamiento relativo δ de un extremo de la barra respecto al otro causado por las cargas se utiliza el método de las secciones. Un elemento diferencial de longitud dx yárea es aislado de la barra en la posición arbitraria x. Eldiagramadecuerpolibredeeste elemento se muestra en la figura. a fuerza axial interna resultante se representa por (x), esta fuerza deformará el elemento en la forma indicada por el perfil punteado, por lo tanto el desplazamiento de un extremo del elemento respecto al otro será dδ. X 1 2 dx (x) dδ (x) δ dx

5 dx d y x x ) ( ) ( E dx d E X x ) ( ) ( E dx d x x ) ( ) ( El esfuerzo y la deformación unitaria en el elemento son: Si estas cantidades no exceden el límite de proporcionalidad, podemos relacionarlas por medio de la ley de Hooke, es decir,

6 ara la longitud entera de la barra integramos la expresión anterior y hallamos que el desplazamiento del extremo viene dado por: 0 ( X ) ( X ) dx E Donde: δ = desplazamiento de un punto de la barra relativo a otro punto. = distancia entre los puntos (x) = fuerza axial interna en la sección, localizado a una distancia x de un extremo. (x) = área de la sección transversal de la barra, expresado como función de x. E = módulo de elasticidad del material

7 Carga y área transversal constantes.- En muchos casos la barra tendrá un área transversal constante y el material será homogéneo, por lo que E será constante. demás, si una fuerza externa constante se aplica a cada extremo (ver la figura), entonces la fuerza interna a lo largo de la barra será también constante. or lo tanto δ se halla por: E x δ

8 Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si la sección transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptamente de una región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarse a cada segmento de la barra donde esas cantidades sean todas constantes. El desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro se encuentra entonces por medio de la adición vectorial de los desplazamientos de los extremos de cada segmento. ara este caso general se cumple que: E Convención de signos.- ara aplicar la ecuación anterior consideraremos que la fuerza y el desplazamiento son positivos si causan tensión y alargamiento, respectivamente, mientras que una fuerza y un desplazamiento negativo causarán compresión y contracción, respectivamente.

9 ROCEDIMIENTO DE NÁISIS ara determinar el desplazamiento relativo entre dos puntos y B sobre un miembro cargado axialmente se aplica la ecuación o, para ello se siguen los E E siguientes pasos: 1ro.- Sehallalafuerzaaxialinterna en el miembro usando el método de las secciones. Si esta fuerza varía a lo largo de la longitud del miembro, deberá hacerse una sección en una posición arbitraria x medida desde un extremo del miembro y la fuerza deberá representarse como una función de x, es decir, (x). 2do.- Se calcula el desplazamiento. ara ello se debe tener en cuenta que si la sección transversal del miembro varía a lo largo de su eje, el área de esta sección debe expresarse en función de su posición x, esdecir,(x). Si el área de la sección transversal, el módulo de elasticidad, o la carga interna cambian bruscamente, la ecuación debe aplicarse a cada segmento para el cual E estas cantidades sean constantes.

10 3.3 RINCIIO DE SUEROSICIÓN Este principio se usa para simplificar los problemas de esfuerzo y desplazamiento que tienen cargas complicadas. l subdividir la carga en componentes, el principio de superposición establece que el esfuerzo o desplazamiento resultantes en el punto puede determinarse encontrando primero el esfuerzo o desplazamiento causado por cada carga componente actuando independientemente sobre el miembro. El esfuerzo o desplazamiento resultante se determina entonces sumando algebraicamente las contribuciones causadas por cada componente. as siguientes dos condiciones deben cumplirse para que el principio de superposición pueda aplicarse: 1. a carga debe estar relacionada linealmente con el esfuerzo o el desplazamiento que va a determinarse. 2. a carga no debe cambiar significativamente la geometría original o configuración del miembro.

11 3.4 MIEMBRO ESTÁTICMENTE INDETERMINDO CRGDO XIMENTE. Un miembro es estáticamente indeterminado si las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las reacciones en el miembro. Ejm: Sea la barra fija en ambos extremos, mostrada en la figura. plicando la ecuación de equilibrio de fuerzas tenemos: B / B 0 0 En este caso, la barra se denomina estáticamente indeterminada, porque la ecuación de equilibrio por sí sola no es suficiente para determinar las reacciones. ara establecer una ecuación adicional, necesaria para la solución, se requiere considerar la geometría de la deformación. la ecuación que determina las condiciones del desplazamiento se le llama condición de compatibilidad. Como los extremos de la barra están fijos, Se cumple que: C CB B c B B B

12 Esta ecuación puede expresarse en términos de las cargas aplicadas usando una relación carga-desplazamiento, que depende del comportamiento del material. or lo tanto, la ecuación de compatibilidad puede escribirse como: E C B E CB 0 Suponiendo que E es constante, podemos resolver simultáneamente las dos ecuaciones anteriores y obtener los siguientes valores: CB y B C mbos valores son positivos, por lo que las reacciones se muestran con sus sentidos correctos en el diagrama de cuerpo libre (ver la figura anterior).

13 3.5 MÉTODO DE S UERZS R E NÁISIS DE MIEMBROS CRGDOS XIMENTE El método de las fuerzas o método de las flexibilidades consiste en resolver los problemas estáticamente indeterminados escribiendo la ecuación de compatibilidad y considerando la superposición de las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre. Ejm: Sea la barra de la figura mostrada a continuación. ara escribir la ecuación necesaria de compatibilidad, escogeremos primero cualquiera de los dos soportes como redundante (el soporte no es necesario para mantener la barra en equilibrio estable, de manera que cuando se retira, la barra se vuelve estáticamente determinada) y retiraremos temporalmente su efecto sobre la barra. Si escogemos el soporte B como redundante, usando el principio de superposición, la barra, con la carga original actuando sobre ella, es entonces equivalente a la barra sometida sólo a la carga externa, más la barra sometida sólo a la carga redundante desconocida B.

14 Si la carga ocasiona que B se desplace hacia abajo una cantidad δ, la reacción B debe ser capaz de desplazar el extremo B de la barra hacia arriba una cantidad δb, de manera que no ocurra ningún desplazamiento en B cuando las dos cargas se superpongan. Se cumple entonces que: 0 B Esta ecuación representa la ecuación de compatibilidad para los desplazamientos en el punto B, donde hemos supuestos que los desplazamientos son positivos hacia abajo. C No hay desplazamiento de B c CB = Desplazamiento de B al remover la fuerza redundante de B + Desplazamiento de B sólo al aplicar la fuerza redundante a B B δ δ B B

15 plicando la relación carga-desplazamiento acadacaso,laecuación anterior queda: C B 0 C B E E Del DC de la barra, la reacción en puede determinarse con la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales, obteniéndose: CB C Como, entonces: C 3.6 ESUERZO TÉRMICO Un cambio de temperatura puede ocasionar que un material cambie de dimensiones. Si la temperatura aumenta, generalmente un material se dilata, mientras que si la temperatura disminuye, el material se contrae. Ordinariamente esta dilatación o contracción está linealmente relacionada con el incremento o disminución de temperatura que se presenta. 0 CB

16 Donde: Si este es el caso y el material es homogéneo e isotrópico, se ha encontrado experimentalmente que la deformación de un miembro de longitud puede calcularse utilizando la fórmula: T T = propiedad del material llamada coeficiente lineal de dilatación térmica. ΔT = cambio algebraico en la temperatura del miembro = longitud original del miembro Δt = cambio algebraico en la longitud del miembro Si el cambio de temperatura varía sobre toda la longitud del miembro, osi varía a lo largo de la longitud, entonces la ecuación anterior es aplicable para cada segmento de longitud dx. Enestecaso,elcambioenlalongitud del miembro es: T dx 0